La courbe Pi conjuguée de P est aussi une courbe de

l56 CHAPITRE m.

M. Bertrand. Si donc Ton observe que -^^i^, —z=-, P = Pi — mN et que 9 est Tangle de T avec Ti aussi bien que de Ti avec T, la courbure — et la torsion — de la courbe Pi

pi T^l

sont liées par les formules analogues aux formules (2), (3), (2) I = -coscp; — = smcp,

Pi ^ ^ Ti V ^

.r.y sincp coso sincp

Pi t:i w

OU bien encore celles que Ton peut en déduire par le changement de a en — - M, selon que Ni = — N ou Ni=N. Pour déterminer complètement le signe u dans les formules (2)', (3)', observons que le vecteur Bi parallèle au vecteur

ds \ P / T

est donné par la relation

Bi ==b (cosçB — sincpT).

selon que Nj = ± N ; la dérivée

c^Bi £ / coscp sin(p \ ^

ds^ ~ V \~T p~"/ **

donne, en vertu de (3),

c?Bi sinç-.

dsi uv

et, par suite,

J sincp

Ti uv

[seconde formule (2)'],

en ayant égard à la deuxième formule de Frenet.

Il est donc bien démontré que les formules (2)', (3)' subsistent pour p, et Ti avec Ni = — N.