MOTRICES CONSTANTES
107. Notions générales. — Le cas le plus facile et le plus simple de la communication du mouvement est celui d'un corps qui est poussé, à chaque instant, par une force motrice constante, égale et directement contraire (66) à la résistance
PBINCIPB9 PONDAMBNTAUX. 10 1
opposée» par l'inerlie, dans la direction propre du mouvement. Or il est clair que, la pression étant la même h chaque instant, V accroissement ou le décroissement très-petit de la vitesse (53) sera aussi le même, ou constant, pour le même corps. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, la vitesse, à partir d'un certain instant, sera augmentée ou diminuée de quantités proportionnelles au temps écoulé depuis cet instant : c'est ce qu'on appelle le mouvement uniformément varié en général; mouvement qui est uniformément accéléré ou retardé, selon que h force motrice constante agit pour augmenter ou pour diminuer la vitesse du corps.
Si l'action de la force motrice constante a commencé avec le mouvement même du corps, c'est-à-dire à partir de l'instant oa il était au repos, la vitesse totale acquise, au bout d'un temps quelconque mesuré depuis cet instant, sera propor- - tkmnelle à ce temps; on, si l'on veut, elle sera double pour un temps double, triple pour un temps triple, etc. Si, au contraire, l'action de la force motrice ne commence qu'à compter d'un certain instant, ou que le corps ait déjà une vitetse acquise à cet instant, cette vitesse, qu'on nomme ordiuairement la vitesse initiale du corps, aura, au bout d'un temps quelconque, augmenté ou diminué d'une quantité qui sera encore proportionnelle à ce temps, et qu'on pourra calculer quand on connaîtra la vitesse que la force motrice imprime ou détruit constamment, dans un certain temps pris pour unité, par exemple dans une seconde, etc. En effet, il ne s'agira que [ ' de multiplier le temps total écoulé, par la vitesse qui répond i cette unité de temps; ajoutant ensuite la vitesse ainsi calculée à la vitesse initiale, ou l'en retranchant selon les cas, on dura la vitesse même du mouvement au bout du temps que l'on considère.
Mais, pour bien saisir l'objet de ces calculs, il est nécessaire de se rappeler que, dans le mouvement varié, la vitesse acquise à un certain instant est mesurée (53) par le chemin que décrirait le corps, dans l'unité de temps et à compter de cet Instant, si, la force motrice cessant tout à coup son action, le corps continuait à se mouvoir uniformément; ce qu'il ferait féiitiblement en vertu de son inertie (55) et du degré de vitew qu*il possède déjà.
109 ■tCARIQOB imUITUILU.
108t Du mouvement uniformémeni accéléré. — Occupoosnoui d'abord du cas où le corps part du repos sous raciion de la force motrice constante» et proposons-nous de découvrir toutes les circonstances du mouvement de ce corps.
Nous pouvons encore représenter Ici» par le dessin, la loi qui Ho» aux temps» les vitesses acquises par le corps au boit do ces temps» en traçant [PL Itfig* 27) une ligne Ki«lV..M dont les abscisses Oa» 06»...» OA représentent les terapi écoulés depuis l'origine du mouvement» et dont les ordoih nées ao'» hb\ ccft...fhh' représentent les vitesses acquisesl la Un de ces temps respectirs.
Cela posé» puisque dans le cas du mouvement unirormémeat accéléré» les vitesses a a*» bb\ cc<»...» h h' sont proportio»nolles aux temps respectivement écoulés Oa» 06» Oc» • . .» Oi« il est clair que la ligne Oa'6'c^. ..hT est une droite qui peae par l'origine O des abscisses; car le mobile éunt ici ceaii partir du repos à l'insunt où la force motrice commence soa action» le temps et la vitesse sont nuls è la fols à cet instaac Supposeï qu'on ait parugé Taxe OB des abscisses ou des tei^ps en un grand nombre de parties égales très-petites» puis qu'oa ait élevé les ordonnées correspondantes» et qu'enfin on ait uiené» par les extrémités de ces ordonnées» des parallèles i l^lxe des abscisses, on formera une suite de petits trîaaglei 0««if» ii*è'è*» Vc'c^»... égaux et rectangles. Les côtés aé, (*è'» cV» »« de ces triangles marqueront les accroissements su<t^ssi6^ de la vitesse, accroissements qui seront égiox eMmine ItK^ durées qui leur correspMident Oa, 06, 6c»..«» con* Amiiéitteiit 4 la dêlinition du naouTement uniformément ac*
|ji^$ intenc^lles de temps succcssib Oa, ab, ftc, . . . étaol d^Mie $upp\>i$<^ extrêmement petits* on peut regarder le corpi <\MiMiM^ $e nKHiraut* d'une manière sensiblement uniforme, pKiitlàitit Tuu quek\MK|ue c^f = r if^ de ces Inienralles» et avec 1 uiM' \iie$$e UK^xiMine ê|?ile à b deaù^soeame des vitesses cdt ^. J»^ ^ui n^pooJkrnt au cv>mnienv>faaent et à la tin de chacun 4Vu\^ iV« dfttts le ittvsi^etti^nt aaikwaav* I8\ Tespace décrit tr<u vu t^Hittfc!^ ^gteKver-^ue ^t »f:s;xrè p&r le produit de la th Kr>s;? <i cw' c^e l^:ïïL;>: i.vstr r«Çii«^* dê-:7ii ici, pendant le nf^jV^ ^:-x^:r;ii^f ,■*/. >tra t'&l à %t/ mullipliê par la vitesse
PRINCIPES FONDAHBNTAUl. lo3
moyenne j{cc'-hrfûP), qui correspond à ce temps élémentaire. Ce produit n'étant autre chose que la mesure de l'aire du petit trapèze cc'rf'rf, celui-ci pourra ainsi représenter l'espace parcouru pendant l'espace de temps cd : pour un auire intervalle quelconque de, égal au premier, Tesparc décrit sera encore représenté par le trapèze rfrf'e'e; donc Tespace parcouru, pendant le temps OA par exemple» a sensiblement pour mesure la somme ou surface totale des trapèzes élémentaires ao' 6' 6, bb'c'c,. . ., g^li'K augmentée du petit triangle Oaa qui mesure évidemment l'espace décrit dans le premier instant Oa'; c'est-à-dire la surface même du triangle correspondant OAA'. Donc enfin cette dernière surface est la mesure exacte et rigoureuse du chemin décrit pendant le temps total OA» puisqu'on peut supposer que ce temps a été divisé en un nombre infini de parties égales et infiniment petites, le raisonnement étant ici le même que celui qui a été mis en usage (72} pour trouver la mesure du travail quand l'elTort est variable.
109, Lois du mouvement uniformément accéléré. — Le chemin décrit pendant un temps quelconque, et à compter du repos, étant, pour le mouvement dont il s'agit, représenté par la surface du triangle qui a pour base ce temps et pour hauteur la vitesse acquise à la fin de ce même temps, on en peut déduire, de suite, plusieurs conséquences importantes, et qui permettent de calculer les circonstances de ce genre de mouvement.
D'abord, puisque la surface de tout triangle OAA' a pour mesure la moitié du rectangle de même base et de même hauteur, et que ce dernier est aussi la mesure (VS) du chemin qui serait décrit uniformément durant un temps égal à OA et avec la vitesse A A' acquise au bout de ce tcnips, on voit que :
!• Dans le mouvement uniformément accéléré^ le chemin parcouru, au bout d'un temps quelconque et à partir de Vinsiani du repos, est la moitié de celui que décrirait le mobile, dans un temps égal, s'il se mouvait uniformément avec la vitesse acquise pendant ce temps.
Ensuite, puisque les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques 06, Oe sont représenlcs par los aires des *
I04 MÉCANIQUB INDUSTRIBLLB.
triangles Obb% Oee', puisque ces triangles sont semblables, et que, d'après les principes démontrés en Géométrie, leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues, il en résulte encore que :
2® Dans le mouvement uniformément accéléré, les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques et à compter de l'instant du repos, sont entre eux comme les carrés de ces temps;
3* Enfin ces mêmes chemins sont aussi entre eux comme les carrés des vitesses acquises au bout des temps con^esponr dants.
110. Formules relatives au mouvement uniformément accéléré. — Lorsque, dans le mouvement que nous considérons, on se donne la vitesse ee* acquise au bout d'un temps quelconque Oe, par exemple au bout d'une seconde prise pour unité de temps, la loi du mouvement, ou la droite Oh' qui la représente, est entièrement déterminée; c'est-à dire qu'on peut la construire. On doit donc aussi pouvoir construire et calculer alors la vitesse et l'espace qui répondent à un autre temps quelconque donné.
En effet, représentons par p,, Vx le chemin et la. vitesse qui répondent à la première seconde; soient E, V le chemin et la vitesse qui repondent à un nombre quelconque de secondes, représenté par T, et qui seraient censées écoulées depuis Torigine du mouvement; on aura d*abord, en vertu de la première des propositions ci-dessus,
e.rr3li',Xl"=:;-i'., E= i VX T:=: J- VT ;
puis, en venu de la deuxième,
e,:E::i"xi":TxTou P;
d'où Ton lire
E = e.xT«=;i'.xP = ;i;,Ts-
puis enfin, en vertu de la troisième,
p, ou Jr, :E::(',2: V%d'où
V' = 2r,xE = 2(',E.
PBIXCIPBS FOND AXBM AUX. I05
Nous avons d ailleurs, en vertu môme de la définition du mouvement uniformément accéléré (107),
1'. :V:: i":T; d'où
V^i^.XT^f.T.
Ces différentes formules serviront à calculer la valeur de deux quelconques des quantités £, V, T quand on connaîtra celle de la troisième, ainsi que le chemin Cx ou la vitesse t'i qui correspondent à l'unité de temps i seconde; il ne s'agira que de remplacer chaque lettre par le nombre des unités de temps ou de longueur qu'elle représente, et d'effectuer les opérations indiquées (*).
lit. Cas où le corps part avec une vitesse déjà acquise. — Dans ce qui précède, nous avons supposé que le mobile partait du repos ou avec une vitesse nulle, de sorte que la droite Oh', qui donne la loi de son mouvement, passait par rorigincO des temps; mais, s'il possédait déjà une vitesse antérieurement acquise, cette droite passerait par le point 0' (PL I,Jig* a8), extrémité de l'ordonnée 00' qui représente cette vitesse du départ. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse c&f qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine 0 du mouvement, se composera (107) de la vilesse c&'y égale à la vitesse initiale 00', augmentée de la vitesse c'c"^ que le corps acquerrait sous l'action de la force motrice constante et au bout du temps Oc ou O'c" relatif à ce', si ce corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent; car la droite O'd' donnerait encore, par rapport à O'B', prise pour axe des temps, la loi de l'accélération du mouvement. Connaissant donc la vitesse que
(* ) La rclaUon E = J i^, x l'i ci lu r(>)ation \*=. 'i\\X, K, qui indique que ■ vitesse V est moyenne proportiottnti/f entre 'jr, et K, on entre le Joubie tlu chemin décrit dans lu première seeontie et celui tjui est liècrit au bout tlu temps T, irétentcnt sciileft quelques difficultés pour le calcul de T et do V ; mais on tout parvenir au résultat par le moyen des constructions ('raphiquos connues, »u par les Tables quo nous ferons hientôt connaître (IID), ou onlin par Vexraction directe do la racine carrée du quotient de 'lY. par c, et du produit II', X E, qui donnent en chifTres les valeurs de T* et de V*.
108 BtCASIOCK nBCffmiCLU.
fihnm d'*^ TOcp»ï p»*sir.î5^ suivant U dir'tr.ûotk 4e U v^S'iticale O'i d«* i'apiomh. Mi:t. i^irit ^-^ i>Tpo-*^^, Uiiott^ ronnaltre !•» •Tîrri'iri-'îUn'T'îs "j^iî. à i.î T'ipf*/!»» d»* b dîtt^, accompagnent
*idi*r4** •Tocnrri'* »:&•* forri» i^n-iibl'Wi'^ni 'îonsuoli* dans l'éleD- <iae op^inaif*^ -"î-^s tri-nfix .^* ['IrA'L'iir^'^' M*î^. a la surface 4-* noir* xi'-b»^, t:- :* '-t^ torp-* v.cl pt.rtj^ 'lins l'air, elcei air lui-m**m-»- 3 rt » r>t ^n. '•.orp* rriikiÀTÎ^l q'A les presse de touti»< pan* yr . «^t ■■;■::. ^n T.*ftfi d^t s*:ri é fiers îe. de son itnpenetr»biliLi* ^:f p«:*e i'«*c pi'is ci moîrLS d'êfieraie à toute erspeci* ^i* m'-.'iVrfnrr.L ^ . Voa« a«:r.s %'j »1^ que reflet de la pressi'jn d* I air ^ir les rr.rps s«jlides s^ réduit sens!* biement a diminaer !e p: i'i:* de 't»** rorp* d''ine qoantité égale au po ■ di d'i To''ime de tT'il'îe a'i:I* déplacent: de sorte que cette 'limin-iiioD rst d'iîMnt p-'is secstfcîe q^ic, à égalité de ^ol'irre 'i"';n oorc-r. v,r. ^«'.l^s e^i rr.olr.dre- Q'iant à la résisurrre q-ie l 4ir v;:;»:-!^ ^ i ^•: :■ ii^merit d*» 'lorps, en vertu de s^n inertie et le -sa f'-r»:-* de ressort «53 . l'expérience apprend '^fje 'Tette rêsî^uti'e ^irie îel'.Q réteredae et la forme de la *»irtace eit-rrie ire ie-? '!':rp-r. mais ?'iri...-jl selon la rapidité pi -so'i cr.-.lns xnr ir 1 ; ci:a--"rrr:er.t- — En frappantl'air av-^c r.fie pile:Le ^!ir.e e: r. r--e. !.i ré-^I-riar.^-: q'j'on éprouve est l'riur.r :î.5£'ir:fr :-r I.i T.'.r-î*^ ii rr,:: cément est plus '^cnsideniie. wr.tl^ :- .: - -rît i ceir.e *eri-ïible ijuand le
Qi'.u'S'^ni-Tr-': ^ 'pT'r î'rr: !rr:e.7. ?.. i-i l'ei -fe frapper IVir ive'T r.te 11 *-:''i:^ i.ziir. ^-: !.i paîev.e. on fait mouvoir •:^i:* pii^v.e 'e 6.: i. li r-s^-rU' :r: -rst nioînire à vitesse ê^-ii-r. -t - !-r ^s: i -!-■• i-^. - Ç'.'j-^.i'-r : -jr:i on oppose tout I 'm !^ .'''-Tr . -: t : :- ■"..•'.•-: .-r li ;.i-eiie â l'action de I 1 r: : e^r-i-:::: ^ j; i ^ : -^^ f,i :'.i:t pîar.e dans le sens
n:4c:e i i zr.'. .•?■:'- --.•.
Lrs :r s^s l'.i 2\r< f- raîT-r'". i . -tk- î -^e tous les corps
r'. : -. :::-?'^:-. t: î'je la résistance
'.- i :- :- ' 1 îf^'ice anlérieure
: :- * -'S- \- : :■:: tM:.: î î'^riion de l'air;
: . ■: : r :-..-? --'ir. :r : :^. jar suite de la
:. :-.i :::■?. i : -:':.■-:« •lisser le lonf( de
i ?T :-.*:. i r -' 'î -e i . :r: S" avec la gr.in—
PRINC1PB8 FONDAMEiNTAUX. IO7
0(y ainsi que la diminution de vitesse c'c", duc à la force retardalrice» au bout d'un temps quelconque Oc, ou, si Ton veut, à la fin de la première seconde de temps écoulé.
Supposons, entre autres, qu*on veuille trouver le temps O^r au bout duquel la force motrice aura éteint entièrement la vitesse du corps ; on aura, par les triangles semblables O'c'c" et 0(y«, la proportion
c'c" : O'c" = Oc = i^ : : 00' : Oe ;
d'où
OO^X i^ 00^
Quant au chemin total décrit par le corps, depuis IMnstant où la force retardatrice a commencé son action jusqu'à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné (108] parla surface du triangle OO'e, ou par le produit
iOO'xOe = iOO'X^=-^.
' C C 2 ce
Une remarque très-importante à faire, c'est que, si l'on suppose que la force motrice constante, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en lui imprimant, à chaque instant, des degrés de vitesse égaux à ceux qu'elle avait détruits d'abord, le corps retournera dès lors en arrière en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C'est ce qu'indique la ligne (Ye, en supposant que les temps soient comptés à partir de e vers G, c'est-à-dire de l'instant où le mouvement du corps est éteint; car la force motrice, qui est devenue accélératrice, aura imprimé, en sens contraire, la vitesse </^/' au bout du temps ed, la vitesse ce' au bout du temps ee, etc.
Lois du mouvement vertical des corps pesants,
113. Causes qui influent sur le mouvement des corps dans l'air. — L'un des exemples les plus importants du mouverôent uniformément accéléré est celui que nous présente la
I08 MÉCANIQUB. INDUSTRIELLE.
chute des corps pesants, suivant la direction de la verticale ou de l'aplomb. Mais, avant de l'exposer, faisons connaître les circonstances qui, à la surface de la terre, accompagnent et modifient ce mouvement.
Déjà nous avons vu (Gl ) que la pesanteur pouvait être codsidérée comme une force sensiblement constante dans l'étendue ordinaire des travaux de l'industrie. Mais, à la surface de notre globe, tous les corps sont plongés dans l'air, et cet air lui-même (3 et &) est un corps matériel qui les presse de toutes parts (37), et qui, en vertu de son énergie, de son impénétrabilité s'oppose avec plus ou moins d'énergie à toute espèce de mouvement (66). Nous avons vu (41) que l'effet de la pression de l'air sur les corps solides se réduit sens!* blement à diminuer le poids de ces corps d'une quantité égale au poids du volume de fluide qu'ils déplacent; de sorte que cette diminution est d'autant plus sensible que, à égalité de volume d'un corps, son poids est moindre. Quant à la résistance que l'air oppose au mouvement des corps, en vertu de son inertie et de sa force de ressort (63), l'expérience apprend que cette résistance varie selon l'étendue et la forme de la surface extérieure des corps, mais surtout selon la rapidité plus ou moins grande du mouvement. — En frappant l'air avec une palette plane et mince, la résistance qu'on éprouve est d'autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus considérable, tandis qu'elle est à peine sensible quand le mouvement s'opère avec lenteur. Si, au lieu de frapper l'air avec toute la surface du plan de la palette, on fait mouvoir cette palette de biais, la résistance est moindre à vitesse égale, et elle est la plus petite possible quand on oppose tout à fait le champ ou le côté mince de la palette à l'action de * l'air; c'est-à-dire quand on dirige sa face plane dans le sens même du mouvement.
Des choses analogues se passent à l'égard de tous les corps qui se meuvent dans l'air; et Ton observe que la résistance croît généralement : i° avec l'étendue de la surface antérieure des corps, ou qui se présente directement à Faction de l'air; 2° avec la difficulté plus ou moins grande que, par suite de la forme même de ces corps, l'air éprouve à glisser le long do leur surface, à se dévier ou à leur faire place; 3" avec la gran—
deur de la vitesse qu'ils possèdent, et cela clans un rapport qui croit plus rapidement que cette grandeur, et qui surpasse même un peu son carré {*).
lli- Chute verticale des corps dans Vair. — On conçoit, d'après tout ce que nous venons de dire, que la présence de Tair doit apporter des modifications plus ou moins sensibles aux lois de la chute verticale des corps qui sont abandonnés librement à Faction de la pesanteur; et Ton peut même prévoir à l'avance et expliquer une induite de Aiiis que Texpérience journalière confirme; tels que l'ascension spontanée ou naturelle (31) de certains corps, leur équilibre à une certaine hauteur dans Tatmosphère, la chute plus ou moins rapide des corps solides, etc. — En laissant tomber dans Fuir et d'une même hauteur des corps solides, on observe, en eiTet, que ceux qui pèsent plus sous le même volume, ou qui sont les plus denses (33), ceux qui présentent le moins de surface à l'action directe de Tair et dans le sens du mouvement, sont aussi ceux qui arrivent les premiers au bas de leur chute. Ainsi une balle de plomb pleine tombe plus vite qu'une balle de plomb creuse ou qu*unc balle de bois pleine, égale en grosseur, en diamètre; celle-ci tombe aussi !plus vite qu'une balle de liège, etc.; enfin, un même poids de la même substance peut aussi tomber plus ou moins vite selon que cette substance est plus ou moins compacte, moins ou plus divisée. La raison en est toute simple : dans le premier cas, la diminution du poids des différents corps et la résistance de l'air sont les mêmes pour chacun d'eux, tandis que (35 et 41 ) leurs poids absolus, leurs poids dans le vide, qui mesurent véritablement l'énergie de la pesanteur, sont très-dilTérents; dans le second cas, au contraire, le poids absolu reste le même, mais la diminution de ce poids, due à la pression de l'air, et la résistance de cet air qui croit avec la surface extérieure des corps, sont aussi moins sensibles pour les corps plus compactes que pour les autres.
115. Chute dans le vide, mode d'action de la pesanteur. — Si l'on faisait tomber les corps ci-dessus dans un espace
(* ) ^pjrez le Chapitre rotatif aux lois th la résistance des fluides en général.
iio ulCAHiQini iHMrmiiiu.
entièrement vide ou privé d*air, chacun d'eux; en descendant toiyours de la même hauteur, arriverait nécessairement en moins de temps ou plus vite au bas de sa chute ; car l'action de la pesanteur conserverait alors toute, son intensité. L'expérience qui confirmerait un tel aperçu n'aurait donc rien qui dût nous surprendre ; mais il n'en serait pas de même si elle nous apprenait que les corps tombent tous également vite d'une même hauteur» car nous sommes naturellement portés à croire que les corps qui ont le plus de poids, étant sollidléi avec une force plus énei^que, doivent aussi acquérir m degré de vitesse plus grande; nous ne bisons pas attention» ei effet, que la pesanteur a aussi plus de matière à mettre ai ! mouvement dans le premier cas que dans le second» de soiib i que la résistance de Tinertie (tS) est rédleniem plus gmie.
Or c'est ce que les physiciens ont constaté en fidsant le vMe j ^36) dans un grand tube de vcire [PL I^Jig. 3o), après y avoir ] préalablement introduit des corps solides de diverses espèco^ \ depuis les plus légers jusqu'aux plus denses : ces corps p»> venaient tous i la fois au bas de leur choie quand, par m noven quelconque et facile à imaginer, on les UdMit ea aaèaae temps et de la aafaae Inmenr. Ds onl, de plus, teamque que ces corps toanbaient éans le aaéaae ordre et conser^ valent les mènes distances respectives dans mnle la durée de leur chute: ce qui prouve que la pesanteur leur imprfniilt,i chaque instant, le mjne dcgiê de ■ouieaacnt; nous poa- TOttS donc admettre, comme parfaitement déaontié, ce priDcipe gênerai qull est important de retenir :
Im feîmmfitmr 0m gmnié mgit iméitiîmitmtui anr fonlei fa jwftVufcj 1^ it uaifi^re t/meUe fmtm mii im nnterr fmrtWÊ- Aiènr, H ifmr imÊfrim^^ é rfcnff fTfawff, Ir wmimêt étgfé 4$ ti9>n»t Ams 9t mt/moe fin ^ Jmu it lâdfe.
iVt $''as!sane JTailleurs mmjj ^im|lkf niqnela pesanteur^ a«s$t Ken sur les m^4ccufes waliiuit!. éts corps que sor v>e4k$ At dchiMs^ <n «^i«ermfi fu'uB aiane corps pèse igà^ wêkwh à Ta^r l^bcf >£ pâaré iuï? Flnaêneur dTuB antre coffs, ;^ excoif &^ «âim^ loi* zàitadkr^^ «Aa» «se belle; ce qui ae Ifirut a^càr lisiM: >ç£\k£3hic çn» rjirùa «Ae la pesnaienr se ftsse siftrtix â crt^f rs il miOfrtf iDsm^ >âi» ceaa^ cfaaBbre, de celte K*«ar.
PBIIIGIPBS FONDAMENTAUX. III
aussi que le poids absolu d*un corps n'est autre le résultai de toutes les petites actions réunies de ir sur lès molécules matérielles de ce corps. Il ne pas confondre le poids avec la pesanteur, qui est înl \ik force élémentaire qui sollicite ces diverses à se mouvoir avec le même degré de vitesse.
lérience sur la chute des corps. — Nous venons de s corps les plus denses, tels que l'or, le plomb, le t ceux qui, à égalité de surface, tombent le plus lir, parce que la résistance est alors très-faible par poids total du corps. Mais, quand la hauteur de Lirpasse pas 5 mètres, par exemple, on trouve, par e, que des balles de ces diverses substances tomle même temps, et qu'elles ne tombent même vite que des balles de marbre et de cire> égales en nt le poids est sept fois, vingt fois moindre. Or I évidemment que la présence de l'air exerce réeljr de petites chutes, une influence peu sensible ivement de ces corps; de sorte qu'on peut trèstre, par exemple, que la loi que suit la balle d'or, :, dans l'air, d'une hauteur moindre que 5 mètres, )eu de chose près, la même que celle qu'elle suitombait de celle hauteur dans un espace entière-
élèbre physicien italien, qui a le premier décou- 01 par des expériences directes et suffisamment trouvé que le mouvement vertical des corps était nt un mouvement uniformément accéléré. La pedonc (107) une force motrice constante, agissant tensilé égale à chaque instant et quelle que soit la i acquise par le corps. Atwood, physicien anglais, nt depuis les expériences de Galilée avec des is ingénieux encore et plus précis, a obtenu les jliats. Nous pouvons donc poser les principes gésuivent (109).
s de la chute des corps dans le vide, — Lorsqu'un 3veriicalement et d'une certaine hauteurdans le vide.
lia MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
i<* Les vitesses acquises aux divers instants sont proportionnelles aux temps écoulés depuis le commencement de la chute;
2" Les espaces totaux parcourus aux mêmes instants , ou les hauteurs de chute, sont proportionnels aux carrés des temps écoulés ;
S'* Ces mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carrés des vitesses acquises au bas de chacune d'elles ;
4* La vitesse acquise au bout de la première unité de temps est égale au double de la hauteur de chute déjà parcourue pendant cette même unité de temps.
Pour le point du globe où nous nous trouvons, la hauteur verticale parcourue, dans la première seconde de sa chute et dans le vide, par un corps qui est abandonné librement à l'action de la pesanteur, est 'égale à 4°*» 9^44 ' donc la vitesse acquise au bout de ce temps est deux fois 4"'9 9o44 ou 9",8o88. Cette dernière vitesse est ordinairement représenlée par g" dans les Traités de Mécanique : ainsi g = g'^^8oS8: c'est la connaissance de cette grandeur qui sert à calculer (110) toutes les circonstances du mouvement accéléré des coqts tombant d'une certaine hauteur dans le vide, ou des corps très-denses tombant d'une petite hauteur dans l'air.
118. Formules et exemples de calcul. — Ordinairement on représente par la lettre h ou H, la hauteur, en mètres, d'où le corps est tombé à un certain instant; en nommant toujours! j le temps employé par ce corps à décrire le chemin vertical H, ou à tomber de H, et V la vitesse qu'il a acquise à la Gn de ce temps, on aura, d'après ce qu'on a trouvé (110) pour le cas général :
H = ;vxT, H=;grxT% ¥«=2^x11, |
V = srXT, fi^ = 9»,8o88, ou
ii = ;vT, n=[gT\ y^^^gu, \ = gT,
formules fréquemment rappelées en Mécanique, et d'un grand S
usage pour calculer les circonstances de la chute des corps g
pcsanis. s
Supposons qu'on veuille trouver la vitesse acquise V, et le k
PRINCIPES FONDAMENTAUX. Il3
chemin H décrit au bout de 7 secondes de ciiule: T représentant ici les 7 secondes on «lura
V = gx T = 9",8o9 X 7 = OB'", 66. environ, H = iff X T'=: 4", 9044 X 49 - a3o"',4i6.
Si l'on se donnait seulement la hauteur H do chule, on cnU culerait la vitesse acquise, au bas de cette chute, au moven de la relation V'= 2g- X II. Supposons, parexeniple. Il == lo'", on aurait
et il ne s'agirait que de trouver la racine carrée de 196,176, ou le nombre qui, multiplié par hii-mèmo, donnerait cette quantité. Or cette racine est ici 14 mètres environ, puisque
14 X >4 ou i4'= '96.
Pour montrer une nouvelle application des principes cidessus» nous supposerons que deux corps difTérents tombent verticalement d'un même point A ( Pi. Jfjig*^^), où ils se trouvaient d'abord au repos, mais ne tombent que Tun après l'autre, et à un intenalle de temps qui soit seulement de 777 de seconde ou 0^^,01. Cela posé, nous nous demanderons à quelle distance A'B' se Irouverotit entre eux ces deux corps, à la fin de la première, de la deuxième seconde, écoulées depuis l'instant du départ du second corps.
Puisque ce corps ne part du point A, que o'\oi après le premier, il en résulte que celui-ci aura déjà parcouru un certain eispace AB avant l'instant où Tautre aura été lâché de A ; cherchons d'abord cet espace au mo^^en de la formule
H = ;gP--4'\9^4îxP (118).
T = o^ol; donc
H = 4"»9o44X 0,01 X 0,01 =4"*» 9^44 X 0,0001 ~ o'",ooo4y;
c'est-à*dire que la dislance AR, entre les deux corps, n'esi pas même de { millimètre.
Cherchons maintenant à quelle distance A'B' se trouveront, l'un de l'autre, les mêmes corps, ù Tinstani où une seconde
Il4 ■ÊCA51QCB DIDCSTIIELLB.
ciiliére se sera écoulée depuis l'instani du dépari du deuxième rorps;et, pour cela, calculons séparément les chemins AB',AA' décrits par chacun de ces corps, à partir du point A, en observant que, puisque la durée de la chute AA' du second corps est de I seconde, celle de la chute AB' du premier est
on aura
espace AA'=: 4-, 9044 x l'^X i'' = 4"',9o44» et
espace AB' = 4'", 9044 X 1,01 x 1,10 = 5*,oo3;
donc pour Tintcrvalle A'B' ou AB' — AA'
A'B' = 5", oo3o — 4", 9044 = o", 0986.
A la fm de la deuxième, de la troisième seconde dechule, les deux corps seraient déjà à une distance l'un de l'autre de près de 20, de 3o centimètres, etc.
Ces résultats expliquent très-bien pourquoi les jets d'eau des jardins, des pompes à incendie, qui s'élèvent verticalement ou sous une certaine inclinaison, en filets compactes et continus, retombent, au contraire, en se divisant en gouttelettes, en pluie plus ou moins fine; car la résistance de l'air, loin de séparer les parties, comme on pourrait le croire d'abord, tend au contraire à les réunir en diminuant la rapidité du mouvement de celles qui redescendent les premières. C'est aussi là l'explication très-simple de reiTet si connu des cascades naturelles, dont l'eau, en se précipitant du haut des montagnes, se divise en une pluie tellement fine, qu'elle ressemble à un véritable brouillard. Nous verrons, par la suite» que de telles remarques ne sont pas seulement un objet de curiosité, mais qu'elles peuvent aussi recevoir des applic»^ lions dans les arts.
119. Obsetvalions diverses, — L'opération par laquelift il s*a{^'ii de trouver la vitesse V, acquise & la fin de la chute ticale d'un corps, quand on a la hauteur H de cetiaçboie^
PIIKGIPBS FONDAMBKTAUX. Il5
reproduit très-fréquemmenl dans la Mécanique pratique ; aussi a-t-on consiruil exprès une Table qui fournit immédiatement la vitesse répondant à une hauteur donnée : son utilité toute particulière dans les applications nous a décidé à la rapporter à la Un de cet Ouvrage.
On dit ordinairement que la vitesse V est due à la hauteur H, et réciproquement que cette hauteur est due à la vitesse Y, expressions abrégées qu'il est bon de retenir.
On doit se souvenir que, dans Pair, les corps ne tombent pas réellement avec la vitesse qui répond aux données du calcul; mais que cette vitesse et les autres circonstances du mouvement difTèrent très-peu des véritables, dans les cas qui ont déjà été spécifiés plus haut (116). Nous ferons d'ailleurs connaître, dans la partie de cet Ouvrage qui est consacrée aux applications^ les moyens par lesquels on peut calculer exactement le mouvement des corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air; ces calculs conduisant, de suite, à la théorie des parachutes et des ballons, pourront servir à démontrer l'utilité immédiate des principes de la Mécanique.
120. Ascension verticale des corps pesants, — Lorsqu'un corps, une balle de fusil par exemple, est lancé, de bas en haut, selon la verticale, la pesanteur agit, à chaque instant, avec la même intensité, pour diminuer, par degrés égaux, la vitesse primitive; le mouvement sera donc uniformément retardé f et, d'après ce qui précède (112), la vitesse finira par s'éteindre, quand le corps sera arrivé à une certaine hauteur, puis il redescendra, en vertu de l'action de la gravité, en reprenant tous les degrés de vitesse qu'il possédait en montant et pour les mêmes positions. Ainsi à i, 2 et 3 mètres au-dessus de terre, le corps possédera exactement les mêmes vitesses, soit dans l'ascension, soit dans la chute ; il n'y aura que la direction du mouvement de changée : par exemple, lors de sa chute ou de son retour au point de départ, la pesanteur lui aura précisément restitué la vitesse qu'il avait primitivement. Nommant V cette vitesse et H la plus grande élévation à laquelle il soit parvenu, on aura
V>=2grH;
I>6 aÉCANIQUB INDUSTaiBLLB.
d'où il sera facile de déduire H de V, ou réciproquemeni, avec la 7ViWe(119).
On pourra aussi calculer toutes lés autres circonstances de l'ascension verticale du corps, par les méthodes du n** 112; mais il ne faudra pas oublier, je le répète, que les résultats, ainsi obtenus, supposent que l'air n'existe pas ou n'exerce aucune influence sensible sur le mouvement. Car, dans b réalité, les corps s'élèvent à une hauteur un peu moindre que celle qui répond ou est due à leur vitesse initiale^ et, de plus, en retombant, ils acquièrent une vitesse un peu moindre que i celle qui est due à la hauteur réelle de leur chute ou de leur ' ascension.
Force vive, masse et quantité de mouvement.
121. Travail relatif à la vitesse de chute des corps. — Nous pouvons maintenant apprécier la quantité de travail ou d'action que dépense la pesanteur pour engendrer une cerlaioe vitesse dans un corps, ou pour vaincre l'inertie de ce corps. Nommons, en efTct, P le nombre des kilogrammes que pèse le corps, c'est-à-dire l'effort total (60 et 115) que la pesanteur exerce sur ce corps, et qu'il faudrait employer pour le soutenir; ce sera aussi la mesure de l'effort constant exercé sur j ce corps pendant sa descente de la hauteur H. La quantité de | travail, développée par la pesanteur et consommée par l'inertie j (66), pendant celte chute, sera donc représentée (78) par le produit PH; et cette quantité de travail aura engendré, dans le corps, la vitesse V calculée (118) par l'équation ^
Mais, si l'on divise le produit igX H ou V' par l'un de ses facteurs 3^, on aura l'autre facteur
el. par conséquent, PxH est la môme chose que Px —
ou - - X N ^
•2 ir
FinfCIPBS FONDAMENTAUX. II7
Ainsi la quantité de travail» développée par la pesanteur ur imprimer une certaine vitesse V à un corps, dans la di- :iion verticale, est égale à la moitié du produit obtenu en iiltipliant le carré de cette vitesse par le poids P de ce même rps, divisé par la vitesse g ou 9", 8088, que la pesanteur imime à tous les corps (117), au bout de la première seconde ' leur chute.
i2î. Force vive des corps; sa relation avec le travail méca" \que. — Le produit
- X V» ou - V»
st précisément ce que les mécaniciens sont convenus de lommer \^ force vive du corps dont le poids est P et la vitesse icluelle V; on voit donc que la quantité d'action ou de tratti7, dépensée par la pesanteur pour produire la chute vertiso/e d'un corps, est la moitié de la force vive imprimée au bas k cette chute; ou, si Ton veut, la force vive imprimée est le iouhle de la quantité de travail dépensée par la pesanteur. Lorsque le corps est lancé verticalement, de bas en haut, avec ne certaine vitesse, le travail de la pesanteur, toujours meure par le produit du poids et de la hauteur à laquelle le t)rps a été élevé verticalement, est employé, au contraire, à étruire cette vitesse. Par conséquent, dans les deux cas de idescente et de la montée, la moitié de la force vive acquise Il détruite, mesure la quantité de travail nécessaire pour lincre Tinertie du corps; c'est-à-dire que cette mesure ^ste la même, soit que la pesanteur imprime une certaine itesse à un coq)s, soit qu'elle détruise une vitesse égale et Li'il possédait déjà.
Nous prouverons bientôt que ce principe a lieu, quelles que >ient et la force motrice et la nature du mouvement qu'elle ommunîque au corps, dans sa direction propre. Mais il est écessaire auparavant de faire plusieurs remarques, et de oser quelques autres défînitions généralement admises par es mécaniciens.
Ii3. Comment on doit entendre la force vive — L'ex-
Il8 MftCANIQUB INDUSniBLLI.
pression de force vive, employée pour désigner le produit
pouvant induire en erreur beaucoup de personnes, il est bon de remarquer ici que, d'après noire manière de voir, ce n*esi point, à proprement parler (59), une force, pas plus que la quantité P X H, que nous avons nommée, en général, quantité d'action, quantité de travail : c'est tout simplement le résultat de Tactivilé d'une force motrice ou de pression, exprimabie en poids, qui a été employée, pendant un temps plus ou moins long (57), à vaincre l'inertie de la matière d'un corps, à imprimer un certain mouvement, une certaine vitesse à ce corps. Sous ce point de vue, la force vive serait vériu-
blement Veffet dynamique [W) de la force motrice, ou plutôt
le double de cet effet, puisque - x V'= ^P x H.
Lors donc que nous emploierons le moi force vive, cène sera jamais que pour désigner la valeur numérique d'une ce^ taine quantité essentiellement relative au mouvement actuel d'un corps, ou au mouvement qu'il pourrait réellement acquérir dans des circonstances déterminées; et, sans s'arrêter aucunement à la signification propre des mots par lesquels on l'indique dans le discours, il faudra seulement se souvenir que sa valeur, en nombre, équivaut au produit du carré de la vitesse effective d'un corps, par le poids de ce corps, divisé par g ou 9",8o88. Ainsi nous ne confondrons pas, comme on le fait quelquefois (80!, la force vive des moteurs avec la quantité de travail qu'ils développent contre des résistances qui leur sont opposées; et, s'il nous arrivait, par exemple, de parler de la force vive d'un homme ou d'un cheval, nous entendrions uniquement spécifier le produit ci-dessus concernant leur vitesse et leur poids réels, produit bien différent de celui qui mesure la quantité de travail mécanique même développée por ces moteurs, à chaque instant ou pendant um certain temps, lorsqu'ils sont appliqués à une machine, à un outil quelconques 7i et 77 .
124. Bi[fJexions sur la force vive et les forces motrices général. — Ce qui a porté autrefois les mécaniciens à adop^^
peuigipis fondambi«tàox. 119
3 moi force vive, c'est qu'ils onl confondu V effet avec la ausey le résultat du travail d'une force motrice avec ce traail même; par la seule raison que les mesures, en nombres» le ce travail, de cet effet ou de ce résultat, sont directement .omparables entre elles, ou ont une certaine relation numénque. Ayant d'ailleurs admis l'expression de force pour désigner les effets, les résultats de l'activité d'un moteur qui travaille, et voulant les distinguer de V effort ou pression fim/i/e(5*J) que le moteur exercerait sur un corps qui resterait en repos ou céderait très-peu (89) à son action, ils ont dit qae c'était une force vive, et cette pression, cet effort, ils l'ont nommé force morte. De là aussi la dispute qui s'est élevée, parmi les géomètres du dernier siècle, sur la manière de mesurer la force vive et la force morte, et de les distinguer entre elles; dispute fort oiseuse et qui n'a fait qu'embrouiller des choses très-claires par elles-mêmes, puisqu'il est impos* sible de confondre l'effort» la pression simple qu'exerce un moteur sur un corps, avec son travail mécanique, et ce travail avec le mouvement actuel ou acquis d'un corps.
A la vérité, un corps mis en mouvement, un certain effet dpuunique {i^3) peut, à son tour, devenir une cause, une source de travail : c'est ainsi, par exemple, qu'un corps lancé verticalement, de bas en haut, est élevé, en vertu de sa vitesse, a une certaine hauteur, tout comme il le serait par l'action d'un moteur animé. Mais il arrive ici la même chose que lorsqu'une force motrice a développé une certaine quantité de travail pour bander un ressort élastique (97) : l'inertie de la matière a été mise en jeu de la même manière que les forces moléculaires l'ont été dans ce dernier cas; cette inertie (106), (joand elle a été ainsi vaincue, devient capable de restituer la quantité de travail dépensée, de même que le ressort qui a été bandé. En un mot, l'inertie comme les ressorts (96), sert à emmagasiner le travail mécanique, en le transformant en force vive, et réciproquement, de sorte que la force vive est un véritable travail disponible,
!<ous avons vu (102) qu'on peut en dire tout autant d'un corps qui a été élevé à une certaine hauteur, par un moyen quelconque; ce corps, sollicité par la pesanteur, est la source d'une quantité de travail, dont on peut disposer subséquem-
tStO aÊCA?(IQUB IXDUSTBIELLB.
meni pour produire effeclivement du travail mécanique. Mais, de même que nous ne disons pas, en termes absolus» que ce corps, aciuellement élevé. à une certaine hauteur, est une
forcey qu*un ressort bandé est une force; de même aussi il
P est peu exact de dire qu'un corps en mouvement, que - \ ^
est une ybir^. Ces réflexions sont également applicables aux hommes et aux animaux en général, aux combustibles ou au calorique enfermé dans les corps (99), aux cours d^eau^vi *v«/, etc.; ce sont des agents de travail, des moteurs si Ton veut, mais non de simples forces, de simples pressions (59). L'objet de la Mécanique industrielle consiste principalement à étudier les diverses transformations que peut subir le traYiil des moteurs par le moven des machines ou des outils, à comparer entre elles les quantités de ce travail, à les évaluer en ar^nt ou en ouvrage de telle ou telle espèce, etc.
lâS. Définition Je la masse des corps. — Puisque la pesanteur agit indistinctement sur toutes les particules matérielles du» corps, et tend« à chaque insunt, à leur imprimer le même degr^ de vitesse dans le même lieu 'ii5\ on voit que le poids de ce corps, -qui est le rêsulut de toutes ces actions l^tartielles. peut donner, jusqu'à un certain point, une idée de la quantité Je maîitrr qull renferme ou de sa masse. Suivaul cette notion, la «Ktt»^ serait dooc proportionnelle au poids: souxent même on pr^od, tSans les applications, les poids poui h>si mas^-^ Mai<, c?mrae ricieRsiie de la pesanteur varie d*ui lieu à un autre 61 « et qise la q^jantîté de matière ou la masst %:*«*: x^ d\în n*ft»o is>rps ce v^rse pas, on voit que celle de^ nièî>? senU, dans .vnjins c*s* nul fSefinie par le poids simple de c\" c%>*p>. iV i>\p^^ri^a^^e apf^r?»! que la vitesse imprimée, p*r Va p<*:ïan:er.r. iu b*:-*!! <5e la fw^aaîêre seconde de chute, den;e«r* vV^ssuiûmer: ^r^-j^T^-c-tr.eiîe a son intensité; c'est-
jr-^ir;:' ItT f î t±l ^ùr > ^F?-^î - resce le même pour tous
!;"s *.e;i\, V :.>^ , F v: T t jr: :?< jV'.ii zi*cf« ;60) et dans l« \.if . i ,:/ ï::t-':v;r *7"> '•ri-s^i»:*':^. iJ^r exeœf ie, i deux liao* ;^urs :, f:^; ,:::>; 5: : ; ^ --f^ ^ ifssîrs '^u'i ces hauteurs, Is ,\:>it::;^,: ../,.-::;. iu.> ,f 1 li ^; a iia û de la premier
PaiNaPIS FONDAMENTAUX. 121
seconde de chute» a chaque particule de matière, on a
PlP'lIfflg^', ou -=-7-
C'est donc à ce rapport invariable - 9 et non au poids P lui-
même, que s'applique véritablement, en Mécanique, la défioiiion de la masse d'un corps; et Ton commettrait souvent des erreurs de calcul fort graves, en prenant le poids pour la mesure de la masse.
126. Ejcprtssion abrégée de la masse et de la force vive^ Jsms (es calculs, — Ordinairement on représente la valeur de b masse par la leiire m ou M : on a donc
S et, par suite,
f erpriinani reff«.rt absoia eiereé, par la pesanteur, sur %tn certain corps, et ^ b vitesse qu'elle lui Imprime, darn le ■éme lieu et dins le lide, aa bout de b première seconde de
a chute verticale.
p Diaprés cette coiiTemiir3o« b valeur ci-de^us - V' de U force
g ^ rare d^un corps ^ lit se crMire aussi repr«>seDlée, daflu lei
olcals mécaniques, par
MxV- M MW
cVat a dire par /<f pmdmit de U imasse de ce corfm et dm C4Sffé de sm vit^swe acrpttse « #v œetm^ie^
KT. Q fiant Ut* df* mnnvememi des ctkrfs, — Les méi^ani^riens ^yat également ':in'7»*niw ^ oommjer ffmumtit^ de m&mjemeni fan corps, /#» pm^ùnt ie ms mfiSMe, détînîe rrimme ^Mt fient le le dire^ par 'a -.vriH»^ cmple et ^lefraelle ^fme f^t^èd^ cette
: c'eîrt-a-iin» «çii*
12^ MÉGiMIQUB INDU8T1IBLL1.
qu'on écrit aussi
PV MV ou —
pour la simplicité, est ce qu*on nomme une quantité de mouventent en Mécanique. Cette quantité est, comme on voit, très-différente de ce que nous avons appelé (80) la quantité d'action ou de travail des moteurs; et on ne peut la confondre avec cette dernière qu'autant (8iS^) que l'on confondrait aussi l'effort d'un moteur avec le poids réel, ou plutôt avec la masse d'uo corps; ce qui n'est évidemment pas permis (*).
128. Obsen'otions générales. — Dans le fait, c'est principalement pour abréger et simpliGer tout à la fois les calculs et les raisonnements, qu'on emploie les dénominations de nuuu^ de quantité de mouvement, et qu'on les représente par des lettres particulières ; on pourrait aisément s'en passer, ainsi que du mot force vive, dans l'exposition des principes de h Mécanique industrielle. Mais, comme tous les auteurs en ont fait usage, il devient important de bien se pénétrer de leur véritable signification, et de ne pas oublier qu'elles se rapportent toutes à des corps matériels et au mouvement véritable ,
{*) Nommons Q U valeur, en nombre, de — X V, onanra Q= — xV,oi,
ce qui revient au même. Q: P :: V :^. Mais P est le poids Téritable d*on certain corps; /r, ou t)™« Sv^SS est la vitesse que la pesanteor imprime à ce corpi au In^ut de la pn^mitTe" seconde de chute ef dans le lieu on nous sommes; doM Q n*est autre chose que le pi«ids abs«>In du m^me corps dans le lieu où la gnvilé serait capable de lui imprimer la viie«e V an bout de la première seconde de chute, c'cst^-dire Teffort qui soutiendrait le corps contre l'action de oelti -gravite. On voit ans»! que la force vive W^ ' ou MV x V n*est elle-même qoi le produit do ce dernier poids, de cet effort, par la vitesse V, on par le cbenio que décrirait 4> uniformément le corf«, dans Funité de temps, en verta de sa vitesse actuelle. i>s observatii.»ns peuvent servir à distinguer entre ellei, d'uite manière absolue, la qusnlite de monvement et la force vive, ainsi qn'i montrer TidontiU' 3o nsturt qne^ «^-^us un certain point de vue, les mécanideiii ont attribuée à ces tVu\ sortes de {randenrs, ainsi qn*aa fioids et au tranfl mtvanique vvritables: elles evpliqneront anssî comment on se permet qndqueft»is do re:7anior U quaritjtr do mi»nvement ciirame nne /orre morfe (124), ct>nimo un effort simpK ow >4r.> <*nrrpe, el 1s quantité de travail comme une forcx^ xixo. Au sur} -lus, nou^ i.'avods nullement besoin de nous inquiéter de < «li>li nouons qui. a le t«ien prendre, sont de
PIIMGIPBS FONDAMENTAUX. 1l3
de ces corps; ou plutôt qu'elles sont des expressions pure* ment conventionnelles pour exprimer^ d'une manière commode, certaines grandeurs numériques, certains résultats qui se présentent fréquemment dans les applications de la Mécanique, quand il s'agit du mouvement des corps.
DB LA COXHUNICATION DIRECTE DU MOUVEMENT PAR LES FORGES MO* TIICES EN GÉNÉRAL» ET DU CHANGEMENT DU TRAVAIL EN FORCE TIVB.
129. Rapport des forces moi rices au mouvement imprimé, — Nous venons de voir (125) que la pesanteur communique, à un même corps et au bout de la première seconde do chute verticale, des vitesses qui sont constamment proportionnelles & son intensité, ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Hais cette propriété provient uniquement de ce que la pesanteur varie, en effet, très-peu(61) dans toute la hauteur de cette chute; de sorte que la vitesse totale, acquise en une seconde, est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimés dans chaque élément du temps (107 et suiv.)* Lorsque la force motrice, au lieu d'être constante, varie à chaque instant, il est évident qu'alors son intensité ne peut plus se mesurer par la vitesse totale qu'elle imprime dans le sens propre de son action, à un même corps et au bout de l'unité de temps, mais qu'elle dépend uniquement, pour chaque instant, du degré de vitesse infiniment petit qu'elle lui communique à ce moment.
L'observation de ce qui se passe à la surface du globe terrestre et dans les mouvements de notre système planétaire, prouve que
Les forces sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse qu* elles impriment, dans des temps égaux infiniment petits, à un même corps qui cède librement à leur action, et dans le sens propre de cette action.
Ce fait sert de base à toute la Mécanique du mouvement, et il doit être considéré comme une loi générale des forces motrices de la nature.
Pour éviter désormais des répétitions inutiles, nous rap-
l^4 ■tCAniom ihbostbiiub.
pellerons qu'ici, comme dans ce qui précède et dans ce qui va suivre, les forces sont censées agir d'une manière directe sur les corps, c'est-Mire dans le sens propre du mouvement qu'ils prennent ou tendent ï preadre, et que, dans ce mouvement, les diverses parties de ces corps sont aussi censées cheminer parallèlement et de la même quantité, ainsi qu'il arrive dans une inflnité de circonstances. SI l'on veut encore, on peut considérer les corps comme dépouillés de leurs dimensions, ou leur matière, leur masse, comme concentrée en un seul point sur lequel agit immédiatement la puissance.
130. Mesure des forces motrices et d* inertie par la vitesse imprimée et réciproquement. — Soit F la mesure, en kilogramme d'une certaine force qui agit directement sur un corps cédiat librement à son action; soit v le degré très-petit de vilese qu'elle imprime & ce corps, à une époque quelconque et pendant le temps inflniment petit l; soit pareillement P le poUi ou la pression que la pesanteur exerce, en un certain lieu, sur ce même corps, et / le petit degré de vitesse qu'elle tend à lui imprimer^ ou qu'elle lui communiqueraiti en effet, pen» dant la durée de /, s'il était parfaitement libre de céder à soo action. On aura, selon ce qui précède,
d'où
1, P Pi'
Mais, d*après la première loi de la cliute des corps (117)» nous \ avons
f'rg-::/: i''; d'où
donc
M étant ia masse du corps ( 125).
Ainsi, quand on connaîtra le degré de vitesse v imprimé, d,ins le temps infiniment petit /, par la force F, on pourra calculer celte force, qui est égale et contraire à la résisunce
P11NCIPB9 FOKDAHENTAUX. 125
•ppose, au mouvement (66), l'inertie de la matière du »s; résistance que nous avons nommée simplement /ore« er/*>, et qu'on pourrait aussi appeler (123) \^ force dyna^ ne des corps, parce qu'on attache ordinairement au mot dytique l'idée d'un changement de mouvement. La relation
: M X - = M -» nons apprend donc que
a force d'inertie F crott proportionnellement à la masse corps et aux degrés de vitesse v qu'il reçoit dans des temps nentaires t, égaux et infiniment petits.
)e la relation ci-dessus, on lire réciproquement la valeur
FX/ . = «I ; donc
les degrés de vitesse qu'une force motrice imprime à un pi, pendant un même temps élémentaire infiniment petit, \t proportionnels à l'intensité de cette force et inversement 1 masse du corps.
)n remarquera d'ailleurs que tout ce qui précède s'applique si bien au cas où la force F ralentit le mouvement acquis, corps qu'à celui où elle l'accélère; seulement, au lieu de [rés de vitesse acquis, on a à considérer des degrés de vise détruits dans ce corps, et la force F devient une résisce véritable, qui s'oppose à l'action de l'inertie devenue ssance (58). C'est généralement ainsi qu'on devra entendre choses dans tout ce qui va suivre.
31. Rapport des forces motrices aux quantités de mouve^ fit imprimées, — D'après nos définitions (127), le produit <v ou Mi' n'est autre chose que ce qu'on nomme une quanide mouvement, en Mécanique. On voit donc que la preère des propositions ci-dessus revient à dire que
la force d'inertie crott proportionnellement à la quantité mouvement communiquée ou détruite dans un même ilant infiniment petit :
Ou que
les forces motrices communiquent ou détruisent, dans des mlanls égaux et infiniment petits, des quantités de mouventntqui leur sont proportionnelles.
ia6 atCÂNiQUB ucDUsniBLU.
Soient, en efTel, F et F' deux forces motrices ou pressions quelconques agissant, pendant un même instant inOnimeot petit if sur deux corps différents, de masses M et M'; soient 9 et v' les degrés de vitesse qu'elles leur impriment respecti?ement, à la fln de cet instant, on aura, selon ce qui précède,
et par conséquent
F:F::M^:M'^::Mi':MV.
Si donc les forces motrices F, F', ou les forces d'inertie qui leur sont directement opposées, avaient la même intensité, la même valeur en kilogrammes, les quantités de mouvemeoi qu'elles imprimeraient, dans le même instant très-petit t, seraient aussi égales ; ce qui résulte immédiatement de ce qu'on aurait alors
M*^ = M'y ou Mt'^MV.
On voit enfin que» si deux forces appliquées à deux corps libres différents, demeurent sans cesse égales entre elles pour les mêmes instants c'est-à-dire si elles varient de la même manière, les quantités de mouvement totales et finies qu'elles auront imprimées à ces corps, entre deux instants quelconques, seront aussi égales entre elles; car chacune d'elles sera la somme de quantités de mouvement partielles telles que Mi", MV, qui ont les mêmes valeurs pour les divers instants successifs et égaux dont se compose la durée entière de l'action.
C'est ainsi qu'il faut entendre le principe par lequel les auteurs admettent quelquefois que des forces motrices égales impriment les mêmes quantités de mouvement ^/iie* ou /otaies à des corps quelconques, principe qui conduit à considérer ces quantités comme des forces véritables, tandis qu'elles expriment uniquement des sommes de produits tels que Ff, relatifs aux forces ordinaires de pression (59 et 60) et à la durée du temps pendant lequel elles agissent. En effet, quelle que soit la petitesse de celte durée, elle n'est pas nulle (57), et.
PWKCIPBS FOIfDAIElfTAUX. I27
lelle que soii la grandeur ou l'intensité des forces, elles ne mt pas infinies, elles peuvent se mesurer en kilogrammes )mme toutes les forces de pression ou de traction. Au surlus, je le répète, ces discussions sont parfaitement inutiles oup nous, qui n'admettons le mot quantité de mouvement ue pour désigner un certain résultat des calculs, et pour abréer les énoncés des principes ( 127 et 128).
132. Autre mesure des forces motrices et d'inertie. — Révélons maintenant à la considération simple d'une force unique P, agissant sur un corps de poids P ou de masse M (130), et Mipposons qu'à une certaine époque du mouvement, cette force cesse tout à coup de varier, ou continue d'agir sur le corps avec l'intensité qu'elle possède à cette époque; la vitesse lagmentant ou diminuant dès lors de quantités proportionnelles au temps (107), cette intensité pourra être encore mesurée par la vitesse finie qu'elle imprimerait au corps, à la On delà première seconde, s'il partait du repos au commencement de cette seconde.
Désignant par V, cette vitesse finie, on aura
V,:c::i'':/; foii
