VI. — Cas particuliers
140. Si les circonférences sont tangentes, le point de contact est évidemment le point central qui donne alors une puissance nulle ; donc l'involution disparaît dans ce cas.
141. Voyons ce qui arrive quand une circonférence se réduit à un point. La,/z£. 44 ne donne point de cas particulier, car b et b' étant de part et d'autre du point O, s'ils se confondent, on a 06 = o et la puissance est encore nulle.
142. Mais, dans \*fig. 45> si les points c et c' se réunissent
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en /(yîg*. 47 ). l'égalité devient
Oa.Oa' = 06.06' = Ôf!
143. Dans celte même^g*. 4^, au lieu de réunir c et d , si l'on réunit 6 et 6' en e (fig. 48), on a '
Oa.Oaf = 0c.0c' = Ôe?
144. Enfin, si ces deux réunions se font à la fois (jig. 49)» il reste
0a.0a'='0e=Ôf!
Alors il est clair que
0/= — Oe, ou Oe-hO/=o.
145. Dans la^/îg. 46, si c et c' coïncident, on a la^/ïg. 5o qui donne
Oa.Oa' = Qb.Qb' = Ôf.
Dans cette Jig. 46, comme le cercle 66' enveloppe le cercle cc' 9 les deux points 6 et b' ne peuvent pas coïncider en un point différent de celui où se réunissent c et c'. Or, dans le cas où ces points coïncideraient, il est clair qu'il n'y aurait plus dévolution. '
VIL — Points doubles.
146. On appelle points doubles des points tels que e,f, dont chacun représente une circonférence réduite à son centre, ainsi qu'on vient de le voir. Chaque point double remplace donc deux points en involution. .
Considérons surtout la Jig. 49» dans laquelle ces deux points e et f suffisent avec a et a' pour constituer l'invo lution. D'après l'égalité
Oa.Oa f =o7 ='U}\
on a reconnu (144) que était le milieu de ef; donc (26) 4 les points doubles divisent harmoniquement le segment
donné aa'. Ainsi
ea ea!
fc~~ffî
On voit que Qe et O/sont les deux valeurs zfc^Oa.Oa'. Ainsi les points doubles seront imaginaires si le point est compris entre a et a' {Jtg, 44) » dans ^sfig' 45 et 46 ils seront réels.
147. Dans les fig. 47, 48 et 5o les points doubles e, /sont relatifs à deux segments à la fois. Du reste, on vérifierait sur chacun d'eux, ou même sur un plus grand nombre» l'observation suivante que Ton peut faire sur la^îg. 49 :
Étant donné un segment, en dehors duquel est le point central, l'un des points doubles est entre les extrémités du segment, l'autre en dehors et du côté opposé au point central.
148. Il est facile de reconnaître ici les points doubles, tels que nous les avons considérés aux n°* 106 et 107. Les points que nous y avons indiqués, ainsi que dans le n° 105, par les lettres I et J', se confondent en 0.
Si ces points doubles coïncidaient, il n'y aurait pas d'involution, car il en résulterait
Oe = Oa = o.
149. Soient aa' et bb' deux segments (Tune involution dont e et f sont les points doubles, ce couple e et f fait luimême une involution avec les couples a et b', a 1 et 6, ainsi qu'avec les couples a et a', b et b'.
En effet, les points e et/divisant harmoniquement les deux segments donnés (146), on pourra écrire (95)
ae # a'e
et aussi
b'e'be~ ' d'où
ae > aie Vf # bf
af'aff b'e' be' ce qui montre que les points a et a', e et/ sont en égalité de
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rapport anharmonique avec les points b' et 6, / et e, considérés comme leurs conjugués. On reconnaît ici les points e,f du n° 84.
