VI PREFACE

rente, on prit modèle sur ce qu'avaient fait les précédents géomètres, et l'on édifia un système différent du premier, mais non moins fermé que lui; puis une troisième hypothèse engendra une troisième Géométrie. On eut ainsi :

La Géométrie d'Euclide, où, par un point extérieur à une droite, ou peut mener, dans le plan qu'ils déterminent, une droite qui ne rencontre pas la droite donnée et où Ton ne peut en mener qu'une ^

La Géométrie de Lobalchefsky et de Bolyaï, où l'on peut mener une infinité de telles droites;

La Géométrie de Riemann, où l'on ne peut en mener aucune.

Ces trois systèmes fermés, construits à l'imitation mais indépendamment l'un de l'autre, présentent certaines ressemblances qui ont toujours été remarquées. Il y a d'abord, dans la Géométrie euclidienne, des propositions dont la démonstration est indépendante du postulatum : on ne peut évidemment que les retrouver dans les deux autres Géométries. Mais il y a plus : dans la Géométrie de Lobalchefsky, par exemple, on rencontre des surfaces, dites horîsphériques, qui présentent exactement toutes les propriétés du plan euclidien, à la retoumabilité près, c'est-à-dire que tous les théorèmes de la Géométrie plane ordinaire dont la démonstration n'exige pas le retournement du plan y sont vrais, si l'on substitue aux droites du plan les géodésiques de l'horisphère, c'est-à-dire les lignes qui y sont déterminées par deux points. Celte même Géométrie