AT.AQ

429. Le théorème de Carnot peut se démontrer pour toutes les courbes algébriques, dont l'équation est de la forme

Nous considérerons l'intersection de cette courbe par le quadrilatère ABCD (Jig. 125 ) : nous représenterons les côtés AB, BC, CD, DA par les chiffres i, a, 3, 4 et nous supposerons que, dans l'équation précédente, la courbe est rapportée au point B comme origine, en prenant pour axe des abscisses le côté i, et pour axe des ordonnées le côté 2.

D'après cela, et en raisonnant comme nous l'avons déjà fait (411), si nous indiquons par p le produit des segments déterminés par le côté i à partir de B, et par q le produit analogue pour le côté 2, nous aurons

Comme changement provisoire de coordonnées, prenons pour axe des abscisses, au lieu du côté 1, une parallèle menée par B au côté 3, le côté 2 restant toujours l'axe des ordonnées. Il est clair, d'après les formules de transformation, que le terme indépendant U ne changera pas, puisquqj'origine reste la même. Comme Taxe des y ne varie pas non plus, le produit q

reste encore le même, et puisque l'on a

le coefficient N n'est pas altéré ; mais le coefficient de x m deviendra M', et l'équation sera de la forme

M'df-K • -H- N^-h- • .-h U = o.

Maintenant transportons l'origine à l'autre sommet C du côté 2, sans changer la direction des axes. Le côté 3 deviendra celui des abscisses, et le côté 2 restera toujours celui des ordonnées: il suffira, dans l'équation générale, de changer y en j+BC. Cette équation deviendra donc

Soit q' le produit des segments déterminés encore par le côté 2, mais à partir de C, et p' le produit des segments déterminés, à partir du même sommet, sur le côté 3; nous, aurons, comme précédemment,

On trouverait, en répétant les mêmes raisonnements, que l'équation de la courbe, rapportée encore au côté 3 comme axe des abscisses, et au côté 4 comme axe des ordonnées, sera

ce qui donne une égalité telle que

et l'on ferait ainsi le tour du polygone, quel que fût le nombre des côtés.

Enfin l'on revient à faire usage du côté 1. Si le polygone a un nombre pair de côtés, comme le quadrilatère que nous prenons pour exemple, on peut remarquer que ce côté 1, pris une seconde fois, sera encore l'axe des abscisses comme tous les côtés impairs. Donc, le côté 4 étant pris en même temps comme axe des ordonnées, l'origine sera le point A, et l'on aura

Mr+...+ N'r ffl +... + U'"-o.

lA) CHAPITRE XVI.

Ici N' reste ce qu'il était dans l'équation précédente, puisque l'axe des ordonnées reste le même, et M redevient ce qu'il était dans la première équation, puisque l'on revient au premier axe des abscisses. Ainsi l'on aura, à partir du point A, la relation

Ces diverses relations peuvent s'écrire de la manière suivante :

p N q' W //' N' if y\

Multipliant ces relations, et supposant un nombre quelconque de côtés, on a

Pour voir ce qui se passe quand le nombre des côtés est impair, supposons qu'il y en ait cinq. Alors la dernière équation écrite, ramenant à un cinquième sommet E, sera

et la dernière relation écrite deviendra

p-M" = <f.Y, ou £»-•

Enfin la dernière de toutes les équations où le côté des abscisses sera 5, celui des ordonnées étant i et l'origine étant A,

s'écrira

Ici le coefficient M reparaît, mais relativement aux ordonnées on aura donc

et par conséquent

Ainsi, que le nombre des côtés soit pair ou impair, on a ton

jours ia relation

,t .„/' ,.nt

elle constitue le théorème de Carnot.

430. On comprend que ce que nous avons dit, relativement aux coniques, sur les segments imaginaires, les sommets à l'infini, les tangentes et les cercles osculateurs s'appliquerait de même aux courbes algébriques quelconques.

Il ne faut paè négliger de considérer les signes des segments et de leurs produits : il sera toujours facile d'écrire les segments de manière que les deux membres de l'équation aient le même signe.

431. Si m = i, c'est-à-dire si, au lieu d'une courbe, on prend une ligne droite, chacune des quantités/?, ç... se réduit à une seule droite, et Ton retrouve un théorème déjà démontré (13).

Considérons enfin le cas dans lequel la courbe se réduit au système de deux droites se coupant en [fig. 127). Nous prendrons simplement l'intersection de ces droites par les côtés d'un triangle ABC qui donneront, avec leurs prolongements, la formule

AM.AS X BV.BP X CR.CN = AR. AN X BM.BS X CV.CP.