V. — CoMQCBS COftmfiLATITES

379. La courbe corrélative d'une conique est aussi une conique.

Soit

ay* -f- bxjr H- ex? -f- djr -+- ex +f= o

l'équation de la conique donnée ; nous avons représenté (373) par

:rX'-i-jY'-i-U'=o

l'équation de la polaire d'un point de cette courbe. Si nous augmentons très-peu les coordonnées de ce point, nous aurons une autre polaire infiniment voisine de la première, et l'intersection de ces deux droites nous donnera (378) les coordonnées x*, jr' du point de la courbe corrélative correspondant à celui qui est indiqué par x, y.

(M Dans les trois dimensions, ce sont des plans qui correspondent à des points, et des droites à des droites.

FIGURXS H0M0GRAPH1QUKS BT CORRÉLATIVES. 199

Par conséquent, différentiant

jrX'.-4-/Y'-t-U' = o, et posant

2 ex -f- br -+- e

*ay-+- for -|- rf' on a

comparant cette équation avec la précédente, il vient

Y'(y — zx) ■+- U' = o, X'( ** — j) + U'* = o.

Comme on trouve

dr-\-ex-\-2f ^ zay-h bx + d

ces dernières équations donnent les relations symétriques

r (*aU'— rfY')-h*(6U'— *Y')-hifU' — 2/Y' = o, 7(6U' — dX'J + xtaclI' — «X / )-4-eU / -rï/X'=o.

Éliminant entre ces deux équations, pour avoir la valeur de # et celle de y, on remarque que les termes en X'Y' se détruisent dans le coefficient de chaque variable, ainsi que dans le terme indépendant, relatif à cette variable. Alors U' disparaîtra comme facteur commun dans les expressions de x et de y où figureront seulement à la première puissance les quantités X', -Y', U\ On pourra donc écrire

Les coefficients de ces expressions dépendent des constantes a,, b ty c M ...« qui entrent dans les valeurs de X', Y 7 , U' (373), ainsi que des coefficients a, b, c,.. . de. l'équation de la conique.

Remplaçant donc, dans l'équation de cette conique, x et y par leurs expressions, on voit que l'équation en x' et y' sera aussi du second degré.

Enfin les formules qui donnent x et y en fonction de x'

200 CHAMTU UT.

et y étant celles de l'homographie, on voit que les points correspondants de deux coniques corrélatives sont en relations homographiques.

380. Ces théories ont une foule d'applications : par exemple, si, dans la figure H, on voit une courbe coupée par une droite en deux points, la figure M' présentera une courbe corrélative à la première et deux tangentes, polaires des deux points de rencontre indiqués, se coupant en un point qui sera le pôle de la droite donnée.

Tandis que l'homographie généralise les propriétés des figures, et que, par exemple, elle étend aux coniques les propriétés du cercle, la corrélation double le nombre des théorèmes.

Ainsi, nous avons déjà vu diverses propositions que nous aurions pu nous dispenser de démontrer, parce qu'elles étaient corrélatives d'autres propositions déjà cohnues. Par exemple, le rapport anharmonique que nous avons vu, à la fin du Chapitre V, exister entre les tangentes d'une conique, pouvait se conclure de celui qui venait d'être observé entre les points d'une conique (112).

De même, le théorème du n° 175 sur l'involution de six tangentes résultait de celui du n° 172 sur l'involution de six points dans une conique.