RAPPORT DE LA RÉSI8TAÏICE

Du coin triangulaire à faces planes, à celle 1 « ^ ^ «

, . I • i> I ^ ; 90* Borda 0,7»

de sa base recUngulaire, Tangle au som- j g^* ,jj . L-

met étant de I "' ^'

Du coin triangulaire à faces courbes, à celle de sa base rectangulaire (Borda) 0,390

Du demi-cylindre à base elliptique à celle de sa base rectangulaire ( Borda ) o , 43o

Du demi-cylindre circulaire à celle de sa base rectangulaire (Borda) o, 570

De la convexité du cône à celle de sa base ( ?^« /ij \ ^'Sî

circulaire, l'angle au sommet étant de 1^0/1/0.'.'*" **' A^ ' ^ \ 61^24 (Hutton;... o,433

De la demi-sphère à celle de la sphère entière ( Borda et Hutton) 0,990

De la demi-sphère à celle de son plan dia- \ „ ?[ ^ * **»4

métrai- ""^^° ^'^'^

^^^^' ( Vince o,4o3

425. Observations diverses sur ces résultats. — On doit regretter que les résistances de chaque espèce n'aient point été comparées directement à celles de plans minces, de même forme et surface, que les bases des divers corps indiqués au tableau, car elles eussent mis à même d'apprécier l'influence comparative des poupes isolées. Tout ce qu'il est permis de conclure de l'ensemble des résultats obtenus par Hutton, dans des circonstances qui, malheureusement, ne peuvent pas être considérées comme absolument identiques, c'est que la pre-

DBS RÉSISTANCES. * 667

nîère de ces résisiances, celle des plans minces, eût été généalcment trouvée un peu moindre que la seconde, celle des nêmes plans accompagnés de leurs poupes, et cela dans une proportion d'autant plus sensible que la saillie de cette poupe îât, elle-même, été plus grande paY rapport aux dimensions ransversales de sa base. C'est ainsi, par exemple, que, pour es bases de Thémisphère et du cône soumis à l'expérience ;>sir Hutton, la résistance, dans Tair, et sous des vitesses de 3 I 4 niètres, a surpassé de OyOi et 0,02 environ, de sa valeur, [^elle du plan mince correspondant; ce qui est sensiblement d'accord avec le résultat qu'on déduirait des données d'expériences et de la formule rapportées au n"* 4-14, d'après M. le colonel Duchemin, pour le cas des prismes, lorsque, dans la vue de découvrir spécialement la part d'influence due à la saillie d'une poupe adaptée à un plan mû perpendiculairement dans un fluide en repos, on a le soin de prendre celte saillie pour la valeur de L dans la formule.

On peut aussi remarquer, avec cet ofGcier supérieur, que les nombres o£ferts par les résultats des expériences de Borda et de Hutton, sur la résistance des prismes triangulaires et des cônes, suivent, à très-peu près, la loi du sinus des demiangles aux sommets ou des angles d'incidence, à cela près encore de l'influence particulière et ici très-faible, due à l'allongement même de chacun des corps. Ces différentes circonstances, jointes à ce que le rapport des résistances doit, d'après les observations du n^ 401, rester à peu près le même dans le mouvement rectiligne et le mouvement circulaire, permettraient de déterminer, par le calcul, la résistance absolue des corps indiqués au tableau ci-dessus, si celle des plans minces était exactement connue. Prenant, par exemple, avec M. Duchemin (414), /r = 1,254 pour les coefficients des plans minces, mus directement dans l'air ou dans l'eau, celui de la sphère entière serait moyennement (42&>)

ce qui s'écarte peu de la valeur la plus probable de ce coefficient, comme on le verra bientôt. La résistance du cylindre circonscrit à la sphère serait, dans ces mêmes hypothèses, 1 X 0,516 = 1,29 à très-peu près.

658 ' MËCANIQVE INDUSTRIELLE.

426. Résultats des anciennes expériences relatives av sphères. — Il convient toujours de distinguer entre eux les résultats des expériences qui ont concerné le mouvemenl circulaire et le mouvement rectiiigne.

Expériences de Borda et de H ut ton y relatives au mouvement circulaire. — Pour des sphères de 5 à 6 pouces de diamètre, mues circulairement dans l'air ou dans l'eau» à l'extrémité d'un volant dont le rayon différait peu de l'^ySo, Borda et Hutton ont trouvé, sous des vitesses médiocres,

R = /rpAH et /f = o,56. A* = 0,594,

respectivement. Hution prend exactement /r = o,6o, pour les vitesses de 2 mètres par seconde, dans l'air, et il fait remarquer que la résistance doit être augmentée de 7 environ, quand on passe d'une sphère de o"*,i2i de diamètre à une autre de o**", 162; circonstance qu'il faut toujours attribuer (391) à la nature particulière du mouvement (*}; car, dans d'autres expériences relatives au mouvement rectiiigne de sphères ou projectiles dont les diamètres ont varié entre 2,00 et 3,55 pouces ng lais, les valeurs de k n'ont elles-mêmes varié que de ^r à yj sous des vitesses de 36o à 5 10 mètres par seconde.

Anciennes expériences de Désaguilliers et de Newton sur la chute verticale de globes dans l'air et dans l'eau (**). — Le résultai de ces expériences, où le mouvement était varié, a été soumis au calcul, par Dubuat, en ayant égard (380 et 382} à l'influence de la proue et de la poupe fluides {Principes d'Hydraulique, Z* Partie, art. 529, 55o et 562). Pour les expériences

( * ) Pour le cas des ftphèrcs, la formule de la Note du n^ 399 deTÎent, d'après M. Duchemin,

f-tr--- ■•"•";. 1.

dans laquelle r désigne le rayon do la sphère, / la distance de son centre à Taxe, Tt le nombre 3, i^ 16, A le coefficient de la résistance dans le mouvement rectiiigne, que l'Auteur suppose ici égal à { x 1 ,28 ou aux 0,4 de celui du cylindre circonscrit à la sphère (4?5), diaprés les données d'une théorie particulière de la résistance des corps ronds.

(**) Livre II des Principes mathématiques de fa philosophie naturelle.

DBS RÉSISTANCES. 659

ntreprises par Newton seul, sur la chute verticale, dans eau» de différents globes de 6 à i5 lignes de diamètre, la aleur de A* a varié depuis 0,4^7 jusqu'à 0,60, môme en reje- Bint les expériences anomales, et Ton avait moyennement r = o,523 pour des vitesses inférieures ào"»,8, par seconde; léanmoins Dubuat admet, d'après le résultat de ses vues ihéoiques et expérimentales, la valeur /r = o,5o, qui se rapiroche beaucoup de la moyenne des résultats fournis par rauires expériences de Désaguilliers, aidé de Newton, sur la thuie, dans l'air, de globes de 5 pouces environ de dfamètre, expériences, pour lesquelles k n'a varié qu'entre 0,497 et >,5i6y sous des vitesses finales d'environ 4 mètres par se* *onde.

Mais ces dernières expériences, exécutées à l'aide de vessies 'endues à peu près sphériques, lors de l'insufflation, présentent beaucoup d'incertitudes, et elles sont contredites par le résultat de celles entreprises antérieurement par Newton, sur la chute verticale, dans l'air, de globes en verre de même diamètre, expériences qui ont donné, toujours d'après les calculs de Dubuat, /f = 0,537 moyennement, sous des vitesses de o à 9 mètres par seconde. Si une pareille différence, dans les résultats, ne devait pas être purement rejetée sur la difTérencc même de forme et de nature des globes, il faudrait nécessairement attribuer l'accroissement du coefficient /r, dans les dernières expériences, à l'augmentation de la vitesse et aux incertitudes inhérentes à la détermination de la véritable densité de l'air.

Expériences de 3f. Beaufoy relatives au mouvement rectiligne uniforme. — Dans ces expériences, où une sphère de I pied environ de diamètre a été mue horizontalement sous la surface de niveau d'un bassin d'eau, on a eu, d'après les calculs de M. Morin, A* = 0,870; mais nou^ avons déjà fait remarquer (395) combien ces expériences offrent d'incertitudes.

427. Résultats des récentes expériences de MM. Piobert, Morin et Didion. — : Une première série d'expériences, exécutées à Metz, en i836, par ces officiers, sur des globes de diverses dimensions, mus verticalement dans l'eau avec des

66o HÉCANIQU£ INDUSTRIELLE.

vitesses uniformes de o à 5 mètres par seconde, les oni conduits à représenter la résistance de ces globes par la formule

analogue à celle du n"* 403, et dans laquelle \T:d' désigne la surface frottante ou antérieure de la sphère, et J Trrf' Taire de la section transversale de son grand cercle.

Pour des vitesses au-dessus de 3 mètres, on pourrait ainsi prendre, à moins de 777 près, en négligeant le terme relatif au frottement,

R = 22,o5^ V« = 22,o5 AV;

ce qui donne au coefficient de la formule R = kpXB, la valeur o^4^2, qui paraîtra bien faible en comparaison des précédentes.

Les expériences dont il s*agit ont été étendues d'ailleurs à des corps de formes très-variées, notamment à des cylindres armés ou non de cônes et d'hémisphères à leurs parties postérieure et antérieure; les résultats qu'elles offrent s'écartent généralement beaucoup de ceux jusque-là obtenus pour des corps de forme analogue. Ainsi, par exemple, la résistance des cylindres circonscriptibles à une sphère et mus suivant leur axe, y a été trouvée plus du quadruple de celle de la sphère inscrite, à vitesse égale; ce qui conduirait à la valeur A* = 1,825, qu'il est impossible d'admettre. Ces motifs et ceux qui ont déjà été déduits au n® 405, pour le cas des surfaces planes, nous déterminent à passer sous silence les résultats dont il s'agit, en attendant les vérifications ultérieures auxquelles MM. Piobert, Morin et Didion.ne manqueront pas de les soumettre.

Dans d'autres expériences sur la pénétration de projectiles en fonte, de divers diamètres et densités, au travers d'un bassin d'eau à peu près indéfini et parallèlement à sa surface de niveau, ces mêmes observateurs ont trouvé que, sous des vitesses initiales de 80 à 55o mètres par seconde, et des diamètres rf, qui ont varié entre 3 et 6 pouces, on parvenait à représenter, d'une manière suffisamment exacte, les portées

OU amplitudes des pénétrations, en prenant pour formule de la résistance

R = 23,o6 ^ V' = 0,452/? AVS

et négligeant» d'ailleurs, tant la considération du choc vif qui s'opère à l'entrée des projectiles dans le bassin, aux instants oii le régime, la permanence des filets (379), ne sont point encore établis, que Tinfluence des masses liquides (380 et 382} qui accompagnent le corps dans le surplus de son mouvemeni (*). D'après celte formule, on aurait donc moyennement, fr = 0,452, nombre qui surpasse de très-peu le résultat cidessus, relatif aux faibles vitesses.

( * ) M étant la masse et V, la vitesse initiale du projectile, M' la niasse de la proue et de la poupe fluides qui raccompagnent après les premiers instants du choc, calculée comme on Ta dit au n^ 380, U enfin la vitesse commune à ces masses à la fin de ce choc, il semble qu'en faisant d'ailleurs abstraction des effets de réaction occasionnes par l'inertie et l'élasticité de volume (17 et 18) des masses environnantes, qui, à ces premiers instants, jouent un très-grand rôle, il soit ici permis de supposer que le partage des quantités de mouvement entre M et M', s'opère comme dans le cas de deux corps libres (155 et 158), privés d'élasticité, et qui acquièrent ainsi, vers la fin du choc, une vitesse comnaune

en vertu de laquelle le mouvement retardé de la masse totale M + M' a lieu suivant les lois ordinaires (382), et d'où résulte, d'aillcursi une perte de force vive initiale mesurée (161) par l'expression

^' ,Mv;.

Ainsi, par exemple, le volume du liquide entraîné étant (380) les o,6 environ de celui du projectile, et la densité de ce dernier étant supposée (35) 7, a fois environ celle de l'eau, on aura M : M':: 7,3:0,6 X 1 et partant

"'=?t!»' = n»'' « = i|v. = o,9.V.. j^,MV. = -LvM.

de sorte que la perte de force vive serait le y» ^^ 1^ force vive initiale du projectile, et la vitesse qu'il conserve avec la proue fluide les |-| de celle qu'il possédait avant le choc. Dans la réalité, la perle de vitesse et de force vive doivent être plus grandes, à cause de la réaction des masses environnantes et du rejaillissement brusque du liquide, qui aurait lieu, en sens contraire du mouvement, dans le cas où le projectile serait introduit dans le milieu, normalement à sa surface libre ou de niveau.

662 hécànique industrielle.

Ces dernières expériences ont, de plus, donné lieu à diverses remarques fort curieuses sur la nature des niouvemeDU excilés, soit à la surface, soit à l'intérieur du milieu, dont Tincompressibilité presque parfaite a, ici, occasionné des effet! de réaciion très-puissants, sur les parois solides et libres du bas sin. En ce qui concerne particulièrement les effets subis pai les projectiles, les Auteurs ont trouvé qu'à la vitesse de 3oo i 4oo mètres, par seconde, pour les obus creux de 12, et à ceih de 25o mètres environ pour les obus de 6 pouces, ils éiaîeni presque tous brisés dans leur choc contre le liquide. E^Gi ces expériences ont montré clairement rinfluence de la masse liquide qui accompagne les projectiles dans leur mouvement ou plutôt celle du courant postérieur qui constitue leur sillage : ce courant les a entraînés bien au delà de la positioi qu'ils eussent naturellement atteinte, et, parfois^ il les faisai dévier latéralement et dans une direction presque perpendiculaire à celle de la vitesse initiale, vers la On de leur course

Lois de la résistance de l'air à de grandes vitesses,

428. Recherches de Robins et de Hutton. — Les résultai: jusqu'ici exposés pour Tair, ne concernent que de médiocre! vitesses, comprises depuis i jusqu'à 7 ou 8 mètres, par seconde; mais nous avons averti (389) que la loi de la résistance changeait, d'une manière sensible, pour des vitesses beaucoup plus grandes, telles que celles des projectiles sphérique de l'artillerie. Robins et, surtout, son continuateur, Hutton ont entrepris des expériences suivies dans la vue de.découvrii cette loi. D'après ce dernier Auteur, les valeurs du coefficient k de la formule

R = kpAU = kpA^^, seraient données approximativement, par cette Table :

3oo"

5oo

Goo

DBS RÉSISTANCES. 663

Uutton a aussi essayé de représenter le résultat de ses expériences par une formule empirique» mais cette formule, de même quç les nombres ci-dessus, a été obtenue à l'aide de Diélhodes d'interpolation qui laissent beaucoup kc désirer, et doni les résultats ne s'accordent pas exactement avec les effets naturels, surtout lors des faibles et des grandes vitesses. Pour celles-ci, comme l'a remarqué M. Piobert, le coefficient k a principalement été déterminé par les plus faibles des résultats de l'expérience et non par leur moyenne, de sorte que l'existence du maximum de k n'est rien moins que démontrée. Quant aux petites vitesses, on peut juger, par ce qui précède (426)» que les valeurs de k, indiquées au tableau ci-dessus, par cela même qu'elles ont été obtenues au moyen d'une machine de rotation, sont sensiblement trop fortes quand il s'agit du mouvement rectiligne. Enfin ces données ne mettent point eu mesure de tenir compte de l'influence qui, d'après les expériences assez peu certaines de Hutton (426), pourrait être due à l'agrandissement du diamètre des projectiles.

Sous ces différents points de vue, et pour l'avantage des personnes qui s'occupent de balistique, nous croyons utile de mentionner les résultats des recherches spéciales entreprises par HM. Piobert et Duchemin sur cette matière, résultats qui se trouvent consignés dans les Mémoires qu'ils ont présentés au concours de i836, pour le grand Prix de Mathématiques de l'Académie des Sciences.

429. Recherches de M. Piobert. — La discussion approndie et comparative des résultats fournis directement par les expériences de Robins et de Hutton, sur les projectiles d'un petit calibre, lancés dans l'air à de grandes vitesses, et par celles de Newton, Désaguilliers, Borda, sur les sphères d'un plus grand diamètre, mues circulairement à de petites vitesses, cette discussion a conduit M. Piobert à représenter leur ensemble avec une approximation très-suffisante pour les applications pratiques, parla formule

R=:o,oo3AH- A(i -f- o,ooi7V)V' VojOiîA 4- 0,00121,

sous la température et la pression atmosphérique ordinaires ou moyennes, pour lesquelles la densité p de l'air est sup-

664 MÊCAlflQUB IMDU8TB1BLLB.

posée de ~7 X 1 ooo^», ou i^«, 1 76 environ, V représentant toujours la vitesse par seconde, et A la surface d'un grand cercle du projectile, évaluées en mètres linéaires ou carrés.

Le premier terme, le terme indépendant de la vitesse dans cette formule, proviendrait essentiellement du frottement ou de l'adhérence du mobile et de l'air; il varierait essentiellement avec la nature de la substance et le degré de poli de ce

mobile ; le facteur ^/o,oi2A -h 0,00121, également indépendant de la vitesse, serait relatif à l'accroissement de la résistance, par rapport à l'étendue des surfaces frottantes (&26); enfin le facteur 1 4- 0,0017 V devrait, conformément à ce qui a été exposé au n"" 389, provenir spécialement de l'accroissement de densité subi par le fluide, en avant du boulet.

Nous ne nous permettrons qu'une seule remarque sur cette formule; c'est qu'en y faisant entrer la considération des résultats de Borda et de Hutton, relatifs à la résistance dans les mouvements circulaires, il est à craindre qu'elle n'attribue une influence, tantôt trop grande et tantôt trop faible, aux dimensions transversales des projectiles. L'Auteur, au surplus, a reconnu par lui-même, que cette formule donnait des résultats un peu trop forts pour les plus gros calibres de l'artillerie et les petites vitesses; il pense qu'en attendant la On des nouvelles expériences entreprises, à Metz, par la Commission du tir des bouches àfeUy on pourra s'en servir avantageusement pour les calibres en usage, toutes les fois qu'il s'agira de grandes vitesses initiales.

430. Recherches de M. Duchemin. — Cet officier supérieur, qui n'admet nullement, comme on l'a vu (391), l'influence des dimensions absolues des projectiles, est arrivé, à l'aide de considérations fondées en partie sur le raisonnement, en partie sur les données de l'expérience, à la formule

applicable également aux projectiles sphériques de ranillerie, et dans laquelle h\ A, p, V ont les significations que nous leur avons constamment attribuées, et V'= 4*6*>34 représente la vitesse de rentrée de l'air dans le vide absolu, pour les circon-

DBS R6S16TANGE8. 665

Stances atmosphériques ordinaires (Noie du n"" 389). Mais ce

résultat» dans lequel le facteur ( i -f- ^7) porte principalement

sur la densité p de Fair, n*aurail lieu que pour les vitesses V inférieures à V'; et, passé ce terme, il conviendrait de remplacer ce facteur variable par le nombre constant 2, attendu que M. Duchemin suppose, avec Robins, Euler, Hutton et Lombard, que la densité du fluide cesse elle-même de croître à l'instant dont il s'agit. Les résultats ci-dessus de Hutton semblent indiquer, en effet, qu'aux environs de cette même vitesse V' = 4ï6",34, les valeurs du coefflcient A" atteignent leur limite supérieure; mais, en admettant l'existence de cette limite, qui n'est nullement démontrée comme on l'a vu, il répugne mathématiquement de supposer que les valeurs de k demeurent ensuite constantes au lieu de décroître pour des vitesses de plus en plus grandes, conformément aux hypothèses de Hutton; il est évident que la continuité ne peut être ainsi rompue, et que, sous ce point de vue tout au moins, l'hypothèse de M. Duchemin demanderait à être soumise à des vérifications ultérieures, aussi bien que la formule ci-dessus de M. Piobert, où le facteur (i -h 0,0017V) est censé croître indéfiniment avec la vitesse du projectile. Les expériences délicates et précises commencées depuis plusieurs années, à Metz, sous la direction spéciale de ce savant officier et de M. Morin, expériences continuées avec la même persévérance et le même succès par M. Didion, aidé principalement de MM. Ferronnier, Boileau et Virlet, ces expériences viendront bientôt, sans doute, dissiper toutes les incertitudes relatives à la véritable loi de la résistance des projectiles dans les mouvements rapides (*).

(*) M. le Général Didion (Traité de Balistique; Paris, 1860), en interpolant

les résultats obtenus à Metz par la Commission des principes du tir (1839 à

1840), a été conduit à la formule suivante, pour des vitesses comprises entre

3oo et 5oo mètres :

M. Hélie ( Traité df Balistique expérimentale') propose les deux formes suivantes :

R= A X 0,039 V' (iH-o, 00000203 V) et

R = AXO, 00217 V^;

Questions concernant la résistance et le mouvement uni-formes des corps dans Veau et dans Vair,

431. Préparation de la formule, calcul de la densité de$ gaz. — Les applications les plus ordinaires des règles du; n"* 382 concernent Tair et Teau; il est donc nécessaire de^ déterminer d'abord la valeur de la densité p qui leur correspond. Nous avons vu (34) que, pour Teau, on a sensiblement p = i 000^1 dans les cas ordinaires; quant au poids du mèire cube d'air, il varie (40) avec la température et la pression barométrique, et il devient nécessaire de le calculer dans chaque cas particulier, comme il suit.

Supposons que la température actuelle de l'air soit de 1 2 degrés centigrades, et que la colonne de mercure qui, dans le baromètre, mesure la tension de cet air, soit de 75 centimètres, ce qui est, à ))eu près, la température et la pression moyennes qui répondent à l'automne et au printemps dans notre climat. Suivant la Table du n® 40, la densité ou le poids du mètre cube d'air à zéro de température et 76 centimètres de pression est de i^(,2 99i; cherchant donc, d'après la loi de Mariotte (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26), quel volume occuperait cette même quantité d air à la pression et à la température ci-dessus, nous en conclurons aisément sa densité, son poids sous l'unité de volume. Supposons d'abord quQ la pression 0*^,76 restant la même, Ja température s'élève

d'après les résultats, de nouvelles expériences, faites par la Commission du tir (i856 à 1857), à l'aide de l'appareil électro-balistique, on aurait

Des recherches cipérimentales, entreprises de 1859 à 1861 par la Commission de la Marine, sur des boulets allongés, ont conduit à la formule R = AKV, A représentant la section de la partie cylindrique; le coefficient K varia un peu avec la forme du projectile ( Traité de Balistique de M. Hélie).

M. Le Boulengé ( J^rii</e5 de Balistique expérimentale; Bruxelles, 1868) propose la formule \

R = Axo,oooo6}68V».

M. Maçnus (Berlin, i8jq), M. Rutzky (Vienne, 1861), et le Général russe Magesski {Revue technologique militaire; i865) ont étudié l'inQuence de la résistance de l'air sur la déviation des projectiles. (K.)

DBS RÉSISTANCES. 667

à 12 degrés, le volume, à zéro, deviendra (26), puisqu'ici le gaz est libre de se délendre sous cette pression,

i"«-l- 12 X 0"% 00875 = i«»<^-|- o»So45 = i%o45.

Cherchant, de même, ce que ce dernjer volume devient à la pression de o™, 75, on aura, d*après la première des lois citées, la proportion

75* : 76*^ :: i"So45 : x r= i*%o45 x ^ = i^^oSg. Mais ce volume d'air pèse \^^^i<^\\ donc 1 mèire cube