PREFACE. IX

éli'oite : nous ouvrirons ainsi quelques grands chemins vers dos limites qui, pour nous, ne sont que des frontières nullement infranchissables.

Notre second pas sera d* aborder ce qu'on a appelé Vhyperespace, ou plutôt le plus simple des hyperespaces, puisque, nous l'avons dit, ce n'est que par la conception d'espaces à plus de trois dimensions qu'on peut généraliser la Géométrie sans la diviser en tronçons discontinus.

Nous n'en dirons pas davantage, pour le moment, sur le plan de notre modeste essai, car ce sont les résultats seuls de l'étude de l'espace euclidien à quatre dimensions qui nous montrera la marche «î suivre ensuite.

Pour éviter tout malentendu, nous ajouterons que nous ne pouvons songer à donner, dans une mince brochure, une démonstration de toutes les propositions que nous mentionnerons : nous cherchons à donner une orientation à l'esprit, et ce n'est que lorsque nos propositions s'écarteront de ce qu'on trouve dans tous les traités que nous en donnerons la preuve.

Une pratique constante des auteurs de Traités de Géométrie consiste à envisager d'emblée les figures dans l'espace unique à trois dimensions qu'ils considèrent, en sorte que, dans la partie consacrée à la Géométrie à deux dimensions, on les voit procéder sans scrupule au retournement d'un plan. Cette manière de faire présente le très sérieux inconvénient d'empêcher de distinguer les propriétés intrinsèques et les propriétés relatives des figures. L'objet essentiel du présent Chapitre est d'habituer à faire cette distinction.

Il comprendra trois paragraphes, consacrés à la symétrie et à la relournabilité, à la Géométrie sphérîque et enfin à la courbure.

§ I. — Symétrie et retournabilité.

Symétrie sur une ligne. — Considérons sur une droite quatre points A, B, C, D {^fig. i), prenons les symétriques A', B', C, D' de ces quatre points par rapport à un autre point O situé sur la même droite. Les deux figures déterminées de part et d*autre du point O, par ces deux systèmes de quatre points, sont composées d'éléments égaux et semblablement disposés, c'est-à-dire que les trois segments successifs sont égaux chacun à chacun et se suivent dans le même ordre. Néanmoins, tant qu'elles restent enfermées sur l'espace à une dimen-

Fig. 1.