M'MV^ M
l64 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
c'esl-à-dire à la force vive que possédait la masse M avant le^ choc, multipliée par le quotient de la masse M' et de la sommt? de ces masses,
La moitié de cette valeur sera donc aussi (137) la mesure du travail développé» par la force de réaction F, pour opérer la compression des deux corps.
Si le choc finit à l'instant de la plus grande compression, ce qui revient à supposer que l'élasticité de ces corps soit nulle ou ait été complètement détruite, ou, plus généralement, s*ils ont acquis forcément la même vitesse après le choc (159), la quantité ci-dessus donnera encore la perte de force vive occasionnée par le changement d'état ou de forme des deux corps.
Mais, si le choc continue après Tinstant dont il s'agit, et que les corps finissent par se séparer, une portion de cette même force vive sera restituée dans le débandement des ressorts moléculaires; mais elle ne pourra l'être intégralement qu'autant que les deux corps seraient revenus complètement à leur état primitif (158 et suivants). C'est, en effet, ce qu'on trouve par des opérations analogues à celles ci-dessus, appliquées aux valeurs des vitesses qui, selon le n*^ 158, ont lieu alors après le choc.
i^^. Conséquences particulières.^SupposonsquehmdiSseM''
du corps choqué ( A' ) (PL II, Jig, 35 ), et qui est au repos avant le
choc, soit très-petite par rapport à celleMducorpschoquantfA),
M' sera aussi très-petit par rapport à M-f-M'; et par con-
M' séquent la perte de force vive -zr: j— M V^ relative au cas où
ces corps ne sont pas élastiques, se 'réduira à une très-pelitè
fraction de celle M V' qu'ils possédaient avant le choc. On peut,
dans des circonstances semblables, négliger une telle perte
dans le calcul des résistances d'une machine, pourvu que le
choc ne soit pas fréquemment répété (97); mais il en est tout
autrement quand la masse M' du corps en repos est très-grande
par rapport à celle M du corps choquant; car la fraction
M' rj rj; poupra apppochcr beaucoup de l'unité, et par censé-
quent la perte de force vive différer très-peu de la force vive MV*
APPLICATIONS, ETC. j65
possédée par ce dernier corps avant le choc. Supposant seulement M' = M, la valeur de cette fraction sera 1, et la perte s'élèvera déjà à la moitié de M V'. On volt donc combien il est essentiel d'éviter, dans la construction des machines, qu'un corps vienne inutilement choquer un autre corps en repos, dont le poids est comparable au sien propre.
Nous disons inutilement , parce qu'en effet il est quelquefois utile d'opérer par le choc sur la matière à confectionner; c'est ainsi, par exemple, que procèdent les forgerons pour donner différentes formes aux métaux, et que les cordonniers parviennent à étendre les semelles de cuir et à augmenter leur densité, leur raideur ou leur force de ressort; mais alors même un ouvrier qui a l'expérience de son art, ne manque jamais d'employer des marteaux, des enclumes bien aciérés et trempés, ou tout autre corps plus ou moins élastique, conformément à la remarque qui en a déjà été faite au n'' 98; de sorte que la consommation de force vive qui a lieu alors (159) est, du moins en très-grande partie, employée à produire le changement de forme même de la matière à confectionner.
C'est encore ici le lieu de rappeler (97) qu'il ne suffit pas que les corps soient élastiques pour qu'on puisse affirmer qu'il n'y ait pas eu consommation inutile de travail; car il faut encore que la force vive, qui est restituée par les ressorts moléculaires après le choc, soit utilement employée. C'est bien ce qui arrive, par exemple, à l'égard du marteau des forgerons, puisque l'élasticité, en renvoyant le coup, sert à élever ce marteau contre l'action de la pesanteur, et aide la main de l'ouvrier habile qui sait en profiter; mais le contraire peut aussi arriver, si, par exemple, l'enclume est assise sur un terrain mou : la force vive qu'acquiert cette enclume est alors, en partie, consommée à produire l'enfoncement du sol; aussi les maîtres de forge entendus ont-ils soin de placer de gros blocs de bois ou des charpentes très-élastiques sous leurs enclumes. Il n'est pas moins indispensable aux ouvriers de tous les autres états, de choisir, pour leurs chantiers et établis, des corps à la fois raides et élastiques; il faut en outre qu'ils sojent suffisamment lourds et stables; car alors ne prenant qu'un mouvement insensible (160), et n'acquérant qu'une force vive très- Caible, ils auront très-peu d'action pour déformer ou comprimer
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le sol ; de sorte que, quelle que soit sa constitution, les pertes (le travail seront tout à fait négligeables.
163. Formules relatives au cas le plus général du choc direct. — Jusqu'ici nous nous sommes uniquement occupés du cas où Tun des deux corps est en repos; mais il n'est pas inutile de montrer comment on peut étendre immédiatement les raisonnements à celui où les corps seraient animés de vitesses quelconques avant le choc.
A cet effet, nommant M, M' les masses, V, V les vitesses respectives des deux corps, avant le choc, et U leur vitesse commune à l'instant de la plus grande compression, on observera que, quand les corps cheminent dans le même sens [PLIIyfig, 36), la force de réaction F (15V), diminuant la quantité de mouvement MV du corps ( A ) de quantités égales à celles qu'elle ajoute à la quantité de mouvement M'Y' de (A'), la somme MV-f-M'V des quantités de mouvement primitives reste encore la même à toutes les époques du choc. On a donc, à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps,
MU-i-M'U ou (M-+-M')U = MV-f-M'V'; d'où
MV^M y
tandis que, dans le cas où les deux corps (A) et (A') vont à la rencontre l'un de l'autre [PL lUfig* 37) animés des quantités de mouvement MV, M' V, la force de réaction diminuant chacune d'elles de la même valeur (154), leur différence absolue MV— M'V ou M'V — MV demeure aussi la même à tous les instants; de sorte qu'en supposant que MV surpasse M'V, on aura, à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps,
MU-+-M'U ou (Mh-M')U = MV-M'V';
d'où
