CHAPITRE X

Pa«Nic« de la lamtère d'an mlllea Isotrope dans nn cristal à

denx axes*

Les cristaux à deux axes possèdent aussi la double réfraction ; on en reoonnaitra la raison^ si dans la construction des ondes et des rayons réfractés dans les cristaux à un axe (page 225) on remplace la surface de Tonde de ces derniers par celle d'un cristal à deux axes. Celle-ci se compose^ comme la première, d^une partie interne et d'une partie externe et à chacune d'elles.

394 PASSAGE SB Là LtMitfte d'ch iilibu isotiopk

on ne peut dans le milieu cnstallin mener qu'un seul plan langent par la perpendiculaire éleTée en Ë' au plan d'incidence. Nous tenons ainsi toujours deui ondes et deux rayons réfractés. Les normales aux ondes sool toujotm dans le plan d'incîdencx, ce qui n'a pas lien pour les diredions des rajous, qui tous deux en général sortent de ce plan. Dès lors il n'y a plus à diibuguer ici les rajous ordinaires et les rayons extraordinaires. Les deux rayons, en lesquels se dinse le rayon incident, suivent des Icâs de rérractira partie euUëres.

Pour démontrer ce Tait important, Presnel a donné deux méthodes. Noas nous bornennis id à suivre la marche la plus directe, et pour l'autre, qui suppose la cramaissance des phénomènes de diffraction, nous renverrons à l'optique d'Herscbel, 1014. Fresnel tailla dans la même tapize deux piismes isocèles dont la face latérale inégale était perpendiculaire à la tnssectrice de l'angle aigu des deux axes et par conséquent parallèle à la face de plus facile clivage. La base d'un prisme était parallèle à la section principale passant par Fig. 184. '^ P'**^ pcUfe diagonale (le plan des aies opti-

ques) et celle du second l'était h. la section menée par la plus gnmde diagonale (celle qui contient la bissectrice de l'angle aigu des axes optiques et la normale à ces derniers).

Les deux prismes ftirent réunis par leurs bases de manière que leurs arêtes soient en proloi^ement et furent ensuite polis ensemble pour leur donner exactement le même angleréfringent : celui-ci avait une valeur de 93°. Enfin le double prisme ainsi obtenu fut achromatisé par des prismes de verre placés des deux côtés. (Fig. 181.)

Si les lois de la double réfraction dans la topaze sont lès mêmes que dans les' cristaux à un axe, cette réfraction ne pourra être que positive, l'axe optique coïncidera avec la bissectrice de l'angle aigu des axes et les deux portions du double prisme devront présenter exactement les mêmes propriétés. Ce n'est pas ce qui arrive. Lorsque Presnel regarda à travers le prisme disposé horizontalement une ligne noire horizontale éloignée et I^acée sur un fond blanc, et qu'il tourna le prisme autour de saa arête réfringente, jusqu'à ce que la plus déviée des deux images de la ligne eut atteint son mininnun de déviation, l'image la moins déviée lui parut Imsée à l'endroit où les prismes partiels se touchaient, tandis qu'il ne vit pas une pareille rupture dans la première image. La ligne brisée paraissail le l[4as

©ANS UN CRISTAL ^ l^UX AXES. 295

éloignée de Tautre dans le prisme dont la base était parallèle au plan des axes optiques.

A l'image non brisée, se trouvant au minimum de déviation, correspondaient respectivement dans le cristal les directions de la bissectrice de l'angle obtus des axes et de la normale aux axes optiques, et cette image avait acquis une réfraction analogue à la réfraction extraordinaire. La réfraction de l'image brisée et la moins déviée est analogue à la réfraction ordinaire d'un cristal à tm axe. La réfraction dans la topaze n'est donc pas la môme suivant la direction des deux bissectrices des axes, que suivant leur normale ; l'indice de la première est plus grand que celui de la dernière.

Nous a|Mrions pu déduire tous ces résultats des mesures de Rudberg, que nous avons déjà rapportées ; mais nous avons cru devoir citer cette intéressante expérience de Fresnel à cause de l'importance qu'elle a eue pour le développement de l'optique.

Bien que In construction géométrique des rayons et des ondes réfractés dans un cristal à deux axes soit très-simple, cependant leur détermination analytique présente d'autant plus de difficultés que les propriétés de ces rayons et de ces ondes sont représentées en général par des expressions assez compliquées. Nous noterons donc qu'indiquer la méthode qu'il faudrait suivre dans un cas particulier; l'emploi de cette méthode pourra, quand ce sera possible, être abrégé au moyen d'approximations convenables, mais desquelles on ne pourra rien conclure de général ; tel est le cas où l'on se propose de calculer ce qui se passe, dans un cristal avec la lumière polarisée convergente.

En prenant pour axes coordonnés, les mêmes que ceux que nous avons chobis dans l'étude de la double réfraction dans un cristal à un axe, soient «,, Pi, 7, et «>, P2, 72 les angles que font avec ces axes les deux axes optiques (qui doivent être donnés de position, ou dont la position doit pouvoir se calculer au moyen de celle donnée des axes principaux optiques et des constantes du milieu). Soient en outre r' et r" les angles cherchés que les normales aux ondes réfractées font avec la normale au point d'incidence et 7/, 72 '> ainsi que 7,^', ^2" <^u^ m^^ chacune de ces normales fait avec les axes optiques, on a d'abord :

Cos. y,' = — Cos. ai Sin. H + Cos. 71 Cos. r' . Cos. ^j' = — Cos. «2 Sin. r' -f- Cos. 72 Cos. r' ' ^ Cos. î»,"==— Cos.a, Sin. r" + Cos. 7, Cos. r" Cos. ^ï" = — Cos. a, Sin. r" -f- Cos. 72 Cos. r''.

v' et v'' étant les vitesses inconnues des ondes réfractées, i l'angle d'inci-

996 PÀSSàGE DB LA LUMIÈBÏ D*Clf HILlEi; ISOTBOPK

deoce donnée et t; la vitesse coonue dans le milieu isotrope^ nous aTons :

p' 8in. r" y" 8in. r" t? Sin. i » Sin. i

Eofinsi o' oorreqpoiid à Tonde la plus rapide et v" à la plus lente, on a :

3)t/ = s + tCM.{f,' + f,^, r- = s + f Cos. (^/' + f ,")

Les équations de i) à 3) suffisent pour la solution complète du problème de la léfraction. En leffet les équations 2) nous donnent r' et r'' en fonction det;', o'', V et t. La substitution dans I) donne ensuite les valeurs de f/ etc. au moyen des quantités connues Vy t, a..., «,... et des inconnues v' et t;". Enfin celles-ci se déterminent par une dernière substitution dans 3), an moyen des deux équations résultantes qui outre v' et v" ne contiennent plus que des quantités connues.

Un moyen plus direct mais bien phis long de tiouf er les ondes réfractées, consisterait i dierdier les plans tangents que Ton peut mener a la surface de Tonde par la perpmdicnlaire âevée en E'.Il est inutile de donner la marche du calcul. On trouve par ce moyen les coordonnées des points de contact et par^onséqnent les directicms des rayons. Soient x% y\ z' les coordonnées d'un de ces points n', ¥% w' les coordonnées paramétriques de Tonde correspondante et enfin f {x, y , 2) s= Téquation de la surface de Tmide en coordomées «dinaires, on a

dx' ' dy' ' rfs*

qui détermine Tonde plane réfractée.

Quand les ondes réfractées sont calculées, la direction des rayons peut se trouver aussi de la manière suivante.

On diercbe, ce qui est fadle, les coordonnées paramétriques u', ¥% w' d'une onde réfractée. Désignons oisuite par x', y\ 2' les coordonnées ordinaires de son point de contact^ du point d'émergence de son rayon, et par / (u, T, w) = Téquation de la surfisce de Tonde m coordonnées paramétriques, on a :

df .df , df ,,...,,

et on en déduit fadkment les équations du rayon. Les deux niyvms réfrictés sont en général hors du pian dlncâdence ; mais on

peut démontrer aussi, par le raisonnement suiTanl,qn'il n'y a que dans des cas particuliers que l'un d'eux sera dans ce plan. Si Tun des rayons réfractés

DAKS UN CRISTAL A SBDX AXBS. 397

est daos le plan d'incideiipe, il y a à distinguer deux cas possibles : ou le rayon est incliné sur la Dormale à son onde, ou il se confond avec elle. Dans le premier cas, les vibrations du rayon sont dans le plan d'incidence, puisque celui-ci passe par le rayon et la normale à l'onde. Alors les aies optiques doivent nécessairement avoir une position pulicuUËre, telle que les plans menés par ces aies et la normale soient également inclinés sur le plan d'incidence.

Le second cas, ou la normale et le rayon colncidentj ne peut évidemment arriver, que si Fonde réfractée louche la surface de l'onde sur le contour d'uu des trois cercles suivant lesquels cette surface est coupée par les sections principales, et alors les vibrations sont perpendiculaires au cercle correspondant.

Les conditions pour que les deux rayons soient dans le plan d'inddence sont encore plus spéciales. Si dans ce cas l'un des rayons est incliné sur la normale à son onde, le second doit coïncider avec elle, car sans cela le plan de vibrations du dernier devrait coïncider avec le plan d'incidence, par conséquent aussi avec le plan de vibrations du premier, sans que les deut rayons aient la même direction, ce qui est impossible. Ainsi les conditions des deut cas déjà examinés doivent être remplies en même temps. Admettons maintenant (ligure 183), qu'une section principale soil dans le plan d'incidence. Fig. 185.

L'onde plane o touche alors la surface en un point d'une seclion circulaire et l'onde e sur le contour d'une section ellipUque. Ne supposons rien de particulier quant à la posiUon de celte dernière section : et pour nous faire une idée des différenls cas qui peuvent se présenter quand un des rayons réfractés se confond avec la normale à son onde, nous n'aurons évidemment qu'à faire tourner la surface de l'onde autour de la normale ko: cela ne fait que changer la direction des vibrations de la dernière onde. Mais le rayon de l'onde e abandonne évidemment le plan d'incidence et y revient après une rotation de 180', c'est-Mire, quand la section principale et le plan d'incidence

S98 PASSAGE DE LA LUVIËEE d'uM MILIEU ISOTROPE

coïncident de nouveau. Dès lors les mêmes rapports doivent se présentir si r(Hi toun^e du même angle dans un sens ou dans l'autre. Seulement daiu le cas particulier où lanurmule à o est dirigée suivant un aie principal [Rg. 1 86, tt),

Fig. 186, a.

le rayoQ ç est déjà dans le plan d'incidence après une rotation de 90° et alors aussi il est lancent à la circonférence d'une secoude section circulaire. De tout cela nous concluons ce qui Buit :

Les de)j{( rayons rérraçtés ne sont ensemble dans le plan d'incidence, que quand celui-ci est une section principale. En outre l'un d'eux coïncide toujours avec ta normale à fon onde et est réfracté comme dans un milieu isotrope. L'indice de cette réfraction est le quotient de la vitesse de la lumière dans le milieu ambiant, par le rayon de la section circulaire de la surface de l'onde qui coïncide avec le plan d'incidence. Les vibrations du rayon sont perpendiculaires au plan d'incidence. Ce rayon est donc tout à fait analogue au rayon réfracté ordinaire dans un milieu i un axe, dans le cas où l'aie optique est dans le plan d'incidence. De même le .second rayon est tout k fait semblable au rayon réfracté extraordinaire dans le milieu à un axe. A la place de l'ellipse suivant laquelle, dans ce dernier cristal, la partie eitraordinaire de la surface de l'onde est coupée par le plan d'incidence, il faut, dans le milieu k deui axes, prendre l'ellipse de la sectioa principale «tuée dans le plan d'incidence. — Dans le cas particulier où la normale du rayon réfracté eitraordinûre est sur un axe principal, il se comporie aussi comme dans la réfraction ordinaire. Ce cas correspond à celui des milieux à un axe, où l'axe optique est perpendiculaire à l'onde réfractée extraordinaire, seulement il y a cette différence que dans les cristaux à un axe la direction et la vitesse des deui rayons sont les mêmes, et que la direction de la polarisation n'est pas déterminée, tandis qu'ici cela n'a pas lieu.

Nous distinguerons encore le cas très-remarquable où au rayon incident ae correspondent pas deux rayons réfracté», mais un nombre indéHni, cas qui eet tout particulier aux milieux que nous étudions. Cette réfraction, que nous

DANS VS CtlSTAL A DEDS AIES. 399

«laïuBerons ep délai) par la suite^ arriie quaod l'ondë réfraclée est parallèle

à uu plan tangeiit singulier de la surface de l'onde (Fig. 186, b). — La

Fig. 486, b.

norntale à l'Onde est alors p.irallèle à ud aie optique et sa vitesse est d; ou a Ame :

Si done oo coDDdt la position des aies opUques, et aus^ l'angle r, cette équation donne l'incidence t pour laquelle cette rérraction a lieu.

PHÉNOMËKES SIOPTRIQlJBg QDX PHËBERTENT LES PLAQVBS A FACES TAtlAL- LËLES SAHS LES MILIEUX A SBOX AXES.

Pour étudier les phénomènes dioptriques dans les railieiui à déui axés, on rencontrera naturellement encore plus de difBcûltés'que dans les cridaux à un aie. Toutefois, dans ce qui précède, on a toutes les données fbndamentkles nécessaires polir la solution du problème actuel, en tant liéannKMns qu'(« né s'occupe pas du changement d'intensité gu'éprouye le mouvement limnneut en passant d'uti milieu dans un autre. Poiir des motil^ faciles à cranprendre, il est plus commode de suivre la lunâère dans son passage ^ travers une plaque cristaUine limitée par deux surfaces planes parallèles, et nous àBoas fïirë connaître dans c« cas ce qu'il f a de plus général, de plus nécessaire. Mm noiis traiterons avec plus de détails ce ^ui a rapport aux phénomènes si ibléressants dé la r^raction conique.

S) un faisceau de rajoils parallèles tombe stir une lame cr^alline' h. deux axes, terminée par des faces parallèles, il se piartage eii deux rajons réfractés eitraordinaires polarisés en ligne droite. Chacun d'eux suit sa nntté particulière et sort ensuite par la seconde face à sa place propre, pour retourner dans le milieii- ambiant en reprenant sa i£reiAiOB prinutiTe. De la plaque émei^nt donc deux faisceaux de rayons parallèles^ ayant la même direction que le raym) inddent, maie plus ou moins déviés par rapport à celui-d et qui en diffèrent en outre en ce qu'ils sont toujours polarisés en l^e droite.

300 PASSAGE DE LA LUMIÈRE D'uN MILIEU I&OTROPE

suivant des directions déterminées, et possèdent d'autres phases qui dépendent aussi bien de leur direction et de leur vitesse dans le cristal que de l'épaisseur de la plaque. La divergence des rayons dans le cristal est la plupart du temps très-faible, toutefois elle est assez remarquable dans Tarragonite. Afin donc d'obtenir les rayons séparés après leur sortie de la lame, il faut prendre un faisceau incident très-délié et une plaque très-épaisse. On y arrive en recouvrant une face de la lame aussi épaisse que possible, avec une feuille de métal (d'étain) dans laquelle on pratique une ouverture très-étroite, puis on y fait arriver, dans la direction voulue, un faisceau lumineux intense. On reconnaît alors la double réfraction en recevant la lumière émergente sur un écran de papier blanc, où l'on voit deux images de l'ouverture. Si Ton place entre le cristal et l'écran un spath d'Islande et si Ton tourne ce dernier autour de son axe, la disparition et l'apparition alternatives de l'une et de l'autre image prouvent leur polarisation rectiligne. On obsene encore la double réfraction plus directement et plus nettement, en tournant la face couverte de métal vers une source lumineuse (un point du ciel, ou la flamme d'une lampe) et en regardant à travers le cristal vers Touverture : celle-ci apparaît double. Pour rechercher les rapports de polarisation, on interpose un polarisateur entre l'œil et le cristal. Comme la divergence des ondes réfractées, surtout pour une incidence peu oblique, peut être regardée en général comme fort petite, ces ondes seront sensiblement polarisées à angle droit. Pour plans de vibrations des rayons sortant du cristal, on peut prendre approximativement les plans menés par les axes des faisceaux et les deux lignes droites, suivant lesquelles la seconde face est coupée par les plans de vibrations des rayons dans l'intérieur du cristal. D'après cela, les rayons sortant du cristal seront polarisés presque à angle droit, ce qu'indique aussi la mesure directe.

Pour juger au moins approximativement des rapports d'intensité, on s'appuie sur les considérations suivantes. Les plans de vibrations des rayons réfractés coupent la première face suivant deux lignes droites. Au rayon s^ correspond la ligne Zi, au rayon 82 la ligne I2. Par chacune de ces lignes et l'axe du faisceau incident on mène un plan, et on décompose ce faisceau en deux composants, dont les plans de vibrations seraient ces plans là. Soient respectivement a. et a 2 les amplitudes de ces composantes; on aura pour les am-^ plitudes des rayons s, et S2, fti fli et ^2 «2 en appelant ft, et fAj deux coeffi^ cients peu différents de l'unité, dont la vraie valeur ne se déterminerait théoriquement que par des recherches difficiles, pour le passage du mouve-ment lumineux d'un milieu dans l'autre.