CHAPITRE y

Repréflentatton matliéiiuiti^ae du mouTeiiieiit Inmineiix.

Les différents faits que nous avons exposés dans les chapitres précédents nous mettent à même de nous représenter les vibrations lumineuses, surtout pour la lumière polarisée en ligne droite. Pour en avoir une idée bien déterminée^ nous supposerons que nous avons des rayons du soleil parallèles traversant un cdstal de spath calcaire^ dont la petite diagonale est dans un plan horizontal^ c'est-à-dire^ des rayons dont le plan dé polarisation est horizontal. Nous colorerons la lumière pour qu'elle soit homogène en la faisant passer à travers un verre rouge foncée lequel n'est transparant que pour la

64 HIPKfiSBNTinON HATUfiVÀTIQUS

ptriie moyeuie du ronge du spectre. Soit S3 (Sb, 38 et ftg. 30), un rayon de cette lumiin, c'eBt4-dir«, U ligne joigDuit une série de moléculeB d'éther qui, Itfsqu'elles sont en repos, se trou- Tent Bur la directkiD du fûeceau luDoi- Deui, ou bien «ocore U ligne pe^endicubtire ii l'onde plane kunioeuge.

Chaque njon du biscean posédant i chaque instant la même ftapii&é que le rayon SS, il nous surara de bien examiner œ deroi^r. A un moment dotmé, soit a, une molécule qui va commencer une nouielle vibration; il en seia de même pour les molécules

a,, ai et a',, a', si a^a^,

«,a, n,o', , <ï',«', sont

égaux aux longueurs d'onde dans l'air de la lumière en question, à l'on a

donc : a, «i ^ a, a, ^ = ai

a', = fl',a', = =0",000620.

'^ ^^B^^l Représentons cette loi^ueur par 1.

^^B^^H De a, jusqu'à a, se suivent sans iaterruption les mènes ^ats vUiratoires et de la même manière que de a, en Kj, etc., ou de a', en o,, etc. L'inlensilâ du rayon peut Tarier à différentes places, toutef(HS seulement dans des étendues qui sont tré»frandes par rai^xHt à la longueur d'onde. Ad- Bielhns qu'il y ait devant nous une telle étendue, alors non-seulement les états vibratMres, mais encore les écarts des molécules de a, jusqu'en a, sont absolument égaux à ceux des molécules de a, jusqu'en aj, etc. Les ■ écarts det molécules sont, puisque la lumière est polarisée' en ligne droite, tous parallèles entre eux et perpendiculaires à Ja ligne 5S ; ce qui veut dire que ù on joint la position de chaque molécule à sa position d'équilibre, la

ni' SlOliVEHEST LLHINELX. HTy

If^uf ij(- joiirliiin cf-l lonjoiirti pcrprmliciilairc Kiir SS, et A le ]ibn des oticilla-

lions se confoiul avec relui ilo la fignrp. cctLc ligne se trouve dans re dernier.

Los molécules sont donc sur une ligne

qui, elIc-niSnie, est dans le plan de

la figure. Cette ligne coupe le rayon

SS aui points a'^, a'^, «,, a^,

a^ , puisqu'elle doit contenir aussi

les molécules qui sont dans la position de repos, et les parties de la ligne qui sontentrea etnj,n,«t«j, etc., sont égales entre elles. Soitn, le milieu de a, a, les molécules de a en a, sont dans des états tout à fait opposés à ceiu des molécules comprises entre K, tA ai. Cette opposition, nous ne pouvons la cliercber ailleurB que dans ce que, peudanl que les mcjéculrs entre a, et«, sout dans la dernière moitié de leur wcillation, celles enire B, et flt sont encore ù faire la première. Si donc, ce que noue supposcrmis, les molécules de a, à «, sont écartées en dessus, celles entre a, et n, le sont en dessous; mais «, hiiméme se U-ouve juste au milieu d'une vibralion, par conséquent dans la po- ' sillon du repos, et dès lors, b ligne sur laquelle se trouvent les molécules tandis qu'elles oscillent de part et d'autre de la ligne SS coupe le rayon

non seulement en a,, a.^ mais

aussi en a, «^ Quant aux molécules situées entre «, etni, celles qui se suivent à partir de a, s'éloiguonl de leur position d'équilibre, jusqu'à ce qu'elles atlelgncnl leur plus grand écart, et la distance à SS est d'autant plus grande que les molécules sont plus éloignépa de n, jusqu'à une cerUiine molécule p qui a atteint son plus grand

66 BCPRfSENTÂTION ■ÀTHÉMÀTIQCS

écafit. Les molëcuies entre p et «i sont en train de regagier leur position de repos^ et en sont d'autant plus rapprochées qu'elles sont plus voisines de ai. De ce cfue 4a coeiistence des états vibratoires qui se suivent de ai jusqu'à «« avec ceux qui "Sont entre cti -et a,, amène le repos^ il faut évidemment que les molécules entre «i et «i, les plus voiÂnes de «i, soient en train de se rapprocher de la ligne SS. Une de ces molécules, par exemple 7^, doit être autant éloignée de SS, en dessous^ et se rapprocher de sa positiott de rea^ avec la même vitesse que la molécule S'^ pour laipielle a, 8' = ^,7'. En outre^ la molécule dont la position de repos t' est autant distante de «i que p' de a,^ a atteint également son maximum d'écart en dessous de SS. Enfin, de s' à 02 on retrouve les mêmes écarts et les mêmes vitesses que de p* k»^, seulement en sens contraire des dernières. Le lieu des molécules d'éther, au moment considéré, sera donc d'après cela une ligne d'une forme analogue à la ligne WW. La direction de la vitesse dans chaque partie de la ligne, est représentée par les flèches dessinées à côté.

Pendant le temps que les molécules accomplissent leur mouvement de va et Tient, chaque état particulier de ce mouvement se propage de molécule à roolëciile dans la direction a» a, avec la Titesse propre de la lumière, et il est évident que si nous faisons ghsser la «ligne WW dans la direction de la propagation de la himière arvec la vitesse de celle-ci, chaque molécule se trouve toujoiirs sur la hgne WW et la perpendiculaire que l'on peut élever à SS par le point de repos, et elle possède un état vibratoire indiqué chaque fois par la partie de cette perpendiculaire comprise entre SSet WW, Soit par exemple a, pt^t a^ (fig. 42) le lieu des molécules après un quart de Tibration. Les figures 43 €i 44 donnent les lieux et les directions de mouvement des molécules après 7, f de vibration : après une vibration entière les états identiques

se reproduisent.

La forme de la ligne WW n^est pas encore parfaitement déterminée par ce qui précède. Nous savons seulement qu'elle se compose de portions égales a, a,, etc., que chaque intervalle est formé par la réunion de deux pslrties a^eci et «,^2 Qu'on peut superposer; enfin que la distance des points de ces moitiés, par exemple de la première, à la ligne SS, croissent d'abord à partir de a , , atteignent un maximum, puis décroissent jusqu'en a , , où la distance est nulle, que par conséquent WW coupe le rayon SS aux points a, , «, , «2* etc. Cette propriété générale de la ligne tient évidemment à ce que, soit en allant soit en revenant, l'écart rectiligne d'une molécule dans la première moitié d'une vibration est le même que dans la seconde, à ce que les vibrations se propagent avec une vitesse égale, et à ce que beaucoup de ces vibrations, qui

»« HOUVEMEPfT tUMINBUX, 07

se EuÎTent Je3 unes les autres et rorinent la partie de l.i ligne niutiilnloire que nous considérons, sont tout à fait égales. Mais la fomip d'une niMtié des in-

Fig. 4S.

tervallos a, a^, etc., dépend en oulix; du mode de mouvement dans une allée et un retour, de la relation entre l'écart et le temps. Soit pour une molérule délermioée, y cet écart correspondant au temps (, celui ci étant compté ù partir du moment où commence une nouvelle vibration. I^ relation entre l'écart et le temps peut se représenter par une équation de la forme :

Smt une seconde molécule a éloignée deardansladJrertiotide la propigation, de Ta molécule a. qui commence son oscillation pour le temps ; = o. Le temps qui iiépare le commencement de l'oscillation de la molécule a de celui de la molécule «,, est égal au temps que la lumière emploie pour aller de

a, en .a : la valeur de ce temps est — > d u est la vitesse de la lumière, et

alors l'écart de la molécule a sera donné par l'équation y =/"( ' — - )- Les grandeurs y ci x sont l'ordonnée et l'abscisse de la ligne d'Mide, comptées à

68 REPRÉSENTATION UATHÉVATIQUE

partir du point a , dans la direction de la propagation ; et dès lors cette équation représente la couifbe de l'onde dans toutes les parties dont les intervalles sont regardés comme égaux. Il nous reste à nous demander quelle sera la forme ^de la fonction f.

Evidemment la Tonction f doit être përio£que et la durée dé sa période ^ doit égaler^la durée de la vibration d^ ce qui veut dire que pour des valeurs de t^ différant entre elles d'un certain nombre de fois Z, la fonction f doit reprendre des valeurs égales^ ainsi par exemple pour les valeurs t, t 4- ^> ^ -[■ 2 ^ ^ <^^"s lesquelles^ est un temps quelconque. Il ^t en outre nécessaire que pour les temps t = o,t= —, ^ = 2 — ., etc., en un mot pour

chaque temps égal à 1» certain nombre de fois la demi-durée de la vibration, réquation G fasse évanouir Técart y, car à ces moments-là la molécule passe à sa position de repos, l'écart j^ est nul. Enûn la fonction f dent jouir de cette propriété, que, pour desvaleiu^ de t comprises dans la première moitié d'une, vibration, elle donne à 1/ des valeurs égales, mais de signes contraires, a celles que prend j^, pour les temps correspondants dans la deuxième moitié; car, pour deux moments qui sont égalaient (Estants du eoffimencement et du milieu de la vibration, y doit nécessairement avoir la même valeur absolue, puisque pour de pareils instants la molécule est également éloignée de la position d^.rQpos, une fois d'un côté de cette position, une autre fois de l'autre. ; Une fonction de cette espèce, quelle que soit du reste sa forme,. peut toujours se représenter par une série convergente indéfinie, dont les termes ont la

forme Am. Sin. m — t^ oiim représente le rang du terme et A™ une coht

stante qui dépend de oe nombre. L'expression analytique du mouvement sera donc :

y = A, Sin. — t -^^ A2 Sin. --? ^ -f- . '. . . . à l'infini.

Rien ne sera contraire aux expériences indiquées jusqu'à présent, si nous réduisons cette expression à son premier terme pour représenter le déplacement d'une molécule; nous remarquerons par anticipation qu'en admettant cela, tous lés phénomènes lumineux connue peuvent s'expliquer. Nous exprimerons donc les lois des vibrations lumineuses par l'équation suivante :

h y=aSm. -—/,

dans laquelle la lettre a remplace la constante A , .