IV. — MOUVSMBHT CONTINU

507. Nous avons établi sur le mouvement instantané, c'està-dire sur celui qui a lieu pendant un temps infiniment court, des principes qui s'étendent au mouvement prolongé pendant un temps fini.

Commençons par poser le lemme suivant :

Si une droite de longueur donnée AB est transportée dans une position quelconque A'B' de son plan, on peut toujours imaginer que ce mouvement ait eu lieu autour d'un centre immobile (Jig. 137).

En effet, sur les milieux de AA' et de BB' élevons à ces droites des perpendiculaires qui se coupent en : les triangles OAB, OA'B' ont les trois côtés respectivement égaux, donc leurs angles sont aussi égaux de part et d'autre. Ainsi, quand le point A sera venu en A', la droite OB prendra la direction OB' et le point B tombera en B'.

508. Par conséquent, il sera toujours possible défaire passer une figure d'une position donnée à une autre position également donnée, dans le même plan, par une rotation autour d'un point fixe.

En effet, puisque la position d'une figure plane est déterminée quand on donne celle de deux de ses points, il suffira

ROTATION DES FIGURES. l6j)

de considérer, comme nous venons de le faire, une droite AB de la figure mobile.

509. Après s'être assuré ainsi que le transport d'une figure dans son plan dépend toujours d'un mouvement de rotation, on s'explique le théorème suivant, dû à M. Chastes :

Le mouvement <T une figure dans son plan peut toujours être produit par une courbe qui roule sur une autre courbe.

Cela tient à ce que la série des centres instantanés de rotation (c'est-à-dire des points tels que (507), mais pris dans les positions consécutives de la droite mobile) forme une courbe qui peut être considérée de deux manières : d'abord comme fixe, dans sa position absolue; ensuite comme entraînée par le mouvement de la figure. On aura donc ainsi deux courbes, l'une fixe, l'autre mobile, et qui seront tangentes dans chaque position de la figure.

510. De là résulte aussi la proposition suivante, énoncée par Descartes .

Lorsqu'une courbe roule sur une autre, un point fixé invariablement à la courbe mobile décrit une ligne dont la normale en chaque point passe au contact des deux courbes (488).