ET DEUX TANGENTES

465. Soient a, b, c les points donnés, et Ot,Qt' les tangentes données dont il faut déterminer les points de contact d, e. I<a droite de, dans laquelle chacun des points d, e représente deux points infiniment voisins, remplace les côtés opposés d'un quadrilatère inscrit dont les tangentes sont les autres côtés. Considérons donc la droite bc, transversale à ce quadrilatère, et qui coupe les tangentes aux points t el t': le point s où elle coupe la corde de contact de sera un point double de l'involution dans laquelle les autres points conjugués deux à deux seront b el c, t et t 1 , d'après le théorème de Desargues (170).

Ainsi Ton aura (159) les points doubles e ete' de cette involution sur bc, elab déterminera de même les points doubles 9 et 9', ce qui donnera les quatre droites ç<p, e<p', e' 9, e' 9'. Chacune de ces droites, telle que £9, correspondra à une solution, puisqu'elle détermine les points de contact d, e en coupant les tangentes.

466. On ne compte que quatre solutions; cependant le côté ac du triangle abc donnera aussi deux points ty et i|/, analogues aux précédents. Il semble donc que Ton doive obtenir huit autres solutions, dont quatre en combinant e et e' avec 4* et <]/, et quatre autres en combinant 9 et 9' avec 4* et 4' : en tout, il y aurait douze solutions.

Mais observons que chaque côté du triangle abc, tel que bc, est divisé harmoniquement par les points doubles e et e' qui se trouvent sur la direction (146). Or, nous avons vu, dans le n° 43 et dans ceux qui précèdent, que des points £ et 0,

1$& CHAPITRE XTin.

E' et O, E" et O" (fig. 17), qui divisent hdroioniquement les côtés d'un triangle ABC, sont trois à trois sur quatre droites ECTO', E'OO", E"00', et enfin EE'E'. Ici de même, trois points tels que e, 9, ty sont en ligne droite: il n'y a donc que quatre droites, c'est-à-dire quatre solutions.