VECTEURS ET LEURS PRODUITS

8. Vecteurs. — On appelle vecteur la différence de deux points. Si A et B sont des points, B — A est un vecteur. On voit immédiatement que B — A = o quand A = B et réciproquement.

Théorème. — Pour que les vecteurs {non nuls) B — A, D — C soient égaux, il faut et il suffit que les segments PkB, dD soient par allé les f de même sens et de même module.

Dém, — P, Q, R étant trois points quelconques,

(B — A)PQR = BPQR - APQR

représente le tétraèdre qui a pour base le triangle PQR et pour hauteur la distance des projections orthogonales de A et de B sur la perpendiculaire au plan PQR; par conséquent, énoncer, quels que soient les points P, Q, R, l'égalité

(B-A)PQR = (D-C)PQR,

revient à affirmer les conditions nécessaires et suffisantes pour que les vecteurs B — A, D — C soient égaux.

Remarques, — Disons que les vecteurs non nuls B — A, D — G sont parallèles lorsque les segments AB, CD sont parallèles; appelons direction du vecteur I un élément géométrique abstrait fonction de I et que I possède en commun avec tous les vecteurs parallèles à lui-même. Par le théorème précédent, on déduit que des vecteurs égaux ont la même direction.

Si les vecteurs non nuls B — A, D — C sont parallèles, nous dirons qu'ils sont de même sens ou de sens contraire, selon que les segments AB, CD seront ou non de même sens; le sensà'xxïi vecteur 1 est donc un élément géométrique abstrait fonction de I et qui a I en commun avec d'autres vecteurs parallèles à I. Par le théorème précédent, on déduit que des vecteurs égaux ont le même sens.

Posons encore niod(B — A) = modAB et convenons que I est un des vecteurs unité lorsque modl = ï. Il en résulte de même que des vecteurs égaifx ont le même module.

Il résulte aussi des conventions précédentes que : Pour que deux vecteurs soient égaux, il faut et il suffit qu'ils aient la même direction^ le même sens et le même module: ainsi donc, un vecteur est un élément géométrique abstrait^ fonction de sa direction, de son sens et de sa grandeur, c'està-dire qu'un vecteur est donné lorsque l'on connaît sa direction, son sens et sa grandeur.

Graphiquement, on représentera le vecteur B — A avec les points A, B unis par une flèche dont la pointe est en B. On comprend ainsi que Ton puisse, en Mécanique, représenter une vitesse au moyen d'un vecteur, car une vitesse peut être définie comme un élément connu quand on a sa direction, son sens et sa grandeur.

Si A, B, G sont trois points, le théorème précédent nous donne tout de suite la construction du point D, tel que B — A = D — C; A est dit origine et B extrémité du vecteur B — A. Il en résulte aussi que l'on peut prendre un point quelconque comme origine d'un vecteur I, mais, l'origine une fois choisie, l'extrémité est un point parfaitement déterminé.

9. a. La somme d'un point A et d'un vecteur I est un nouveau point qu'on déduit de A par une translation dont le vecteur I détermine la grandeur, la direction et le sens. En effet, si A est Forigine du vecteur I, son extrémité B sera déterminée par la condition I = B — A : il s'ensuivra que A -h I = B est un point, etc.

b. Le produit d'un point par un vecteur I est un segment, car 01 = 00 -f- 01 = 0(0 -f-I). Réciproquement, un segment est le produit d'un point par un vecteur. En effet, si A, B sont des points, on a les égalités