SURFACE BK L ONDE DES CRISTAUX A DEVX AXES
au cercle et à l'ellipse. La bissectrice de l'augle oblus de ces tangentes est l'axe du atae. Toute une moitié des tangentes »x et es est complètement en Fig. 178. dehors de la surface de l'onde ;
ces moitiés touchent la partie eitérieure de la surface, celle qui corre^Mmd aux rayons les plus rapides de la première espèce. Les autres moitiés des tangentes qui pénétrent dans l'intérieur de la surface, sont tangentes à la partie interne de celle-ci, à celle qui correspond aux rayons les plus lents de la seconde espèce. La même chose a lieu pour deux arêtes du cône limitant une autre section axiale. Toute la nappe du cône ea dehors de la surface est tangente à celle-ci par sa conYeiité, en formant uti creux en forme d'entonnoir qui plonge de tous côtés vers la surface au point singulier. La seconde nappe touche par sa concavité l'enveloppe intérieure de ta surface, comme un paxillon de cor, vers lequel pointe la surface au point singulier. Dans la figure 179, s, d rc-
Fig. il 9.
présente la portion de l'enTeloppe extérieure limitée par la courbe de contact du plan tangent singulier et <iSi est la portion qui correspond au point singulier de l'enveloppe Interne. Mais, pour rendre plus sensible la courbure, on a exagéré dans te Tmsinage des points singuliers le pointement et la dépression. La figure 180 représente l'enveloppe externe S, et l'enveloppe interne S, séparées et dans une poùlion telle, que leurs axes sont dans la même direction que ceux des surfaces E et @, etc., dans tes figures précédentes. SI l'on découpait en quelque sorte la surface de l'onde suivant les courbes de contacl, elle serait partagée ea deux parties. Une d'elles est l'enveloppe extérieure sans les quatre rebroussements commençant à ces courbes et pénétrant dans l'intérieur en forme d'entrainoir. La seconde est formée par l'envetiçpe interne [dus les quatre portions en entonnoir. Les plans tangents à la première partie sont évidemment distants du centre d'une quantité plus grande que le demi-axe b et moindre que le grand axe c : celte
290 SCItFACE DE l'onde DES CRISTAUX A DEUX AXES.
portion et ses plans tangents correspondent aux ondes les plus rapides, à celles de la première espèce. De même la seconde partie, dont les plans
tangents sont à des distances du centre comprises entre 5'ei te plustwlît demi-axe a, correspond aux ondes de la seconde espèce, qui sont les plus lentes.
La fonne propre à la surface de l'onde au voisinE^e des points singuliers éclia[^ à l'illustre Fresnel; elle fut pour la première fois complètement reconnue par le mathématicien anglais Hfunillon (I). ' Si du centre de la surface de l'onde, nous abaissons des perpendiculiùres sur les plans tangents'aux points singuliers, celles-ci formeront évidemment deux cônes concentriques, les cônes supplémentaires des c^nes de contact. Mais comme deux c^es de contact, dwt les sommets sont diamétralement opposés, ont leurs sections principales parallèles, les perpendiculaires qu'on mènera sur les plans tangents d'un pareil couple ne formeront qu'un seul etae. Dans la suite nous nous occuperons des rapports de ces cdoes supplémentaires avec la surface de l'onde ; nous allons seulement chercher leurs équations et pour cela nous emploierons la méthode indiquée par Plucker.
Un plan mené par un point singulier de ta surface de l'onde, la coupe évidemment suivant une courbe pour laquelle ce point est aussi singulier. Mais de la posilton du plan dépend la nature de la ^giilarité de la courbe, savoir si le point est un point double proprement dit, c'est-à-dire, l'intersection de deux branches réelles (Pig. 181), ou un point isolé (Fig. 18â), ou enfin un point de rebrousseraent (Fig. 183J, qui est le passage du premier cas an second. On a évidemment un point de rebroussement quand le plan est
(1) ^n». de Pogg. XXVIEI.
scrpàcb de l'ondi! des cbistal'x a deux axes. âOI
tangent à la surface de l'onde. En effet, un plan tangent en un point Eingulier ne conpe paa Ift ponton interne de la surface de l'onde, maiB bieal'ea-
Fig. iSi. Fig. i8i. Fig. 483
veloppe externe et il la coupe suivant une courbe dont les tangentes au point singulier sont les deux lignes droites commuires au plan tangent et au cdne de «Mitact. En ce point, par conséquent, la courbe d'intersection présentera un point de relroussemenl. Réciproquement, quand cela aura lieu, le plan do la courbe d'intersection sera tangent à la surface de l'onde. Soit donc :
uj -f- Ty -f wï = f , rêquati(Hi d'un plan quelconque mené par le poùt eInguUer. Projetons sur le plan des xy la courbe suivant laquelle il coupe la surface de l'onde, nous aurons pour équation de cette projection, en remplaçant z.par sa valeur dans l'équation de la surface :
Cemme duis cette projection, là projection du («int singulier sera aussi impuni singulier, OTi aura, en représentant par x', y', z' ses coordonnées :
ax dy
Si maintenant dans la courbe d'iatersecâoB elle-nttoie, le point singulier est un point de rebroussement, cela doit ausn avoir Heu dans la' projection,, et réciproquement la conrbe d'intersection- aura an point dé rebrousseracnl si la projectitra en a un, Mais Ia projectien du point singulier sera un poînb de rdvoQsaenient, si on a :
\ dx'dy' f dx'- dy'^
Notre plan sera donc un plan tangent quand ses coordonnées w, v, w
292 SOBFACE DE l'OMDB DES CRISTAUX A DEUX AXES.
satisferont à la dernière équation^ et alors aussi, si on suppose que u, y, w soient des coordonnées paramétriques, cette équation représentera la surface enveloppe des plans tangents du point singulier, c'estrà-dire, le cône de contact. Opérant les différentiations indiquées, il Tient :
, aV'w» + a'cV +c^z'*u^ — (a* + c')«'a'uw==0 ou aussi: (i» a') w^ + (c^ — a^) V» + (c^ — h^) u'
+ fULfl i/(ii — a») (c* — 6^) u w =^ 0.
ac
De cette équation du cône de contact il est facile maintenant de déduire
celle du cône supplémentaire cherché. Soient x, y, z les coordonnées et 77) le
rayon vecteur d^un point de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le
plan (u. Y, w), p étant la distance de ce plan à Torigine, on a :
rp ' rp ' rp
En substituant ces valeurs de u, v et w dans Téquation du cône de contact, on obtient une relation entre les coordonnées de tous les points des perpendiculaires que Ton peut mener de Torigine sur les plans tangents au point singulier, c'estrà-dire, l'équation cherchée du cône supplémentaire, on trouverait :
a^x'^z^ -f aVy' -}- cH^^x^ — (a» + &") x^z^ xzt=zO ou (6» — a-) z= 4- (c» — a') y» + (c' — fr=) x^ — a^ + c^ ^ — ftg) a; g = 0.
On pouvait reconnaître à priori que les deux cônes représentés par cette dernière équation, sont symétriquement placés par rapport aux plans des yz et des yx, et qu^une section principale coïncide avec le plan des zx. Mais les conséquences suivantes, pour lesquelles nous avons précisément cherché cette équation, sont moins évidentes.
Faisons tourner le système des coordonnées autour de Taxe des y, jusqu'à
ce que Taxe des x passe par un point singulier (fC\ 0, z'). Pour Tangle a
dont on doit tourner, on. a :
Cos. a = -y- Sin. R =3 -7à
Les coordonnées primitives x^ et z\ s'expriment dès lors en fonctions des
nouvelles x tXz respectivement par :
xx^ — zz^ , xz^ 4- zx' ; et z
L'équation du cône supplémentaire appartenant à {x^y 0^ z^) par rapport au nouveau système de coordonnées deviendra :
o* x" (xz' + zxy + a^ b^ c^ y^ + c' 2»^ {xx' — zzY — («' + <?') ar' «' (ara?' — zz') (xz' + za:') = 0.
Et pour son intersection avec le plan des yz il vient :
z' (x^^ + z'*) (o'ar'^ + c^ z'2) + a' ô^ c' y' = 0.
Mais comme pour le point singulier^ intersection du cercle et de Tellipse formant la section principale xz, on a
. a?»* + z'^ = b^ et û^ ar'' + e» z»» es a^ <?'
la dernière équation trouvée se réduit à
qui veut dire que le plan zy est une section circulaire du cône. Or le nou^ veau plan zy est perpendiculaire à l'axe optique secondaire passant par k point singulier et cet axe est une des arêtes du cône situées dans la section principale xz. Dès lors le second plan de la section circulaire est aussi perpendiculaire à la seconde arête et cette seconde arête n'est évidemment nei» autre chose que la normale à la tangente menée^ par le point singulier^ à T^llipse de la section principale arz. Les deux plans des sections circulaires du cône sont donc perpendiculaires au plan des xz et parallèle aux tangentes que l'on peut mener par le point singulier au cercle et à V ellipse de la section principale xz.
