III. — Propriétés de quatre points conjugués

78. Quatre points A et B, C et D conjugués deux à deux étant situés sur la même droite, il existe toujours sur cette droite un point d? égale puissance pour les deux systèmes.

En effet, il est clair que si l'on construit des circonférences sur les distances AB et CD prises comme diamètres, le point O sera l'intersection de la droite donnée avec l'axe radical des deux cercles.

Cependant, si le milieu de AB coïncidait avec celui de CD,

les deux cercles étant concentriques, Taxe radical serait à l'infini, et il en serait de même pour le point (77 )•

Il n'y a que trois combinaisons générales.

Deux points conjugués A et B sont consécutifs (Jig* 3o), ou bien alternent avec les deux autres points C et D (Jig. 3i), ou encore enferment ces deux points (jig. 3a).

Dans le premier cas, les cercles sont extérieurs, et le point est entre les deux systèmes de points.

Dans le second cas, les cercles se coupent, et le point est entre deux points de chaque système.

Enfin, dans le troisième cas, les cercles sont intérieurs, et le point est en dehors des quatre points.

79. Dans la Jig. 3o, si B et G coïncident, les cercles sont tangents extérieurement, et se confond avec B et C.

Dans la Jig. 3i, il en est de même si B et C coïncident; mais si A et C se confondent, les cercles sont tangents intérieurement en A, où se réunit aussi le point 0.

La coïncidence de A et de C produit encore le même effet dans la Jig. 32 ; mais si C et B coïncident, c'est-à-dire si le cercle intérieur se réduit à un point, il n'en résulte rien de particulier pour la position du point O.

80. Le rapport des distances du centre d'égale puissance, à deux points conjugués A et B, est égal au rapport des puissances de ces points relativement aux autres points conjugués C et D.

Ainsi Ton doit avoir