IV. — Propriétés de l'axe radical
81. La construction de l'axe radical (72) démontre d'une manière inverse le théorème que voici :
Si d'un même point M de Vaxe radical on mène une sécante qui coupe le premier cercle en A et B, et une autre qui coupe le second en A' et B', ces quatre points sont sur une même circonférence de centre D (fig. 28).
On peut encore résoudre le problème suivant :
Par un point donné A' faire passer un cercle qui ait une droite donnée MP pour axe radical avec un cercle donné C.
Si MP coupait le cercle C, il suffirait de faire passer par ces points d'intersection et par le point A' la circonférence demandée*
Sinon, du point M pris arbitrairement sur MP {fig. 28), menez au cercle C la sécante quelconque AB; par les points A et B et par le point A' faites passer une circonférence de centre D qui sera encore coupée en B' par MA'; le centre cherché C sera à l'intersection de la perpendiculaire abaissée du point D sur MA' avec la perpendiculaire abaissée du centre C sur MP.
82. Les polaires d'un point de l'axe radical concourent sur cet axe (fig» 33).
La polaire DE du point M relativement au cercle C est le lieu des conjugués harmoniques de M par rapport aux points de cette circonférence. Donc DE passe au point N, conjugué de M relativement aux points A et B, communs aux deux eircon-
férences ; il en sera de même pour l'autre polaire D'E', ce qui démontre le théorème.
La figure suppose A etB réels; on étendra la démonstration au cas où ces points seraient imaginaires, par le principe général de continuité, qui sera établi à la fin du septième chapitre (179).
83. Étant données deux circonférences, si de chaque point de l'une on mène une tangente à la seconde et une perpendiculaire à leur axe radical, le carré de la tangente sera à la perpendiculaire dans un rapport constant [Jig* 34).
En effet, une transversale rencontre la première circonférence en m et m', la seconde en a et a' et Taxe radical en w. On aura donc (80)
mtù ma, ma!
mais soient mt, m't' les tangentes au second cercle, on sait que
ma.ma'=mt , m'a*m'a'=m't' •
De plus, soient mp, m'p' perpendiculaires sur Taxe radical, il est clair que
m(ù mp
m'co m'p'' donc
mt mp mt m't' J = OT ou -ZZ — -ZT?,'
mit' m P m P m P
ce qui démontre la proposition
84-. Prenant pour centre un point quelconque w de Taxe radical de deux cercles {fig. 35) et pour rayon la longueur ont des tangentes que l'on peut, de ce point, mener aux deux cercles (71), il est clair que les quatre points de contact seront sur la circonférence ainsi décrite: de plus, cette circonférence coupera la ligne des centres en deux points constants.
En effet, soient e,fces deux points, et le pied de Taxe sur Ce: nous aurons
0*.Ojf=— TTèzziQd.Od't
en indiquant par d et d' les points où Taxe coupe la circonférence de centre *>. La figure donnerait, abstraction faite du signe,
Orf.Orf' = (wrf-t-wO)(wrf— cùQ) = (ùd — (ùO .
ou bien, en rétablissant le signe,
Orf.Orf , =wO— ûkT, et encore
Oc =G)rf 0)0 •
Mais
oûrf =(ùt =«C — d =û)C — Ca ;
ici a et a' sont les extrémités du diamètre aCa f . Alors
Oe = wG — Ca — &)0 :
mais
donc
Oe =CÔ a — CÏ= (OC H- Ca')(OC— aC), et enfin
Ôe^Oa'.Oa.
On voit donc que le point e est constant, ainsi que son symétrique /. De plus, l'équation que Ton vient d'obtenir montre que ces points divisent harmoniquement le diamètre aa! du cercle de centre C (26). On parviendrait au même résultat pour l'autre cercle de centre c; donc ces points sont conjugués harmoniques par rapport aux diamètres des deux cercles.
On dit quelquefois, pour abréger, qu'ils sont conjugués par rapport aux deux cercles. Il existe toujours sur l'axe radical une infinité de points d'où l'on peut mener des tangentes réelles; mais les points e et/peuvent se réunir en un seul ou être imaginaires. Pour le premier cas,
Oe = 0/=o; donc
4^ CHAPITRE IY. — PUISSANCE BBS POINTS, AIE» BADICAUX.
c'est-à-dire que les cercles sont tangents. Le second cas a lieu si les cercles se coupent [voir n° 219).
85. Observons, comme corollaire, que les cercles décrits des différents points de Taxe, pris pour centres, et ayant chacun pour rayon la longueur de la tangente que Von peut, de chaque centre, mener aux cercles donnés, auront pour axe radical commun la ligne des centres de ces deux cercles, puisqu'ils la coupent toujours aux deux mêmes points, réels ou imaginaires.
