M'A + M'B = AB

donc, à plus forte raison,

MA4-MB-bMC>AB-hAC.

3° L'inégalité

M'A-hM'B-f-M'C>AB-*-AC,

évidente d'après ce qui précède, montre que le point cherché ne peut pas être non plus sur l'un des côtés de l'angle obtus. 4° Enfin, pour achever de démontrer que le point cherché n'est pas au-dessus de BC du côté de A, il faut considérer un point m de l'intérieur du triangle : il suffira de reprendre le raisonnement du n° 290, c'est-à-dire d'imaginer une ellipse passant en m et ayant B et C pour foyers ; on trouverait, comme ci-dessus, BmC = 120 degrés, ce qui est impossible, puisque l'angle enveloppant BAC > 120 degrés.

THÉORÈMES ET PROBLEUBS SUR LE TRIANGLE. l4l

294. Si le point cherché était sur BC, ce serait évidemment (fig. 90) au pied de la perpendiculaire AD; mais imaginons l'ellipse qui passerait par ce point D et qui aurait pour foyers non plus B et C, mais B et A. On pourrait mener à cette ellipse, du point C, une normale qui différerait nécessairement de CD, puisque CD, prolongement de BD, ne divise point l'angle BDA en parties égales; ainsi cette normale donnerait une somme plus petite que le minimum supposé ; donc D n'est pas le point cherché.

Enfin considérons (fig. 90) un point M situé, relativement à BC, du côté opposé à A: abaissons surBC la perpendiculaire MP qui coupe BC en N, et soit AP parallèle à BC. Les distances relatives à M donnent une somme plus grande que celles qui sont relatives à N, car

MB>NB, MC>NC,

et l'oblique MA>NA, relativement à la perpendiculaire AP. Donc on retrouve par exclusion le sommet A de l'angle > 120 degrés.