LOIS GÉNÉRALES DE LA .PROPAGATION DR LA LU.VIÈRK

posantes de cette même force accélératrice sont représentées par le produit de

la masse de la molécule et de la différentielle seconde de ses coordonnées par

d^ (x A- & d^ (y -4- vi) rapport au temps. Ces produits sont : m — l JL-ii, m — ,^ ' >

« -7-j OU bien, puisque x, y et z coordonnées de la molécule dans sa

d^H d-Yi position primitive de repos sont indépendantes du temps ^, »ï -— , m ♦— ,

dt^ dt-

^ dpî ^ maintenant nous identifions les expressions de ces composantes avec

celles que nous avons obtenues par la considération des forces effectives, nous aurons les trois équations suivantes du mouvement :

--- = w i / (Ar -f- Ap) -—^,

Elles expriment les lois de tous les différents mouvements de Téther en vertu desquelles chaque molécule décrit sa trajectoire autour de sa position d'équilibre seulement dans des limites très-restreintes. Chacun de ces mouvements peut se représenter par des équations de cette forme :

^=zff{xyzt) Yi = ^{xyzt) Ç == x (^ y ^ ^) ce mouvement devant s'appli(}uer à tojas les mouvements possibles d'un éther présentant la propriété dont nous avons parlé plus haut * les fonctions f, x,> ^ substituées à la place de Ç^ ^^ £ dans les équations II doivent les satisfaire, quand on donnera aux grandeurs x, y, z et t les valeurs correspondantes à une certaine molécule et à un certain moment du mouvement '^r on n'a pris pour point de départ ni un moment déterminé, ni une molécule particulière.

L'intégration complète des équations différentielles II, donnerait tous les mouvements possible^ analogues à celui énoncé plus haut. Cette résolution générale a été faite au moyen du théorème de Fourier, par M. Cauchy, dans son mémoire sur la dispersion de la lumière, 1836. Elle serait pour nous de peu d'importance ; il nous sera bien plus utile d'établir que le mouvement dans des ondes planes à vibrations rectilignes, fait partie des mouvements possibles de l'éther hoinogène, et par suite de déduire les lois ultérieures d'un pareil mouvement. Nous supposerons à cet effet toute la masse illimitée d'un éther homogène, traversée ^ par des ondes planes à vibrations rectilignea et

DANS LES MILIEUX nOMOGÈXES, DÉDUITES PAR L A^AETSE. i63

parallèles entre èlleâ. Par l'origine des coordonnées menons un t)]an parallèie aux ondes^ son équation sera :

(E> ar Cos.« -f y Cos. (3 + z Cos. 7=5:wa:+»y + a'^ = <y^ a, Py 7 étant les angles que sa normale fait avec les trois aies coordonnés.

Tout plan fiaotUèle à Ë passe par la position de repos des molécules d'éther qui à chaque instant sont dans le même état vibratoire^ c'est-à-dire^ qui sont également éloignées éans k même direction de leur position de repos et se déplacent avec une vitesse égale et de même sens. Nous représenterons par / les déplacements d'an pareil grc^u^ de molécules. Admettons que les vibra» tions rectilignes obéissent aux mêmes lois que celles d'un rayon polarisé en ligne droite^ alors pour toutes les molécules d'un plan parallèle à E on a i

/ =3 a Sin. — V t.

Nous supposons ici qu'on compte l'origine du temps au moment où toutes les molécules traversent leur plan^ pour ensuite se déplacer suivant les / positifs; et, comme dans la première partie, v représente la vitesse de pi^opagation, > la longueur d'onde et a l'amplitude, laquelle (k)it être regardée comme très-petite par rapport à la distance de deux molécules consécutives.

' Menons une ligne droite perpendiculaire au plan E, toutes les molécules qu'elle rencontre représentent un rayon lumineux qui ne se dîstingae évidemment d'un rayon polarisé en ligne droite, tel* que nous l'avons considéré dans la première partie, qu'en ce que sur lui Tes écarts peuvent ne pas être perpendiculaires à la direction de propagation ; car nous n'avons fait aucune liypothèse particulière sur la direction de nos vibrations rectilignes. Pour Téquation du rayon de lumière oh pourra prendre aussi (Voy. 1*^* partie, p, 72)

l ^=:s a Sin. — (i^^ — D) . ,

D représentant la distance d^une molécule au point de rencontre dû rayon et du plan E. Celte distance reste constante pour tous les points d^un plaïï parallèle à E et la dernière* éjjuation s'applique à tous ces points. Soient maintenant X, y, z les coordonnées d'un point, sa distance au plan Ë "sera représentée par l'expression . ,

X Cos. « -)- y Cos. p -f- z Coi. y r=r É .

par suite nous obtenojîs pour le mouvëment.en question de tout l'éther Vé^ quation suivante :

, i) . i^a Sin. — {vt -- E) .

Soient A, B, C les cosinus respectifs des angles que fait la direction des

{64 LOTS GÉ.\£RALES DI là propagation DB la LmiÈRK

▼ibrations avec les axes des x, des y et des 2. En représentant de noufeM par S^ 17 et ( les déplacements d'une molécule d'éther suivant les axes, ou oe qui est la même chose les projections sur ces aies de son déplacement, on a

Ces valeurs de i, -n et (^ doivent maintenant satisfaire les équations différentielles n, si le mouvement dans les ondes planes exprimé dans l'équation I) ou dans les trois équations 2) est compatible avec la constitution de l'éther homogène qu'on a supposée. Avant d'entreprendre cette substitution il sera bon de donner aux équations différentielles une forme plus commode.

A c«iu8e de la petitesse de la variation A/b on peut poser avec une approximation sufflsante :

Pour la même raison on a

(Aar + AÇ) A — -^^ Ax4-Ag __ AX + AS / 1 \ / ^^^'/y^ ^f

Ar-f-A/)"" Ar \ \ a. ^P 1~ ^

Si nous effectuons la multiplication indiquée ici et si nous négligeons le

terme — -^ . puisqu'il est de même ordre que la seconde puissance de AS ou Ar*

A/o> nous obtenons [lour le quotient précédent,

A3?-f" ^ A3? Ap

• Ar Ar^

par conséquent :

d'où l'on déduit de nouveau^ en effectuant la multiplication et en négligeant les termes de la deuxième puissance^ en A$ et Ap ;

/• (AT) ^i±i! + [AT r (AT) - Aar)] :^

OU bien si nous posons pour abréger

AT /^ (Ar) — /* (Ar) = y (Ar) et si pour f (Ar) et 7 (Ar) nous écrivons tout simplement f eXf

Dès lors à la place des équations II nous pouvons écrire les suivantes :

do V AT ^' AT' /'

JtJMB LES HII.IEOX BOXOGËNES, DÉDUITES PAB l'aNALTSB. 165

dt' V ^ ùr'J

A cause des équations I de la page 460^ qui sont aussi^ comme nous rayons remarqué^ applicables pendant le mouvement puisqu'elles expriment l'état initial de Télher^ les équations différentielles précédentes ce transforment en les suivantes :

dt' V àr^^ Lv )

Enfin pour exprimer L^ en fonction de A^^ ^ et A(^ remarquons que Ar' = bac} -|- Ay' -f" ^^ ^^ même que

(AT + A/>)» = (Aa? + AÇ)2 + (Ay + A>î)» + (A« + AJ)»

équations qui donnent à cause de la petitesse de a;^ A^^ A( et A/b

^ Ar ' Ar * Ar Substituant cette valeur de Ap dans les équations différentielles, on les change en les suivantes :

dt' ' Ar

d\ dt

* ' Ar ' Arl AT" ' Ar' Ar^ y

^« = «2/'il+«.2JL?^Aç + ^,ç + ^A,y dt' ' Ar * . Ar V Ar' ' Ar' ' Ar' J

Dans ces équations plus commodes nous allons maintenant substituer kl, Bl, CJ à la place de Ji, vi et (. A cet effet calculons d'abord les valeurs de ai, A«? et A(. Nous avons :

ç = A / = A tt Sin . ?jî^ (v^ — E) s= A tt Sin. — t;^ Cos. — E — A a Cos. -^ vt. Sin. -^ E.

Pour abréger posons :