IV. — Théorèmes sur les polaires

37. Lesjig. 16 et 17, sur lesquelles nous allons établir quelques ; propositions, présentent des ressemblances et des différences qu'il faut d'abord indiquer.

Quatre points A, B, C, D étant sur un même plan, si aucun d'eux n'est dans l'intérieur du triangle formé par les autres, ces points font un quadrilatère convexe ABCI) [fig. î6) dont les côtés opposés AD et BC, AB et DC se coupent aux points et 0", tandis que les diagonales AC et BD se coupent en 0' ; mais les points et O", où se rencontrent les côtés, pouvant être considérés comme des sommets, la droite 00" sera considérée comme une troisième diagonale. L'ensemble de ces côtés et de ces diagonales s'appelle un quadrilatère complet.

38. Au contraire, il peut arriver qu'un des points, D, soit à l'intérieur du triangle ABC formé par les trois autres (Jig. 17); nous indiquons encore par 0, 0', 0" les points où AD, BD, CD coupent les côtés BC, AC, AB.

. Les autres notations de ces figures seront choisies de telle manière que ce qui va suivre puisse s'appliquer généralement à l'une comme à l'autre.

39. Considérons, dans ces figures, l'angle COD et le point 0" : sur les droites O'BA, 0"CD, prenons respectivement les points E" et F", conjugués de 0", pour diviser harmoniquement les distances AB, CD. On sait (3k) que E"F" sera la polaire de 0" relativement à COD, et passera par conséquent au sommet 0.

Tout ce que nous venons de dire sur les divisions harmoniques de AB et de CD, en prenant pour sommet, s'appliquerait encore à ces mêmes divisions en considérant 0' comme som-

met du faisceau : donc E"F" passe aussi en 0', c'est-à-dire que 00' est la polaire de 0", relativement à COD et à CO'D,

40. On en conclut une méthode nouvelle et très-souvent employée pour construire la polaire d'un point relativement à un angle.

Du point 0" menez à l'angle COD deux sécantes qui coupent cet angle aux points C et D, B et A ; joignez AC, BD, qui se coupent en (Y : la droite 00' est la polaire demandée.

41. Indiquons parE et F les points où O'O" coupe BC et ADj par F' et E' ceux où 00" coupe BD et AC; on peut faire les observations suivantes :

Nous avons vu (39) que 00' était la polaire de 0" relativement à l'angle COD, que nous pouvons aussi indiquer par EOF ; on a reconnu sembiablement que la même droite 00' est la polaire du même point 0" relativement à l'angle E'O'F' ouCO'D.

De même, 00" est la polaire de 0' par rapport aux angles EOF et E"0"F", et O'O" est la polaire de relativement aux angles E'O'F', E'O'F".

42. Toutes les droites des fig. 16 et 17 sont divisées harmoniquement [ excepté les lignes ponctuées dont il ne sera question que plus tard (43)].

La droite AB étant» par hypothèse, divisée harmoniquement aux points E' 7 , 0", le faisceau de quatre droites ayant son sommet en divisera de même les autres droites EF, CD, BD et AC.

Ensuite, 0"O étant la polaire de par rapport à l'angle £// Q'-'F", la droite ET" sera divisée harmoniquement en et 0' ; il en sera donc de même pour les droites BC et «AD, coupées par le faisceau 0".

Enfin, la droite BC étant divisée harmoniquement aux points 0, E, on pourra donner à cette division, au lieu du point 0", le point 0' pour sommet; alors la droite F'E', dont il restait à parler, sera aussi divisée harmoniquement comme transversale du faisceau ; .

Comme cas particulier de cette proposition, nous remarquerons l'énoncé suivant, relatif à la fig. 16 :

Une diagonale d'un quadrilatère complet est divisée harmoniquement par les deux autres. On en conclut encore une

manière de trouver sur une droite 00" le conjugué harmonique E' d'un troisième point F' {fig. 16 et 17).

Soit pris arbitrairement le point B; sur F'B prenons le point quelconque D que nous joindrons à et 0*, ce qui coupe en A et C les droites BO", BO; la ligne AC coupe 00" en E'.

4-3. Nous démontrerons aussi que les points E, E', E" sont en ligne droite. En effet, les quatre droites E'E", E'B, E'O", E'A (parmi lesquelles on n'a pas tracé E'B) forment un faisceau harmonique de sommet E', puisque AB, ainsi qu'on vient de le voir, est divisé harmoniquement aux points 0" et E''. Donc une autre droite, telle que BC, sera aussi divisée harmoniquement par ce faisceau au point et au point où E'E" coupe la direction BC : ainsi ce dernier point n'est autre que E.

Ce théorème peut s'énoncer de la manière suivante :

Les polaires d'un point D, relatives aux angles d'un triangle ABC, rencontrent respectivement les côtés opposés en trois points situés en ligne droite.

Pour le voir, il suffit d'observer que AE est la polaire du point D relativement à l'angle BAC* En effet, si Ton mène de ce point des sécantes 0"C, O'B jusqu'à la rencontre des côtés de cet angle, et que l'on joigne encore ces points de rencontre par les droites O'O", CB qui se coupent en E, on sait (40) que le point E sera sur la polaire, qui sera par conséquent AE.

De même, BE' et CE'" seront les polaires du même point D relativement aux autres angles B et C du triangle ABC; mais ces droites AE, BE', CE" ne sont pas tracées sur \esjig. 16 et 17.

44. La droite AB étant divisée harmoniquement en 0" et E", la droite O'B est la polaire de A relativement à l'angle 0"0'0. Par conséquent, la droite 0"0 doit être coupée sur cette polaire par la sécante E"F{40); il en résulte que les points E", F', F sont en ligne droite.

Par la même raison les lignes E'F"F et EF'F" seront droites ; mais ces trois directions n'ont pas été tracées pour ne pas compliquer ïesjig. 16 et 17.