INTENSITÉ

possibles tantôt positives^ tantôt négatives^ comprises entre o et runité, de telle manière que si m représente le nombre de vibrations qui se font dans ce temps là; la somme des intensités pour ce temps aura la valeur moyenne f72 2 a^. Mais cette même somme a pour un rayon la valeur f7ia% ainsi la moitié de la précédente. Nous concluons donc de là que deux rayons régulie7*s également intenses se composent en un rayon également non polarisé d'intensité double. La même chose a lieu pour deux rayons de lumière naturelle de même intensité qui peuvent être remplacés par deux rayons réguliers d'égale intensité. En employant la même méthode que précédemment au\ cas où Ton ajouterait une 3° source^ une 4*^^ etc.^ on arrive facilement à se convaincre qu'en général n rayons de lumière naturelle d'égale intensité se combinent en un seul nouveau rayon de même espèce d'une intensité n fois plus grande. Et ainsi se trouve démontré l'accord parfait de notre théorie avec l'idée de l'intensité qu'établissent de simples considérations élémentaires.

Après avoir reconnu la dépendance qu'il y a entre l'intensité et les quantités qui déterminent une vibration^ il est très-important de connaître les lois suivant lesquelles l'intensité d'un faisceau lumineux ou d'une onde change pendant sa propagation. Jusqu'à présent nous avons admis^ comme ce qu'il y avait de plus probable^ que l'intensité d'une onde plane ou d'un faisceau de rayons parallèles ne s'altère pas pendant sa propagation et c'est ce que nous avons supposé dans nos théories mathématiques. Nous avons donc attribué une amplitude constante dans toute leur étendue aux rayons réguliers théoriques que nous avons dû mettre à la place des rayons réels^ afm de pouvoir appliquer le calcuL

Des changements de l'intensité dans le cas de rayons parallèles^ on déduit ce qui arriverait pour une onde de forme quelconque ou pour un assemblage quelconque de rayons^ de la même manière que nous avons conclu la propagation des ondes quelconques de celle des ondes planes. Voici à peu près la marche à suivre pour résoudre le problème.

Dans la figure 74, ww i^eprésenle une portion d'une onde plane W, qui n'est pas comme celles que nous avons considérées jusqu'à présent^ identique dans tous ses points^ mais que l'on suppose formée de portions d'ondes séparées, régulièrement arrangées; ces portions sont d'égale grandeur, ont la même couleur et la même intensité, mais sont, quant au reste, les unes par rapport aux autres dans les relations les plus générales. En tt; il y a 9 de ces ondes partielles. De même soit w^w^ use portion d'une onde W formée de la même manière, mais qui renferme 25 ondes partielles de même grandeur que celles qui sont dans la précéfknte* Le rapport des effets produits par w et

par w' est évidemment de 9 : 25 (Voyez plus liaul). Or ce rapport reste le même si dous diminuons les dimensions des ondes partielles dans le

Fig. 74.

même rapport et ensuite si nous disposons ces nouvelles ondCs partielles d'une manière analogue^ de telle sorte que toujours dans des portions %ales ^es ondes entières, il y en ait, comme dans ww et w'w', des nombres ^t soient entre eux dans le rapport de 9 à 3S. De cette manière nous obtenons par exemple à la place de wui, et w'iv', les porlioni «>,»;, eiw'iw'i dont la première contient 36 ondes partielles et la seconde 160, dans une même étendue superficielle. L'application répété'e de Ri méthode précédente rapproche évidemment toujours de phis en plus les ondes W et W de deux ondes homogènes dont les intensités seraient comme 9 : 2S ; attendu que si les ondes partielles sont Irès-peUtes et en très-grand nombre deux portions de- W et de W bien que petites, mais d'égale grandeur produiront des elTets dans le rapport de 9 : 33 puisque c'est le rapport qui existe toujours entre le nombre des ondes partielles qui sont réunies dbns l'nne et dans l'autre portion d'onde. Enfin si les ondes partielles atteignent la limite de l'inliniment petit, l'homogénéité de W et de W est atteinte, et d'après cela te rapport des intensités est représenté par 9 : 3S. Il est évident que tes raisonnements précédents conservent toute leur généralité quels que soient les nombres qrie noua

prenions à la \Amx de et de 23. Appliquons-les au cas tréfr-important d'une onde court», d'une onde spbérique.

Supposons que du point P, figure 15, parle dans des direclions diffé-

fis, 75.

renies, un grand nombre de petites ondes planes d'égale inlensiléj disposées aussi régulièrement que possible dans l'espace.

Au bout d'un certain temps elles se seront loutesaulantéloignées de P chacune dans sa direction, et loucheront, en des points aussi régulièrement disiribiiésque possi ble , lasurraced'unesphère dont le centre serait P.

Ces ondes forment alors une onde polyédrique percée à jour, c'es^t-à-dire que leurs plans sufrisammeol prolongés se couperaient suivant les angles et les ai'ètes d'un polyèdre conveie. Le temps croissant, ce polyèdre camme aussi la splière en question à. laquelle il est circonscrit, crotsseut dans le mime rapport que le temps écoulé, tandis que les ondes ne changent ni en direction, ni en grandeur, ni en forme, ni en intensité. Soient K et R' les sphères enveloppées par les ondes à dcui moments consécutifs t et t'. Diminuons maintenant les dimensions des ondes eu même temps que nous augmentons leur nombre, de manière toutefois qu'au moment t où el!es touchent la sphère K deux d'entre elles ne puissent se couper, ce qui im pourra pas non plus arriver au moment suivant. 11 en résultera que les ondes dans leurs dilTérentes positions se rapproclierujit de Ift sphèie inscnle et que leur ensemble en présentera à peu près la forme.

Supposons le eus d'un ti-ès^rand nombre d'ondes dont l'ensemble serait disposé Irès-régulicremeol ; soient «p, «'^' des portions exlrèm<UHeiit petites des deui enveloppes aui inojaeuts t et (', portions limitées par les mêmes rayons (ligure 16). Soient n lu nombre des ondes éléinentaircs (juc contient

INIËASITË. 133

B^, et n' le nombre d'ondes élémeutaires dans une partie de u.'p' ajaiil la même élendue, on aura le rapport :

n ; m' =; Surf, a'^' : Surf. «p.

Fia. 76. . ^"'^ ^^^ surfaces

^^^^^^^^ de «^ et de a'^' boiiI

entre elles D>mi[ie les surfaces des sphwes inscrileg ou eonime les carrés de leura rsjoos. Représentons Ceux-«i ptii- r el r', alors :

Coiiiuie les parties Bj3, a'f sOBt eilracrdinai rement petites, on peut saos erreur sensible les considérer comme planes, et alors d'après les résultats précédents nous aurons très-approximativement :

Si J et J' représentent les intensités de l'ensemble des ondes aui moraenis t et f '. Des équations 1) et 3) on tire enfin ;

Ce résultat sera d'autant plus exact que tes ondes élémentaires seront prises en plus grand nombre et plus petites; il sera même loul à fuit rigoureux en passant it la limite. Mais alors l'ensenUe des ondes se confond avec la surface sphérique inscrite et forme une oade homog^e. Donc, quand des ondes sphériques émanant d'un point lumineux se propagent dans un milieu isotrope, leur intensité diminue pendant la propagation et est réeiproquement proportionnelle au carré du rayon. A deux distances différentes du point lumineux, les intensités des rayons qui en émanent sont inverses des carrés des distances. Nous remarquerons en passant que la mécanique analytique établit la même loi pour la diminution de l'intensité des rayons sonores divei^ents, au moins pour de grandes distances au centre sonore, (Airy's Mutbematical tracts. On the undulatory tkeorxj of optics, liji2, p. 259).

134 intbnsitA.

Pour présenter le problème de la manière la plus générale, soit J l'intensité d'une onde WW, ligure 77, de forme quelconque, au point P, ou plutôt Pf„ -jy ^ en un élément »p de sa surface.

Après un ceifaîn tempe, l'onde s'est tiansportée en y^'V^', en changeant de forme ce qui est le cas le ptuE général. Pendant ce raoUTement les ondes partielles en lesquelles on peut décomposer rélément ap, se propagent dans la direction de leur normale, sans du reste éprouver de cbangemenl, puisqu'on peut les considérer comme planes, et se trouvent répandues sur l'élément «'^' qui est déterminé sur la dernière onde "WVl' par les normales qu'on peut élever aui différents points du contour de ap. Soit maintenant J ' l'intensité de l'onde W'W en un point de son éléments «'p', on aura d'après ce qui précède :

J : J' = Surf, «.'p' : SurT, bj9.

C'est maintenant à l'analyse à donner à la loi exprimée par cette proportion la forme qui convient à chaque cas particulier. Nous allons faire cette (ransfonnation, sans loulefois pousser les calculs jusqu'au bout, pour le cas suivant.

Question. A un moment déterminé une onde lumineuse a la foniie d'un cyUndre elliptique et la même intensité en tous ses pointe. Quelle sera après le temps l la forme de celte onde et comment y sera distribuée llntensilé ? Soit EE', ligure 78, la base de l'onde dans sa position primitive, et J son fia. 78. intensité. D'après les considérations ex-

posées page 19, l'état vibratoire de l'onde s'est distribué au bout du temps t aux points dont la distance perpendiculaire au cylindre elliptique est vl, V représentant la vitesse de la lumière.

Ces points se trouvent évidemment encore sur un cylindre dont l'aie coïncide avec celui du cylindre elliptique, mais dont la base est la courir E'E' parallèle à l'ellipse EE et qui en est à la distance vl. Soient en outre P et P' deux points correspondants du cylindre elliptique et de sa surface parallèle, de

INTENSITË. 13S

riiauîère que PP' est noimal aux deux surfaces. Soient e, i' les éléments lecliligiiËS correspoDiilaiits, daas la directîou de l'axe sur lesquels se trouvent P et P' et aS, «'p' les arcs des bases correspondants à ces él^ents. Alors, J' étant l'intensité de l'onde au bout du temps t, au pdnt P', on aura : J : J' = .' : I.

En outre i' : s = arc a'p' : arc «^

lionc J : J' = arc «p' : are a^.

Puisque maintenant d'après l'hypothèse, > et «' aussi bien que |3 et p' se correspondent et qu'alors «e' et jSjS' sont perpendiculaires sur les deux ondes, si p et p' représentent les rayons de courbure des courbes EE, E'E' aux points P et P' on aura :

arc a'p' : arc «p =. / : p et aussi J : J' = p' : ^

d'où Ton déduit :

D'après cela pour avoir l'intensité de l'onde en un point P' au bout du

temps t on mène par le point P' une tangente au cadran aA de la développée

de l'ellipse EE. Soit r le point de contact de la tangente et p son intersection

avec l'ellipse, le quotient -£, représente le ra[^rt de l'intensité cherchée

de l'onde à l'intensité primitive.

Dans la Tigure 80, EE et E'E' représentent de nouveau les bases des ondes

Fig. SO.

aux deux instants considérés, et l'épaisseur de la ourbe est en clmque point proportionnelle à l'intensité. Comme l'intensité de l'onde en tous les pointe

13fi INTKNSITË.

(Vime arête du cylindre est la même, h figure nous donne une image des rapports d'intenailé et de la Torme de l'onde à chacun des deux moments.

Pour établir par expérience la loi de la diminution de l'intensité pour les

ondes courbes les plus ordinaires, savoir les ondes sphériques, on se sert avec

avantage du photomètre de Ritcliie. Il consiste en une boite prismatique à

quatre faces A, A, (flg, 81), ouverte aux deux extrémités et contenant en

Fig. Si.

son milieu deux mimirss, et(j inclinés de i5° sur l'axe de la boite. Ces miroirs se touchent par une de leurs arêtes suivant la ligne moyenne mm d'une ouverture rectangulaire pratiquée à la paroi supérieure du tube et fermée au moyen d'une mince Teuille de papier huilé. Les rayons lumineux c]iii tombent sur le miroir j ,àpeupr^dansladipectioiide l'axeia, sont réiléeliis vers le liaut et éclairent la moitié mmo, du papier huilé; de même la nmiiic mmo. sera éclairée par les rayons rétléchis par le miroir «;.

Si maînlenanl aux points f, et f; de l'axe a<i, figure 82, on place deux

petites lumières intenses, tout se passe comme si les moitiés o, et o du papier liuilé étaient éclairées par les rayons des images f, et /"'; produites par les miroirs. Su[^sons que o, paraisse plus éclaiiéque o-. Si l'on éloigne la

tHTfeNSITÊi 437

flammé f^ le long de l'aie^ on remarque une diminution graduelle dans réclat de Oi. Parvenu en un certain point de Taxe^ la lumière fx produira sur Oi le même éclairement que ^ sur Os. Si Ton éloigne /*, au delà de ce points 02 présentera un plus grand éclat. On détermine alors avec le plus d'exactitude possible la position de f\ pour laquelle les deux moitiés du papier huilé ne présentent aucune différence appréciable dans leur éclairement. Sup* posons que cela arrive quand ^ est à une distance d du milieu g de Tinstrument. Enfin on choisit plusieurs autres lumières qui à la distance i donnent le même éclairement au papier huilé et qui par conséquent ont la même intensité que fx • Alors on transporte fx successivement aux distances ^d^^iy etc. etc. ^ et chaque fois on lui ajoute d'autres lumières d'égale intensité jusqu'à ce que 0| possède le même éclat que o,. On trouve qu'à la distance S dy il faut ajouter trois nouvelles lumières^ il en faut ajouter 8 à la distance 3 d. Il suit de là qu'une lumière à la distance d éclaire autant que quatre lumières de même éclat à la distance.2 d, autant que neuf à la distance 3 dy en général autant que n^ lumières égales à la distance nd .' ou en d'autres termes que l'intensité d'une flamme augmente ou diminue proportionnellement à la valeur réciprpque du carré de la distance. C'est une confirmation de la loi que nous avons trouvée pour le cas d'jin point lumineux, autant toutefois que la lumière produite par un ensemble de points lumineux, comme celle d'une flamme, donnera à une grande distance la même diminution d'intensité que celle d'un point unique. Et en effet soient p 1 , j92 . . . . (fig. 83), des points lunaineux dont les

Fig. 83.

P» • Ps Pt . •

intensités à la distance 1, sont t , , 12.... L'intensité de Téclairement en un point

P est alors - — ^- — 1 2 1- .... Or si l'espace dans lequel sont rassem-

blés les points lumineux est très-petit par rapport à leur distance au point P, on peut sans erreur sensible remplacer dans l'expression de cette intensité, les distances ;>,P, ;>kP.... par la distance j>iiP du point P à un point moyen, laquelle mesurera celle de P à l'ensemble de tous les points lumineux. L'expression de l'intensité de la lumière au point P sera alors ;

Iâ8 LUMIÈRE PARTrSLLÉMENT POLARISÉE.

et on voit G^u^elle est proportionnelle à la réciproque du carré de la dl^nce de Tespàce lumineux au point P* :