AXE OPTIQUE. — DOUBLE RÉFRACTION

Le phénomène remarquable de la double réfraction / dont nous avons eu déjà occasion de parler dans la première partie, était observé depuis longtemps avant qu'on eut mis hors de doute, par des recherches sérieuses, que la double réfraction était une propriété générale de tous les cristaux, excepté de ceux du système cubique : seulement il ne présente que dans quelques-uns d'en-» tre eux, comme le spath dislande et le nitrate de soude, un si haut degré d'évidence qu'on Fy reconnaît immédiatement.

Nous sommes redevables de cette loi à Brewstcr qui à enrichi Foptiqae tie si belles découvertes. Il démontra Texistence d'un seul et unique axe optique dans un .très-grand nombre dé cristaux têtragonaux et hexagonaux, de même que sa coïncidence avec Taxe principal cristallographique. A ces importantes observations, il ajouta la découverte, dont noiis parlerons plus tard, delà double réfraction à deux àxès optiques dans les cristaux dés systèmes isoklinique, monoklinique et triklinique, et réconnut dès lors l'importance que possèdent les axes cristallographiques relativement aux propriétés optiques.

Huygheùs (mort en 1695), le mênie qui déduisit la loi de Descartes de la théorie des ondulations, donna une explication satisfaisante de la double réfraction du spath calcaire ; il la déduisit de l'hypothèse d'une surface de Tonde, qui coïncide exactement qUant à sa forme et à sa position avec celle que nous.avons trouvée par une autre méthode pour les cristaux tétrago-^ naiix et hexagonaux.

Le développement le plus importait de là loi de Huyghens pour la réfraction .du spath dlslandeet du cristal de roche, la détermination de l'indice de réfraction moyen de ces corps, de même qu'un grand nombre de recherches à l'appui de cette théorie, furent faits par Malus dans sa a Théorie de la double réfraction » 18i0. La polarisation dé là lumière, que ce physicien découvrit en 1808, introduisit dans la théorie de la double réfraction deux nouveaux éléments, la direction de la polarisation et l'intensité. La loi, appelée loi du Cosinus, c'est-à-dire, celle qui détermine pour une incidence

22i SYSTÈME TfiTRAGONAL RT SYSTÈHR HEXAGONAL.

perpendiculaire les intensités des rayons réfractés (voyez 1'* partie^ page 99), est due aussi i Malus (i). Les phénomènes de polarisation par double réfraction furent développés dans toute leur généralité par Tillustre Fresnel (mort pu i81l6)^ dans un mémoire qu'il présenta à TÂcadémie des Sciences, et qui fut publié en abrégé dans les Annales de chimie en 1825.

Passant, après cette courte notice historique, à Tétude de la réfraction dans les cristaux à un axe, nous remarquerons tout d'abord que dans cette classe de phénomènes l'accord de Texpérience avec la théorie est tellement complet, qu'il est superflu d'indiquer dans la suite, comme nous l'avons fait jusqu'à présent, les limites de l'une et de l'autre.

Supposons qu'un faisceau de rayons parallèles de lumière non polarisée, ou en d'autres termes, une onde plane, arrivant d'un milieu isotrope ambiant, tombe sur une des faces planes qui limite un cristal tétragonal ou hexagonal.

Les points de la surface de séparation que rencontre le faisceau incident seront, d'après le principe d'Huyghens, les centres d'ondes lumineuses élémentaires qui, prises en particulier, reviennent en partie dans le milieu isotrqpe, et en partie pénètrent dans le milieu anisotrope. Les demi-ondes qui reviennent dans le milieu isotrope sont de forme sphérique, et se combinent en une nouvelle onde plane, qui, pour la forme, la position et la direction, obéit i la loi de la réflexion sur la surface de séparation des milieux isotropes. Les demi-ondes, au contraire, qui se propagent dans l'intérieur du milieu hétérotrope, prennent la forme de la surface de l'onde qui est propre à ce dernier. Mais celle-ci consiste, comme nous l'avons vu, en une partie sphérique et une partie ellipsoïdale. Les parties sphériques "^e composent évidemment en une onde plane réfractée absolument de la même manière qu'il arriverait à des ondes sphériques qui pénétreraient dans le second milieu, si celui-ci était isotrope ; et cette onde réfractée suivra aussi la loi de la réfraction pour le passage de ta lumière d'un milieu isotrope dans un second, c'est-à-dire qu'elle sera perpendiculaire au plan d'incidence, et sera limitée par un cylindre qui lui est perpendiculaire, et a pour directrice le contour de la portion échûrée de k surface réfractante; puis en appehmt toujours t l'inclinaison de l'onde incidente, et r celle de l'onde réfractée avec la surface de séparation des deux milieux, on aura :

Sin. i

Sin. r

= Constante.

(i) Voyez dans le repertoir d'optique moderne de Moi^o, tome IV, page 1776, jes recherches d'Arsgo sur ceUe loi »\ importante pour la photomé&rie noufelle.

SïSTfeME TÉTBAi;«>*L KT SVSTtMK IIKXAliaNjtl.. Hii

Comme dans le cas de deui milieu)^ ordioaires, ce rapport est eiicure i-ffil ïu quotient du rayon de la surface d'onde spljérique dans le premier milieu diTtsé par celui du second, de telle sorte qu'en repré^nlanl celui-i-i par o i-l la vitesse de la lumière dans le premier milieu par t% on a

Si», i V . ,

Siu. ;' ~ V'

A cause de i-eltc idenlJlé avec les phéuoinênes de la tvCiiitliuu uidiii.iire, un ;i appelé cette onde, dont Dous \enoii.« Je parler, et les rayons «lui lui cur; œspondent, onde ou rayon réfracté ordiwnremmi , ou simplement, 'nidi- nu rayon ordinaire.

Mais il en est tout autrement des ondes qui proviennent des ondes élémenlaires ellipsoïdales. Il est vrai qu'elle^ sont aussi planes el perpendieulaîres au plan d'incidence ; mais elles dilTèrent des ondes ordinaires par leur déliniitatioD, par la direction de propagation d'un point de leur contour, et par la vitesse de propagation. Nous nous en convaincrons de suite en employant la construction d'Huyghens voirl"partie, page ir>). Autour du point 0(tlg.1il\ construisons la surface d'onde F du cristal^ avec les dimensions qui correspondent au temps pendant lequel le jioint ë de l'otide incidente se propage en K'. Ce

fig. 144.

temps a pour eipression ; d'après les nolalintis que nous avons ailoiiIiVs,

le demi-axe de roUtlion de celte surface est alors = u — '- et le rayon de i^on i^qmieur = f ' — . Elcïoas en E' un? pcrpendieuluire au plan il'iniidenee

236 SYSTÈME têtuagonal et système hexagonal.

et par celle-d menons un plan tangent à la surface de l'onde : ce plan tea celui de Tonde réfractée sur laquelle a dû se transporter Tétat vibra-

toire de Tonde DE au bout du temps — . Il est perpendiculaire au plan d'incidence et conserve cette direction^ tandis qu'il se propage parallëlement à luimême dans la direction de sa normale. Hais Tonde réfractée dans ses positions successives sera toujours limitée^ d'après le principe d'Huyghens, par le cylindre dont la directrice est le contour dé la portion de la surface réfringeate frappée par la lumière^ et dont la génératrice est parallèle à la droite qui joint le point D au point de contact d de Tonde plane Wdét de la surface de Tonde. Cette ligne de jondioa et par conséquent Taxe du cylindre n'est en général ni parallèle au plan d'inddence^ ni perpendiculaire à Tonde réfractée. La direction des rayons réfractés , c'est-à-dire, la direction de leur cylindre limite sort donc du plan d'incidence ^ est inclinée sur le plan de fonde ; les rayons se propagent suivant une autre direction que les ondes.

A cette déviation des lois de la réfraction et de la propagation dans les railieux isotropes^ il faut encore ajouter que la vitesse de propagation et la direction des rayons, aussi bien que des ondes, changent avec la position mutuelle du plan réfractant, de Tonde incidente et dç Taxe optique.

Ces ondes et ces rayons s'écartant des lois de la réfraction ordinaire seront appelés êxtraordinairement réfractés ou simptement ondes ou rayons extraorâinaireê.

Nous regarde» comme superflu d'insister davantage sur la £lér«ioe des ondes ou des rayons ordinaires et extraordinaires^ quant à leur d irect i on de polarisation ; cela se déduit facilement de tout oe que nous avons dil.{ De mime il n'est pas difSeile de trouver l'expression de la vitesse i\m riyon suivant une direction donnée. Elle est, en effet, mesurée par la longueut du rayon de la surface de Tonde construite pour l'unité de ten^, dans U direction même du rayon lumineux. Représentons dès lors la vitesse de ce deirnier par S^ et son inclinaison sur Taxe optique par ^, on a :

^ / JL Ck)s.' ^H- -V Sin.'^ ^.

Nous aurions ici à résoudre, pour le passage de la lumière d'un milieu isotrope dans un milieu hétérotrope, le problème général suivant : pour une incidence quelconque et une position quelconque de Taxe optique relativement au plan d'incidence et au pian de séparation, déterminer la propagation et la

SYSTÈME TÊTRÀGONàL ET SYSTÈME HEXAGONAL. 227

polarisation ^e la lumière réfractée^ ou bien seulement des ondes et des rayons extraprdinairés^ puisque ceux qui sont réfractés ordinairement ont des 1<M8 i^éjà coipues. Nous allons indiquer la marche générale i suivre pour la solution de ^tte question et étudier ensuite quelques cas particuliers.

D'abord, déterminons la direction et la vitesse des ondes réfractées. Reprenons la construction de la figure iAA, dans laquelle nous supposerons, ce qui ne détruit pas la généralité^ que la longueur DE' est égale à Tunité. Soit en outre r^ÎBcUniûson de Tonde incidente sur la surface réfradante, r inclinaison de Tonde réfractée, n le pied d'une perpendiculaire menée par le point D à Tonde réfractée dans le plan d'incidence. Sui^iosoos trois ates d\an système de coordonnées rectangulaires dont celui des z est normal à la surface de séparation en D, et celui des x, dans le plan d'incidence, et soient u, v, « les cosinus des an^es que Taxe optique fait avec ces trois ates. En représentait par W la vitesse de Tonde réfractée on aura :

E'E : Dn = 8in. i : Sin. r = y ; W.

d'où i) Sin. r = — * Sin. t.

Mais si f représente l'angle de Taxe optique arec la normale à Tonde, on a :

2) W = V/o'^^.'f + <?'8in,»fsa S/e' + (o^ — t*) OonJ f. et pour déterminer f

3) Ck». f^n SXû. r -f w Gbs. r.

De 1) et ^ on déduit, en leprésentant par t et m les constantes -^ et — :

SiD-' r

= Sia.^ I ri. + /± ± \ (u Sin. r + w Cos. r)M

et de cette équation on peut tirer la iFaleur dis r, direction de Tonde réfractée, en fonction des constantes c, u, u, ¥, w, et de l'angle dincidence. Une fois r trouvé, Téquation 3) donne la valeur correspondante de f et par suite l'équation 2) la vitesse de Tonde»

Gomme cas & remarquer nous pouTons indiquer ici celui ou Taxe optique est perpendiculaire au plan d'incidence. Alors u œs 0, w = et v = i ; on

trouve pour r :

Sin. rs= — Sin, i.

Nous voyons d'après cela, qu'alors la réfraction a lieu suivant la loi de Descartes, et un coup d'œil jeté sur les figures 145 et 446 qui représentent la construction d'Huyghens pourtse cas, suffit pour nous en convaincre lui-

2iK svsTtMF: Tf:rii\i;o:<Ai. kt KïSTtxE m-ixAUUKjLL.'

mûli.il'Mii['iil. Li' cuclliui'iil — est iiKléiKiiiiliiiil de la diitelion de l'uiide réfractée cl r^l ^gal iiu qiiolient de la vileSsc n de la Ittmière dans le milieu isotrope Fig. 145.

Fig. i46.

|vir la luii^iicnr ihi imvoii éi(iMturi<il « de la surfais de l'onde : nous appedcnitts U ijuautik- £ l'ioitirr de réfmclion principaf des «udes evlraordinairps. I.e? \ibnlions de»: omle^ ivfracires soiil ici perpendinilaires au plan iHorHleu-e. n faut encore reiii,irt|uer en mitre le ras mi l'aie optique est dans k plan li'incideiH-e . et «w raiiirle d'iucklem-e a une taleiir te!le que l'mi* rèfradée e-J peqtendiciilaire à l'a^e Aptîqiie. Les rapports mutuels entre la position de l'ave optique., cl les aa^ d'iocideDce et de nTractkn, auxquels cela corrtspomt, »>ol drames par les êquatmos :

H Sio. r + » Cos. r = 1 et SÎD. r = — Sn. ».

PU bquHIe deruière se change réqnatioa piM»r (^în. r à «ause de la première rt-btîiiu. CAXunie itows le toïwis,. les oodes extnordÎBahes seroul ki réfractées •imme les ondes onbiuùres : ta dirvttkin de leurs o^tUlatîoK s^ra auE^ iodé-

SVïlkHK 1Ë1KAGUNAL El SVSTtlIi: Hli;:iAttO>AI.. 2^

Ici'tuiui-c, pitiH^tiu leur uuruiale arrive à cuïuchIui' avec l'Me optii[Ut. Lu |iartie sphérique et la partie ellipsoïdale de In surface de l'onde touchant le plan E'c^ an raèine point, la différence entre la réfhicdon ordinaire et l<i réfi-actkin extraordinaire di^rait. (Figures 147 et 148.)

/•Vy. {48.

Eliiilions mainleiiHiit les rayuns réfraclts. Les demi-ases de la surTace F, (|ui nous seit iwvir trouver la lumière réfractée, sont d'après notre système de notations :

EE' f^ o. . Sin. t" EE ' o . . Sin. i

RepTésentons-les par a et b, et puisque le plan de l'équateur d<»t être nprésentê par l'équatiiui :At=ux-|-Ty-|-«': = 0, nous obtenons pour la surface F :