La première forme devient aussi

ig6 taurins ut.

en posant

U' = fl, j/ -4- fcr -+- c s .

Observons que celle équation est aussi celle d'une droite du premier système correspondante à un point x* 9 y* du second : donc, soit px-t- qy-\-r=o(m) l'équation d'une droite faisant partie de la figure M, si l'on pose

-==- = *-, -- = i ( ce qui revient a — = — = — I * U' r U' r \ ^ p q r )

on peut identifier ces deux formes de l'équation. Comme /?, q, r sont donnés, on trouvera

ee qui suffira pour déterminer les coordonnées x? et y' du point de la seconde figure correspondant à une droite donnée dans le premier.

374. La polaire d'un point quelconque situé sur une droite passe par le pôle de cette droite.

Nous avons vu qu'un point indiqué par x 9 y sur une droite (m) qui a pour équation px-\- qy-\- r= o, avait pour polaire une droite représentée par jrX'-f-j-Y'-l-U' = o, équation dans laquelle x 9 , y 1 sont les coordonnées courantes. Mais nous venons de voir aussi que cette dernière équation était satisfaite pour un point quelconque de (m), si l'on donnait à x t ,y r les valeurs spéciales des coordonnées du pôle de cette droite (m). Ainsi la polaire d'un point quelconque de la droite (m) passe par le pôle de cette droite, dont les coordonnées sont x r , y\ ce qui démontre le théorème.

Cela s'exprime encore en disant que :

Si un point du premier système décrit une droite, la polaire de ce point dans le second système passe par un point fixe.

375. On peut renverser ce théorème en faisant observer que si, par un point dont les coordonnées sont x*, y', on fait passer une infinité de droites, les pôles de ces droites seront sur une même droite (m) qui a pour pôle le point représenté

FIGURES H0M0GRAPH1QUBS ET CORRÉLATIVES. 197

par X* , y'. Donc les pôles des droites qui passent par un point fixe sont sur la polaire de ce point. Observons que les théorèmes des n°* 57 et 58, appliqués aux coniques, sont des cas particuliers de ceux que nous venons de voir.

376. Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal à celui des quatre polaires correspondantes.

Soient a, b, c, d quatre points en ligne droite et A', B', C, D' leurs polaires qui concourent, comme on vient de le voir (374), en un point S, et prenons pour axe des abscisses la droite abcd qui coupe le faisceau S en quatre points af 9 b', c', d'.

Les ordonnées des points donnés a, b, c, d étant nulles, une polaire, telle que A', a une équation de la forme

et comme y* = q pour a', on a

U' a z x' -+-VJ ,

x' étant l'abscisse de a! .

Cette valeur de x rentre dans Jes formules de l'homographie (376), et il en est de même pour la valeur y= o qui permet de supposer une expression de même forme» où les constantes du numérateur seraient nulles. Il y a donc relation homographique et par conséquent égalité de rapports anharmoniques entre les points a, b, c, d et af, b' y d, d\ ce qui suffît pour l'étendre au faisceau S.

377. Nous pouvons donc appeler corrélatives les figures correspondantes que nous venons d'étudier, c'est-à-dire leur appliquer la définition suivante :

Deux figures sont corrélatives lorsque les points de l'une correspondent aux droites de l'autre, de manière qu'à des points en ligne droite correspondent des droites passant par un même point, avec cette condition que le rapport anharmonique de quatre points soit égal à celui des quatre droites correspondantes.

Deux figures supplémentaires étant tracées sur la sphère, à un point de l'une correspond un arc de grand cercle de l'autre, et

lyH CBAF1TSJB UT.

le rapport anharmonique de quatre points situés sur un arc de grand cercle est égal à celui des quatre arcs de grand cercle qui correspondent à ces points.

On a donc une idée géométrique des figures corrélatives en les considérant comme déterminées par un plan ou par deux plans différents, sur deux cônes ayant pour sommet le centre de la sphère et pour bases deux figures supplémentaires ( * ).

378. Si les côtés des deux polygones M et M' deviennent infiniment petits, ils dégénèrent en deux courbes corrélatives. Chaque point de la courbe M correspond encore à une droite qui sera tangente à la courbe M' : ainsi chaque courbe sera Y enveloppe formée par les polaires des points de l'autre courbe.

Par conséquent, à un point de l'une des courbes correspond aussi un point de Vautre. En effet, soit a un point de M, et A' la tangente correspondante à M'; soit encore A' la tangente à M' qui correspond au point de M infiniment voisin de a; les tangentes infiniment voisines A' et A* se coupent en o% point de la courbe M' qui correspond au point a de M.