DE FRESNEL

La construction des ondes planes^ telle qu'elle fut indiquée pour la première fois par Fresnel^ s'écarte de celle que nous avons donnée plus haut (i). Elle repose sur la considération d'une surface qui est dans une relation telle avec l'ellipsoïde E^ que chacun de ses rayons est réciproque du rayon de l'ellipsoïde dans la même direction. Soit r un rayon de l'ellipsoïde E^ et u^ v^ ^, les cosinus des angles qu'il forme avec les trois axes^ ^i et ^2 ses angles avec les axes optiques^ on a dès lors :

-i- = a'u^ + 6-V' -f c^w- et aussi 4r = *' — («' — ^') Cos. ^^, Cos. 412.

Si maintenant le rayon p d'une nouvelle surface doit être égal à la valeur réciproque de r, il faut prendre pour équation de cette surface :

p'>- = a^u- + ^^-v* + c'w', ou /)* = aV'u'- + b'^fi'' + cy vr% c'est-à-dire, (x^ + y' + «')' = a'x^ -f b^'y^ -f c^z\

L'équation de la même surface en coordonnées polaires dans l'espace, sera :.

f" z=:zb^ ^ (a* — c') Cos. 4», Cos >{»,.

Fresnel a nommé la surface représentée par ces dernières équations, surface à' élasticité optique ou simplement surface d'élasticité. De sa relation avec l'ellipsoïde E, il résulte immédiatement qu'un plan mené par le centre commun des deux surfaces, coupe la surface d'élasticité suivant une courbe fermée à deux axes, dont les axes égaux en longueur aux valeurs réciproques des axes de la section diamétrale de l'ellipsoïde, se confondent en direction avjc ceux-ci. Ainsi, parallèlement au plan diamétral, se propagent deux

(i) Pour Tanalyse qui a conduit Fresnel à la surface d'élaslicité, voyez Optique d* ilerschell, S 997 et suiv.

CIlSTAUl BANS AX8 PKInCIPAl. iQti

onda, dont les directions de vibrations et les vitesses sont déterminées par Ut directioni et les grandeurs des demi-axes de cette sectimi curviligne.

Il n'est pas Décesaaire de démontrer d'une in<mièrc particulière, que les sections principales et les aies de l'ellipsoïde sont aussi les sectiona prinâptles et les aies de la surface d'élasticité, de même ausû que la surface d'élasticité peut être coupée suivant des cercles et que ces sections circulaires s» confondent avec celles de l'ellipsoïde.

Cette surface d'élastidlé, comme l'a démontré le mathématicien allemand L.-J. Magnus (voyez ses Leçons de géométrie analt/tique à trois dimensions), est dans un rapport remarquable avec l'etUpeoîde représenté par l'équation suivante :

Nous appellerons celui-d second ellipsoïde par opposition à l'ellipsoïde E. . Les sections principales des deux surfaces se confondent, les aies de l'ellipsoïde @ sont les valeurs réciproques des ajes dirigés de la même manière daas E, et sont par conséquent égaux aux aies de la surface d'élasticité.

L'ellipsoïde @ est tangent au point x', y', z', au plan f^ j y^ L i!l = I.

«ï "r é' ' c^ Menons du centre une perpendiculaire sur ce plan, elle aura pour équations :

■Fig. i69. x^ y^ x<

Eliminons maintenant dans les équations de la perpendiculaire, du plan tangent et de l'ellipsoïde, les quantités x', y', z', nous obtiendrons évidemment une relation entre les coordonnées des pieds de toulei les perpendiculaires, que l'on peut mener du centre sur les plans tangents de @, en d'autres mots, l'équation du lieu de ces pieds. On trouve facilement pour ce lieu :

Ce qui n'est autre chose que lasurfaca

2GG cnisTADS SAiia a» phikcipal.

d'élastidlé. Celle-ci enveloppe de tous cAl^g l'ellipsoïde 6 excepté aui sommets où les deux surfaceR se toucheot. La ligure 469 représente les trois sections principales des deux surfaces.

consTktcTioit m, fluceer des ondes planes au hotek de l'ellipsoïde @.

On peut aussi, comme l'a montré Pllicker (I), se servir de l'ellipsoïde^ pour la construction des ondes planes. En effet soit TT [ligure 170), le plan Fig. 170, tangent de l'ellipsoïde @ au

point t. Menons par le centre o une perpendiculaire op sur ce plan, son (ùed p est un point de la surface d'élasticité dont op est un des rajons. Perpen* diculairement au plan du triangle iop, on mène par io ua plan ; il coupe l'ellipsoïde suivant une ellipse SS dont un aie est évidemment ol. En tous les points de celte ellipse on pourra faire la même coustniction que pour le point t. Les plans tangents T formeront un cylindre elliptique ce, tangent k l'ellipsoïde suivant la section diamétrale S. Mais les pointB p représentent évidemment dans leur ensemble continu l'intersection de la surface d'élasticité par un plan mené suivant op perpeDdiculaireroent au plan du triangle lop et à l'axe du cylindre. Un axe de cette section est op, puisqu'cn effet le plan top est une section principale du cylindre et que tout est symétrique par rapport à lui des deux cdtés, d'après la conslruclîon. Donc, d'après ce qui précède, pot est un des plans de vibrations qui correspondent au plaa mené par /)o perpendiculairement à pot et la vitesse qui lui correspond est op. Nous en déduisons la proposition suivante : Oh mène en un point de l'eUiptoîde @ un plan langent et on abaisse sur ce plan et du centre ttne perpendicuioire, la longoeur de celle-ci reprétente la vileue et le plan passant par le centre, le point de contact et le pied de la perpendiculaire ett le plan des vibratims d'une des deux ondes, qui correspondent au plan mené par la perpendiculaire et perpendictiiairement au plan det trois points précédents.

{11 Discussion lie la forme géncrilp des onile» lamînewe*. — Journal dt mathi' luUiqut dt Crelle, vol. XIX.