V. — Applications

45. Dans la^g*. i4> si OC était la bissectrice de AOB, il est clair que la droite GŒ, menée de telle manière que GC = CE, serait perpendiculaire à OC, ainsi que OD parallèle à GC : donc OD diviserait en deux parties égales le supplément de l'angle AOB. Mais les droites OC et OD sont conjuguées harmoniques (30) ; on a donc le théorème suivant :

Les bissectrices d'un angle et de son supplément forment, avec les côtés de cet angle, un faisceau harmonique.

Et réciproquement :

Dans un faisceau harmonique^ si deux droites conjuguées sçnt perpendiculaires, elles sont bissectrices des angles supplémentaires que font les autres droites.

46. Soit A un point quelconque pris sur une circonférence qui a DD' pour diamètre {Jig. 18 ), et soit B, C un système correspondant de deux points qui divisent harmoniquement DD'. L'angle DAD' étant droit comme inscrit dans un demi-cercle, on voit, par le théorème précédent, que AD sera la bissectrice de BAC et AD' celle de BAE, supplément de BAC; ainsi, étant connu un des points B et C, il sera facile de trouver l'autre.

Nous ne répéterons pas ici la démonstration connue de Géométrie élémentaire par laquelle on démontre les proportions