Un point pris sur une circonférence qui roule sans

COTATION HB8 FlfiUBES. 265

glisser à l'intérieur d'une circonférence de rayon double décrit un diamètre de cette seconde circonférence (fig. i35).

Soit donc C le milieu du rayon OA, et considérons la ciiv conférence de centre C et de rayon CO = CA, mobile sur la circonférence OA* Faisons commencer le mouvement à l'instant où le point A, pris comme appartenant à la circonférence mobile, est en ligne droite avec O et C. Quand C est venu en C en tournant d'un angle COC = a, le point A est arrivé en un point A'. Soit alors B le point de contact, Tare BA' aura sur le cercle mobile une longueur égale à celle de Tare BA du cercle fixe, puisque le premier roule sans glisser. Donc, comme OA = aCA, on aura par compensation l'angle BCA'=:2a. Ainsi, joignons C'A'; le triangle OC A' sera isocèle, puisque OA' est un rayon du petit cercle; par conséquent, l'angle COA' = a, comme moitié de l'angle BC'A'. Il en résulte que OA' passe au point C; donc A' est toujours sur le diamètre OCA.

497. Si le point fixé sur le rayon du cercle mobile est en dedans ou en dehors de ce cercle , ce point décrit une ellipse.

Soit M la position initiale du point en question. Quand le centre mobile C sera venu en C, comme nous l'avons dit, le point M viendra en M', de sorte que CM' = CM. Mais soit OD perpendiculaire sur OC, cette droite coupe de nouveau en D la circonférence C; le triangle C'OD étant isocèle, l'angle CDO=COD = 9o°— ?; donc le troisième angle DC0 = 2«; par conséquent, CD est le prolongement de CA' et DA' = 2 OC ^= OA. De plus, puisque CM' = CM, on voit que

DM' = OM et M'A' = MA,

Par conséquent, les droites OC, OD étant à angle droit, le lieu du point M' est une ellipse de centre O, et dont les axes sont : OM dirigé suivant OC, et MA dirigé suivant OD (495). C'est en cela que consiste le théorème de La Hire.

498. On a vu en même temps que, pour avoir la normale en M', il suffisait de joindre à M' le point où concouraient les perpendiculaires élevées çn A' sur OC, et en D sur OD.. Mais ici les triangles OCD, A'C'B' sont égaux comme étant isocèles et ayant les angles en C opposés au sommet. Donc, la fi-

gurt ODWAf est un rectangle; ainsi la normale BM' s't tiendra en joignant le point mobile M' au contact actuel B des deux cercles»

499» La perpendiculaire abaissée du point mobile M' sur la direction initiale OCM coupe la position actuelle OCB du rayon mobile en un point H de la circonférence qui a pour centre et OM pour rayon (fig. i35).

Soit P le pied de cette perpendiculaire, et K le point où elle coupe la circonférence OM, du côté opposé à C. Puisque OK = OM = DM' est le demi-axe de l'ellipse, dans la direction de OA, et que A' M' est le demi-axe dans la direction de OD, le théorème connu sur les ordonnées correspondantes de l'ellipse et d'un cercle concentrique ayant pour rayon l'un des demi-axes donnera

PK OK ÊSF^A'M''

Par conséquent, les triangles OPK, PM'A' sont semblables, et l'angle POKsPA'M's*. Ainsi, le point H, symétrique de K, sera sur OB.

500. Le secteur elliptique MOM' est proportionnel à l'angle a que décrit le centre du cercle mobile.

En effet, comparons ce secteur MOM' au secteur MOH du cercle OM, qui lui correspond d'après ce qu'on vient de voir. Ces secteurs sont respectivement composés des triangles POM',