Considérations préliminaires, — Nous n'avons jusqu'ici

donné que de simples aperçus (113 et suivants ) sur la manière \h

dont l'air agit contre les corps, pour modifier, ralentir leur vi

mouvement; les données précédentes jointes aux «principes 'ii

fondamentaux exposés au commencement de cet Ouvrage \k

nous permettent de mieux étudier, de calculer même, les lois de ce mouvement, pour deux circonstances importantes : i® celle où le corps serait lancé, avec une certaine vitesse et sans tourner, dans la direction d'un plan horizontal solide, où il serait soutenu sans frottement, ce qui est aussi, à peu près, le cas des projectiles de rariillerie, animés d'une grande vitesse horizontale, et qui, dans une portion assez considérable de leur course rapide, n'ont pas éprouvé, de la part de la gravité, une action assez prolongée pour sortir sensiblement de la direction initiale de celle vitesse; 2" celle où le corps ayant été lancé dans une direction verticale, de bas en haut ou de haut en bas, serait ensuite abandonné librement à l'action de la gravité et de la résistance de l'air, toujours dans l'hypothèse où il ne viendrait pas à tourner par suite d'un défaut de symétrie dans sa forme extérieure, etc. Ce que nous dirons, d'ailleurs, pour l'air en particulier, s'appliquera aisément à toute espèce de fluide, à l'eau, par exemple, en introduisant dans les données delà question les modificaiions relatives à la densité de ce fluide et au coefflcient k de sa résistance.

440. Expression de la force dynamique totale des corps soumis à l'action des fluides, — Pour étudier les lois du mouvennent dans les cas très-simples dont il s'agit ici, il sera nécessaire de rechercher, à chaque fois, la valeur très-différente de la force F (130), qui accélère ou retarde ce mouvement, et f doit être perpétuellement égale et contraire à la force d'inertie

\ - - =M-» P étant toujours le poids, M la masse, et v l'accélération ou la diminution de vitesse pendant le temps infiniment petit t. Mais, comme en réalite le corps est toujours accompagné (380) d'un certain volume de fluide ambiant, que

» nous avons appris, par quelques cas, à calculer, il sera nécessaire d'avoir égard aux considérations exposées à la fin du n"* 382, c'est-à-dire qu'il faudra ajouter la masse M,, de ce volume, à celle M du corps, pour obtenir la force d'inertie totale. En représentant toujours, comme aux endroits cités, par Q le volume apparent ou extérieur de ce corps, par nQ celui du

\ fluide entraîné à la densité /?, et désignant, de plus, par II la densité moyenne ou réduite que l'on obtiendrait en divisant le

poids P, du corps, par son volume extérieur Q, on aura

et

F = (M + M.)- = — ^Qt'

pour la force dynamique ou d'inertie lolale; ce qui nionlre qu'en raison du fluide entraîné, la densité moyenne du mobile doit simplement être augmentée de la fraction n, de celle de ce fluide.

La densité dont il s'agit étant, même pour les projectiles creux de l'artillerie, au moins 5ooo fois la quantité

/i/? = o ,6 X 1 ^*, 227 = o^«, 7362 ( 380 et 431 )

pour le cas de l'air, il est évident que, dans la recherche des lois de leur mouvement, il deviendra permis de négliger la masse de l'air entraîné: mais il pourrait n'en plus être ainsi dans d'autres cas, par exemple si le milieu résistant était l'eâu ou s'il s'agissait de surfaces minces (380, 405 et 411 ], de corps creux tels que les ballons, etc.; circonstances dans lesquelles l'influence de la proue et de la poupe fluides se sont précisément manifestées lors des expériences. Toutefois, à moins d'un avertissement contraire, nous conviendrons, pour la simplicité, de désigner, en général, par P et M le poids et la masse réunis du corps et du fluide entraîné, en considérant ainsi ce dernier comme formant une partie intégrante de ce corps.

441. Marche à suivre dans la recherche des lois du mouvement, — Ainsi qu'on l'a expliqué aux n<*» 129 et suivants, l'équation

F=M-, d'où l'on tire V=^/,

peut servir à faire découvrir toutes les circonstances du mouvement, et elle en contient implicitement la loi'; mais la méthode géométrique indiquée spécialement au n*> 134, bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vitesse, la force dynamique F, et l'espace décrit à chaque instant par le mobile, cesse de l'être dans le cas présent où l'on n'est plus censé

ronnallre les valeurs de celte force à la fin des différenis temps écoulés. Ces valeurs qui dépendent ici essentiellement de la résistance du fluide et de Taction de la gravité, s'il s'agit du mouvement vertical, seront simplement données au moyen des vîiesses successivement attribuées au mobile dans les différenls points de sa course, en s'appuyant, à cet effet, du résullai des expériences et des formules exposées dans le Chapitre précédent.

On pourra donc aussi talculer la valeur de chacun des accroissements infiniment petits /, du temps, correspondant à une diminution ou un accroissement donnés v, de la vitesse, pour Tinstant où celle-ci a une valeur assignée Y, à l'aide de la formule générale

dans laquelle M et P réprésentent toujours, si cela est nécessaire, la masse et le poids total du corps et du fluide entraîné. Or, en raisonnant ici comme on l'a fait aux n*"* 72, 181, etc., à l'égard de la détente des gaz et des vapeurs, c'est-à-dire si l'on construit une courbe O'a' b' d , . *f' g'h' {PL III ^Jlg. 79), , dont les abscisses Oa, 0(,..., 0/, Og", O/i, prises par rapport au point 0, comme origine, si le moiivement s'accélère, ou les abscisses AO, ha^ A6,..., Iify hgy prises par rapport au point /i, si le mouvement se ralentit, représentent, à une cer* laine échelle, les valeurs équidistantes successivement attri* buées à la vitesse V, tandis que les ordonnées 00', ac^, bb\...y f Jf' , gg' représentent les valeurs correspondantes du quotient de P par gF, le temps T, écoulé entre deux instants quelconques pour lesquels la vitesse devient 06 et 0/ou hb et fif, par exemple, sera évidemment donné par l'aire bb'f'f, comprise > entre la courbe, l'axe des abscisses et les ordonnées ex- ' trêmes bb' et^', relatives à ces vitesses. En appliquant donc f ici le théorème des quadratures de Simpson (180), il sera possible de calculer le temps T, dont il s'agit, à un degré d'approximation aussi grand qu'on le voudra, en subdivisant I l'intervalle 6/, compris entre ces ordonnées extrêmes, en un nombre pair et suffisamment grand de parties égales.

Comme on a, d'ailleurs (48 et 53), en représentant pare

686 HtCAHIQCV IHDOSTUILU.

l'élémenl de chemin correspondani à / ou à «^

MV PV F ^F

on voil que la même métliode pourra servir à trouver la longueur du chemin parcouru dans TintervaUe dont il s'agît, pai la considération d*une. nouvelle courbe OaTb'c' .,.g', construite sur les mêmes abscisses, mesurées, suivant les cas, i partir du point O, ou du point A, mais ayant pour ordonoées les valeurs correspondantes du quotient de PV par ^F.

Quant à la question où il s'agirait de trouver immédiatemeni les espaces parcourus au moyen des temps écoulés, il esl évident qu'elle ne saurait être résolue par les mêmes procédés, c'est-à-dire par une marche directe, puisque F ne peut se calculer que si Ton connaît V; on sera alors obligé de recourii à une sorte de tâtonnement dont nous aurons soin d'offrir un exemple dans ce qui suit.

Cas du mouvement horizontah

442. Faleur de la force djrnamique ou retardatrice ; équations fondamentales du mouvement. — Lès effets de la pesanteur sur le mobile étant censés négligeables ou détruits par une cause quelconque, et les forces étrangères à l'inertie se réduisant ici uniquement à la résistance R du milieu, qui peut être calculée pour chacune des vitesses V, possédées par le mobile aux divers instants, on aura simplement (440)

F ou i^ ^-^-^ 7 = R ;

et, par conséquant, le corps ayant été lancé horizontaleiAent avec une certaine vitesse initiale, cette vitesse sera de plus en plus diminuée et le mouvement ralenti dans chacun des instants égaux à I, suivant une loi donnée par la formule

7 (n-+-rtp)Q*

DES RÉSISTANCBS. 687

|ui exprime véritablemeni la force dynamique relative à Y unité le niasse supposée entièrement libre (132), ou qui serait ca* )able de lui imprimer, dans le vide a-bsolu, le mouvement îffeclif du corps. Mais attendu que la résistance H décroît très-rapidement avec la vitesse V du projectile, le mouvement ne sera pas uniformément relardé (107 et 117), comme cela inrive (365) dans le cas où la résistance se réduit à un simple rrotteinent exercé par le mobile, sur un plan solide horizontal; il le sera de moins en moins pour des intervalles de temps /, égaux et inliniment petits, comme le démontre la formule cidessus, qui donne la diminution de vitesse v pour chacun de ces instants.

D*un autre côté, cette même formule, dans laquelle l'aire A de la projection du corps sur un plan perpendiculaire à la direclîon rectiligne du mouvement, entre comme facteur de R (381), d*après les résultats les plus concluants et les plus universellement admis sur la résistance des fluides, cette formule, disonsnous, montre que la diminution instantanée c^, de la vitesse, est d'autant moindre, toutes choses égales d'ailleurs, que la densité moyenne n du corps (kk{^) est plus grande aussi bien que le rapport de son volume Q à Taire A, qui se réduit aux y du diamètre pour les sphères, à la hauteur ^% Vaxe pour les cylindres et les prismes droits mus parallèlement à cet axe, etc.; de sorte que, pour les corps sphériques en particulier, par exemple pour les projectiles de l'artillerie^ le ralentissement de la vitesse initiale est d'autant plus rapide que leur densité moyenne ou réduite et leur diamètre sont moindres : fait confirmé par Texpérience, et que démontre plus spécialement encore fa formule

. gR o,o938Xg^ AT;

/ P Ud '' *9 Hrf*

relative ait mouvement de ces projectiles dans l'air, pour lequel on a pris (4^31), R = o,o6253A'AV% en négligeant d'ailleurs le terme np relatif au fluide entraîné; prenant g = 9"',8o88(117) pour le lieu où nous sommes; puis remplaçant Q et A par leurs valeurs \ nd*, \ Tzd\ dans lesquelles d est le diamètre et ir = 3)i4i6 son rapport inverse à la circonférence.

688 MÉCANIQUE IlfQCSTIIIELLB.

Considérant pour exemple le boulet de a4> ^^^^ <>" ^ "^^ cherché, à l'avance, la résistance dans l'air au n<* b38, on aura immédiatement, pour calculer toutes les circonstances de son mouvement horizontal,

F Oéx ? - = R = 0,0010755 A-VS 7=o,ooo88frV«; g i l

ce qui montre tout à la fois, d'une pari, l'énorme influence exercée par cette résistance aux premiers instants du mouvement où la vitesse Y atteint quelquefois 5oo mètres» et où par conséquent sa diminution instantanée v devient (^28) 0)Ooo88Xi»oi x(5oo]' = 222 fois au moins, la durée correspondante /, du temps; d'une autre part, l'extrême faiblesse de cette même influence, dans les derniers instants du mouvement, où la vitesse étant supposée réduite à o",ooi, par exemple, en une seconde, celle de v devjent, au plus, les 0,00088 X 0,59 X (0,001)' = o,ooooooooo52 de /, ou / près de deux milliards de fois plus grand que v; ce qui montre l'excessive lenteur avec laquelle le mouvement devrait s'éteindre dans les hypothèses actuelles sur la loi de la résistance.

hkS. Le mouvement ne s'éteindrait jamais si la résistance décroissait plus rapidement que la vitesse, — Pour démontrer ce principe d'une manière positive, et qui s'applique généralement à tous les cas où la force retardatrice tend à s'aflaiblir rapidement et indéfiniment avec la vitesse, sans jamais changer le sens de son action, nous remarquerons tout d'abord que la formule générale ( H2 )

dans laquelle M et P peuvent, comprendre la masse et le poids du fluide entraîné, montre que la valeur du quotient de M par F, ou de P par gR, croissant indéfiniment à mesure q.ue la vitesse Y du corps diminue, il faut bien aussi que le temps /, nécessaire pour détruire, dans ce corps, un tlegré donné de vitesse v, devienne de plus en plus grand et finisse par acquérir une valeur comparativement infinie dans les dernières périodes

DBS RÉ918TANC£8. 689

du mouvemeni; de sorte qu'il peut bien arriver que la somme des valeurs de Taccroissement t, du temps, devienne ellemême excessivement grande ou infinie, quoique celle des va* leurs correspondantes de (^ ne puisse dépasser la valeur aitri» buée à la vitesse initiale quelle qu'en soit la petitesse. Mais on peut établir cette proposition d'une manière plus rigoureuse et plus sensible encore, par la considération de la courbe 0'a'b\..f'g' {PL Illyfig. 79), dont on s'est occupé au n" Wl

ci-dessus, et qui a h pour origine des abscisses ou vitesses.

En effet, la valeur de la fraction --^t se trouvant représentée

par la hauteur des ordonnées correspondantes aux diverses valeurs de V, on» voit que ces ordonnées doivent croître indéfîniment à mesure qu'elles se rapprochent de l'axe parallèle qui répond à l'origine A; de sorte que l'espace compris entre cet axe et la courbe est réellement illimité, à peu près comme cela a lieu pour Y hyperbole équilatère de layîgr. 4ï> W. //, considérée aux n*" 181 et 198, ou celle que l'on construirait

en prenant simplement t=^-^ v par exemple. Mais, comme

on suppose ici que F ou R diminue plus rapidement que V, il en résulte que la courbe O'a'6'. • ./'gr' se rapproche bien moins rapidement encore de l'axe des ordonnées et beaucoup plus, au contraire, de celui des abscisses que dans cette dernière hyperbole.

D'un autre côté, on sait par la géométrie des courbes et la théorie des logarithmes (198), que les aires hyperboliques comprises entre une ordonnée fixe quelconque et une autre

I ordonnée qui s'approche sans cesse de Vaxe correspondant relatif à l'origine A, des abscisses, croissent indéfiniment, de manière à devenir plus grandes que loute quantité assignée; donc il en sera de même, àforiiori^ des aires analogues de la courbe 0'a!b'...f'g', qui donnent les valeurs du temps dans

^ le mouvement retardé dont on s'occupe, et, par conséquent, quelque paradoxal que cela paraisse au premier aperçu, il peut exister de tels mouvements qui ne s'éteindraient pour ainsi dire jamais f quoiqu'à la fin ils fussent extrêmement ralentis: c'est ce qui aurait précisément lieu dans l'hypothèse de la résistance prpportionnelle au carré de la vitesse.

6(|0 HÉGANIQUB IHBOSTBIKLLE.

Par contre» il doit exister aussi des mouvements qui s'accélèrent indéOniment sans jamais atteindre la limite de leur vitesse, quand la force dynamique F tend à décroître irèsjapldement à mesure que cette vitesse s'approche, elle-même, de sa limite; mais, comme la chute des graves dans l'air nous offrira bientôt un exemple de ce phénomène de mouvement, nous n'insisterons pas quant à présent.

Eniin il ne sera pas inutile de faire observer que, puisqu'on a également {kki et 4&2)

MV PV

des considérations analogues pourront s'appliquer aux espaces parcourus par le corps dans le mouvement qui nous a occupé précédemment : ces espaces tendront à devenir inQnis si le quotient de MV par F croissait, lui-même, plus rapidement que la vitesse V ne diminue. C'est, au surplus, ce que nous tâcherons de rendre plus manifeste encore par la discussion du cas particulier qui suit.

444. Exçmple numérique relatif au mouvement horizontal des projectiles dans l'air. — Soit le boulet du n^ 438, lancé horizontalement, dans l'air, avec une vitesse initiale, AO ou \' (PLIIIfJig. 79), de 5oo mètres par seconde, je suppose, et demandons-nous d'abord au bout de quel temps sa vitesse hà ou V sera réduite à ^00 mètres, en admettant toujours que la loi de la résistance soit celle adoptée dans cet endroit.

En supposant seulement l'intervalle de Orfou \' — V=ioo», divisé en quatre parties égales aux points a, b et c, on pourra former la Table suivante des diverses grandeurs relatives à la question (438 et 442), dans laquelle on a centuplé les valeurs de P, pour éviter l'écriture d'un trop grand nombre de chiffres décimaux :

P«liiM

VAlMriM

de

Mamérot

Viteuee

100 p tiS7,M

•llMtTtSlOB.

d'ordre.

eorreepondaiitee.

jR~ *V«

5oo

DBS BÉSISTÀNGB8. 6g I

Par conséquent on aura, en se servant de la méthode du n^" 180,

Somme des valeurs extrêmes de —„-•••• 0,4374 -^ 0,7180 = i,i554

a fois celle des valeurs d'ordre impair 2 x o, 556i = 1,1 latï

4 fois celle des valeurs d'ordre pair 4(0,4^94 h- 0,6297) = 4» 47^4

Total 6,7440

Celte somme divisée par 100 et multipliée par le | de Tinlervalle, aS mètres, entre les vitesses successives, donne

pour la durée du temps pendant lequel la vitesse du boulet est réduite de 5oo à 400 mètres, attendu que g: = 9", 809 répond (117) à une seconde sexagésimale, qui est ici l'unité de temps.

Les différences consécutives dé chacune des valeurs, fournies par la Table ci-dessus, du quotient de P par gR, à la suivante, allant progressivement en croissant, on en conclut, à priori, que la courbe est convexe vers Taxe des abscisses comme l'indique la^g*. 79, et le résultat qui vient d'être obtenu est par conséquent un peu trop fort (180). Mais, comme ces mêmes différences croissent assez lentement, le résultat, quoiqu'un peu faible, doit néanmoins s'approcher beaucoup du véritable; et c'est ce dont on peut s'assurer directement en supposant seulement l'intervalle Ody de 5oo à 4<>^ mètres, di* visé en deux parties égales, au point b : on trouve, en effet, par la méthode déjà employée,

X X 5o(o,oi i554 -♦- 4 X o,oo556i} = ©'",5633,

résultat qui ne surpasse le précédent que de ~ de sa valeur. D'après ce grand degré d'approximiafion de la méthode pour l'intervalle de 5oo à 4<>o mètres, on pourrait, sans risquer de commettre des erreurs appréciables, se contenter de diviser pareillement en deux parties égales l'intervalle de 4oo à 3oo mètres, pour en conclure la durée correspondante du temps. Et, comme les valeurs du quotient de P par g'R, relatives aux vitesses de 35o et 3oo mètres, sont respectivemet de 0,01000

6931 HÉCAIflQCB INDUSTRIELLE.

et o,oi436y on en conclut» pour la valeur de cette durée»

-X 50(0,00718 -h 0,01436 4- 4X0, 01000) cz:!*", 0266;

mais il serait» sans doute, peu exact d'étendre cette règle aux intervalles égaux suivants, de 3oo à 200 mètres et de 200 a 100 mètres, parce qu'on pourrait tomber alors, dans les régions où la courbure par trop prononcée de la courbe, donnerali lieu à des différences d'ordonnées consécutives très-variables, et, a plus forte raison, ne conviendrait-il pas d'étendre cette méthode à de très-grands intervalles de vitesses.

Ainsi, par exemple, si l'on se contentait de partager en quatre parties égales l'intervalle compris depuis 5oo jusqu'à 100 mètres, ou de 100 en 100 mètres» on trouverait» pour le temps nécessaire à un pareil ralentissement de vitesse, 12"^, 33» qui, inévitablement, surpasserait d'une quantité notable la véritable valeur de ce temps. Cependant telle est l'excellence de la méthode pour le cas actuel, que si l'on divise ce même intervalle en huit parties égales» on trouve le nombre i'^,77» dont la différence avec le précédent n'est pas le ^r de sa valeur, et qui, par cela même» ne doit surpasser que de très-peu la véritable durée du temps.

U5. Extrême lenteur avec laquelle le mouvement s'éteint dans cet exemple. — Afin de mettre la chose dans tout son jour» nous rechercherons le temps nécessaire pour que la vitesse, supposée réduite a 10 mètres» ne soit plus que de 2 mètres par seconde; mais, au lieu des valeurs du coefficient ^, fournies par la Table du n^ ^28, nous adopterons, pour ces faibles vitesses, la moyenne k = o,52 ((^25) qui doit s'écarter assez peu (fc26) de la véritable, dans le cas du mouvement rectiligne des globes dans l'air. D'après cela, si l'on divise seulement en quatre parties égales l'intervalle de 10 à 2 mètres, on formera le tableau qui suit :

Ifamérof d'ordre.

Vlt«ueff corrMpondaiiUi.

ValMf* de P ait7,TS

DES RÉSISTAMGBS. 698

ce qui donne pour la durée du temps écoulé,

Si l'on se fût borné à diviser rintervalle de lo à 2 mètres en deux parties égales, on eût trouvé 1082", 28, nombre qui diffère beaucoup du précédent, et prouve que la subdivision en quatre parties peut ne pas suffire; en la portant à huit, on obtient finalement 880^,2, pour le temps que la vitesse du mobile met à passer de 10 à 2 mètres; la différence 35", 6, entre ce nombre et le premier des précédents étant assez forte, on voit qu'il y aurait lieu de multiplier davantage encore les subdivisions, si l'on tenait à une trèsgrande exactitude, mais, pour l'objet que nous avons ici en vue, il serait inutile de pousser plus loin les calculs.

Tel est d'ailleurs l'esprit dans lequel on devra constamment appliquer le théorème (180) des quadratures de Simpson.

Les résultats obtenus en dernier lieu montrent, conformément à ce qui a été annoncé au numéro précédent, d'après des considérations générales et purement géométriques, que la vitesse diminue ici avec une lenteur extrême, et l'on peut juger que cette lenteur serait infiniment plus grande encore pour les derniers instants du mouvement. Ainsi, par exemple, on voit sans qu'il soit nécessaire de recommencer sur de nouveaux frais les calculs, que le temps au bout duquel la vitesse serait réduite de 10 à 2 millimètres par seconde s'élèverait, au moins, à (1000)'== i million de fois 880^, ou bien près de 28 ans, etc.

Pour obtenir les espaces successivement parcourus dans le même mouvement, il suffira (4>&3) de recommencer les calculs en y remplaçant chacune des valeurs de P sur gR, par son produit avec la valeur correspondante de V. C'est ainsi qu'on trouvera, pour l'intervalle de 5oo à 4^^ mètres de vitesse, l'espace

694 MÉGÀlfIQCB IlfDOSTtnLLB.

avec un degré d'approximation encore plus grand que dans le précédent exemple.

En divisant pareillement Tintervaiie de 5oo à 100 mètres, en huit parties égales, on obtiendrait 2242 mètres pour l'espace correspondant décrit par le projectile. Enfin, pour l'intervalle pendant lequel la vitesse se réduirait de 10 a 2 mètres, l'espace décrit par le boulet s'éloignerait fort peu de 3523 mètres, et il serait environ 1000 fois plus grand dans l'intervalle de lo à I millimètre, etc.; ce qui suffit bien pour (aire sentir que le chemin entier parcouru par le mobile n'aurait, de même que le temps, aucune limite assignable (^).

Quant à la manière de découvrir le chemin relatif à un temps donné, comme elle peut être avantageusement suppléée, dans

(*) On remarquera que pour cette dernière période du mouvement où Von suppose  inTariable, les équations du n^ 441 prenant la forme très-simple,

où C représente une constante facile k calculer dans chaque cas, on en tire, par les procédés connus de l'analyse, qui ici, pourraient être facilement suppléés par les considérations directes de la Géométrie,

T = c(i-i5), E = C1o6(y), E = Clog(n-Ç);

E représentant, en outre, l'espace décrit et T le temps écoulé depuis l'origine du mouvement, où la vitesse V, relative k ee 1«mps, était V; enfin le signe abréviatif log, se rapportant aux logarithmes lyrperMiques ou. népériens ( 196) qui, on se le rappellera, peuvent être également obtenus au moyen dee TaMe» de logarithmes ordinaires, en multipliant ceux-ci par le nombre constant 3,3o3585. Ces dernières formules montrent bien d'ailleurs que E et T deviennent infinis en même temps que Y ss o; mais déjà il n'en serait plus ainsi de l'espace E, si la résistance était simplement proportionnelle à la vitesse; caç h cause dee = C»', on aurait E = G(V' — V), et par conséquent, EssCV^ pour V = o, quoique T reste infini ou que le mouvement ne s'éteigne jamais. Ainsi l'espace décrit parle corps grandirait constamment sans néanmoins pouvoir atteindre la limite E = CV : à fortiori , cet espace conserverait-il unevsleur finie dans le cas où la résistance croîtrait moins rapidement encore que

la vitesse, par exemple comme sa racine carrée /v. On aurait alors, en effet,

de sorte que le mouvement s'éteindrait complètement au bout du temps T = iCyfV, et de l'espace E = J C V v'V^. •

DBS RÈSISTàMCBS. 695

le cas actuel, par la Table du n"" kkl, elle serait sans intérêt» et nous renverrons nos lecteurs à Texemple ci-après, qui concerne la chute verticale des corps dans l'air.

446. Idée de la manière dont le mouvement horizontal des corps peut s'anéantir, même en un temps fort court. — Lorsqu'un projectile est lancé horizontalement à la surface de notre globe, il y est continuellement sollicité à descendre en vertu de la pesanteur, s'il n'est point soutenu sur un plan fixe; bientôt, en effet, il atteint la surface du sol, où il s'enterre si le choc ne lui permet pas de rebondir, ricocher^ un nombre plus ou moins grand de fois, à chacune desquelles il perd des portions très-appréciables de sa force vive initiale, que lés frottements et obstacles quelconques, dont sa route est parsemée, finis* sent promptement par lui enlever. Ces frottements, comme on l'a vu au n° 366, sont tels que, même pour des surfaces horizontales aussi polies que la glace, quelques secondes suffisent pour éteindre complètement une vitesse initiale de 4 mètres dans un corps de masse quelconque, indépendamment de la résistance de l'air, à laquelle le frottement devrait être ajouté dans les équations fondamentales du n"" kk2.

Ainsi, par exemple, /étant la valeur particulière du coefficient de ce frottement, on aura, en général,

i; R-f-/P R+/nQ u ( frV» \

l = w:^r^{Ti^np)(i' ^" l=e{o.^^^^fy

s'il s'agit spécialement (ibid.) des projectiles de l'artillerie, mus dans l'air; ce qui montre que c'est surtout pour les faibles vitesses que le frottement exerce de l'influence, tandis que l'inverse a lieu pour la résistance du milieu qui exerce principalement la sienne à l'origine du mouvement. Or, il en résulte que ces deux seules causes réunies doivent, quelle que soit l'intensité de sa vitesse initiale, arrêter le corps en un temps généralement très-court, comme on l'observe, en effet, dans tous les cas analogues.

Il est pourtant une circonstance physique où le mouvement horizontal pourrait se perpétuer sans fin, si les lois de la résistance des fluides étaient telles qu'on vient de le supposer dans ce qui précède : c'est celle où un corps flottant i la surface

69B MÉCAKIQDS INDU8TBIBLLI.

de niveau d'un liquide immobile, tel que Fedu d'un bassin soustrait à Taciion des courants d*air, viendrait k y être lancé horizontalement» sans tourner, avec une certaine vitesse ; car le corps étant ici soumis uniquement à la résistance de cette eau et de l'air, il n'existerait plus aucune force retardatrice constante étrangère aux deux fluides, et capable de détruire des portions de la vitesse initiale qui, étant proportionnelles aux temps écoulés, amèneraient promptement le corps au repos absolu. Une expérience de cette espèce, exécutée dans les circonstances les plus favorables et en observant, avec loule l'exactitude qu'il serait facile d'y apporter, la loi du mouvement aux derniers instants, une telle expérience serait peut* être plus propre qu'aucune autre à faire découvrir l'existence d'une pareille force retardatrice, admise par les uns et repoussée par d'autres (388), sans que les motifs ou les faits d'expériences qui servent d'appui à ces opinions contradictoires puissent "être considérés comme rigoureusement établis. Mais, à cause de l'influence qui, dans ces derniers instants du mouvement du corps, pourrait être exercée par le sillage ou courant postérieur (ST^-), et tend à l'entraîner au delà de la position qu'il devrait naturellement atteindre, il serait peutêtre encore plus exact de chercher à constater l'existence du terme constant, en observant avec soiifi le mouvement de descente vertical, dans l'air, d'un ballon vide ou rempli d'un gaz assez léger pour que son poids, dans cet air, constaté par une pesée directe, fût réduit à un degré de petitesse comparable au frottement dont il s'agit d'apprécier l'influence, et dont les effets ne sauraient manquer de se manifester, si le globe était abandonné, sans aucune entrave, à l'action de la pesanteur, comme le firent Newton et Désaguilliers (426), lors de leurs premières expériences dans l'église de Sainl-Paul à Londres. Au surplus, quelle que soit l'opinion qui triomphe définitivement, il n'en est pas moins vrai de dire que les obstacles accidentels dont est parsemée la route des corps en mouvement dans les fluides, les particules solides qui y nagent et donnent lieu à de véritables frottements, enfin l'influence des tourbillonnements et remous qui s'y produisent, la rotation même que tendent, presque toujours, à prendre les corps non parfaitement symétriques, sont autant de causes qui parvien-

DBS EÉSI8TÂNGB8. 697

lient à anéantir leur vitesse, dans des temps infiniment plus courts que ne l'indique le calcul. Et, comme tous les mouvements sonty ici-bas, nécessairement soumis à Tinfluence de pareils frottements, de forces retardatrices variables ou constantes, on voit qu'ils ne peuvent s'entretenir dans les corps, même les plus subtils, sans une dépense continuelle de travail ou d'action, à laquelle les combinaisons matérielles les plus ingénieuses ne sauraient suppléer (103); et voilà aussi pourquoi le mouvement perpétuel que rêvent des hommes privés des premières notions de la Mécanique, est une véritable chimère, quand on le recherche ailleurs que dans l'action immuable des forces de la nature, qui font mouvoir les corps célestes dans un espace vide ou privé de toute résistance, et qui» à la surface de la terre, servent par leur mouvement périodique, plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos machines de diverses espèces.

447. Résultats des calculs de M, Piobert, relatifs au moui^ement horizontal des projectiles dans l'air. — Dans un Chapitre Intéressant du Mémoire (373) qu'il a présenté en commun, avec MM. Morin et Didion, au concours du prix de Mathématiques pour l'année i836, cet officier supérieur a calculé, avec beaucoup de soin, une Table qui permet au simple coup d'œil de se rendre compte de toutes les circonstances offertes par le mouvement des divers projectiles, en usage dans l'artillerie française, lancés horizontalement dans l'air en repos et abstraction faite de l'action de la pesanteur (439 ). Elle a été dressée en prenant pour base des calculs la formule du n® {^29, qui sert à représenter le résultat moyen des expériences relatives à la résistance de l'air sur les projectiles. Dans la formation d'une pareille Table, les méthodes directes indiquées aux n~ 440 et 444, présenteraient évidemment les plus grands avantages pour trouver successivement, par des opérations fort simples, les valeurs numériques des temps et des espaces qui correspondent a une série de vitesses équidistantes données et suffisamment rapprochées; ce qui permettrait, ensuite, de tracer de nouvelles courbes, au moyen desquelles on obtiendrait facilement toutes les valeurs intermédiaires de ces temps ' et de ces espaces ; ce qu'on appelle en général, interpoler, dans

698 MÉCAlflQUB UfVOBTKIELLB.

la langue des géomètres. Mais, en réalité, M. Piobert est arrivé aux résultats de sa Table par une voie purement analytique ( * ) fondée sur la formule déjà citée du n"* 429, et sans l'établissement de laquelle cette recherche eût été impossible, tandis que la méthode précédente reste applicable, au moyen d'une courbe d'interpolation ou d'une Table analogue à celle du n"" 428, quelle que soit la complication de la loi expérimentale suivie par la résistance.

. ( * ) En poMnt, pour abréger, dans la formule du n* 429,

n = 0,0017 Ay^OyOïaÀH- o,ooiai, n = A\/o,oiaA + o,ooiai,

q-=. o,oo3A,

elle prend la forme trèa-BÎmple

R = OTV«-+-iiV«-f-y.

Pour les mouTementfl rapidea des projeetiies de rartillerie, c'esVà-dire pour des vitesses supérieures à 5 mètres par seconde, on pourra négliger le dernier terme de la formule, et Ton calculera, d'après M. Piobert, on mètres et secondes seragésimales, l'espace E décrit et le temps T écoulé pendant que la vitesse V du mobile se réduit à V, au moyen des formules

où les logarithmes sont hyperboliques , comme dans la Note du n9 444, et P

désigne le poids, en kilogrammes, du projectile, / la fraction ~- = 588,^353

qui, ici, comme on voit, joue un très-grand rôle, et mériterait d'être déterminée arec le plus grand soin, d'après les données de l'expérience.

Pour les mouvements très-lents, au contraire, ou au-dessous de 5 mètres par seconde, on peut négliger le terme m Y' de la résistance, par rapport aux deux autres, et alors on a

formules dans lesquelles encore, r exprime en nombre le rapport de ^ à n, et l'abréviation arc tang, l'arc du cercle dont le rayon, égal à l'unité abstraite, a pour tangente trigonométrique, la valeur numérique du rapport qui la suit, et dont la connaissance entraine celle de l'arc au moyen des Tables trigonométriques connues.

Telles sont d'ailleurs les formules par lesquelles M. Piobert a calculé 1«« nombres inscrits dans le tableau du texte.

DM RÉfllSTANCBS. 699

Malgré les reproches adressés dans le n"" ^29 à la formule dont il vient d'être parlé, et qui portent principalement sur les faibles vitesses et les gros calibres de projectiles, la Table dressée par M. Piobert, pouvant fournir des indications souvent précieuses comme moyens 'd'approximation, dans les questions qui concernent le mouvement horizontal de ces corps, nous avons cru faire une chose ulile, en la rapportant ici d'après l'autorisation qu'a bien voulu nous en donner l'Auleur. L'usage en est d'ailleurs si facile que nous ne croyons pas nécessaire de nous étendre longuement sur son contenu; il nous suffira de remarquer qu'elle ne donne pas seulement les temps écoulés et les espaces parcourus pour la vitesse initiale de 600 mètres par seconde, mais bien pour toutes celles qui se trouvent rapportées dans la ligne horizontale supérieure de la Table, et, par suite, pour les vitesses intermédiaires quelconques, au moyen de l'interpolation, ou du tracé continu des courbes mentionnées ci-dessus; méthode qui, sous le rapport de l'exactitude, aura surtout l'avantage dans l'intervalle correspondant aux vitesses de 100 à 200 mètres, et pour lequel les ordonnées ou valeurs du temps et de l'espace éprouvent des variations très^sensibles.

MtClIflQDB INDDSTRBLLB.

jjjjl=.,j. = ..4

2&8 8,S%S ÏSii'

ni

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lllllililillliJIsi

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-ïI;Ué| iîSitïsl.B» s'S'ss.iVi;

DBS EÉSISTANCBS. 701

Voulant, par exemple, trouver le temps que la résistance de l'air mettrait à réduire à loo mètres la vitesse initiale de 5oo mètres supposée au boulet du calibre de 24» question dont nous nous sommes déjà occupés au n® hkk, on trouvera, dans les colonnes verticales qui répondent à 5oo et 100 mètres de vitesse et à la première des lignes horizontales relatives au boulet dont il s*agit, 0^^,324 et 11'^, 65 respectivement; ce qui donne pour le temps cherché 1 1",65 — o'V324 = ' f ",326, dont la différence aux ii'',77 obtenus dans le même numéro, provient essentiellement de la légère différence entre les lois de résistance admises dans les deux cas. En opérant d'une manière analogue pour les espaces, on trouvera que celui qui est décrit par le projectile dans l'intervalle dont il s'agit, est de 2 3i2i* — 178" = 2i43", au lieu des 2242 mètres obtenus dans le numéro déjà cité; mais il s'en faut de beaucoup que la différence des résultats demeure toujours circonscrite dans des limites aussi étroites pour d'autres hypothèses.

Enfin si, au lieu de supposer la vitesse réduite précisément à 100 mètres, comme dans la Table, on voulait la prendre égale à lao mètres par exemple, il faudrait alors recourir aux courbes d'interpolation déjà mentionnées, et qu'il suffirait de tracer pour les abscisses ou vitesses, de aoo, i5o, 100 et 5o mètres, voisines de 1 20 mètres ; on trouverait ainsi 9^,04 et 2047 mètres respectivement, pour les valeurs cherchées et que nous avons effectivement obtenues au moyen d'un tableau de semblables courbes tracées, dans toute leur étendue, par M. Piobert, qui a bien voulu nous en donner communication. Les mêmes procédés serviraient évidemment à faire découvrir l'espace relatif à un temps donné, ou réciproquement; c'est pourquoi il de^ vient inutile d'insister.

Cas du mouvement vertical.

448. Valeur de la force dynamique, retardatrice ou accélératrice, dans le mouvement ascendant, — Pour les corps trèsdenses, ce mouvement sera évidemment à la fois retardé,, et par la résistance R du milieu, et par l'action de la pesanteur sur le corps, dont le poids P = Qn (440) devra d'ailleurs

702 KÊCANIQUE INDUSTRIELLE.

(kif 113 et suivants) être diminué de tout celui du volume Q de l*air qu'il déplace, poids que nous nommerons P' = Qp, et qu*il sera facile de calculer au moyen de la densité p du fluide (&31). Nous aurons donc ici (HO)

F-R-hP-F ou (Jî-±^Q^=:RH-(n-/>)Q;

ce qui donne pour le rapport de i^ à t, dans le mouvement ascensionnel du corps, ou pour la force dynamique relative à Funité de masse,

c R -+■ P — p^ gK n — p

1 ""^(nH-n/i)Q"~(n-h/i/>)Q*^^n-f-n/i'

quelle que soit d'ailleurs la loi suivie par la résistance du milieu.

Pour les projectiles sphériques de Tartillerie lancés verticalement dans l'air, de bas en haut, on pourra négliger le terme np, relatif au fluide entraîné (4M)), et, comme leur poids P, même en les supposant creux, est au moins 3ooo fois celui F du fUiide déplacé, on pourra aussi ne point tenir compte de ce dernier dans les calculs; ce qui, pour les hypothèses des n"^ 431 et 442, donnera simplement

formule qui met en évidence l'influence respective du diamètre dy de la densité moyenne n du projectile, et de la gravité ou de gf sur le ralentissement plus ou moins rapide du mouvement ascendant.

Plus spécialement encore, on aura pour le boulet de 24, qui nous a déjà occupés aux n"^ 438, 442 et 444, les formules

F = R -h P =0,0010755 /rV* -h 12, - =o,ooo88ArV»-h9",8o9,

dans lesquelles il ne reste plus que Ar et V d'indéterminés, et qui montrent que le mouvement sera de plus en plus retardé comme pour, les projectiles lancés horizontalement, mais d'une

DBS RtSlSTANGBS. ']o3

manière bien autrement rapide, et à peu près comme si ce projectile étant soutenu par un plan horizontal matériel (446), son frottement venait à se joindre à la résistance de Tair. On voit, en effet, que la force retardatrice F, conservant, à tous les instants, une valeur qui surpasse la kilogrammes, il faudra bien que le mouvement finisse par s'éteindre complètement, même en un temps fort court.

Si, au lieu de posséder une densité moyenne II, supérieure à celle p de l'air, le corps en avait une beaucoup moindre, il ne serait évidemment plus permis d'agir et de raisonner comme on vient de le faire. Dans le cas, par exemple, d'un ballon en taffetas verni, gonflé par du gaz hydrogène dont la densité est environ le ti de celle de Tair à circonstances atmosphériques égales (40), ou, plus exactement, 0,0688 x i^S227 = o^«,o82 pour I mètre cube, le poids de l'enveloppe réuni à celui du gaz qu'elle renferme, c'est-à-dire P, loin de surpasser celui de ' Tair entraîné ou déplacé, en serait une fraction assez faible ; et alors aussi, non-seulement il ne faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir, mais encore il tendrait, par lui-même, à s'élever avec une force mesurée par P' — P, et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré (108), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir.

La même chose pouvant se dire, en général, de tous les corps qui sont spéciflquement plus légers ( 35 } que le fluide qui les contient, on voit que la force dynamique ou accélératrice totale, dont ils sont animés, deviendrait alors

de sorte qu'on aurait généralement aussi

*'— /y— n gR

/""^n-hn/i (n-i-/i/i)Q'

. formuleis qui ne diffèrent des précédentes que par l'inversion des signes. Mais, au lieu de raisonner dans ces hypothèses générales, il vaudra mieux revenir à l'exemple particulier des ballons, qui est assez. intéressant en lui-même, pour que nous consacrions l'article suivant, tout entier, i l'examen des particularités que son mouvement peut offrir.

7o4 MÉCANrQUB INDU8TBIBLLB.

kk9. Exemple relatif à l'ascension verticale des ballons, limite de leur vitesse. — Supposons ( PL III ^ Jig. 'jS) un ballon sphérique de lo mètres de diamètre, son volume sera, à trèspeu de chose près, de 523""% 6; par conséquent le poids du volume d'air qu'il déplace dans les circonstances atmosphériques indiquées au n<* 431, aura pour valeur

523»% 6 X I *"«, 227 = 642^», 5 ; celui du gaz hydrogène qu'il contient,

seulement; et enOn le poids absolu du fluide qu'il entraîne (4^43),

poids énorme comme on voit, et qui doit exercer une trèsgrande influence sur les lois du mouvement.

Ordinairement les ballons destinés aux voyages aériens portent, suspendue à un système de cordes, une nacelle ou gondole, en osier, très-légère et dans laquelle se placent les aéronautes; nous supposerons que le poids de ces objets et de tout le surplus de l'équipage soit de 35o kilogrammes, mesuré dans Tair, ce qui est une charge considérable. Enfln, pour être parfaitement rigoureux, il conviendrait encore d'avoir égard à la résistance de l'air contre la gondole, les cordages, etc., ainsi qu'à la masse de fluide qu'ils entraînent; mais, comme ces quantités seraient impossibles à évaluer d'une manière précise, et qu'elles doivent être très-petites vis-à-vis de celles qui se rapportent au ballon, nous en ferons abstraction, sans perdre de vue néanmoins la faible part d'influence qu'elles peuvent exercer sur les lois du mouvement. D'après cela, le ballon serait enlevé avec une force constante

qui sera diminuée, à chacun des instants du mouvement ascensionnel, de toute la résistance opposée par l'air, et que nous continuerons à évajuer au moyen de la formule

R=ro, 06253 A^AV*

DES KÉ91STANCES. 7o5

du n"" 431, laquelle devient ici, à cause de A = 78'"i,54,

R — 4,9ii/rV^

Quanlà la masse tolalemise en mouvement par la force motrice ci-dessus, elle se composera à la fois (i40) : i'» de celle du fluide entraîné dont le poids absolu a été trouvé égal â 385^',5;2®de celle du poids pareil du ballon et de son équipage, c'est-à-dire de 35o kilogrammes, augmenté du poids du volume d'air déplacé, puisque ces 35o kilogrammes ne sont pas censés avoir été ramenés au vide ; mais, à cause de la grande densité de ces objets, dont la résistance n'a point non plus été appréciée, nous ne tiendrons pas compté d'une pareille différence; 3*» enfin de la masse de l'hydrogène enfermé dans le ballon, et qui pesant dans le vide ^7^*,g^, est pareillement soumis à la loi d'inertie. La somme de ces masses sera donc égale au quotient du poids

divisé par

ff = 9^S8o9, ou à 79,36;

et, par conséquent, on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement,

F=249^56-4,9ifA-VS ^ == -^ =3,1447- 0,06176/fV'.

Le ballon partant de terre avec une vitesse V d'abord nulle, on voit que, tant que la résistance 4»9i i A* V' restera au-dessous de 249^', 56, cette vitesse augmentera de plus en plus, et de quantités qui, à la vérité, iront sans cesse en diminuant pour des instants égaux t. Mais si .cette résistance pouvait devenir égale à 249^', 56, ce qui exigerait que la vitesse atteignit elle* même la valeur fournie par la relation

249>^«,56 = 4,9iiA-V', ou 3,i447=o,o6i76*-VS

à laquelle on satisfait en prenant à la fois k = 0,64, d'après 4a Table du n*» 428, et V=8™,9i par seconde, alors la force accélératrice F deviendrait nulle, aussi bien que l'accroissement

7o6 MftCAlflQUE llfDUSTRIBLLB.

correspondant v de la vitesse, et le mouvement cessant de Tariez il se continuerait uniformément en vertu de l'inertie (55} ou de la vitesse acquise par le ballon, si toutefois les circonstances restaient, dans les régions supérieures de l'atmosphère, les mêmes qu'à la surface de la terre.

La discussion de celte particularité remarquable du mouvement ascensionnel des ballons, étant fort délicate et se reproduisant dans d'auires^questions qui reviendront plus loin, je n'insisterai pas en ce moment; et me contenterai de faire observer que, pour un fluide quelconque et un corps spéciGquement plus léger, dont la résistance, à l'ascension, pourrait être exprimée par la formule du n*" 382, la vitesse limite, dont. il s'agit, serait généralement fournie par l'équation

F:r^P'-P R=F P-frnA — rrzo, OU V=: i A \^ ^ ^^;

k et V devant avoir ici des valeurs qui se correspondent dans la Table du n** 428, ne peuvent ainsi être obtenues que par la méthode des approximations successives, nommée règle de fausse position. Mais, il est évident que le phénomène dont il s'agit est indépendant de la nature particulière de la loi de résistance, et, dès que cette loi sera donnée, on pourra toujours trouver la vitesse limite du corps par une équation analogue à la précédente, que nous avons rapporté^ simplement pour fixer les idées.

Ce qui diminue d'ailleurs l'intérêt qui pourrait s'attacher à la question dans le cas particulier des ballons, c'est la nécessité où l'on est, comme on Ta vu, de négliger l'influence, assez grande, exercée par la résistance des parties accessoires, et de supposer les circonstances atmosphériques constantes à toutes les hauteurs; ce qu'il n'est pas permis d'admettre, même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aériens. La hauteur de ces ascensions surpasse souvent, en effet, 2000 a 3ooo mètres, et l'on a vu, dans un pareil voyage, entrepris uniquement pour le progrès des sciences, deux illustres physiciens français, MM. Biot et Gay-Lussac, s'élever verticalement dans les airs, à une hauteur de près de 4000 mètres; puis ce dernier, dans un second vovage. atteindre seul la hauteur

DBS RfiSISTANGES. ^0^

énorme de 7015 mètres au-dessus du niveau des' mers, la plus grande de celles auxquelles se soient jamais élevés les hommes, même en gravissant les montagnes (*). Or ces courageuses expériences constatent, ainsi que des observations antérieure^ ou postérieures, dont les plus importantes sont dues à MM. A. de Humboldt et Boussingault, qu'à de telles hauteurs, la température, la pression et la densité de Tair éprouvent, ainsi que l'action de la gravité, une diminution très-sensible, et dont il serait nécessaire de tenir compte dans des calculs rigoureux ; ce que les savantes recherches de M. Biot, sur la constitution de l'atmosphère {Connaissance des Temps pour 1841), rendrait possible d'une manière approximative, si la question qui nous occupe en valait la peine.

Quant aux élévations de 4^0 à 5oo mètres, par exemple, il serait peu nécessaire de s'en inquiéter pour les ballons, et en* core moins s'il s'agissait des projectiles très-denses de l'artiU lerie, et qui, tels que les bombes, sont élevés dans l'air, parla force de la poudre, à des hauteurs généralement médiocres.

450, Valeur de la force dynamique y accélératrice qu retardatrice dans le mouvement vertical descendant. — Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement des corps ou devient accélératrice toutes les fois que la densité moyenne 11(440) de ceux-ci surpasse celle du ftuide, comme cela a lieu, par exemple, pour les projectiles de l'artillerie : elle se compose évidemment alors du poids absolu P du mobile dans le vide, poids qui mesure proprement l'action de la

(*) Nous saisissons cette occasion de rappeler que les ballons aërostatiques furent découverts en 178a, par le célèbre Montgolfier, d'Annonay,et que Pilastre sDes Rosiers, physicien distingué, né à Metz, périt en 17H5, victime de son zèle pour les progrès d'un art qui était encore dans son enfance, lorsqu'il tenta de franchir le détroit qui sépare la France de l'Angleterre. Il fut aussi le premier qui, au mois d'octobre 1 783, c'est-à -dire quelques mois seulement après l'époque où les frères Montgolfier firent leur brillante expérience d'Annonay, eut le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs, à l'aide des ballons. La ville de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle eut lieu la chute de Des Rosiers, a fait élever, à sa mémoire, un monument modeste, naguère en ruine, et que la Société académique de cette même ville vient généreusement de restaurer, en lionorant ainsi, une seconde fois, le courage malheureux d'un savant qui lui -fut étranger. {Note de l'édition de 1829.)

7o8 MÉGàNIQUB industeibllb.

gravité sur ses différentes parties, diminué et du poids du volume de fluide qu'il déplace, et de la résistance R, qu'il éprouve, à chaque instant, de la part de ce fluide. On a donc, dans de telles hypothèses,

ce qui donne (HO)

(/ P — F-R n — P gR

et le mouvement de descente s'accélérera continuellement tant que le poids P — P' du corps, dans le fluide, surpassera la résistance R, opposée par ce dernier. Mais, de même que pour le cas ci-dessus des ballons, il s'accélérera de moins en moins, attendu que R crott tr^s-rapidement avec la vitesse V du corps; il arrivera même bientôt un instant où il ne s'accélérera, pour ainsi dire, plus du tout, quand R approchera d'être égale à P — P', ou que V différera très-peu de la valeur fournie par régalité

V^ fP — PM

P~F = R = *pA— , ou frV' = ag^^ /%

s\ l'on continue à admettre la loi de résistance du n"* 382.

Ain'^i, encore, le rapport de c' à /, variant désormais de quantités extrêmement petites, le mouvement tendra à devenir uniforme, et il le deviendrait rigoureusement, si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse limite dont il s'agit. Mais, comme le rapport inverse du temps t à laccélération correspondante v de la vitesse, converge, dès lors, vers l'inflni, on se trouve ici dans des circonstances analogues à celles qui nous ont occupé au n"" kk% circonstances dont nous renverrons la discussion approfondie à l'un des articles ci-après.

D'ailleurs ces mêmes circonstances supposent essentiellement que P — P' surpasse R, dès l'origine du mouvement, ou à l'instant de la. descente du mobile; s'il en était autrement, si la vitesse initiale rendait R plus grande que P— P', P continuant à surpasser P', comme on vient de le supposer, la vitesse, loin de s'accroître, serait évidemment diminuée ou re-

DS8 lÉSlSTANCBS. 709

tardée par une force

et le serait continuellement jusqu'à l'instant où la résistance R se trouverait assez amoindrie pour n'être plus égale simplement qu'à l'excès du poids absolu P du corps, dans le vide, sur le poids P' du volume de fluide qu'il déplace; ce qui arriverait précisément pour la vitesse fournie par Tune ou l'autre des équations de condition déjà posées ci-dessus.

Cette vitesse élant la même que celle du cas précédent, quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes, on voit que, en général, quelle que soit V énergie avec laquelle un corps seraii lancé verticalement, de haut en bas, dans un fluide indéfini et homogène d'une densité moindre que la sienne propre^ ta vitesse de ce corps convergerait , tendrait sans cesse vers une même limite, qu'il est possible de calculer à l'avance, mais qu'il n'atteindrait pour ainsi dire jamais,

EnHn si le poids spécifique du mobile était inférieur à celui du fluide ou que P' surpassât P, la vitesse serait de plus en plus retardée, tant par l'action de P' que par celle de la résistance R; de sorte qu'on aurait alors, pour la force retardatrice effective,

quelle que fût la valeur de cette résistance ou de la vitesse. La somme R + P' surpassant donc constamment P, il est clair que le mouvement finira par s'éteindre complètement; et, comme on aura à cet instant

force toujours dirigée de bas en haut, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin, ou à remonter en vertu de cette autre force, désormais accélératrice,

F=:P'-(Ph-R):

Il suivra donc dès lors absolument les mêmes lois que celles qui se rapportent à l'ascension des ballons (4tô et H9); ce qui nous dispense de poursuivre davantage l'examen de son mou-

7IO MfiCÀNIQCB INDUSTRIELLE.

vement. Ce même cas est d'ailleurs analogue à celui que présente un corps dense lancée de bas en haut, avec une certaine vitesse, et qui, parvenu à sa plus grande élévation, redescend ensuite par Taction prépondérante de son poids sur celle des pressions extérieures, ou du poids du volume d'air déplacé.

451. Exemples particuliers et faits généraux relatifs à la plus grande vitesse de chute des corps dans les fluides. — Dans le cas particulier du boulet de 24 ^^ n"" 438, dont le poids» dans Tair, P — P' = 12*^», le mouvement, s'il était suffisamment prrolongé, deviendrait uniforme à Tintant où l'on aurait

ia^« 1=: 0,001 0755 /rV'.

Or on voit de suite, d après la Table du numéro déjà cité^ que cette condition est satisfaite par une vitesse d'environ 125 mètres par seconde, à laquelle correspond (425) une valeur du coefficient k de la résistance, qui doit peu différer de 0,71 4- |x 0,06= 0,725. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu'un boulet, de ce poids et de cette dimension, puisse acquérir en tombant verticalement dans l'air; et c'est aussi vers cette limite inférieure que tendrait la vitesse d'un boulet quelleque fût la rapidité de son mouvement initial de descente.

Cette même vitesse limite diminuerait évidemment avec le poids spécifique du projectile par rapport au milieu. Par exemple, on la trouverait respectivement de 207, 46 et 43 mètres par seconde environ, pour des boules de même grosseur,, en platine, en glace ou eau congelée et en bois d'orme, dont les poids seraient à très-peu près, de 36 kilogrammes, 7^%! et i^'SSô. Elle diminuerait pareillement avec la grosseur ou le diamètre, quoique dans une moindre proportion : ainsi^ pour des globes de même densité, mais dont le diamètre serait seulement de 2tXo",i48 ou 5"*", 9, elle se trouverait réduite à 7 environ des valeurs ci-dessus, et plus particulièrement, à 7X 46" = 9"*> 2 pour une bille de glace dont la grosseur serait à un peu près celle des gréions ordinaires, lesquels, en réalité, doivent acquérir des vitesses de chute beaucoup moindres, à cause de l'excédant de résistance occasionné par leur forme anguleuse et la rotation qui peut en résulter.

DES RfiSISTAÎfGES. 7 I 1

Au surplus, l'influence du diamètre el de la densité devient tout à fait explicite et manifeste quand, dans la relation gé-. nérale

P— P' = R = A-pA— , ou k\'=::ig^ , S

^ ^g ° pk

on remplace, comme on Ta fait au n"" H2, pour une autre circonstance, P, P' et A, par leurs valeurs analytiques dans Thypolhèse où le mobile serait sphérique. £lle devient, en effet, si Ton conserve aux lettres la même dénomination et qu'on suppose toujours, pour le lieu où nous sommes, g' = 9'">8o9.

ce qui montre que, dans les exemples ci-dessus, où le rapport de H à p n'est pas descendu au-dessous de 600, les vitesses limites V sont^ à très-peu près, proportionnelles à la racine carrée du diamètre du mobile et du rapport de sa densité à celle du milieu.

Ceci explique pourquoi (7) les poussières extrêmement lénues tombent dans Tair, et à plus forte raison dans Teau, avec une si grande lenteur, quoique leur densité surpasse notable* ment celle du fluide qui les renferme; et des considérations analogues, fondées sur les formules générales des n"^ 442 6i 448, relatives au mouvement horizontal ou vertical, serviraient également à expliquer comment il arrive (7) que les courants d'air ou d'eau entraînent les débris des corps solides d'autant plus loin qu'ils sont plus ténus, moins denses, tandis que ces mêmes parties sont, à l'inverse, celles qui parcourent le moins d'espace quand on les lance, dans un air en repos, avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle. Mais la diversité de la forme des corps n'influe pas moins, comme on va le voir, sur la limite de leur vitesse, que leur densité * spéciflque et leurs dimensions absolues.

452. Calcul de la plus grande vitesse de descente des parachutes dans l'air, — On sait que les parachutes à l'aide desquels les aéronautes peuvent abandonner leurs ballons et descendre sans danger, des régions supérieures de l'atmosphère,

7>2 ■ÊCÀlflQUB INDU8TIIBLLE.

sont à peu près disposés comme les parapluies ordinaires [PI. m, Jig. ']6), si ce n*esi qu'ils reçoivent des dimensions beaucoup plus grandes, et qu'ils portent, à rextrémité inférieure de leur tige verticale, une petite gondole en osier, propre à recevoir le voyageur. Il devient intéressant de se demander quelle sera la limite de vitesse qu'un pareil système pourra atteindre sous des dimensions données, dans sa descente verticale, ou quelles devraient être ces dimensions pour que la vitesse effective demeurât inférieure à une limite égaleraenl assignée, et qui serait reconnue n'offrir aucun péril pour le voyageur; question analogue à celle que Dubuat avait déjà traitée dans le tome II de ses Principes d'Hrdraulique (n**»552 et 557), longtemps avant que Garnerin ait eu la hardiesse de tenier, pour la première fois, sa dangereuse expérience.

Considérant, à cet effet, un plan mince circulaire et hori* zontal, pour lequel il suppose (^05) A' = i,43, il trouve que, sous un diamètre de i8 pieds, la limite de la vitesse serait d'environ 19 pieds ou 6 mètres par seconde, qui répond sensiblement à la hauteur de 6 pieds ou 2 mètres, de laquelle un homme exercé pourrait se laisser choir sans trop de danger; mais il sera plus prudent de réduire cette même vitesse à 4 mètres, ce qui exigera simplement d'agrandir un peu la sur* face du parachute.

On peut juger, d'après le résultat des expériences de M- Thibault, rapportées aux n^ &09 et 410, que, pour une flèche comprise entre le 7 et le y de l'envergure ou diamètre moyen du parachute, la résistance serait, tout au plus, i,i5 fois celle d'un plan mince qui aurait pour aire la projection A, de sa surface, sur un plan perpendiculaire à son axe vertical. D'un autre côté, nous avons vu [kOT) que la valeur la plus probable de k, pour ces derniers plans, était de i,3; on aurait dor|c, dans le cas actuel,

/r rrrl , 3 X I , I 1 5 := 1 , 5,

en nombre rond; de sorte qu'en supposant au parachute un diamètre moyen de 8 mètres, ce qui donne

A = 3,i4i6 X 4'" X 4" = S'^'ïj^ese,

on pourrait calculer sa résistance, dans les circonstances or-

DB8 EÉSIOTANCES. 7l3

iinalreSy par la formule

R = o,o6253xi,5AV^=:o,o938AV« = 4,7i5V\

Si Ton s'en référait, au contraire, au résultat des expériences ' spéciales de M. Didion, qui se trouvent consignées au n^ 4-11, on obtiendrait, en supposant sensiblement /7 = ^', et négligeant, à cause de leur faible influence, le terme constant et celui qui provient de la masse d'air entraîné, puisque le mouvement est censé parvenu à sa limite ou à l'uniformité (W8), on obtiendrait, dis-je,

R = o,i63AV'==8,i9V%

résultat presque double du précédent auquel il nous semble convenable d'accorder la préférence dans une question de cette espèce.

D'après cela, supposant que le poids P — P' du voyageur et de tout le surplus de l'équipage, mesuré dans l'air, soit de 85 kilogrammes, la plus grande vitesse que puisse acquérir le parachute dans sa descente, sera donnée par la condition

4,7i5V*— 85, ou V = v'i8, 0297x4» 25

par seconde. Une telle vitesse, en supposant même qu'elle pût être atteinte, serait assez faible pour prévenir tout accident à l'instant où la gondole toucherait terre : un procédé inverse et tout aussi simple d'ailleurs, servirait à trouver la valeur de l'aire A, propre à satisfaire à toute autre condition.

Nous venons d'ajouter : en supposant qu 'elle pût être atteinte; car nous n'avons pas tenu compte de la résistance de la gondole, des tiges du parachute, etc., et les calculs ne se rapportent qu'à la plus grande vitesse que puisse acquérir le système, à celle qui répond à l'instant où le mouvement serait devenu entièrement uniforme (449 et suivants). Or il est aisé de se convaincre que, dans la réalité, les corps qui tombent du s'élèvent verticalement dans l'air, ne peuvent, comme on l'a déjà insinué au n° 450, jamais parvenir rigoureusement à cet état de mouvement, quoiqu'ils en approchent sans cesse, et que, dans certains cas où la masse du corps et du fluide entraîné est

7l4 MÈCAHIQUB UrDOSTRIBLLB.

irès-pelîte, ils puissent en approcher de fort près» même au bout d'un intervalle de temps médiocre, comme le prouve la relation (45o) qui donne le rapport de i^ à I.

453. Démonstration géométrique de l'impossibilité qu^ ie mouvement continu atteigne rigoureusement sa limite uniforme. — D*après les discussions des n** W2 et W3, ce fait peut être considéré comme une conséquence évidente de la rapidité avec laquelle le rapport de i^ à / (450)» tend, dans le cas actuel, à décroître, et le rapport inverse de / à (^ à croître avec la vitesse V, possédée aux divers instants par le mobile ; mais il ne sera pas superflu de le démontrer directement, sans calculs et par les seules considérations de la géométrie, d'autant plus que le principe est important, et s'applique indistinctement à tous les cas où le mouvement tend, sans cesse» à se régulariser par l'action d'une force dynamique décroissante et dont l'intensité, uniquement variable avec la vitesse, suit une loi exactement continue et mathématique.

Traçons ( PL Ill^fig. 77 et 78) une courbe ABC dont les abscisses 0/', or, 0/^,. . ., représentent (50) les temps successivement écoulés depuis l'origine du mouvement, qui, ici, répond au point 0, et dont les ordonnées /V, /^v^, /"f", . . . correspondantes, représentent, au bout de ces temps respectifs, les vitesses acquises par le point du corps où est censée appliquée la force accélératrice ou retardatrice ; il est clair que, quand sous l'influence de cette même force, la vitesse augmentera [PL Illyjig, 77 ), ou diminuera (PL IIJ,Jig. 78), constamment, par succession insensible ou suivant une loi rigoureusement continue y la courbe s'éloignera ou s'approcbera aussi continuellement de Taxe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, à la fln, constante ou uniforme, la courbe devra également, dès lors, se confondre avec une parallèle à ce même axe ; mais, comme une courbe continue difl'ère essentiellement, dans sa nature, d'une simple ligne droite, comme son tracé géométrique, sa loi mathématique sont essentiellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci, elle ne saurait, rigoureusement parlant, jamais dégénérer en une telle ligne, bien qu'elle puisse en approcher de plus en plus et indéfiniment, de sorte, par exemple, qu'au bout d'un temps

DBS RfiSISTANGBS. 7l5

excessivement long, ou à une distance excessivement grande de l'origine 0, les vitesses ou ordonnées diffèrent aussi exirémemenl peu de celles qui appartiennent à une droite DE, parallèle à Taxe OT, des temps ou des abscisses. Or cette droite est ce qu'on nomme une asymptote dans la géométrie des courbes, et c*est la valeur constante OE, TD, de ses ordonnées, que nous avons, tout à l'heure, déterminée pour le cas du mouvement vertical des corpsnlans l'air.

Telle est l'interprétation géométrique fort simple du fait qui nous a d'abord été révélé par le calcul et le raisonnement, fait qui se reproduit dans une infinité de circonstances, parce qu'il existe aussi une infîniié de lois, une infînité de courbes qui donnent lieu à des asymptotes, dont le caractère général est, comme on voit, de s'approcher continuellement et indéfiniment d'une certaine branche de ces courbes, sans néanmoins pouvoir jamais l'atf/sindre , droites que l'on considère aussi quelquefois, comme de véritables tangentes au point situé à Tinfîni sur une telle branche (*).

Les hyperboles, entre autres, dont nous avons rencontré des exemples dans divers numéros de cet Ouvrage, possèdent deux asymptotes pareilles, quand on les trace dans toutes leurs parlies, car elles ont aussi deux branches infinies; mais toutes les courbes qui ont de telles branches n'ont pas pour cela des asymptotes : la parabole entre autres est dans ce cas. En gé* néral, on doit voir, par là, combien l'élude des courbes géométriques est utile pour la mécanique, puisque chacune de leurs propriétés répond essentiellement à quelqu'une des propriétés relatives aux lois du mouvement des corps ou de l'action des forces qui les sollicitent.

45{k. Réflexions sur la manière dont les moteurs communiquent le mouvement aux machines, — Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quel-

(*) On peut ici justifier directement cette notion en ge rappelant (53) que le rapport de t^ à ^, qui représente, en p,énéra], rinclinaison des tangentes de la courbe sur l'axe des abscisses ou des temps, devfent nul avec la force dynamique, ou pour l'ordonnée qui répond à la vitesse limite, caractère qui appartient à une parallèle à l'axe dont il s'agit.

^f6 MÉGANIQUB IKDUBTRIVLLE.

conque, il commence par la mettre en mouvement, avec un effort qui d'abord est très-grand (148), il détruit à la fois, aïo point où il opère immédiatement, et la réaction provenant de rineriie des pièces de la machine et celle des diverses résistances nuisibles ou utiles ; la force dynamique F, qui accélère le mouvement, est donc alors égale à Texcès de Teffort total do moteur sur l'effort que lui opposent directement celles des résistances dont il s'agit, qui sont indépendantes de l'inertie. Or, comme ces résistances, ou restent sensiblement les mêmes à chaque instant, ou augmentent de plus en plus avec la vitesse, et que l'effort du moteur décroît au contraire ( 148) constamment, il en résulte que le mouvement s'accélère de moins en moins, à peu près comme dans les cas qui précèdent, de sorte qu'il tend sans cesse à se régulariser ou à devenir uniforme; mais ce n'est qu'au bout d'un temps» souvent fort long, que la vitesse atteint sensiblement la limite de^sa valeur, à laquelle elle ne parvient même jamais, mathématiquement parlant, dans beaucoup de circonstances.

Youiefois les moteurs animés différant essentiellement des autres en ce qu'ils ont la faculté de maintenir, pendant un certain temps, l'intensité entière de leur effort primitif, malgré l'augmentation de la vitesse, puis de le diminuer tout à coup, et de le réduire à celui qui est strictement nécessaire pour vaincre les résistances étrangères à l'inertie, ou pour entretenir la vitesse du mouvement au point où elle est p::rvenue à un certain instant, on voit que la proposition ci-dessus n'est plus exactement applicable, et que la machine peut atteindre, au bout de très-peu de temps, l'état moyen du mouvement qu'elle doit conserver. Or, la même chose aura lieu (241) toutes les fois que la force motrice ou les résistances suivront une loi discontinue, arbitraire, et qui ne dépendra pas uniquement de la vitesse.

455. Qitesiion particulière relative à la chute des corps dans l'air. — Les méthodes de calculs dont nous avons offert un exemple dans le n"* 444, pouvant tout aussi bien s'appliquer à la recherche des lois du mouvement vertical, ascendant ou descendant des corps, qu*à leur mouvement horizontal, puisqu'il ne s'agirait que de modiGer, d'après ce qui a été dit aux

DBS mfiSISTANGlS. 717

B^ 448 et kSO, les valeurs de la force dynamique, il serait peu Décessaire de revenir ici sur de semblables calculs; mais, attendu que, jusqu'à présent, nous n'avons point offert d'exemple de la manière dont on doit s'y prendre pour trouver l'espace décrit par le mobile, quand le temps est donné ou réciproquement, nous terminerons ce Chapitre par la question suivante, en elle-même assez digne d'intérêt.

Ayant observé expérimentalement, à l'aide d'une montre ou chronomètre, le temps qu 'un corps a mis à tomber verticcUement , d'une certaine hauteur, dans l'air, trouver cette hauteur.

Pour faire une telle expérience dans la vue, par exemple, d'obtenir la hauteur d'un édifice ou la profondeur d'un puits, il conviendrait, si l'on avait en sa possession un moyen trèsprécis de mesurer le temps, de choisir un corps sphérique exactement calibré, très-dense et d'un assez fort diamètre, afin de diminuer l'influence de la résistance de l'air et les incertitudes relatives à sa mesure. Dans le cas où, au contraire, il deviendrait, par exemple, impossible d'apprécier le temps à un dixième de seconde près, on se servirait d'une boule assez légère afîn d'augmenter la durée de sa chute, et c'est aussi ce que nous supposerons pour mettre le rôle de la résistance de l'air en complète évidence. Nous supposerons qu'ayant laissé tomber d'une certaine hauteur, une boule en bois d'orme de 0^,03 de diamètre, et dont le poids P, mesuré directement dans l'air, aurait été trouvé exactement de o'^'jOoiiS, l'observation directe du temps ait donné i'\S pour la durée effective de sa chute, et nous prendrcyns Ar = o,5^ pour la valeur moyenne ou constante, la plus probable (&25 et suivants), du coefficient de la résistance qu'éprouve une pareille boule, sous des vitesses qui, dans le cas actuel, ne sauraient dépasser celle de 22 à 23 mètres par seconde, comme on va s'en assurer, à posteriori, au moyen de calculs analogues à ceux du n"* 451 (*).

(*) Dans cette hypothèse particulière de h constant, qui est toujours permise pour une faible étendue des variations de la vitesse V du corps (428), c'est-àdire quand on suppose la résistance exactement proportionnelle au carré de cette vitesse, on peut immédiatement calculer les lois du mouvement vertical et parallèle du corps par les formules ci-dessous, généralement connues et

7l8 KÉGANIQUB INDUSTMBLLB.

Dans ces hypothèses et en supposant, de plus, les circonsianoea

atmosphériques semblables à celles qui ont servi de base i

rétablissement de la formule R == o,o6253/rAV» du n* 431, of

aura

à cause de

ce qui donnera {kki et &50), pour calculer les lois du mouve-

qu*il serait facile de justifier encore à Vaide de considérations purement géométriques.

Pour le mouvement vertical retardé, qui peut être aussi bien desoendanf qu'ascendant (450), même sous l'influence d'une vitesse initiale V, on a généralement

relation dans laquelle a et b ont les valeurs numériques qui se déduisent des considérations des n"' 448 et 450, et l'on pourra calculer directement la vitesse V et l'espace E, relatifs à un nombre quelconque T de secondes écoulées, an moyen des formules

iV'cosrT — sinrT «,,„,.-,

'^=,V'sinrT^cosrT^ «E = logCi Vs.nrT+ cosrT);

où les lo{]farithmes sont toujours (445, note) censés hyperboliques, tandis que / désigne la racine carrée du rapport numérique de a à ^, et r celle de lear produit ^aà. Si l'on veut calculer directement le temps et l'espace qui ré" pondent à une vitesse V donnée, on se servira de ces autres formules

l'rv' — V) i^t*v'»

rT = arctang^^^.,y,^, aaE = log ,^,.»y, •

Quand, au contraire, il s'agira de trouver la vitesse V et le temps T qui correspondent à une hauteur donnée E, on recherchera dans les Tables hyper* boliques, le nombre X dont le logarithme a pour valeur le produit aE, qui est aussi un nombre, et l'on calculera la valeur de V, au moyen de la formule

d'où l'on déduira finalement celle de T par l'avant-dernière des formules qui précèdent.

Dans le mouvement veKical accéléré, descendant ou ascendant, la première des équations ci-dessus deviendra

a et ^ prenant de nouvelles valeurs numériques également faciles à calculer, et

DBS mtSISTAlfGBS. 719

lent, puisqu'il devient ici permis de négliger la considération lu poids de Tair entratné par la boule,

F = o^«,oi i3 — 0,00002298V',

^^F i-o,oo2o336V» '

5n prenant ff = 9"',8o9 et divisant, haut et bas, la valeur de /, [>ar celle de P.

l'on aura, en supposant la vitesse initiale V nulle, comme cela arrive ordioairement,

a/-T = lo6 Y37T^» 2aE = logj— ^r^, y^y-—^y

rT = log(X-^xT=:T), aE = logi±J^\ iV=^^,

a, /, r, X ayant les mêmes significations que ci-dessus, et Y désignant, de plus, le*nombre qui, dans les Tables hyperboliques, a pour logarithme le produit

rT ou ^oàT, quand on se donne T à priori.

Nous avons réuni ici ces différentes formules pour la facilité des applications ; mais il ne faut pas oublier que les logarithmes étant hyperboliques, X et Y ne

sont autre chose que les nombres ou exponentielles e , e^ , dans lesquelles la lettre e représente la base 2,718281 de ces logarithmes j de sorte que, si l'on fait usage de Tables ordinaires dont les logarithmes doivent être multipliés par 2,3oï585 pour reproduire les précédents, les valeurs X et Y, X* et Y' seront données par les nombres qui y ont pour logarithmes respectifs les |#oduit8

de âE, yf^T, laE, a^ô^T, multipliés par le logarithme ordinaire de 2,^18389, ou par 0,4343945.

Pour la question particulière traitée dans le texte,

r = )[âb = 0,44933, T = a'jS, rT = 1 , io583, logY = o, 4342945. rT ;

ce qui donne Y =3,02173, et, par la cinquième et la sixième des formules cidessus, relatives au mouvement accéléré,

<»E= 2, 302585 X log 1,676325 = o,5i66i, E = 25»%899, V = 17™, 796.

Dans te texte, nous avons trouvé, par une méthode de calcul qui n'est guère plus pénible et demeure applicable à une loi de résistance quelconque, E = 25™, 976, V = 17"', 75 ; résultats dont la différence avec les précédents est il peine de quelques millièmes de leurs valeurs, et qu*il eût été facile d'obtenir I à un plus grand degré d'approximation encore, sans compliquer beaucoup plus les calculs.

720 MÉCANIQUE INDOSTRIBLLB.

La limite de la vitesse que pourrait acquérir la boule dans sa chute indéfinie, devant satisfaire à la condition F*=o, on obtiendra pour sa valeur

vitesse en dessous de laquelle devra se trouver sensiblement celle de la boule à Tinstant où elle touche terre. D'un autre côté, si la chute se faisait dans le vide, la vitesse acquise au bout des a', 5, serait (118)

quantité supérieure à la précédente, et qui, par ce motîfy ne saurait être prise ici pour limite encore plus rapprochée de la vitesse effective ou de celles qui doivent entrer dans les calculs {hki), quoiqu'il puisse en être autrement dans le cas des fortes densités ou des petites chutes. Enfin la hauteur de chute dans le vide absolu ayant pour valour

E = 1 grT» = - VT = ia-,2i6x a%5 = 36-,i8,

on est assuré, à l'avance, que la véritable lui demeurera inférieure d'une certaine quantité.

Cela poséy on commencera par rechercher, à laide d'un tâtonnement plus long qu'il n'est difficile, la vitesse finale qui, dans l'air, répond effectivement à la durée de a', 5; car on en déduira ensuite sans hésitation (ïki) celle de E. A cet eflTet, on supposera arbitrairement cette vitesse finale de i6 mètres par seconde, c'est-à-dire plutôt trop faible que trop forte, et partageant ensuite l'intervalle de o à i6 mètres, en quatre parties égales, d'après la marche déjà employée au n"" khk, on dressera la Table suivante des valeurs du quotient de P par ^F, facteur de t* dans / :

O o.ioigS

4 o.ioDÎy

16 o,aia6S

DES BfiSISTANClS. 721

ce qui donnera pour le temps que le mobile met h acquérir la vitesse de i6 mètres dont il s'agit,