VIII. — Faisceaux en involution

150. On appelle faisceau en involution celui qui est formé par des droites partant d'un même point et aboutissant à des couples de points en involution sur une transversale.

Considérons six droites en involution, A et A', B et B', C et C; d'après les formules (i) de l'involution (127), et celles des faisceaux homographiques (101), on a la relation

sin(A > B).sin(A > B / ) sin(A / ,B / ).sin(A / ,B) sin(A, C).sin( A, G ) — sin(A', C').sin(A', C)'

Il est clair qu'on pourrait transformer ainsi toutes les formules du n° 127 et que chacune entraînerait toutes les autres.

151. L'égalité précédente peut encore se mettre sous la forme

sin(A, B).sin(A, B'..) sin(A, C).sin(A, C ) sin{A',B , ).sin(A , ,B)""sin{A , ,C , ).sin(A , ,C)'

On voit alors que l'on peut poser

sin(A, B).sin(A, B') , sin(A', B').sin(A', B) ;

cette quantité a étant constante, quelles que soient les droites conjuguées B et B' que l'on prenne sur le faisceau.

152. Observons que, dans le faisceau, rien ne correspond au point central. En effet, les points d'égale puissance relativement à a et a 1 , b et b' où une transversale coupe un faisceau homographique, ne sont en ligne droite que si ces transversales sont parallèles.

Du n° 135 on conclut le corollaire suivant : Quand trois angles droits ont le même sommet, leurs six côtés forment un faisceau d* involution; et aussi, dans un faisceau de six droites en involution, si deux droites sont perpendiculaires à leurs conjuguées respectives, les deux autres droites conjuguées sont aussi perpendiculaires.

153. On appelle rayons doubles ceux qui passent par les points doubles. On pourra donc avoir un faisceau complet

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d'involution composé de cinq droites ou même de quatre, au

lieu de six (l.M>). Soient E, F ces rayons doubles, si l'on

ea ca*

change dans l'équation -j- = — -j-, du n° 146, les lignes en

sinus, comme on a déjà fait au n° 101, on a

sin(E, A) sin(E, A') sin(F, A) - sin(F, À'f

154. Rayons conjugués perpendiculaires. — Une transversale coupe un faisceau d'involution en des points conjugués tels que, si l'on décrit des circonférences sur les segments qui les réunissent deux à deux, ces segments étant pris comme diamètres, toutes ces circonférences ont le même axe radical (131). Construisons la circonférence passant par le sommet du faisceau et ayant ce même axe radical commun avec une quelconque des autres (81). D'après la construction, la transversale sera toujours un diamètre de cette circonférence qui contiendra le sommet; donc on obtiendra un angle droit en joignant ce sommet aux extrémités de ce diamètre. Ainsi dans un faisceau d'involution il existe toujours deux rayons conjugués perpendiculaires, P et P'.

Dans ce cas, sin(P', B) = cos(P, B). Donc, dans la formule du n° 151, remplaçons A et A' par P et P', il reste

tang(P,B).tang(P,B') = >, cette quantité 1 étant constante.