AE

autre produit ïALE/*= — =— *, d'où il résulte que l'excès

de la première de ces quantités, qui appartient à la puissance, sur la seconde qui correspond à la résistance, mesure , dans nos hypothèses, le travail employé à vaincre l'inertie de la

masse M ou — du poids Q. Donc, en vertu du principe du II" 136, on devra avoir l'égalité

de laquelle il est facile de liier la valeur de la vitesse V, relative à chacun des allongements ly supposés donnés.

On la mettra sous une forme un peu plus simple, en remarquant que, si l'on a déjà calculé, d'après ce qui est exposé à

!a fin du précédent article, l'allongement i' ou y? correspondant à Tinslant où la vitesse acquise est la plus grande, et qui est la moitié de l'allongement maximum ou final, il sera inutile

AE

de calculer, sur de nouveaux frais, la quantité -j— qui entre

MU

dans celle équation. Car, puisqu'on a

Q=: AE/' = AE|r-, on aura aussi -r— =775

Mu MU l

ce qui permettra de supprimer le facteur Q, devenu commun à tous ses termes, de sorte qu'elle deviendra simplement

d'où Ton tire, par l'extraction de la racine carrée, et en posant pour simplifier,

Or k, racine carrée du rapport entre deux longueurs, g et /', est un simple nombre ou coefficient facile à calculer, et

V{2/' — /)/est ta moyenne proportionnelle entre les longueurs 2/' — / et /, qu'on pourra également calculer ou construire géométriquement quand on se sera donné / à priori; donc, rien ne sera plus simple que de se représenter la loi qui lie ^'es allongements variables, /, du prisme, avec les vitesses

4^4 mëcàniqub industrielle.

correspondantes, V, de la charge Q, suspendue à son exirômilé inférieure.

314. Représentation des lois de ce mouvement par des formules ou constructions géométriques. Expression de la vitesse. — Soll AB [PL Ilfjig. 5i), la longueur de la lige dont il s'agit; BC son allongement de slabilité, V, sous la charge Q ; BD = 2BC = il' son allongement maximum sous la vitesse acquise par cette charge (312); enfin Bm, rallongement /, qu'elle a prisa l'instant où la vitesse est V; il résulte, de ce qui précède, que, si, sur BD = 2/', comme diamètre, on décrit un demi-cercle, il rencontrera l'horizontale menée par m, en un point /i, tel qu'on aura

^ mb.mJ^^si! iJip — mlà)m'R=\l[il' — 1)1,

et par conséquent

\ z=: k.mn.

Rapport des espaces aux temps élémentaires. — Supposant que mm' représente l'allongement infiniment petit, reçu par mB ou /, pendant le temps élémentaire, t, on aura aussi (132

et 133)

^^ mm' , ,, , mm'

y = zzzfc.mn; dou t=:-,

t k.mn

Cette dernière expression indiquant que le temps croît proportionnellement au rapport de mm' à mn, on en déduira un résultat encore plus simple, en observant que mm' est égal à la perpendiculaire ou verticale ny?, abaissée de /i, sur l'ordonnée m' n', du cercle, infiniment voisine de mn. Car, si Ton mène le rayon C/i = /' qui est perpendiculaire à l'extrémité n, de l'arc infiniment petit, nn'y de ce cercle, on aura, par les triangles, rectangles et semblables, nn'p, Cmn, à cause que leurs côtés sont respectivement perpendiculaires,

np mm' nn' nn'

— ^ ou ^-— -ziz— r--,

mn mn Ln l

ce qui donne facilement

nn' nn'

tzzzj—-^ ou —-=ikVf

. DBS RÉSISTANCES. 4^^

el prouve, aiiendu que kV = /' K/jr^^ >J g^' est une quaiuilé

constante pour toutes les positions de Textrémité B : i** que les accroissements infiniment petits, /, du temps sont protionnels aux accroissements nn', de Tare B/i qui correspond à l'espace Bm = /, déjà décrit, par le point d'application de la charge Q, à l'instant où la vitesse est V; 2" que la vitesse de

circulation (48), du point /i, sur le cercle auquel il appartient, est ici constante et égale à kV y de sorte que son mouvement est rigoureusement uniforme, encore bien que celui du point m, auquel il correspond à chaque instant, varie sans cesse.

Expression géométrique du temps. — Nommant donc T le nombre des secondes écoulées depuis l'origine du mouvement, où m était en B, on aura, pour calculer T, la formule

r^ arcB/i

ou, ce qui est la même chose, on aura, pour calculer l'arc Bn et, par suite, Bm ou /,

arcBn = H'T.

Formules tri gonomé triques. — Ordinairement on nomme, dans le cercle dont le rayon BC, ou C/i, serait pris pour l'unité : mn le sinus d'un arc tel que Bn, qui est aussi la mesure de l'angle au centre correspondant BC«, Bm son sinus-verse, et Cm son cosinus. En adoptant ce langage des géomètres, et observant que, dans les cercles différents, les arcs qui sous-tendent le même angle au centre, sont, entre eux, comme les rayons, a^ssi bien que les ordonnées et abscisses ou segments correspondants, on aura donc

I ur- arcB/i ,rp

angleBC/i — g^^— -^ =r= ArT,

Bm ou / = /' sin.vers.BC/i = /' sin.vers./rT, ou bien

/ = BC - Cm = /' - /' cos.A^T — /' (i - cos.A-T).

i^6 MÉCANIQUE INDUSTaiEtLB.

Ces formules, après y avoir substilué les valeurs de k et de /', d'après le n" 313, permeiironi de calculer, au moyen des Tables tri gonomé triques connues, celles des allongements /, qui correspondent aux temps, T, successivement écoulés; ce qui, avec la formule

\ ^^ k, nin =: k.l.sin /fï,

établie en premier lieu, mettra aussi à même de découvrir toutes les circonstances du mouvement oscillatoire de la charge Q, ou de son point d'attache, B.

315. Principales circonstances du mouvement oscillatoite des prismes. — Pour en acquérir une idée précise, il faut remarquer que le point m {Pi. Il, fig. 5i), une fois parvenu en D, rétrogradera ensuite, tandis que le temps T, qui devient alors égal à

arcBwD 7^ __ :r /¥__ /"Qi7

TT, étant le rapport 3,i4i6 de la circonférence au diamètre, croîtra sans cesse, et sera mesuré par des arcs quelconques, BnDx, comptés toujours dans le même sens, à partir du point B, qui pourront embrasser plusieurs demi-circonférences ou circonférences entières, et auxquels correspondront des vitesses constamment proportionnelles aux ordonnées, ou sinus mn^ xy, de leurs extrémités, et des allongements également proportionnels aux abscisses ou sinus-verses Bm, Br, relatifs à ces arcs respectifs.

On voit d'ailleurs que, quand le point y owx aura atteint B, ce qui arrivera au bout d'un temps mesuré par la circonférence entière B/iDjtB, divisée par la longueur /r./', c'est-àdire au bout d'un nombre de secondes égal à

2;rr it: ^ //' , / QL

et, par conséquent, double de celui de la demi-période descendante, les mêmes choses reviendront régulièrement, dans le même ordre, et ainsi alternativement et indéfiniment. Tou-

DBS RÉSISTANCES. 4*^7

tefois on suppose ici que rélasticlté demeure parfaite, et l'on n'a égard ni à la résistance opposée par l'air, ni aux ébranlements, aux mouvements vibratoires qui, en se transmettant à la masse du point d'attache, A, par l'Intermédiaire des molécules de la tige de suspension AB, détruisent ainsi continuellement des portions de plus en plus sensibles de la force vive primitivement acquise dans la demi-oscillation descendante de la charge Q, et finissent, comme l'expérience le démontre, par réduire le prisme au repos, en très-peu de temps.

Àmplitudcy durée 9 nombre et vitesse moyenne des oscillalions, — Le plus grand allongement, il\ subi par le prisme dans ses mouvements alternatifs, n'est ici autre chose que ce qu'on nomme, en général, l'amplitude des oscillations de la charge ou de son point d'application, B, .et, par conséquent, l'allongement permanent, /' ( 310], qui aurait lieu sous l'action de cette charge, n'est lui-même que la demi-amplitude de ces oscillations, ou ce qu'on peut nommer l'amplitude des excursions de cette charge, de part et d'autre de sa position moyenne de stabilité, C. Donc, d'après ce qui précède, la durée (les oscillations entières du prisme est proportionnelle à la ra* cine carrée du rapport de cette dernière à la. vitesse, g, que la gravité imprime aux corps en chaque lieu (117). Quant au nombre de ces oscillations, de ces retours de la charge à une même position, pendant la durée d'une seconde sexagésimale, sa valeur que nous nommons, en général, N, sera évidemment donnée par la formule

i?Afi.

QL'

de sorte que ce nombre croîtra précisément dans le rapport inverse de celui qui précède, ou, pour nous énoncer d'une manière plus explicite : il croîtra directement comme la racine carrée de la résistance élastique naturelle, AE, du prisme, et inversement comme la racine carrée du produit, QL, de sa longueur, par la charge qui lui est constamment appliquée. Enfin, la vitesse moyenne des oscillations de cette charge éVaniiciégale(49)du quotient du double de leur amplitude, 2/',

4^8 MÊCANIQUB INDUSTRIELLE.

par leur durée, ou au produit de ^T, par le nombre N, colle vitesse sera également fournie par l'expression

271 77 1t*» TtV AE

toujours dans Thypothèse où Télasticité demeurerait parraiic, et où le mouvement se conserverait, lui-même, indéfîniment et sans perte. Mais nous verrons par la suite que ces divers résultats sont indépendants de cette dernière circonstance, ou du décroissement plus ou moins rapide de la vitesse effective et de l'amplitude des oscillations.

Notions directes sur la nature du mouvement. — On se formera une idée très-claire du mouvement oscillatoire, pour ainsi dire théorique, dont nous nous sommes jusqu'ici occupé, si Ton imagine que le point n, dont Textrémité inférieure du prisme représente, à chaque instant, la projection sur le diamètre vertical, BD, du cercle, BnDxB {PLI/,Jig.5i}, chemine d'un mouvement rigoureusement uniforme, et avec

une vitesse mesurée ( 323 ) par kl' = >[gï\ sur le contour même de ce cercle, de manière à indiquer, par ses positions successives, comme le fait Textrémité de l'aiguille d'une montre, la mesure, la marche régulière du temps. Le système d'une manivelle qui se meut circulairement et uniformément autour d'un axe sur lequel elle est implantée, et qui pousse un châssis de scie ou un tiroir de machine à vapeur, par l'intermédiaire d'une longue bielle, oiTre encore une image du mouvement oscillatoire ou périodique qui nous occupe, et dont on acquerrait, à priori, une notion géométrique également précise, en construisant la courbe qui a pour abscisses les arcs servant de mesure aux temps écoulés, et pour ordonnées les allongements ou sinus-verses correspondants (314), courbe serpentante qui appartient au genre de celles qu'on nomme sinusoïdes.

316. Recherches de la force motrice variable qui sollicite le prisme pendant le mouvement, — Pour compléter les notions relatives au mouvement oscillatoire des prismes, dans le cas élémentaire qui nous occupe, il est nécessaire de montrer

DBS RÉSISTANCES. 4^9

comment on peut obtenir et calculer direcicmeni les efforts qui s'exercent réellement à leur extrémité inférieure B (PL II, fig' ^0' pendant la durée de chacune des périodes d'oscillation de la charge Q> efforts qui sont dus, évidemment (130 et suivants), à l'excès du poids de celte charge sur la force d'inertie 9 à tous les instants où il y a accélération de mou-

g ^ vemenl, et à l'excès contraire de celle-ci sur le même poids,

lorsqu'il y a simple ralentissement.

En nommant P, l'effort dont il s'agit, et que nous savons déjà (312) être égal à Q, aux instants où l'oscillation commence et finit, et devenir précisément nul quand l'extrémité B est arrivée au milieu, C, de sa course, BD, nous aurons, en particulier, pour calculer P, dans toute la partie BC de l'oscillaiion descendante où le mouvement s'accélère, et plus spécialement pour la position m de B,

Mais, comme nous savons aussi (31i) que le temps infmi-

ment petit, /, est mesure par le rapport -y-T7-» et que la vitesse V,

de la charge supposée parvenue en m, est mesurée par le produit k.mn, ou son accroissement v, par h.n'p^ il en résulte immédiatement

attendu que h^ = ^, (313), et que les triangles, semblables et

rectangles, nn'p, mC/î, donnent n'p : nn' :: Cm : C/i = /'. Donc, enfin, la force cherchée,

OU bien, en adoptant (314) les notions de la Trigonométrie, P = Q{i — cosA^T) == Q — Q.cosArT;

43o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE. '

ce qui prouve que rintensilé de celle force suit la même loi de périodicité que les allongemenls mêmes du prisme, fait que nous eussions pu considérer comme évident à priom, puisque ces allongemenls doivent, d'après nos hypothèses, demeurer exaciement proportionnels aux efforts qui les produisent.

En effet, si on continue ici à nommer /, rallongement proportionnel ou par mètre que subissent les divers éléments du prisme, sous Faction variable de P, allongement qui, dans nos hypothèses encore (312 et 313), est le même pour tous, à un instant donné, et ne dépend uniquement que de rintensilé de P, on aura, pour le déterminer,

/ — y =: -=-(i — cosfrT);

ce qui donne immédiatement