I. — Proposition inverse du théorème de Pappcs

433. Un quadrilatère étant circonscrit à une conique, le produit des distances de deux sommets opposés, à une cinquième tangente quelconque, est dans un rapport constant avec le produit analogue, relatif aux deux autres sommets du quadrilatère (fig- 128).

Soit ABGD le quadrilatère circonscrit à la conique que nous supposerons, pour fixer les idées, être une ellipse rapportée à ses axes. Soient a, b, c, d les points de contact du quadrilatère, et m celui de la cinquième tangente : pour comparer le théorème ad quatuor lineas avec celui que nous voulons démontrer, il faut considérer d'un côté la distance mp = d du point m à ad, polaire de À, et de l'autre côté la distance AP == A du point A à la tangente mP, polaire de m.

Soient xety les coordonnées du point A, x K et/ t celles du point m; nous cherchons d'abord ô. Or ad étant polaire de A, nous avons

* Jï a 7 y J ' y x a*yy { -\- b 2 xx t — a 2 b 2

b*x 2 ~~ ja\r*-hb 4 x*

De même, raP étant tangente en m, la distance AP aura pour

expression

a?yy x -f- b 2 x x x — r/ 7 b 7

d'où Ton tire,

en indiquant les radicaux parp et p,.

AUTRES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES. 22iJ

Soient x" , y" les ordonnées du sommet C, opposé à A; on ' aura de même

â " - <" d'où U " - Pï

De même, soient x', y' et x", y m les coordonnées des deux autres sommets B et D, nous trouverons aussi

A p p Cela posé,

33" . AA" __ p>

ô' <T : AA'" ~ pp" '

Mais, d'après le théorème de Pappus (406), le rapport -^-r^

est indépendant de la position du point m : le second membre

A A" Test aussi, puisque la quantité pf a disparu; donc v -y„ sera

encore indépendant de la position du point m.

434. Ce rapport constant est égal à celui que Von trouverait en remplaçant la cinquième tangente par un foyer de la conique.

Soit y=ax.-{-$ l'équation d'une tangente quelconque, le rapport précédent a pour expression

. (y— ocx — $){y" — <xx" — ft ) r ~~ (y' — olx'— j3)(j'" — <xx"'— (3)'

On sait qu'un foyer de la courbe peut être considéré comme lô point de concours de deux tangentes, représentées par

Or, le rapport constant, pris relativement à l'une de ces tangentes, a pour expression

r = [r— v^ (* —c)][r"—J- zH*"— c )] .

[y>-sl-l(x'-c)}[f>—sl-l{x"' — C)}

L'autre tangente donne un résultat identique, saufle signe du

v Ut «:hamtrl Vf ii.

radical ; donc, multipliant ces deux valeurs de r, il reste

'•o qui démontre la proposition. D est clair que la valeur de r est la même pour les deux foyers.

435. application au triangle. — Concevons que le point D se rapproche de la courbe et unisse par faire un point de contact qui se réunisse avec cet d; le quadrilatère se réduira au triangle circonscrit ABC, mais le théorème deviendra :

Un triangle étant circonscrit à une conique, le produit des distances d'une tangente quelconque à deux sommets est dans un rapport constant avec le produit des distances de cette tangente au troisième sommet et au point de contact du côté opposé à ce sommet:

La valeur de ce rapport s'apprécie toujours en remplaçant la tangente quelconque par un foyer.