Calculs relatifs au problème précédent. — Posons

AM=m> BM = w, CM = p,

le triangle BMC donne

a' = Ji' + p' — znpcos 120 ;

mais

cos I20° = >

donc

a 7 = n 2 -4-/? 1 H- 2 np.

De même,

b 1 = m 2 + p^-^-mp et c'-m'-t-B' + m».

Ajoutons ces trois égalités, on obtient

a , + 4 , +c , = 2(/n , + n , +p , ) + mn -+- mp 4- np.

Soit 2 = m-t-rt-t-p la quantité qui doit être minimum;

t£l CBAHT1B 1.

on a

Retranchons cette égalité de la précédente multipliée par 2; il restera

D'un autre côté les relations précédentes donnent a* — b* = n? — m*-i-p(n — m) = (« — m) 2,

ou bien,

n'+w 1 — 2 mn = * ^ — - •

Ajoutant cette équation aux deux autres analogues, nous trouvons

2(m 2 -f-Ji*-H/J 2 ) — (2/71H + ?.rfip-\-7>np)

—i^ ai ~ &)*+(<*— ?)*+(&— **)']• .

Mais

m a 4-/i , -|-p , -t-2mn-{-2/n/j-f-2np = 2*.

Ajoutant encore à l'égalité ci-dessus, il vient

et comme déjà

il reste

2(aH-& î 4-c ï )— 2 2 =2 2 -+- ^ (a 4 -+- 6 4 + & — a 2 6* — a 2 c* — é'c 2 ),

d'où

2 4 — (a 2 -f.fc 2 + c 2 )2 2 4-a 4 -h6 4 H-c 4 — û 2 6 2 — û 2 c 2 — 6 2 c 2 = o,

on en tirera la valeur cherchée On rejette le signe — qui donnerait 2 = o pour a=i?=c.

THEOREMES ET PROBLEHRS SUR LE TRIANGLE. ifô

La formule semble générale, car elle tomberait seulement en défaut au delà de la valeur de a, qui donnerait

a* -l-è'-t-c 4 — 2(«»6 2 -t-d l c 2 -J-6 , c 8 ) = o, ou bien

a* — aa 2 (6 2 + c 2 )-f-(6 J — c a )* = o,

on en conclut

a 2 = b* + c*±\J {& + c 9 )* — (b> — c 3 )' = b 2 -h c*±zbc.

Les valeurs limites sont donc a = b ± c , comme dans tout triangle : cependant, la formule obtenue par la Jlg. 88 est en défaut pour A> 120 ; mais alors 2 = b -h c (292),

298. On peut aussi calculer séparément les trois quantités m, n, p.

On a

<*.+•«' = A, jî4-<3'~B, y + /=C,

et aussi

mais la somme des trois premières relations donne le même résultat que celle des trois secondes, car ces six relations ne suffisent point pour déterminer les angles, puisque rien n'indique jusqu'à présent que les droites concourent en un point M.

Gomme

o fi

sini2o° = ~>

nous avons dans le triangle ABM

m asln(y

et dans le triangle ACM

m 2siny

Mais les égalités précédentes donnent

l44 CHAPITRE X.

d'où

(3'-Hy = i2o— A, à cause de

donc

P' = (iao— A) — y,.

et Ton en tirera facilement, avec les deux valeurs de m, l'expression

2&csin(i2o — À)

V3. yb 3 -\- c 2 -hzbc cos(i2o° — .A) On aura des valeurs analogues pour n et p.

IX. — Inscrire dans un triangle trois cercles dont chacun soit