ABC D D' C B' A

sioii qu'est la droite, elles ne peuvent être amenées en superposition, à moins que l'on n'ait AB = CD; mais alors la superposition aurait un caractère pour ainsi dire accidentel et serait obtenue sans superposition des éléments homologues.

On peut donc dire d'une façon générale que ces deux figures symétriques ne sont pas superposables.

Si, au lieu de prendre nos points sur une droite, nous les prenons sur un cercle, il en sera exactement de môme : les figures symétriques seront composées d'arcs égaux et semblablement disposés, mais elles ne pourront être amenées en superposition par simple glissement sur le cercle (y^^. 2).

Si de la Géométrie à une dimension nous passons à

la Géométrie k deux dimensions, nous pourrons envisager notre droite sur un plan, et alors elle jouira de la propriété de retournabîliié : nous pourrons faire tourner Tune de ses moitiés autour du point O dans le plan et ramener à coïncider avec l'autre. Cette opération aura pour résultat d'amener en superposition les deux figures symétriques.

Notre cercle au contraire, étant également envisagé sur un plan, ne nous révélera aucun fait nouveau, au point de vue qui nous occupe. Mais qu'il soit sur une

sphère dont il soit grand cercle, et aussitôt il nous apparaît k son tour comme retournable, et les deux figures symétriques deviennent superposables.

Remarque. — Plus d'un lecteur est sans doute prêt k protester, en disant que considérer un cercle c'est se placer sur un plan et faire de la Géométrie à deux dimensions, que parler d'une sphère c'est faire de la Géométrie à trois dimensions, car ne sont-ils pas, par définition, les lieux des points équidistants d'un môme point, soit dans un plan, soit dans l'espace?

Il est incontestable que, si nous prétendions faire un

ïraîté de Géométrîe générale, nous devrions reprendre toutes les définitions pour ne nous appuyer jamais sur des notions logiquement postérieures. Mais on sait que tel n'est point notre but ; nous supposons connue toute la Géométrie ordinaire, et nous voulons simplement donner une nouvelle orientation à la conception que l'on s'en fait généralement. Cela étant, peu nous importe la façon dont on a acquis l'idée des divers êtres géométriques : nous prenons ces êtres avec leurs propriétés, et nous nous attachons à faire simplement ressortir celles qui répondent à nos desseins. Pour avoir été définie dans un espace à trois dimensions, une sphère n'en est pas moins une surface, c'est-à-dire un espace où les points sont définis par deux coordonnées, et par suite un espace à deux dimensions, et tant que nous restons sur celte surface nous ne faisons que de la Géométrie à deux dimensions : ainsi en est-il quand nous opérons le retournement d'un grand cercle, parce que ce grand cercle reste sur la sphère durant tout son mouvement.

Symétrie sur une surface. — Sur un plan ou une sphère, nous pouvons considérej: deux sortes de symétries, la symétrie par rapport à un point et la symétrie par rapport à une droite ou à un grand cercle.

Deux figures symétriques par rapport à un point peuvent être amenées en superposition par une rotation de l'une d'elles de 180®, sur le plan ou la sphère, car ce mouvement amène chaque point de la figure mobile sur son symétrique dans l'autre figure.

Au contraire, deux figures symétriques par rapport à une droite ou à un grand cercle ne peuvent en aucune façon être amenées en superposition sans quitter la surface du plan ou de la sphère : elles n*en sont pas moins composées d*éléments égaux et semblablement disposés, comme Tétaient deux figures symétriques par rapport à un point sur une droite ou un cercle.

Mais nous avons vu que ces dernières figures pouvaient être amenées en superposition par une rotation sur une surface convenablement choisie, un plan pour la droite et, pour le cercle, une sphère où il soit grand cercle;

Eh bien! ici de même deux figures symétriques sur un plan, par rapport à une droite, peuvent être amenées en superposition par une rotation autour de cette droite, dans V espace à trois dimensions. Comme nous ne disposons que de cet unique espace, on peut prévoir, et la prévision est juste, qu'on n'arrive pas à opérer la superposition des figures syoïélriques sur la sphère par rapport à un grand cercle : nous ne pouvons pas opérer le retournement autour dudit grand cercle.

Symétrie dans l'espace. — Ici la symétrie est triple : elle peut exister par rapport à un point, par rapport u une droite ou par rapport à un plan.

Dans le cas de la symétrie par rapport à un point, chaque point peut être amené en coïncidence avec son symétrique par une rotation de i8b° autour du centre de symétrie; mais cela ne permet aucunement de superposer Tensemble des deux figures, parce que les divers

vecteurs ne peuvent tourner d'une seule masse, en formant un solide invariable, par synthèse en une rotation unique des rotations individuelles qui superposent séparément les points symétriques. On a donc deux figures composées d'éléments égaux et semblablement disposés, mais non surperposables.

Au contraire, la symétrie par rapport à une droite jouit de la propriété qui appartenait à la symétrie par rapport à un point sur le plan ou la sphère ; la rotation d'un point autour d'une droite étant ici déterminée comme l'était la rotation autour d'un point sur une de ces surfaces, on peut faire tourner l'une des figures, pour ainsi dire, d'un seul bloc et l'amener en coïncidence avec la figure symétrique.

On peut prévoir que la symétrie par rapport à un plan donnera deux figures non superposables dans l'espace à trois dimensions où elles se trouvent : c'est le cas analogue à la symétrie par rapport à un point sur une ligne et à la symétrie par rapport aune ligne sur une surface.

Une analogie étroite conduit à penser que, si l'on disposait d'un espace à quatre dimensions, on pourrait obtenir la superposition dès deux figures après retournement de l'une à travers cet espace.

Mais c'est là anticiper sur le prochain Chapitre. On remarquera du reste que, si cette hypothèse se vérifie, la difficulté sera résolue en même temps pour la symétrie par rapport à un point, puisqu'on démontre que celle-ci se ramène à la symétrie par rapport à un plan.

En généralisant l'induction à laquelle nous sommes

conduits, on dirait que, dans un espace à n dimensions, une seule symétrie doune des figures qu'on puisse superposer sans les faire sortir de cet espace, à savoir la symétrie par rapport à l'espace de degré n — 2, tous les autres systèmes de symétrie donnant des figures qu*on ne peut superposer qu'après retournement de l'une d'elles dans Tespace de degré /i + i .

Sans vouloir entrer dans des discussions philosophiques, nous noterons combien se trouverait ainsi résolu simplement le paradoxe des figures symétriques non superpo sables, qui a paru à tant de penseurs, tels que Kant, gros de conséquences métaphysiques.

§ II. — GÉOMÉTRIE SPIIÉRIQIE.

Nous avons vu, dans le Paragraphe précédent, que, par sa retournabilité sur la sphère dont il est grand cercle, un cercle présente sur cette surface des propriétés intéressantes. Il est bon de s'habituer à considérer ainsi les cercles sur des sphères.

Un premier fait, bien connu de tous, mais auquel on ne prête pas assez d'attention, c'est que, sur une sphère, tout cercle a deux centres.

Les deux rayons correspondants (ou distances polaires comme Ton dit souvent) sont en général inégaux mais présentent une somme constante, égale à un demi-grand cercle. Quand ils sont égaux, on a un grand cercle.

Sur le pian, les lignes équidistantes d'une droite sont des droites. Sur la sphère, les lignes équidislantcs d'un grand cercle sont des petits cercles. Notons que, si Ton L. a

8 CUAPITAË I.

' fait passer un arc de grand cercle par deux points quelconques d'un petit cercle, le grand cercle -normal à celui-ci en son milieu est aussi normal au grand cercle dont le petit cercle est équidistant.

Nous pourrions ici faire diverses remarques sur le lien qui unit la surface enfermée par un contour sur la sphère à la somme des angles extérieurs de ce contour, s'il est polygonal, ou à l'intégrale des angles extérieurs des tangentes géodésiques (ou grands cercles tangents), s'il est courbe; mais cet ordre de questions sera examiné d'un point de vue plus général dans le Paragraphe suivant.

Remarquons enfin que la surface enfermée par un cercle dépend de la sphère sur laquelle on l'envisage, et que toutes les surfaces ainsi enfermées dans un même cercle, sur toutes les sphères passant par lui, n'ont aucun point commun, en dehors du cercle même. D'autre part, on peut dire que, sur une sphère donnée, tout cercle enferme deux surfaces différentes, contenant chacune l'un des deux centres. Il est clair que, si on le préfère, on peut qualifier d'extérieure la plus grande des deux parties,

§ III. — Généralisation de la notion de courbure*

Courbure d'un arc. — La courbure d'un arc plan quelconque est l'angle de ses tangentes extrêmes, angle qu'on peut obtenir en leur menant des normales par un point du plan et mesurer au moyen de l'arc intercepté par ces normales sur un cercle de rayon i. La courbure

moyenne de Tare est le rapport de cet angle à la longueur de Tare lui-même, et la courbure en un point est la limite vers laquelle tend ce rapport lorsque la longueur de Tare décroît, indéfiniment : cette limite est l'inverse du rayon du cercle osculateur. Cette notion de la courbure sur un plan s'étend à une courbe gauche.

Cette définition de la courbure a un caractère «exclusivement euclidien et n*a de sens que dans l'espace à trois dimensions si la ligne considérée n'est pas plane. Sans sortir de la Géométrie ordinaire, on est amené k considérer d'autres courbures, suivant que l'on envisage une même ligne sur des surfaces diflerentes, car alors la courbure que nous avons définie, et qu'on appelle la courbure propre de la ligne, n'est pas toujours l'élément le plus intéressant. Si, par exemple, on déforme une surface, supposée inextensible, la courbure propre de chaque ligne qui y est tracée varie incessamment d'une manière quelconque tandis que la courbure de la ligne plane obtenue en projetant une courbe donnée sur le plan tangent en un point conserve, pour ce point, une valeur invariable : c'est ce que Lîouville a appelé la courbure géodésique.

Cette courbure est d''ailleurs susceptible d'une interprétation beaucoup plus satisfaisante, car elle nous détache de l'espace à trois dimensions et nous fait rester sur la surface considérée.

On retombe en effet sur la courbure géodésique si l'on remplace les tangentes reclilîgnes par les courbes géodésiques delà surface tangentes aux divers points de

10 CUAPITRE I.

la ligne donnée. On remarquera que la courbure géodésique d'une ligne en un point est essentiellement relative à la surface sur laquelle on la considère, et que toute ligne est à courbure nulle sur la surface dont elle est géodésique. La courbure propre n'est que la courbure géodésique obtenue en envisageant sur un plan Télément de courbe défini par trois points infiniment voisins.

Courbure d'une surface. — Si des lignes nous passons aux surfaces, nous trouvons la notion de courbure propre développée par Gauss d'une façon absolument parallèle à ce que nous avons dit pour les lignes. Sur une surface, limitons une région par une courbe fermée quelconque et, par le centre d'une sphère de rayon i, menons des parallèles aux normales ou des perpendiculaires aux plans tangents à la surface aux divers points de la courbe : Tensemble de ces droites découpe une région sur celte sphère, et la surface de cette région est ce que Gauss appelle la courbure inté^ grale de la région considérée sur la surface donnée* Si d'ailleurs cette région se resserre indéûniment autour d'un point M de la surface, la limite vers laquelle tend le rapport de la courbure intégrale à la surface de cette région, limite indépendante de la loi suivant laquelle s'évanouit la région considérée, est la courbure de la surface au point M, sa courbure totale pour employer l'expression généralement adoptée.

On sait que, parmi toutes les courbes tracées sûr la surface par le point M, il en est deux, rectangulaires

Tune à l'autre, dont les rayons de courbure, dits principaux, sont Tun maximum et l'autre minimum. Si donc on considère un élément de surface rectangulaire, ayant ses côtés parallèles aux directions principales, on voit que la courbure totale est égale à l'inverse du produit des deux rayons de courbure principaux. Suivant que ces deux rayons sont de même sens ou de sens opposés, la courbure est positive ou négative.

Cette notion de la courbure n'a de sens que pour qui envisage une surface euclidienne dans l'espace euclidien à trois dimensions. Si donc nous voulons préparer une généralisation de la Géométrie, nous devons chercher à transformer cette notion en une autre qui soit indépendante de ces références. Un théorème dû à Gauss permet d'obtenir cette transformation.

Ce théorème nous apprend que a la courbure intégrale d'un triangle formé sur une surface continue quelconque par trois lignes géodésiques est égale à la somme des angles de ce triangle diminuée de deux angles droits (*). >)

La portée de ce théorème est considérable, car non seulement il permet de juxtaposer à la définition classique de la courbure des surfaces une autre déflnition qui a l'avantage de ne reposer que sur des éléments mesurables sans sortir de cette surface, mais de plus, en vertu même de ce caractère intrinsèque, cette nouvelle

(*) Dans ses Disquisitiones générales circa superficies ciirvas, Gauss parle en ces termes satisfaits de ce théorème : ffoc theorema, ni fallimur, ad elegantissima in theoria suoerficieruni curvaruin. référendum esse videtur»

définition peut se détacher de Tancienne, en répondant à des cas où celle-ci n'aurait plus aucun sens.

Lorsque nous verrons se réaliser cette hypothèse, nous devrons bien nous souvenir que le terme « courbure » se sera dégagé du sens courant contre Tinfluence inconsciente duquel nous devrons nous prémunir avec soin.

Appliqué à une surface à courbure constante, le théorème de Gauss nous apprend que la courbure en un point quelconque est égale au quotient de l'excès angulaire (positif ou négatif) d'un triangle quelconque divisé par la surface de ce triangle; on peut d'ailleurs substituer au triangle un polygone quelconque, ou même une courbe : dans ce cas, on prend l'excès, changé de signe, sur quatre droits de l'intégrale des angles extérieurs des tangentes géodésîques (*).

Retour à la courbure d'une ligne. — La généralisation de la notion de courbure pour une surface se trouve, nous venons de le voir, réalisée de la façon la plus satisfaisante, tandis que cette généralisation n'avait donné que des résultats fort incomplets pour les lignes. Ceci tient à ce qu'il n'existe aucun moyen de rien dire de la

(') Si nous désignons la courbure par -^9 nous aurons donc i = 5 ou S=A'E,

E étant l'excès angulaire et S la surface enfermée par le contour considéré.

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE A TROIS DIMENSIONS. Ti

forme d'une ligne sans en sortir, si ce n'est de dire qu'elle est ouverte ou fermée,

Aussî tout ce que nous avions pu faire avait été de dépouiller la notion de courbure de son faux caractère absolu en montrant qu'elle dépend de la surface sur laquelle on envisage un élément d'une ligne.

Maintenant nous pourrons faire un pas de plus, grâce à la précédente étude de la courbure des surfaces; mais, comme on va le voir, ce pas en avant constitue une sorte de réhabilitation de la courbure propre qui, généralisée, servira vraiment à caractériser une courbe, en dehors de toute conception exclusivement euclidienne.

La courbure d'une sphère est égale à Tinverse du carré de son rayon et celle de son grand cercle est mesurée par Tinverse de ce même rayon, eu sorte qu'elle est la racine carrée de la première.

Le théorème de Gauss donne une autre expression de la courbure de la sphère, mais le résultat est le même et par suite nous aurons la courbure propre de sa géodésique en prenant la racine carrée de cette expression généralisée.

Si. dans la suite, une fois sortis de la Géométrie euclidienne, nous découvrons des surfaces à courbure négative ne présentant pas la double courbure inverse des surfaces de ce genre de Tespace euclidien, nous serons amenés à parjer de la courbure imaginaire de leurs géodésiques par la simple extension de notre nouvelle définition.

Disons de suite qu'il ne faudrait pas en conclure que nous serions dans le monde des pures abstractions

imagînaîresy telle qu'est la sphère de rayon Ry/ — i . Celle-ci a un caractère purement algébrique, et elle ne saurait essentiellement répondre à aucune sensation ou intuition spatiale, tandis que les autres surfaces dont nous parlons, si elles n*y répondent pas en fait, présentent des caractères absolument de même nature que les surfaces de notre intuition spatiale, et rien ne permet de dire que des sensations correspondantes sont en soi impossibles.

Ce fait que la courbure des géodésiques de ces surfaces serait imaginaire offre du reste cet intérêt de nous rappeler que, comme nous l'avons dit, la définition généralisée de la courbure s'étend à quelque chose de profondément différent de notre intuition vulgaire de la courbure. Ceci s'éclairera mieux quand nous étudierons la Géométrie de Lobatchefsky.

Besoin de cette Géométrie. — Les deux premiers Paragraphes du Chapitre précédent oui eu pour principal objet de faire ressortir combien incomplète est l'étude d'un être géométrique, si on ne le considère qu'en lui-même ou même si on ne le place que dans un seul espace d'ordre supérieur. Ainsi, pour bien connaître le cercle, il convient de l'envisager non seulement sur un plan, mais aussi sur une sphère, en distinguant les cas où il y est grand ou petit cercle.

De même, la connaissance du plan resterait insuffisante si on ne le comprenait pas dans ce qu'on appelle vulgairement V espace, et qui n'est que l'espace d'ordre immédiatement supérieur dans lequel il est retournable.

L'analogie la plus vulgaire permet de comprendre que, de la même façon, notre espace à trois dimensions serait mieux connu si l'on pouvait l'étudier dans un espace à quatre dimensions, et que la sphère nous révélerait de nouvelles propriétés si nous pouvions la placer dans un espace à trois dimensions qui serait à notre espace ce que la sphère est au plan.

l6 CHAPITRE II.

Prétendue fin de non-recevoir. — Ici Ton nous arrè tera peut-être par une fin de non-recevoir : la Géométrie vit d'images 5 là où s'arrête Timage, elle finit elle-même et fait place à la pure analyse. Nous devons reconnaître que nous ne pouvons nous former des images de figures à quatre dimensions, et ceux qui repoussent toute Géométrie non imaginable sont en droit de proscrire ces figures; mais que dire des partisans des Géométries non euclidiennes qui prétendent opposer cette règle à la Géométrie euclidienne à quatre dimensions? Jamais prétention ne fut plus arbitraire, car les représentations des figures non-euclidiennes sont d'une fausseté contradictoire. Combien à ce point de vue, d'ailleurs étroit, la Géométrie euclidienne à quatre dimensions ne l'emporte-t-elle pas sur les Géométries non-euclidiennes, puisqu'elle peut obtenir les projections parfaitement correctes des figures de l'espace à quatre dimensions? On est quelque peu surpris de prime abord, quand on apprend que la Géométrie descriptive de ces figures n'exige que leurs projections sur deux plans.

Nous l'avons déjà dit, nous ne saurions accepter comme Géométrie une analyse imaginaire, telle que celle qu'on obtient en remplaçant R par Ry/ — i dans les formules de la Géométrie sphérique, car, là, la TPpréseïi talion par l'imagination n'est pas seulement impossible en fait, mais elle l'est absolument : cette analyse n*a plus aucun rapport avec une forme d'extériorité.

Am contraire, la notion d'un espace à quatre dimensions repose sur des intuitions spatiales, et nous n'avons

GMOMKTRIE EUCLIDIENNE A OtATRE DIMENSIONS. 17

aucune raison de refuser d'admeltre qu'elle pourrait répondre à des images, soît dans d'autres esprits, soit même dans les nôtres si notre sensibilité avait reçu une autre éducation.

Le présent Chapitre se divisera en deux Paragraphes, consacrés rcspeclivenient aux espaces euclidiens [ou homogènes (*)] à trois dimensions et aux espaces sphériques n trois dimensions.

Surtout dans le premier de ces Paragraphes, correspondant au V*' Livre de Legcndre, nous ne ferons guère que résumer brièvement quelques-uns des développements donnés par M. le colonel Jouffret dans son excellent Traité élémentaire de Géométrie à quatre dimensions.

§ I. — Livre V de la Géométrie a quatre dimensions.

Conception de l'espace à quatre dimensions. — L'être superficiel vivant sur un plan, tel que Ta imaginé Hehnholtz, ne peut, par un point d'une droite, élever qu'une perpendiculaire à cette droite, et, si toutes ses sensations lui viennent Vie points situés dans son plan, on ne voit pas comment il pourrait imaginer d'autres perpendiculaires.

Nous, habitants d'un espace à trois dimensions, nous imaginons une infinité de droites perpendiculaires à

(•) Nous prenons ce mot dans le sens que lui attribuait Delbœuf, c'est-à-dire qu'une portion de l'espace majorée engendre le ni«>nie espace.

l8 CHAPITRE II.

une autre, en un de ses points ; maïs, dans cette infinité, il n'y a qu'une droite qui soit à la fois perpendiculaire à la droite donnée et à une de ses normales également déterminée. En d'autres termes, par uii point, nous ne pouvons mener que trois droites perpendiculaires entre elles, comme l'habitant d'un plan n'en pourrait mener que deux.

De même que ce dernier pourrait poser l'hypothèse de trois perpendiculaires et en déduire notre Géométrie dans l'espace, sans pouvoir Tappuyer d'images, de même nous pouvons poser Thypotlièse de quatre perpendiculaires et en déduire une Géométrie à quatre dimensions.

Maintes fois on a protesté contrç l'hypothèse d'êtres superficiels, en disant que de tels êtres seraient de pures abstractions, étant infiniment minces; mais cette objection résulte de la subordination de l'intelligence à l'imagination, car, comme nous le verrons, notre espace à trois dimensions est également infiniment mince : une droite qui n'y est pas contenue le perce en un point unique. Et il en est ainsi de tous les espaces : tant qu'on y reste enfermé, ils fournissent un champ sans limites aux investigations; mais, si on les envisage dans un espace d'ordre supérieur, ils apparaissent aussi minces qu'une simple ligne ou qu'une surface.

Étude des quatre droites perpendiculaires entre elles menées par un point. — Puisque nous avons pris comme base de notre conception de Tespace à quatre dimensions un sylème de quatre droites perpendiculaires entre elles

passant par uu même point, examinons un peu ce qu'engendrent ces quatre droites, que nous désignerons par les notations ^i, ^2? ^z^ ^^'

Groupées trois à trois, ces droites engendrent quatre espaces à trois dimensions, et l'on obtient six plans en les groupant deux à deux. Deux quelconques des espaces se coupent suivant le plan défini par les deux indices communs; mais, pour les intersections de plans, une distinction est nécessaire, car ils ont ou non un indice commun.

Dans le cas de Taffirmative, les deux plans appar-* tiennent à un même espace à trois dimensions et se coupent suivant la droite définie par l'indice commun; si tous les indices sont différents, les deux plans n'appartiennent pas à un même espace (*) et n'ont qu'un point commun.

L'une quelconque de nos quatre droites est perpendiculaire à toute droite et h tout plan menés dans Tespace des trois autres droites par leur point commun : elle est perpendiculaire à cet espace, et tous les points de celui-ci se projettent sur elle en un même point.

Les six plans sont tous perpendiculaires entre eux deux à deux, mais dans des conditions bien différentes; ceux qui se coupent suivant une droite le sont dans les conditions connues de la Géométrie à trois dimensions : il y a, dans chacun d'eux, une direction unique qui est

(*) Pour la commodité du langage, nous supprimons la qualifîca^ lion « à trois dimensions ». M. Joufl'ret appelle « étendue » Tespace à quatre dimensions, et « champ » est le terme générique désignant pour lui un espace d'un nombre quelconque de dimensions.

perpendiculaire à toutes les droites de Tau Ire, tandis qu'une droite quelconque d'un des plans est, comme on le voit immédiatement^ perpendiculaire à une droite quelconque du plan correspondant aux deux autres indices.

Dans le premier cas, il y a perpendicularité simple ou incomplète, tandis que la perpendicularité est absolue ou complète dans le second.

Il ne faudrait pas croire, d'après cela, que la perpendicularité soit toujours complète lorsqu'elle correspond au cas général d'un point d'intersection unique des deux plans. Partant en effet des plans x^X2 et x^ocz^ nous pouvons prendre un plan parallèle à ce dernier, dans l'espace X2XzXi^] ce nouveau plan ne sera pas dans un même espace avec le plan x^x^j mais il ne lui sera qu'incomplètement perpendiculaire, attendu que les droites à l'infini des deux plans se rencontrent (au point de l'infini de la droite X2) (* ).

Le parallélisme des plans présente également deux cas bien différents, correspondant aux deux cas d'intersection en un point unique ou suivant une droite : quand le point ou la droite est rejetée à l'infini, les deux plans sont parallèles, mais les deux cas sont évidemment bien distincts. Dans le dernier, qui est un cas particulier, les deux plans sont dans un même espace à trois dimensions; c'est le parallélisme classique ou parallélisme complet : toutes les droites de chaque plan

( ' ) La direction x^ est évidemment perpendiculaire au plan considéré, tandis que la direction x^ lui est parallèle.

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE A QtATRE DIMENSIONS. '21

sont parallèles à Taulre. Quand, au contraire, les deux plans n'ont qu'un point commun, rejeté d'ailleurs à rinBni, par chaque point de l'un d'eux il ne passe évidemment qu'une droite parallèle à Tautre, puisque le point donné et le point commun à l'infini déterminent une droite unique. Le parallélisme est dit alors incomplet.

Le Tableau suivant résume les diverses circonstances que peut présenter l'incidence de deux plans et fait ressortir la correspondance des divers cas de parallélisme et de perpendicularité.

INTERSECTION dos deux plans.