IKTERFËREKCK DE LA LUMIÈRE

d'ondes absolument é^]ea, mais noiis n'avons aucune raison d'admeUrc la même chose dans la lumière polarisée avec laquelle nous faisons nos expériences. Nous devons plutAt regarder un de ces rafous comme composé de

Fig. 46.

plu^euTS files d'ondes censécutives eitrénenent louées, dans lesquelles, d'une die à l'autre, les amplitudes varient, tandis que dans dtaque file elles sont égales, de telle sorte que nous ne pouvons représenter par des équations ëe la forme de celle de S que cbaijue file séparément, et pour passer d'une file à l'autre il faut changer la quantité a. Un rajon Z, (Gg. SO), est composé alors de m, ondes d'amplitude a , m, d'amplitude a,, etc. Dans nos expériences nous plaçons â cM d'un pareil rajon, un second rayon Zi émanant de la même source, qui cependant a subi dans st» intensité d'autres changements que le premier et est en retard sur celui-ci. Il est évident que les changements d'amplitude seront les mêmes dans toute sa longueur. Le rayon s, est formé, d'après cela, de m, ondes d'amplitude pa^, de m^ d'amplitvde fta.,, etc., si (1 est le rapport entre les amplitudes de i, et celles de z.j. Le nombre des ondes dont £j retarde sur i, est toujours très-petit par rapport aui trèsgrands nombres m,, m , etc. : supposons que ij soit en retard sur z, de t ondes. Si les deux rayons arrivent maintenant ensemble, le rayon i résultant se compose 1° d'i ondes d'amplitude a,, V d'une portion de m, — « longueurs d'ondes dans laquelle interfèrent des ondes d'amplitude a, et fia,.

rOLARIStE EN LIGNE DROITS. 79

3* d'une portioD d't ondes dans laquelle interfèrent des ondes d'amplitude o, etfia,,V d'une portion demi — i longueurs d'onde, résultant de l'interfé-

rence d'ondes d'amplitude a, avec d'autres d'amplitude p^a^, et ainsi de suite. Les espaces de longueur d qui alternent avec ceui de longueur (m i — i] >, {nii — i) 1, etc., disparaissent devant ces derniers, et la chose se passe à peu près comme si le rayon résultant consistât en parties de longueur m.i, m.l, provenant de l'interférence d'ondes dont les amplitudes sont respectivement ai et (ifli, ai et fiai, et qui sont en retard de il l'une par rapporta l'autre. Soit miùnlenant :', un rayon formé d'ondes tout à fait égales, dont l'amplitude % est tellement choisie que ce rayon produise sur l'œit la même impression que le rayon 2i, et aussi z'i un rayon partout de mène intensité mais dont l'amplitude est fia„, ce dernier fera nécessairement sur l'(«l le même effet que le rayon ii. Si le rayon s', est en retard de A sur l', il y aura évidemment entre s'i et £', les mêmes interférences qu'entre z, et : , et le rayon l' résullant de ceui-lil sera par rapport à z' , et l\ toujours dans le même rapport physiqucTiu'une des longueurs m, 1, etc., de s par rapport aux longueurs correspondantes sur Zi etZ2,de même aus» qu'en particulier l'intensité de i' sera la même que celle de z. Nous voyons d'après cela, qu'à la place de chacun des rayons à amplitudes inégales donnés par l'eipérience, nous pouvons supposer plus simplement des rayons d'ondes identiques, en retard les uns par rapport aut autres comme le sont les rayons réels, et dont les amplitudes sont telles que les intensités résultantes sont les mêmes que celles des rayons donnés; en outre le nouveau rayon, résultant des rayons

. LLMIÈRK

supposa, offrim les m^mps rapports aiec ceux-d que ceui qui existent entre les rayons donnés et le nouveau rayon auquel ces derniers donnent oaissance. La figure SO représente les cas que nous venons d'examiner pour l'interférence de deux rayons i, et l.^ identiques dont chacun se compose de S ondulations d'ami^ude a,, 6 ondulations d'amplitude a^ et 5 'i d'amplitude Oi, Les deux rayous sont en retard l'un de l'autre de 1 ^ onde.

Si pour l'eipérience de Fresnel on eniploie de la lumière préalablement colorée et polarisée, on peut immédialeinent appliquer aux rayons amenés à inlerféief, les r^ltats de la page 77. L'accord padail de ces résultats du calcul avec les appuviKes de reipérieiK« est èiMeoL Au milieu d'une raie brilUnle, la diOérence de phases des rajons inlerférenls ed ub nmbre pur de denû-tengueurs d'ondes , réekurenwnt est plus iulrnse que là où tumlie b tumiète ré- Drâhie seukmeot par un des mûroirs. LadiSèKoee de pbase au^uieote el «i nème teufe l'ràlat dùuinoe si nous ano- «ODS lers la raie obscure ta ptus voisiae en tiefaocs, au initieu de lat(uette, à âaioir là où

POLARISÉE EN LIGNE DROITK» 81

4a différence de phases a crû de — ^ la destruction complète des deux rayons

est indiquée par une obscurité absolue.

Employons-nous de la lumière ordinaire au lieu de lumière polarisée^ nous pouvons, d'après la page 51^ à la place d'un seul rayon de cette lumière en supposer deux d'égale intensité, polarisés rectilîgnement et à angle droit» Chacun offrira dès lors les mêmes phénomènes et l'on aura sur l'écran la même image qu'avec la lumière polarisée en ligne droite.

Du concours de deux ou plusieurs mouvements vibratoires à périodes inégales, il ne peut j^ais résulter de repos ; ceux-là se composent en un nou* veau mouvement, tantôt plus intense, tantôt plus faible, qui n'a pas la forme simple des mouvements partiels, mais dans lequel se retrouvent toutes les périodes de ces derniers, b'œil reconnaît alors dans la couleur de la lumière résultante le mélange des couleurs des rayons composants. Ce mélange dépend, non-seulement de la qualité et du nombre des éléments qui y entrent, mais «ncore de leur intensité relative. La réunion de tous les rayons qui s'étalent dans le spectre solaire produit la lumière blanche. Si nous supprimons une de ces lumières en totalité ou en partie, nous ne trouvons dans le mélange que la lumière de la couleur complémentaire, et celle-ci est pure ou mélangée d'une certaine quantité de lumière blanche. Quant à la règle établie par Newton pour trouver la couleur du mélange d'un certain nombre de lumières de qualités diverses, nous renvoyons au Traité de physique expérimentale de Biot. Tome II, page 308, édition de 1824. Voyez aussi l'explication théorique de quelques phénomènes relatifs au mélange des couleurs du spectre, de J. Ghallis. Ann. de PoggendorfXXXVU.

Les forces accélératrices de deux rayons polarisés qui suivent le même chemin, mais dont les plans de polarisation font entre eux un certain angle, donnent pour résultante, d'après le parallélogramme des forces, la force accélératrice du rayon résultant, et l'on voit facilement qu'à chaque instant l'écart, dans ce dernier, sera la diagonale du parallélogramme dont les côtés sont Icis écarts des rayons composants. D'après cela, deux semblables rayons ne pourront jamais s'annuler, ce qui du reste a été démontré par une expérience de Fresnel et Arago (1). Nous nous bornons à indiquer ici ces recherches, car

(I) Herscbel. Traité de la lumière, traduit par Verhaist et Quéle1el> S ^^ ^t

St IRTBRFtRSKCB DE LÀ LUMIÈRE

elles exigent la connaissance des phénomènes de la diffraction; nousaTonsr, au reste^ un moyen plus à notre portée de vérifier les résultats que nous tirerons de l'explication mathématique de ce cas d'interférence. Ueiamen dé cette question est surtout pour nous d^une grande importance parcequ'il nous conduit à une polarisation plus générale^ la polarisation elliptique, dont celle en ligne droite découle comme cas particulier. Nous prouverons donc par Texpérience que cette polarisation existe réellement et qu^elle se produit dans les circonstances déterminées plus haut.

Supposons que la direction de la propagation de deux rayons polarisés en ligne droite, marchant ensemble, d'égales longueurs d'onde (car ce sont les seuls qu'on puisse facilement obtenir dans les expériences), se confonde avec la direction positive de l'axe des x d'un système de coordonnées dans l'espace, comptons les y^thsz dans la direction des écarts de l'un et de l'autre rayon, ces écai^s seront représentés par deux équations de la forme suivante :

S, . . • j) y s=a o Sin. — (r^ — X -|- A),

-S, ... 2)2=r ASin. — (t;^ — a: + B),

et ces équations donnent les Talenrs que possèdent pour un temps t, les coordonnées y ti z d'une molécule atteinte à la fois par les deux mouvements et qui est distante de l'origine de la quantité x.

Les périodes des mouvements Si et S2 étant égales, le nouveau mouvement résistant des deux aura la même période qu'eux^ et après diacune d'elles chaque molécule d'éther sera revenue à sa première position. La trajectoire de ia molécule d'éther est donc une ligne fermée, décrite pendant la durée d'une vibration des rayons Si et S2. Les vibrations de Si et Sa étant transversales, les trajectoires le seront évidemment aussi, et leurs plans passant par la position de repos de la molécule seront perpendiculaires à la direction de la propagation. L'état vibratoire qu'une molécule d'éther prendrait par suite du mouvement Si se propage avec la même vitesse que celui qui lui serait communiqué par le mouvement S2 ; et le mouvement résultant se transporte aussi sans changer et avec la même vitesse à une noolëcule plu^ éloignée. Toutes les molécules décrivent ainsi des trajectoires égales et parallèles, et sur ces trajectoires les molécules passent en des points homologues d'autant plus tard qu'elles sont plus éloignées dans la direction des rayons. Mais quelle est Ja forme de celte trajectoire, quelles sont les lois suivant lesquelles elle est décrite? Ce sont ces questions que nous allons résoudre.

Entre les équations i) et 2) nous pouvons éliminer vt — Xy et l'équation

POLAniSÉB EN LI6NB DROITE. 83

que nous obtiendrons exprimera évidemment une relation entre y et z^ laquelle aura lieu à chaque instant et dans toute l'étendue du rayon résultant. L'équation résultant de l'élimination représentera donc la trajectoire de toutes les molécules à chaque instant* Les équations i) et 2) peuvent s'écrire :

1') ?-î(»^a: + A)==arcSlu.-^, A a

retranchant^ on aura :

?-î (A - B) = arc Sin. X mSm. 4- A a

Posons pour abréger :

~ (A — B) = «, arc Sin. ^ r^n, arc Sjn, 4 = S,

A CL gi

BOUS tirons de la dernière équation :

Sin. {« + ?) = gin, 4, ou

Sin. R y/T— "SÎnTT + Côs. « Sin. ç = Sin. yi, ou

Sin.» a (1 — Sin.« ç) = Sin.' « -j- Cos.' «. Sin,» ç — 2 Cos. « Sin. ç Sin. n

Sin.» >} + Sin.» f — 2. Cos. a Sin. { Sin. >?. = Sin.' «, équation que nous pouvons écrire en remettant pour «^ ç^ et, les valeurs qu'ils représentent :

'E-.-^ + -|^-2Gos.^^A~B).^ = Sin.'i!r(A-B).

/ Cos. — (A — B) \* 4 1,

La relation caractéristique I l I r» -T7 étant plus

petite que zéro, l'équation entre y et z représente en général une ellipse dont le centre est sur l'axe des x. Par conséqurat^ dans le rayon résultant^ les molécules d'étber dérivent des ellipses égales^ parallèles^ dont les centres sont la position de repos des molécules et dont les plans sont perpendiculaires i la direction des rayons.

Nous disons d'après cela que le rayon provenant de l'interférence de Si et Sj e&i polarisé elliptiquement.

Les diverses trajectoires étant toutes égales et parallèles^ peu importe celle que nous soumettrons à un examen plus approfondi. Nous choisirons celle de la molécule dont l'abscisse est A. Pour celle-fa les équations de Si et S j se réduisent aux suivantes :

I IKTBBFBIEXCE DB Ik LOMIfcKE

S, ... y = aSio.-^ vt.

Si . . . 2 = * Sin. Il [irf — (A — B)].

En outre nous supposerons, dans la figure 81, que soit cette rooIÀnile, p. ~. OY la direction des y positifs allanl

de gauche h droite, OZ celle des z positifs allant de bas en haut, et YOZ ^ f l'angle aigu que forment les plans d'oscillation des deui rayons; la direction de la propagation du raïOD a lien de l'espace silné derrière le plan de la figuré Yers celui qui est en avant

(• Si A = B, c'est-à-tGre, si entre les rayons S, et Si il n'j a pas de différence de phase, et par conséquent si dans les courbes onduteuses des deux rayons les nœuds se confondent, nous aurons pour les deux rayons S, et Sj et pour la trajectoire les équations suivantes :

3 ir S, ... y=aSin. — — u(,

S. ... z = àSia.—vt,

La trajectoire ftst donc une ligne droite passant par la position de repos de la

molécule, c'est-à-dire, par le point 0, et dont la direction est la diagonale 00'

du parallétt^ramme Oa 0'6 dont les cAtés Oa et Oà sont ^aux aux amplitudes

a et 6. En effet nous Toyons d'après les équations de S, et S, que les écarts y

et z croissant à partir de / ^ o restent toujours dans le même Yapport —r-,

que par suite la molécule partant de se diSpIace sur 00' vers le point 0' . Elle

arrive à ce dernier point quand t = -— , parceque les écaris y et z ont alors

leur valeur maximum positive. A partir de là la molécule revient sur elle-

luéme, arriïe en quand les écarts y et ; sont nuls au moment -^ et s'é-

carte ensuite de la même maniëre> mais de l'autre c6té : en un mot^ elle oscille sur 00' de part et d'autre du point 0^ de la même manière que la molécule d^un rayon polarisé en ligne droite. Cela se montre encore plus clairement si nous calculons la valeur de son déplacement sur 00'. Représentons-le par r et comptons sa valeur positivis dans le sens 00'^ alors pour^ chaque moment ^^ on a

r' = y^ -}- z' -}- 2 yz Cos. y

r^ = (a^ 4- é'^ -f. 2 ab Cos. y) Sin.^ ?-l vt ou

r = y/ a*^ + i« + 2 ab Cos. f. Sin. ?-l vL

Cette équation a la même forme que celle de Si et de Si. La durée du nouveau mouvement est évidemment égale à celle des mouvements composants; la valeur de l'amplitude est \/a» -|- é* -|- 2 ab Cos. y. Puisque nous avons supposé que l'angle ^ était aigu^ Tamplitude atteint sa plus petite valeur, y/ a* -\- i% quand les deux rayons S, et S. ont leurs plans de polarisation perpendiculaires. Uamplitude croît en même temps que ^ diminue, et atteint sa valeur maximum a'\- b, quand les deux plans de polarisation se confondent, cas que nous avons examiné tout au long sous la rubrique A.

2* Si A — 6 augmente, mais tout en ayant une valeur moindre que —

la trajectoire est alors elliptique et s'écarte d'autant plus de la ligne droite

que A — B est plus grand. Les écarts z ne commencent à être positifs qu'au

temps • A ce moment z := tandis que y a déjà la valeur positive

2 it a Sin (A — B). Soit 00' (ûg. 52), cette valeur, 0' est la position de

la molécule à ce moment, A partir de là, les y et z positifs croissent en

même temps. Les y atteignent leur maximum a, pour le temps —, et alors

z=s b Sin. — [vt — (A — B)], valeur moindre que b. Soit Om = a et On cette dernière valeur de z, 0" est la position de la molécule au bout du temps ----• Les valeurs d'y décroissent tandis que celle de z croissent encore, d'où nous voyons que mO" est tangente en 0" à la trajectoire. Les valeurs de z atteignent leur maximum b pour le temps -- — j lequel, puis-

lflTKHreilE:«CB DB LA LUMlfeRB

[vl — (A -^ fi)] Ta]eiir comprise entre o et 0, soit m'O celte valeur et Fia. OS. ^' ~ ^' ^"' ^'^ ''^ poution de la mo-

lécule à ce moment. Les écarts z devenant plus petits, tandis que y continue à décroître, n'O'" est tangent à la trajectoire en 0'". Les écarts y commenceront enfin à être négatifs qirès le temps

t= , h ce moment la molécule se

trouve <ur OZ et sa distaoce au point 0,

z = à Sin. ^ [vt — (A — B)] est

comprise entre A et : soit 00'". Décrivons maintenant une ellipse par les points 0', 0", 0'", 0"" et tangente aui lignes droites mO" et n'O'" en 0" , et en 0'", ce sera la trajectoire de la molécule, la ligne représentée par l'équation E. Nous voyons d'après cette discussion que la molécule parcourt sa trtgectoire dans un sens qui est opposé au mouvement des aiguilles d'une montre, c'est-à-dire, de droite à gauche.

Les forces occéléraliicefi mises en jeu étant id des forces centrales, c'est-idire, dont les direcdoos passent toujours par un point fiie (le point de repog de la molécule), le rayon vecteur de la molécule osàllante, la ligne qui joint chacune de ses positions à celle du repos, décrit dans des temps égaux des secteurs elliptiques égaut.

3' Si la différence des ptaaes devient égale à — , les équations des rayons

S, et S, et celle de la trajectoire seront :

Les directions des vibrations OY et OZ (dg. 53), seront, comme le fait voir la dernière équation, des diamètres conjugués de la trajectoire, et les longueurs de ces diamètres seront doubles des amplitudes.

Le sens du mouvement reste le même qiie dans le cas précédent, c'est-àdire, vers la gauche.

Dans le caS particulier où les plans de polarisatiiHi sont perpendiculaires

POLÀRISËB EN LIGSB DROITE. 87

entre eux, les axes de la trajectoire se confondent arec les directions des vi-

iMVlions et les demi-aies sont égaux aux amplitudes. Notis voyons d'après

cela que choque vibration etlip-

Fig. 53. tiqm nnûfroriutn peut être «-,

gardét comme la rùultante de deux

tibrationt reelilignex, dont le* H-

rtctiont et let amplitudes te nm-

fottdetit avec les direction» et let

grtmdem detdemi-axet de ta ir»'

jectoirt, et dont le rapport da

jJioM» eit dotuti par det équa~

tiotadela formeS, et Si, Si noo-

seulemest les plans de ptdanMtioii

sont perpendiculaires entre eux,

mais à les deux rayons composants ont la ffléme intensil^, la trajectoire se

transforme en un cercle que la molécule décrit en allant vers la gaucbe, avec

une vitesse constante pendant la dorée d'une oscillation. Un rayon dans lequel

s'exécutent de pareilles vibrations circulaires, s'fqipelle un rayon polarisé

circidairement vers la gauche,

i," Pendant que la différence des phases parlant de— s'approcbe delà valeur — , la trajectoire elliptique se resserre, sans que pour cela le sens du

ndçs

rayons est en avance sur l'autre d'une demi-longueur d'onde, nous avons pour les rayons et la trajectoire, les équations :

S,, ...y—a?,m. — vt. S, ... jss — 6 Sin. — rt,

PaiscHis Oa = a et Od = A (Qg. &4), la diagmals 00' dans le parallélogramme OaO'b sera la ligne droite en laq«lle M change la IrajecKHre elliptique, et, comme dans le cas 1*, 00' est Tumplitude de la vibratim rectiUgne résultante. Nous lui trouvons pour équation une expression analogue à celle du cas 1*

r = \/ a' -1- i' 2 ai Cos. y. Sin. -^ vt.

88 tUTRIlFËRENCE DE LA LUMIËRK

Le Rtinimum de l'iunplilude qui est atteint quand les plans de polarisation se confondent, est = a-~-è, différence des amplitudes composantes : si ces Fig. 54. P'^iiB ^1^ perpendicalaires entre eux,

l'amplitude atteint son maximum \/a'' -)- i' Gonune dans le cas i" pour la mËme position des plans de polarisation/ puisque dans ces deui cas il n'y a de différence que dans la direction des vibrations.

B" Si la différence des phases dépasse la valeur -— , le sens de la rotation change en même temps que la trajectoire redevient une ellipse.

L'oscillation rectiligne forme une transition dans laquelle il ne peut être question de rotation. Dans ce cas les équations des rayons deviennent :

2 ir Si ... y = « Sin. -—vt;

Si ... 2 = — 6 an. 1-1 [ttf — (A — B}], et » nous cherchons les positions successives de la molécule, correspcuidantcs

aui temps croissants

points O'j 0", 0'", 0" Fig. 55.

(fig. S5), d'où nous voyons que la rotation est dirigée vers la droite; les vibrations se font de gauche à droite, et un rayon provenant de pareilles vibrations s'appelle un rayon polarisé ellipiiguemetU vers la droite. La différence des phases croissant, la trajectoire s'élargit toujours davant^e et quand cette différence atteint | 1 nos équations primitives se ti:ansforment en les suiTanles :

FOLAHISËB ER llfiKB DIOITS. S9

La (rajecUùre est alors la même que dans le second cas, maïs la molécule tourne vers la droite (fig. S6). Nous concluons donc encore que tout rayon fj-g ^g polarisé elliptiquement à droite^

peut être considéré comme provenant de deux rayons polarisés en ligne droite, dont tes directions des vibrations sont parallèles aux axes de la trajectoire du premier, dont les ampiitudes sont égales aux demiaxes de celte trajectoire, et qui sont en retard l'un sur l'autre de \ i.

Si en outre les amplitudes des rayons composants sont égales, la trajedoire de la molécule devient un cercle dont le rayon est égal à cette amplitude, et nous disons que le rayon est polarisé circuiairement à droite. Si la différence des phases dépasse j 1, l'eUipse, sans que le sens de la rotation change, se rapproche de la ligne droite, en laquelle la trajectoire se transforme enfin si la différence des phases atteint une longueur d'onde, et alors les rayons se comportent comme si leurs [diases étaient égales.

B'aprés ce qui précède, la lumière polarisée elliptiquement s'offre à nous comme l'eE^e de lumière la plus générale pouvant résulter de l'interférence de deux rayons de m^e couleur polarisés en ligne droite ; l'expression mathématique de ce mouvement est donnée par la combinaison des deux équations représentant les rayons composants. Nous avons examiné les lois de chacune de ces vibrations en particulier, mais il nous reste à déterminer la forme de la ligne d'onde. Ici encore, comme dans la lumière polarisée en ligne droite, la ligne d'onde se composera, de longueur d'onde en longueur d'onde, d'ondulations de même forme, de sorte que pour la connaître nous n'avons qu'à rechercher ce qui est relatif à une étendue d'une longueur d'onde. Soient

donc a,, a, (6g. &7), les positions de repos des molécules d'éther qui

seront mises en mouvement par un rayon polarisé elliptiquement; supposons que la distance de deux de ces points consécutifs soit égale à ^ de longueur

d'onde. Les ellipses E,, E^ représentent les tngectoires des molécules;

leurs centi'es sont en a,, a, , leurs plans smt perpendiculaires au rayon

SS'. Admettons que les grands axes parallèles soient verticaux et représentés

par les lignes A, A,, A^A^ Dès lors les petits axes B,B„ B^B^ sont

borizonUux. Toutes les molécules du rayon se trouvent évidemment sur un

INTEBrERKHCI! DE LA LUNIËHK

cylindre elliptique langent aui trajecloircs

E,E , l'axe du cylindre est SS', sa

première section principale est verticale, »i seconde est lionzontBle. Quelle est maiuleT nant la poeilion des moléculeâ d'âlier si le rayon touine un peu Tcrs la droite en même temps qu'il s'avance de S ners S', et cela, pour préciser les idées, au momcnl où la première molécule repasse par derrière sous la section [H-incipate faorizontale ?

La molécule a, se trouve à l'extrémité postérieure du petit aie B,B, en a' , et est Eurje point de passer sous le plan horizontal. La molécule a^ qui est éloignée de

a, de — ne se trouve dans la position <Ie

fa dernière qu'après le temps — et doit |ini'

conséquent pour arriver en B, décrira un secteur qui est la huitième partie de la surface elliptique de la trajectoire {voyez page 86), Si donc, secteur a\a B, = j quadrant A.^a.jB,, a'i est le lieu de la molécule a.^. La molécule a^ pour arriver en Bj doit encore décrire un quart de sa trajectoire : elle se titiuve donc à l'extrémité supérieure de l'axe venJcal de sa trajectoire en a'^. Par des raisonnements analogues, nous voyons que a\, a\,.„., sont les positions des molécules u^, Uj Si DOUE considérons udc

molécule quelconque »„ entre a, et «,, il est évident que le secteur a„B|, que son rayon vecteur doit décrire encoi'C pour arriver à l'eitréiuité postérieure du demi-aie, est proportionnel ù sa distance au plan E,.

Joignons les positions des molécules par une ligne courbe, nous obtiendrons la trace fl',«'j a', d'une spirale décrite sur le

rOLARlsr.E K> LlfiNB DHOITE. 91

cjliadre doat nous avoii£ parlù. CcUe ejûrale commence à la pai-tic poslvrieure lie la set^im prïacipale boriedotale eaa',, atteint la partie supérieure de la section verticale en a't, redetcend en aïant jusqu'en a's ; là commeme la seconde moitié de la spirale, qui en a'^ atteint l'entrémité inférieure de la section verticale pour se terminer en a'* à une molânile placée de la mémo mafliére que a',. Les deui moitiés de la spirale peurent se superposer. Sa kaitleur est égale à oee longueur d'mde. En a', et n', passent de nouvelloe spirales qui sont ^les à la première, après celles-là en viennent d'autres et ainsi de suite. La ligue d'onde est d'après cela une hélice elliptique tournant vers la droite. Si nous dépla^ns la li^ie d'onde dans la direction et avec la TJtesse de pTopa[;ation de la lumière, elle reste toujours le lieu des moléculos

d'étber et sa section, par une des Irajedwes E , donne toujours là

position de la molécule a)rrespondaiiie.-Dans la figure 58, 1 est la projection

de la ligne d'onde sur le plan de la trajectoire de la vUtratioD, c'est uuc ellipse égale à cette trajectoire. La projecti»n 2 sur la section principale vertic^e, est une ligne siaueuse dool l'aie se confond avec le rayon, et dont l'amplitude est ^le au demi-grand aie de la trajectoire. Enfin la projection 3 sur la section horizonlale est également une ligne àoueuscj qui diffère de la première en ce qu'elle est en arrière de oelle-ci d'un quart de longueur d'onde, et en ce que son amplitude est égale au demi-petit aie de la trajectoire.

La ligne d'onde du rayon tournant à gauelie, ne diffère de celle du rayon tûumanl à droite qu'en ce que la première est une hélice tournant vers la gauche, quand la dernière tourne vers la droite.

Si la polarisation elliptique se transforme en polarisation drculairc, à la place du cylindre elliptique on a un c>lindre de révolution et l'hélice devient une hélice ordinaire.

INTERFeREItCE DE LA LUM16RE

1 et S représeoteot les lignes d'onde d'un rayon lumineui pdariBê drculairement, l'un à droite, l'autre à gauche. La direction de la propagalicni de la lumière et le eens de la rotation Bont indiqua par les flèches. Quant à la place que les molécules d'éther du rajon occupent aui différents moments, BOUS l'obtenons id Don-seulemenl en déplaçant la couri» sinueuse, sans la faire tourner, dans la direction de h prop^tion du mouvement et avec sa vitesse, mus encore en faisant louroer la ligne sinueuse, sans la déplacer par glissement, dans le sens de la rotation du rayon et autour de ce dernier avec une vitesse angulûre égale à celle de la molécule dans son mouvement de rotation.

Dans les paragraphes A et B, nous avons trouvé le rayon provenant de l'interférence de deux rayons donnés, polarisés en ligne droite ; il nous est maintenant aussi facile, en suivant une marche inverse, de décomposer un rayon donné en deux autres, c'est-à-dire, de déterminer deux rayons par l'interférence desquels m reproduirait le rayon donné.. On comprendra alors qu'il soit permis, à on le déàre, de mettre les deux derniers à la place du premier; cette substitution peut avoir une grande importance.' On pourra évidenunent disposer de plusieurs attributs des rayons composants, d'une manière analt^e à ce que l'on fait dans la composition des forces et dans des limites faciles à comprendre. Nous aUons donner des exemples des cas les plus importants d'une pareille décompoàtion.

1* Etant donné un rayon polarisé en ligne droite, le décomposer en deux autres polarisés dans le même plan, qui, abstraction faite de la posititxi, sont égaux entre eux et dont l'un devance le rayon donné, d'autant que l'autre est en arrière sur celtû-ci.

Un rayon d'une durée d'oscillation déterminée ne pouvant résulter que de rayons ayant la même durée d'osdUationj et une durée d'osôllalion déterminée correspondant dans le même milieu à une vitesse et à une longueur d'onde déterminées, ces deux dernières grandeurs devront avoir dans les rayons cherchés la mSme valeur que dans le rayon donné. Si donc on représente par

V l'expression — - (vl— x-\- A), l'équation du rayon donné étant

y=a Sin. V, les équations des rayons cherchés S, et Sj, seront de la forme

y. = a, Sin. (V + /,,), y, = «, Sin. (V + p,). L'intensité des rayons cherchés doit être la même, on a donc a, = + û, . En outre un des rayons doit être en avant sur le rayon donné, d'autant que l'autre est en retard, cela veut dire que la différence de phases entre le rayon donné et un des deux rayons cherchés doit être ^ale en valeur absolue à la différence de phases entre le rayon donné et l'autre, mais seulement les signes seront contraires. On aura donc /ï2 = — /),, et les équations des rayons S, et S, deviennent :

y, = a, Sin. (V + p.), y, = + «. Siû. (V — />,). Ces rayons se composent en un dont l'équation est la suivante : y = (û, Cos. /), + a. Cos. />.) Sin. V + («, Sin. />, + «. Sin. />,) Cos. V. Et ce dernier rayon doit être identique à S, ce qui exige d'abord que le coefficient de Cos. V s'évanouisse; cela n'aura lieu, puisque /), doit être différent de zéro, qu'autant que «2 = + a,. Cela admis, il faut en second lieu que le coefficient de Sin. V ait la valeur a. Nous avons donc :

2 a, Cos. pt = a.

Nous pouvons encore disposer des deux quantités ai et /»! toutefois avec

la restriction pour la première que 2 a, ^ a. Prenons en particulier pt =

i n, alors a, = — et les rayons Si et S2 seront représentés par les équations:

y, =-^Sin. (V + iir), y,= ";. Sin. (V — i tt). \/2 \/^

2^ Etant donné un rayon S polarisé en ligne droite, le transformer en deux autres S. et S, produisant le niême effet que le premier, mais dont Tun S, oscille dans un plan faisant un angle f avec le plan des vibrations du rayon S, tandis que le plan des oscillations du second rayon S^ est perpendiculaire sur celui du premier.

D'après les mêmes considérations que précédemment, la vitesse de propagation et la longueur d'onde des rayons cherchés doivent être égales à celles du rayon donné. Les nœuds des rayons cherchée doivent se confondre, sans quoi, d'après le § B, leur rayon résultant ne serait pas polarisé en ligne droite, mais Uen elliptiquement. En outre ces nœuds doivent aussi se confondre avec ceux du rayon donné, attendu que la résultante de S, et de Si ne doit pas différer de phase avec S. Soit donc S représenté par l'équation

imbrfArkkce dk la lvmiAbk y=a Sin. V,

les équations des rayons cherchés seront de la roroin :

y, = a, Sin. V el y^ = a. Sin. V.

Ces deux rayons se composent en un nouveau dool l'amplitude f.ii \fa ,' -}- a,' el àoat le plan d'oscillation fait avec celui du rajonSi unanpl« a iKtur lequel on a

Sin, ff = -

C08. ff = -

Vuyei § lî, u' r

Maintenant ce rayon doit Être identique au rayon donné, alors a doivent être déterminés de manière qu'on ait :

a,' -(- a,' != à' et par conséquent aussi :

Sin. f = -

Cos. a

Les équatioog des rayons cherchés sont alors :

ji = a Cos. <p, Sin. V, yi'=a Sin. f. Sin. V.

3' L'n rayon polarisé elliptiquement étant donné, on demande de le remplacer k chaque instant par deux rayons polarisée en ligne droite dont les plans d'osdllalion se conrondent avec deux plans donnés perpendiculaires entre eux.

Fig. 60.

En supposant que le rayon donné se meut vers l'œil du lecteur, soient OZ et OY les directions des aies de la lra> jecidre eliipfique. A la place du rayon polarisé elliptiqufmenl, qui arrive en 0, il est pennÎB, d'après le § B, n" -i et 4, de supposer deux rayons polarisés en ligne drmle, dont les écarts £OBt dirigés suivant OY et OZ, d(wt les amplitudes soot égales aux denî-aies de la trajectoire elliptique, et qui sont en relard l'un par rapport à l'autre de ■; ou | de leur longueur d'oude, laquelle est la roéme que celle du rayon donné. Les équations de ces rayons Y et Z seraienl ; v=;aSin. V, s = i Cos. V,

dans lesquelles a tout aussi bien que b |)eut être positif ou négatif. Si maintenant OY' et OZ' sont les directions d'oscillation données, dont la première fait avec OY Tangle ^, nous pouvons d'après 2) décomposer le rayon Y en deux autres Y'y et Zy dont les écarts positifs se confondent avec OY' et OZ'. Leiu^ équations sont :

y' = a Cos. y. Sin. V, z' = — a Sin. y. Sin. V.

De la même manière décomposons le rayon Z en deux. Y', et Z\ dont les équations sont :

y' = 6 Sin. y. Cos. V, js' = ô Cos. y. Cos. V.

Les quatre rayons élémentaires ainsi obtenus, ont deux à deux un seul et même plan d'oscilhUion. Les rayons Y'y et Y',, dont la direction de Foscillation est OY', se composent en un rayon Y' polarisé de la môme manière, dont l'équation est :

, y' = û Cos. y. Sin. V 4- ô Sin. y. Cos. V, ou bien si nous détenninons c et •} de telle manière qu'on ail :

c Cos. j» = û Cos. y, c Sin. ^ = ô Sin. 9>, y' = c Sin. (V + ^).

De même les deux rayons Z'y et Z'^, donnent le nouveau rayon Z', dont l'équation est ;

2' = — « Sin. y. Sin. V + ^ Cos. y. Cos. V.

ou bien ûd ^i x, sont choisis de manière que d Cos. ;^ = — a Sin. y, et d Sin. X = ^ ^^- y>

s' = d Sin. (V + y^.

4" Démontrer qu'à la place d'un rayon polarisé en ligne droite, on peut, i^ans qu'il y ait changement dans l'effet produit, prendre deux rayons polarisés circulairement, dont l'un tourne à droite et l'autre à gauche. Soit l'équation du rayon donné ;

r = û Sin. V.

Nous le décomposons en deux rayons polarisés en ligne droite Y et Z, dont les directions des vibrations font un angle de 45"" avec celle du rayon donné et par conséquent sont perpendiculaires entre elles. Les équations de ces rayons sont d après 2).

y = a V^l Sin. V. z — a \/\ Sin. V.

Nous décomposons ensuite chacun de ces rayons, suivant i), en deux rayons d'égale intensité dont les uns, savoir y, et z., sont en avance de j de longueur d'onde sur y et z, et les autres, ^2 6t Z2, en retard sur les mêmes de la même quantité. L'équation de y^ sera de la forme :

06 INTBRFÉBKNCB DE LA LUHIÈftB

y, = a. Sin. ll{vi - x + iX) =^ a, Sin. (V + i ;r), celle de ^2 :

y., = «2 Sin. -^ (v/ — d? — J^ >) = «2 Sin. (V — -^ »),

et nous voyons qu'en employant la formule 1)^ /», doit être pris = ^ tt. DV près cela nous avons :

y, =^Sin.(V+i;r), y, = -|- Sin. (V - 1 »),

z. = ^ Sin. (V + 1 ,), 2, = -|- Sin. (V - i »), OU bien si nous posons V + j tt = V :

y.=Asin.V', y2 = -|-Cos.V'

z. == 4- Sin. V, z., = 4- Cos. V.

A la place du couple de rayons ^i et Zj d^une part, et du couple Z| et y^ d'autre part, il nous est permis^ d'après B n*^ 3 et A, de prendre des

rayons polarisés circulairement dont les sens de rotation sont opposés^ et dont

a les trajectoires qui se confondent ont pour rayon — •

Cette dernière décomposition d'un rayon polarisé en ligne droite, trouve son application dans la théorie de la polarisation circulaire par double réfraction dans un milieu isotrope, laquelle ne peut trouver place dans cet ouvrage.

Le problème général de l'interférence des rayons lumineux suivant la même route, quels que soient leur nombre et leur polarisation, peut se résoudre facilement d'après ce qui précède. Conmie dans les questions analogues de statique, on mènera deux plans perpendiculsdres, chobis à volonté, passant par l'axe commun des rayons donnés, et on décomposera chacun de ces derniers en deux rayons polarisés en ligne droite, l'un oscillant dans un des plans, r<'iutre dans l'autre. Ensuite on réunira chacun des deux groupes de rayons ainsi obtenus, en un seul rayon, en cherchant d'abord la résultante de deux rayons, puis la résultante de celle-ci avec un troisième, et ainsi de suite. On aura enfm le rayon provenant des résultantes des deux groupes dont les vibrations sont perpendiculaires. Ce dernier sera le plus souvent polarisé elliptiquement et de la même couleur que les autre», quand les rayons composants ont la même longueur d'onde (le seul cas où les opérations analytiques exposées plus haut peuvent facilement s'appliquer). Par l'interférence de la lumière homogène on ne peut donc jamais obtenir une iwuvelle couleur, ce qui du reste est aussi prouvé pai* l'expérience.