V. = ^, et F = Mx^ = MV

Ainsi, dans le mouvement varié, en général, la force motrice,

égile et contraire à la force d'inertie, à la force dynamique, est

muwréey à chaque instant, par la quantité de mouvement

fitlle imprimerait, au bout d'une seconde, si, au lieu de va-

ntr, elle demeurait ce qu'elle est à cet instant. Hais, de ce

i|iie les quantités de mouvement sont propres à servir de me-

soreaux forces, ce n'est pas une raison de les confondre avec

efforces; car ici la durée, la constance qu'on suppose à Tac-

; ^, est une condition essentielle et qu'il ne faut pas perdre

F fetuc.

133. Calcul des mêmes forces par la loi géométrique du moutemeiU. — Ces dernières considérations sur la force motrice, bns le mouvement varié, sont analogues à celles qui con-

laS lÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

cernent la vitesse même du mouvement (53), et on peut les reproduire également à Taide d'une figure. Soit tracée (PL J, Jig. 32), ainsi qu'il a déjà été dit (108) à roccasion du mouvement uniformément accéléré, la ligne 0'a'b\ . ./', qui représente la loi des temps et des vitesses; soient c&f dd' les vitesses qui répondent au commencement et à la fin du trèspetit instant ccf ou /. Menons, par c', la parallèle c'd^'m à l'aie des temps OB; elle retranchera, de l'ordonnée dd', la petite longueur d'd^, représentant le degré de vitesse imprimé, parh force motrice, dans la durée- de l'élément de temps cd=</d', degré dont nous avons désigné la valeur en nombre par v. Or, si l'on suppose qu'à partir du commencement de cd ou /, h force motrice devienne constante, ou (107) qu'elle imprime, dans les instants successifs égaux à /, des degrés de vitesse aussi égaux à d'd"; la loi des vitesses acquises sera expri* mée (108) par une droite c'/t, prolongement de c'd', et qui sera tangente à la courbe O'a'b' •../', si l'intervalle cdoutesi censé excessivement petit. Prenant donc <^m=: i"^ et élevant l'ordonnée mn terminée à c'n, celle-ci ne sera autre chose qae la vitesse Vi, acquise, au bout de l'unité de temps, par le ' corps, en vertu de la force motrice supposée constante; et Ton aura, à cause des triangles semblables c'd'd"- et c'mn, la pro* portion

c'd" ou t : d'd" ou V :: dm ou i" : mn ouT, ; d'où Ton tire, comme ci-dessus,

Ainsi, quand on connaîtra la loi qui lie les temps aux vitesses

imprimées, ou la courbe qui représente cette loi, on pourra,

pour chaque instant et par le tracé d'une tangente de cette

courbe, déterminer la vitesse V,, et, par suite, calculer, comme

il a été expliqué précédemment (130 et 132)» la valeur

MV,= -X V, de la force motrice F qui produit l'accélération

do mouvement du (orps, ou, ce qui est la même chose (i30), la résisiaiice égale et contraire, que l'inertie de la matière du corps oppose, à chaque instant, à l'action de cette force.

nmciPBS fondàmbiitàux* 129

134. Trouver la loi du mouvement quand on a celle de la yrce. — Réciproquemeniy sî Ton connaît, pour chaque instant t par le moyen d'une table ou d'une courbe» la valeur de la >rce motrice F par rapport aux temps révolus ou aux chelins décrits, on en déduira les valeurs correspondantes de

r, = 11 = ^15-, inclinaisons des tangentes c'n de la courbe

les vitesses; car la mesure de ces inclinaisons est donnée par

la valeur du rapport -; — =V|. Si l'on connaît d'ailleurs la vi-

tme initiale 00' du corps, vitesse nulle quand ce corps part du repos, rien ne sera plus facile que de tracer la courbe dés vitesses successivement acquises sous l'action de la force motrice; car, ayant l'inclinaison de la tangente relative à chaque abscisse ou à chaque temps Oa, 06, Oc,. .. , on pourra, de proche en proche, construire les positions consécutives C'a', a' 6', b'c' j. . ., des éléments rectilignes de cette courbe, et en déduire les ordonnées a a', bb'y cd^ qui mesurent les ritesses acquises par le corps à la fin des temps corresponlants.

Par exemple, la vitesse initiale du corps étant 00', on mè* lera O'/ii' parallèle à OB et égale à l'unité de temps; puis, yant calculé la valeur de V| relative à l'intensité de F au mènent oii l'action commence, on portera cette valeur sur l'orionnée m'n', de m' en n'; traçant 0'«', ce sera la direction de 'élément O'/i'; et l'ordonnée aa'y qui répond au premier intaniOe, donnera, en la terminant à la droite O'/i', la grandeur le la vitesse à la fin de cet instant : en répétant les mêmes opérations. pour le point a\ on en déduira V et bb\ etc. On liminuera d'ailleurs la longueur des tracés, en construisant linéique pan {PL I,Jig> 33) les inclinaisons successives /?/i, ^n', pu',.. . des tangentes relatives aux divers instants; car elles donneront, de suite, les degrés de vitesse tv, /(/, /</",.. . imprimés, par F, dans les Instants successifs Orr, a6, 6r,. . . représentés ici par/7/.

Il est évident que plus sera grand le nombre des parties ëplesdans lesquelles on aura divisé le temps total 0/ [PL /, Jif. 32), cil Ton considère l'action de la force [motrice, plus la courbe ainsi construite s'approchera de représenter la vé*

l3o MÉCANIQUE INDUSTRIBLLK.

ritable loi du mouvement communiqué par cette Torce. Enfin, les trapèzes 66V c, cc'd'd^,.. représentant encore ici (108) les chemins élémentaires successivementdécrits, par le corps, dans les petits temps correspondants hc, cd,,..^ on obtiendra le chemin total parcouru par ce corps au bout d*un temps quelconque 0/el sous l'action de la force motrice F, en mesurant Faire totale de tous les petits trapèzes relatifs à ce temps, c'est-à-dire la surface même du trapèze curviligne 00'/'/. Or cette surface se calculera aisément à l'aide du procédé déjà mentionne (72), à l'occasion de la mesure du travail mécanique variable.

De la force vive des corps en général et de sa relation avec

le travail mécanique,

135. Mesure du travail des forces motrices et d* inertie. — A l'aide des notions qui précèdent, nous pouvons calculer la quantité de travail que doit dépenser, contre un corps de poids P ou de masse M (126), une force de pression qui varie à chaque instant en demeurant sans cesse égale et contraire à la force d'inertie (130), pour imprimer à ce corps une certaine vitesse, ou plus généralement, pour augmenter ou diminuer sa vitesse d'une quantité donnée.

£n effet, pour chaque instant infiniment petit / du mouvement, le travail de la force motrice est mesuré (72) par le produit de sa valeur moyenne durant cet instant, valeur que nous nommerons F, et du chemin élémentaire qui a été décrit, dans ce même instant, par le corps ou par he point d'application de la force. Ce petit chemin, ainsi qu'on l'a remarqué au n° 134-, est donné, pour \^fig> 32, PL /, par l'aire du trapèze élémentaire cc'd'd, par exemple, qui serait formé sur crf représentant le temps /, et sur la vitesse moyenne (108) correspondante {(^•^•' H- rf^')» <l"e nous nommerons V; c'est-àdire que ce chemin est égal au produit V X /. Donc le travail élémentaire dont il s'agit est F x V X t, et la même chose aura lieu dans chacun des instants inOniment petits égaux à t. Or nous avons trouvé (130) que, v étant le degré de vitesse d'd" imprimé au corps pendant le temps /, la valeur de F était

PEIXCIPBS PONDAMB!fTAL'X. l3l

M X c mesurée par — - — ; donc enfin la quanlilé de travail cherchée est

MXj^ X V X / r. M X V X V.

C'est la somme de toutes ces quantités d<' travail partielles qui composent le travail total, et cette somme est facile à trouver par la considération d'une figure, en remarquant que, comme M est un facteur commun et invariable, cela revient simplement à trouver la somme des produits V x i*. A partir du point 0 (PL/,Jig.3^), pris pour origine, portons, sur la droite OB, les diverses valeurs de v ou des accroissements successifs 0/r, «6, bc, cd,,. . de la vitesse, répondant aux divers instants égaux / écoulés depuis celui du départ des corps, accroissements qui seront inégaux dans le cas du mouvement varie; les longueurs Oa, 06, Oc, 0^/,. . . seront les vitesses totales acquises à la fin desdils instants. Portons ces mêmes longueurs sur les ordonnées correspondantes aa\ bb\ cc\ i/d%... y dételle sorle qu'on ait ««'=0/7, bh':-0b,cc'=^0c,...\ la suite des points 0, a', b\ &,... va former une ligne drolle inclinée à 4^ degrés sur Taxe des abscisses OR. Cela posé, considérons en particulier l'accroissement de vitesse d'd" qui a été nommé v, le produit V X c de cet accroissement par la vitesse moyenne correspondante V, ou [{cc'-h dd')^ sera ici représenté par l'aire du petit trapi'ze cc'd'd. Donc la somme cherchée de tous les produits ^Xl' a pour mesure celle des petits trapèzes correspondants, ou Tain; comprise entre la droite 0/', l'axe OB des abscisses et les ordonnées qui représentent la vitesse au commencement et à la fln de rinlervalle de temps pour lecpiel on veut calculer le travail de la force motrice.

136. Relation entre le travail dépense et la force vive acquise, — Supposons, en premier lieu, que le corps parle du repos, et qu'il s'agisse de trouver la sonune des produits Vx Vf relative à la vitesse acquise dd' que nous nommerons V; cette somme, étant représentée par Taire du triangle 0//^/', aura pour mesure

jrfrf'XOrf ou \dd'xdd'=:\\'\

l3a MiCAHIQOI MMtTtmU»'

Donc aussi la quantité de travail corre$panâamie à la viieœ acquise \' et consommée par r inertie du corps sera mesurée { 135) par M X iV''= iM Y'', ou par la moitié de la force vive communiquée à ce corps depuis 1* instant de son départ (18 et 126). Ce principe a donc lieu aussi pour uo mouveroem varié quelconque et pour une force motrice différente de I» pesanteur.

Pour une autre vitesse/]/^ ou Y' plus grande que la première, la consommation totale de travail sera également mesurée par MXjY^' ou 7 M Y''; et par conséquent, potf riniervalle compris entre les positions du corps qui répcHh dentaux vitesses. Y' et Y', la quantité de travail consomnée sera mesurée par la différence y M Y"».— {M Y'* ou

(|1IY'»-MY"),

correspondante au trapèze dd'ff. Or M Y" et M Y^' sont les forces vives possédées par le corps au commencement etih fln de riniervalle de temps pour lequel on considère le tn» vail de la force; MY*"'— MY'* est donc ruccraiVi^/n^nldch force vive, la force vive communiquée ou acquise dans eel intervalle; de sorte que le principe ci-dessus peut s'appliquer' aussi à deux instants quelconques du mouvement d'un corps;] c'est-à-dire que : j

La quantité de travail dépensée par une force motrice qad^. conque qui agit {i30), dans le sens même du mouvement d'u corps libre ^ pour accélérer ce mouvement, est mesurée par b moitié de la force vive acquise entre les instants où l'on cob^. sidère le travail.

C*esi évidemment aussi la mesure même du travail am* sommé par Tinerlie du corps ( 130). '

137. Cas où la force motrice est opposée au mouvement*-^. Ce qui précède suppose que la vitesse du corps augm sans C3SSC; sMl en éiail autrement, ce serait un signe que force molrice serait opposée au mouvement antcrieurem acquis ou sérail retardatrice ; de sorte qu'elle agirait aloU comme une vériiable résistance (58). Du resle, tous nos rat» sonnemenis demeureraient encore applicables, et Ton troa^

PRINCIPES pondàmbmtaux. i33

verait que, pour un certain inlervalle de temps pendant lequel la vitesse V^, antérieurement acquise, aurait été réduite à V ftr exemple, la quantité de travail développée par la résis- UDce, toujours égale et directement contraire à la force d'inertie devenue puissance, serait égale à

ou a la moitié de la force vive qui a été perdue ou détruite.

Ainsi la diminution de la force vive d*un corps entre deux Inslaots suppose qu'une quantité de travail égale à la moitié jie cette diminution a été développée par l'inertie de ce corps contre des obstacles ou des résistances, comme son augmentation suppose, de la part d'une puissance, une consommation de travail égale à la moitié de celte augmentation; principe ftt'on peut énoncer généralement ainsi :

la perte ou le gain de force vive éprouvé y entre deux mttants quelconques, par un corps dont le mouvement varie, nf le double de la quantité de travail développée dans cet ktervalle par l'inertie du corps ou par la force motrice égale tt directement contraire,

138. Transformfltion du travail en force vive et réciproqueleii/. — On voit clairement maintenant comment, en géné- M, l'inertie de la matière sert à transformer le travail en force ^▼e et la force vive en travail ; ou, pour nous exprimer comme INkis l'avons fait précédemment (12^), à l'occasion du mouvement vertical des corps pesants, on voit que l'inertie sert à ^mmtagasiner le travail des moteurs en le convertissant en ScHte vive, et à le restituer intégralement ensuite, lorsque Celle force vive vient à être détruite contre des résistances. - Les arts Industriels nous offrent une infinité de circoncil ces transformations successives s'opèrent par le ren des machines, des outils, etc. — L'eau renfermée dans féservoir d'un moulin représente un certain travail dispof, qui se change en force vive quand on ouvre la vanne 4b retenue; à son tour, la force vive acquise par cette eau, en vertu de sa chute du réservoir, se change en une certaine quantité de travail quand elle agit contre la roue du moulin.

l34 MÉCANIQUE IKDUSTEIELLE.

Cl celle-ci iiansmei ce travail aux meules, etc., qui confectionnent Touvrage. — L'air refoulé dans le réservoir d'un fusil 9 vent représente la valeur mécanique d*un certain travail dé- 4)cnsé par un moteur pour Vy emprisonner (96); en lâchant li détente, Tair chasse la balle et convertit une portion plus on moins grande de ce travail en force vive : si la balle est lancée directement (95) conire un ressort ou corps élastique quelconque retenu par un obstacle, ce ressort se bande, se comprime en opposant au mouvement de la balle une résistance égale et précisément contraire à son inertie, résistance qui, allant sans cesse en croissant (93}, finit bientôt parla réduire au repos, circonstance qui arrive quand le travail de la résl»> tance a atteint une valeur égale à la moitié de la force vive que possédait la balle.

Supposons que le ressort soit maintenu par un mo^en quelconque à la position qui correspond à cet instant, la force vive de la balle s'y trouvera emmagasinée ou convertie en quantité de travail disponible, de la même manière que s'il avait été bandé par une force motrice ordinaire (96); mais, si on le laisse réagir immédiatement contre la balle, celle-ci sert lancée, en sens contraire, avec une vitesse telle, que la force vive qu'elle acquerra sera le double de la quantité de travail qui a été développée, sur elle, pendant la détente du ressort (i3i).

139. Restitution et consommation de la force vive dam te choc des corps. — Si, dans l'exemple qui précède. Il était permis de supposer que la balle quittât le ressort à l'instam même où celui-ci est revenu au repos et à sa position natu* relie, et si d'ailleurs (95 et 96) ce ressort conservait toute son énergie dans la détente, la vitesse et la force vive restituées à la balle seraient précisément égales à celles que le fusil a vent lui avait d'abord imprimées dans une direction contraire. Ainsi, dans l'exemple dont il s'agit, le travail aurait étéaite^ nalivement converti en force vive et la force vive en travail sans qu'il y ait eu rien de perdu ni de gagné.

Dans la réalité (90), il est peu de corps qui jouissent d'une élasticité parfaite sous de grandes compressions, et l'hypothèse que la balle quitte le ressort à l'instant même où il i

PRINCIPES PONBAMBlilTAUX. 1 35

repris son état ordinaire est purement gratuite ; car il est, au contraire, évident, qu'en se séparant, ils auront acquis, en leur point de contact, une vitesse commune en vertu de laquelle une partie du ressort continuera à cheminer, comme h balle, jusqu'à ce que sa tension le ramène en arrière pour lui faire exécuter une série d'oscillations de plus en plus faibles (19), et dans lesquelles les forces d'attraction et de répulsion des molécules (63) joueront, par rapport à leur force d'inertie, absolument le même rôle que la réaction totale du ressort par rapport à l'inertie de la balle. Une portion plus oii noins grande de la force vive primitive de cette balle aura donc été employée, soit à détruire les forces moléculaires du ressort, soit à lui imprimer un mouvement oscillatoire propre^ Qr, cette portion étant comparable à la quantité de travail Béme développée dans la réaction du ressort, ou à la force me transmise à la balle, on voit que, dans le choc des corps élastiques animés d'une grande vitesse et ayant une grande Basse ou un grand poids, il peut se faire, dans un temps fort court, une perte de force vive ou de travail très-appréciable, H voilà pourquoi, je le répète (98), il est surtout essentiel l'éviter les chocs et secousses dans les machines de l'indusfie. Au surplus, nous reviendrons sur ce sujet dans la partie les applications^ et nous entrerons dans des développements |ui ne seraient pas ici à leur place et qui troubleraient la narche naturelle des idées.

liO. Réflexions nouvelles sur V impossibilité d'augmenter k travail mécanique. — On voit, par ce qui précède, qu'il est wssi impossible de se servir de la force de ressort que de Belle de la gravité (120 ) pour imprimer a un corps une vitesse plus grande que celle qu'il possédait primitivement, et qu'au BODtraire, cette vitesse restituée sera toujours moindre que h vitesse primitive. Or il en serait de mémo de tous les agents ■atériels qu'on pourrait employer, dans les arts, pour conittlirle travail d'une puissance en force vive, puis cette force 'vhe en travail; en un mot, la force vive acquise sera tout au Ijfm égale (136 et 137) au double du travail dépensé, ou le ilmall produil tout au plus égal à la moitié de la force vive u Vftr eonséquent, loin de gagner, on ne peut que

l36 1IÊGA!I(IQUB IXDUSTRIBLLB.

perdre en se servant de la force d'inertie des corps pour opé« rer un travail mécanique quelconque.

Il n'en est pas moins vrai de dire (138) que la force vive actuelle d'un corps représente intégralement une quantiiéde travail égale à la moitié de sa valeur numérique, ou que h force d'inertie restitue en entier, comme la pesanteur ( 102), le travail primitivement dépensé pour la mettre enjeu; car, dans le cas ci-dessus, par exemple, d'une balle qui vieni choquer un ressort retenu contre un obstacle, la perte de force vive éprouvée par cette balle a été réellement employée à vaincre certaines résistances moléculaires, à imprimer certains mouvements qui représentent une quantité de travail égale à la moiiié de sa valeur; seulement il arrive encore Ici que ces résistances, ces mouvements sont étrangers à l'effet qu'il i s'agit de produire et que Ton considère comme constiluam j seuls Teffet utile ( 10^ et suiv.}. j

lil. Examen particulier du mouvement périodique. — Nous venons de montrer, par des exemples, comment le ira* vail mécanique peut être transformé alternativement en force vive, et la force vive en travail par le moyen des ressorts ot des machines qui les emmagasinent et les restituent successivement. Ces transformations se présentent, en général, toutes les fois que le mouvement d'un corps, sollicité par une puissance motrice, est, par sa liaison avec d'autres corps, conlniot de varier à chaque instant, de manière à devenir tantôt accé- ' 1ère et tantôt retardé : genre de mouvement que nous avons déjà examiné et défmi en lui-même (M), et qui se rencontre spécialement dans les pièces des machines qui oscillent, vont et viennent entre deux positions extrêmes qu'elles ne peuvent dépasser, et pour lesquelles leur vitesse devient forcément nulle en changeant de direction. Le mouvement des scies et des rabots, celui des limes, des pistons de pompe et de la plupart des outils employés dans les arts manuels sont évidemment dans ce cas.

Or, lorsque la vitesse du corps augmente, ce qui arrive nécessairement au coniniencenient de chaque période ou alter^ nation, c'est un signe 1 136 qu'une certaine portion du travail moteur opère dans le sens du mouvement pour accroître h

force vive d'une quantité égale au double de cette portion, le surplus du travail étant absorbé par les autres résistances. Lorsque, au contraire, la vitesse du corps vient à diminuer vers la fin de chaque période, c'est un signe (137) qu'une certaine portion de la force vive précédemment acquise a été dépensée, contre les mêmes résistances, pour augmenter le travail du moteur d'une quantité égale à la moitié de celte portion ; et ainsi de suite selon le nombre des alternatives du mouvement.

Comment se comporte l'inertie dans ce mouvement. — On voit, d*après cela, que, quand la vitesse ou la force vive d'un corps oscille entre certaines limites, c'est une preuve que l'inertie absorbe et restitue successivement des portions du travail de la puissance, qui sont égales pour tous les instants où la vitesse est redevenue la même; c'est-à-dire que, dans l'intervalle de deux quelconques de ces instants, il n'y a eu rien de perdu ni de gagné, et que la puissance doit être considérée comme ayant été entièrement employée à vaincre les résistances autres que l'inertie. Mais, si, dans un intervalle de temps quelconque, la vitesse, après avoir subi également des alternatives de grandeur, ne redevient pas ce qu'elle était d'abord, la moitié de la ditîérence des forces vives qui répon* dent à la fin et au commencement de cet intervalle mesure (136 et 137) la quantité de travail qui a été réellement consommée ou restituée par l'inertie du corps. Par conséquent, si ce corps était parti du repos, le travail absorbé par l'inertie, à un instant quelconque, serait mesuré seulement par la moitié de la force acquise à cet instant.

lis. Démonstration des mêmes choses par la Géométrie. — On remarquera que tous les raisonnements qui précèdent peuvent être reproduits directement à l'aide de \afig. 34, PL l, ci-dessus et des considérations du n" 136. Car, lorsque la vitesse du corps diminue après avoir augmenté pendant un certain temps, il en est de même de Tabscissc et de l'ordunnéc de la droite Oy^, qui représentent celte vitesse: ainsi rordonnécjQT' par exemple, après s'être éloignée de l'origine jusqu'à un certain point, en balayant des aires triangulaires Oaa', Obb'f.fOJf'^ proportionnelles à la quantité de travail absorbée

l38 mtCkSlQVE INDUSTRIELLE.

par riiiertic, ou à la mohié de la force vive acquise par le corps, se rapproche ensuiie de celte même origine, en soustrayant, de la plus grande aire ou du plus grand triangle Off, des surfaces irapézoides jQTVe, ee'dd\... qui diminuent, de plus en plus, Taire de ce triangle relatif à la plus grande force vive; de sorte que, l'ordonnée étant arrivée au point 0, qui correspond à une vitesse nulle, le travail absorbé par rinertle sera également nul. Si ensuite la vitesse augmente de noo* veau, le travail consommé par Tinertie croîtra, comme dans la première période, de quantités mesurées, à chaque instant, par Faire du triangle qui correspond à la vitesse acquise à cet instant; et ainsi de suite alternativement.

Enfin, si Ton considère le mouvement entre deux instants quelconques pour lesquels la vitesse serait 66' et ee^, par exemple, il est bien clair encore que le travail absorbé oa développé par Tinertie aura pour mesure l'aire du trapèze bb'e'e formé sur ces vitesses et sur la diminution ou l'accroissemenl be qui leur correspond.

ik3. Exemples particuliers relatifs au mouvement périaiique, — Une voiture qui chemine avec une vitesse tantôt plus grande, tantôt plus petite, offre l'exemple de ce que nous f venons de dire : d'abord les chevaux dépensent une certaine quantité de travail pour la mettre en mouvement au pas ou 'au trot; puis, lorsque la vitesse de la voiture vient à ralentir \ par suite de l'augmentation des résistances ou de la diminu- i tion de l'cifort des chevaux, celte même inertie développe, | contre ces résistances, une portion du travail qu'elle a^-ait \ d'abord absorbé, et qui est égale à la moitié de la diminution ; qu'a éprouvée la force vive. Si Ton suppose que les choses continuent ainsi alternativement, et qu'à la fin la voiture soit = remise au repos, la quantité de travail restituée par l'inertie se trouvera précisément être égale à la quantité de travail même qu'elle a consommée d'abord; de sorte qu'en réalité, il n'y aura rien eu de perdu. Il est entendu d'ailleurs que les diminutions de vitesse éprouvées par la voiture ne proviennent pas du fait môme des chevaux, comme cela arrive quelquefois dans les descentes rapides où on les fait retenir^ dI do i ce qu'on aurait enrayé les roues» puisqu'^lors ces cbeVaiH' j

PRIIfGIP£S FONDAMENTAUX. iSq

u Venrajrure auraient contribué à augmenter les véritables ésistances, et à consommer la force vive, d'abord acquise» ans ulilité immédiate pour Tobjet du transport. Lorsqu'un moteur est employé à élever verticalement des irdeaux, il prend le corps au repos; de là une consommation le travail pour vaincre Tinertie de ce corps, et l'amener à un «nain état de mouvement; arrivé à la hauteur voulue, le DOteur ralentit sa propre vitesse pour remettre de nouveau e corps au repos. Dans ce ralentissement, la force vive aclaise par le corps est employée à détruire une portion de 'effet de la pesanteur sur ce même corps, ou plutôt elle sert rélever verticalement d'une certaine hauteur; c'est ce qu'on iperçoit très-bien, par exemple, dans les mouvements d'as- CDsion tant soit peu rapides; ainsi donc l'inertie a réellement endu ce qu'elle avait absorbé primitivement. l^s mêmes réflexions peuvent être appliquées encore au ivail du limeur, du scieur, etc., puisqu'à la fin de chaque M^lllation de l'outil, la vitesse devient nulle comme elle îtait au commencement.

On remarquera que, dans tous ces exemples, le mouvement X censé nattre ou s'éteindre par des degrés insensibles, est-À-dirc lentement et sans secousses, de sorte que les trtes de force vive provenant de la réaction mutuelle des irties qui communiquent. ou reçoivent ce mouvement (95 et liv.) sont réellement inappréciables. Mais il n'en serait pas nsi du cas où, la vitesse changeant brusquement à la fin et 1 commencement de chaque période, il y aurait choc entre Hps plus ou moins élastiques, ainsi qu'il arrive dans cerines dispositions vicieuses des pièces qui entrent dans la imposition des machines; et Tonne doit pas oublier qu'alors De portion notable (139) de la force vive est employée inulement à détruire la force d'agrégation des molécules, ou à sur imprimer des mouvements d'oscillation et de vibration.

1(4. Du rôle que joue l'inertie dans divers procédés des

rti. — Afin de donner une idée plus complète encore du

Ik que joue l'inertie des corps dans les travaux indus-

pÉl^et de montrer comment elle peut servira expliquer

M*^-^ÀJMeédés des arts, nous allons ajouter quel-

l4o HÊCAfllQUB INDUBTKIBLLI.

ques exemples à lous ceux qui ont été rapportés jusqu'à cette heure.

Pour faire sortir le ciseau d'une varlope, l'ouvrier Tnppc le bois sur ie derrière; en imprimant ainsi brusquement de la vitesse à ce bois, le ciseau et son coin résistent par leur inertie, ou ne cèdent qu'en partie au mouvement. — En Tnppanl brusquement sur la douve qui porte la bonde d'un tonneau, on imprime pareillement à celte douve un ntouvemenl très-rapide auquel résiste la bonde comme si elle était retenue fortement par sa tète; en conséquence, elfe est séparée de b douve, en vertu de sa seule inertie, avec un effort supérieur à eçlui qu'on pourrait obtenir par des moyens plus directs et cependant très-puissants : c'est à peu près delà même minière encore que les clous, les boulons d'assemblage, etc., sont arrachés par l'effet des chocs et des secousses. — Ou emmanche souvent un outil, par exemple un marteau, et frappant la queue du manche dans le sens de sa longueur; et manche chemine, et l'inertie de la matière, qui tend à milDtenir le marteau au repos, résiste au mouvement imprimé comme si ce marteau était réellement appuyé contre un obstacle (îxe.

Voici des exemples d'une espèce toute différente, de h manière dont l'inertie des corps sert, à changer lo travail n force vive et la force vive en travail. — La toupie, lancéei terre, tourne et chemine en vertu de la force vive qui y a élt primitivement accumulée par le déroulement accéléré de II ficelle, déroulement produit par le travail de la main qui tend celte ficelle tout en lançant la toupie. — Le diable esl un autre exemple du moyen qu'on peut employer pour accumuler, de plus en plus, la force vive dans un corps mobile autour d'un axe horizontal. — Le jouet que les enfants nomment tourniquet reçoit d'abord sa vitesse par le déroulemenl du fil enveloppé autour de son axe et tiré rapidement avec II main; en venu de l'inertie du volant placé sur cet aie, le mouvement continue et sert à enrouler le (II, en sens contraire, en le tirant avec un efTort semblable à celui qu'a d'abord exercé la main : ce moyen peut m^me Aire employé dmw grandes machines pour transformer le travail des motetiM force vive, puis la force vive en travail ordinaire. — On

PEIKCIPBS FONDAMENTAUX. l4l

sert avec avantage, dans les arts, du tour à pédale et à l'essort pour les pièces légères et de petites dimensions, parce que l'inertie exerce alors peu d'influence malgré les variations allernatives de la vitesse ; mais remploi de ce tour aurait des inconvénients fort graves pour les grosses pièces et surtout pour les pièces de métal : c'est ce qui fait qu'alors on se sert du tour à mouvement de tvlation continu, qui chemine toujours dans le même sens.

thS» Obseri'ations sur ces exemples, — Nous engageons le lecteur à méditer attentivement ces divers exemples, que nous ne faisons en quelque sorte qu'indiquer, et à en agir de même a l'égard de tous ceux que la pratique des arts pourrait offrir à ses méditations : ils serviront à lui faire bien concevoir comment l'inertie de la matière se comporte, tantôt comme une simple résistance, tantôt comme une véritable puissance, absolument de même que la pesanteur des corps et les ressorts élastiques (95 et 102).

Au surplus, nos derniers exemples concernent principalement l'inertie des pièces qui ont un mouvement de rotation, et tout ce que nous avons dit jusqu'à présent de la force vive est uniquement ( 129 et suiv.) relatif au mouvement de .transport des corps dont les diverses parties sont animées de la roême vitesse. Mais nous verrons plus lard que les principes qui précèdent sur la force vive et le travail mécanique peuvent s'étendre à tous les cas, et nous apprendrons mOmc à calculer rigoureusement la valeur de ce travail, de cette force vive, quel que soit le mouvement d'un corps on d'une machine. Pour le moment, il nous suffira de donner une série ^applications numériques relatives au mouvement du transport parallèle, afin de faire apprécier, à sa juste valeur, l'in- Ouence de l'inertie dans les travaux industriels, et de montrer 'exactitude, l'utilité des principes de la Mécanique dans les Questions variées que présente la pratique des divers arts.

Ces applications doivent être considérées, par nos lecteurs, Comme une partie essentielle de ce Cours et comme un exercice indispensable pour bien saisir le but et l'esprit des vérités fondamentales de la science. Il s'en présentera, par la suite, Un grand nombre d'autres ircs-importanies; mais, avant de les

14^ MtCANIQCE INBUSniBLLI.

exposer, il sera nécessaire d'entrer plus avant dans l'étude det lois du mouvement et de l'action des forces; car dans toute cette première Partie, nous supposons constamment les choses ramenées à cet état final de simplicité oii des forces, quoique variables à chaque instant en direction et en intensité, exe^ cent néanmoins leurs actions réciproques suivant une droite qui est unique pour ce même instant, et qui se confond avec la direction propre du chemin décrit par le point d'application où Ton suppose, en quelque sorte, ces actions et le mouvement des corps concentrés. Les principes subséquents mootreront d ailleurs comment cette supposition, jusque-là gratuite, est rigoureusement permise.

AIM'LlCATlUiNS

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f44 MÉCANIQUE INrnSTEIBLLK.

Nous avons cru ce préambule nécessaire pour éviter qu'on ne se méprenne sur rintention et Tesprit véritables de ces exercices, et qu'on n'accorde à chaque conséquence plus d'étendue que n'en comportent les hypothèses physiques mêmes sur lesquelles elle repose. Ces réflexions ne s'adressent d'ailleurs qu'aux personnes qui pourraient ignorer la différence essentielle qui existe entre les sciences d'application ou physico-mathématiques et les sciences purement rationnelles.

QUESTIONS CONCERNANT l'iNERTIE DE LA FORCE VITE.

146. Travail nécessaire pour vaincre V inertie d'une voilure, — Considérons une voiture de roulier cheminant sur une route horizontale : supposons qu'elle pèse en tout i o ooo kilogrammes et qu'elle doive être mise en mouvement, par des chevaux, avec une vitesse moyenne (49) de i mètre par seconde; h consommation de iravail pour vaincre, dans les premiers instants, son inertie indépendamment des autres résistances» sera (136)

puisque nous avons

P — loooo'^», V= I'", g=:9"*,8i environ.

Or on sait, par expérience, qu'un bon cheval de roulier, ? marchant ordinairement huit heures par jour en deux relais et ] avec la vitesse du pas ordinaire, qui est d'environ i mètre par ?g seconde, développe moyennement (81) un travail d'au moins 70 kilogrammèlres dans chacune de ces secondes. Si donc il y en avait 8 de cette force attelés à la voiture, ils donneraient au moins 56o kilogrammètres dans le même temps; de sorte que le travail que devraient dépenser les chevaux, pour mettre cette voiture en mouvement dans les premiers instants, ne I serait pas même égal à celui qu'ils peuvent développer, d'une manière soutenue et par seconde, quand la voiture chemine régulièrement; d'où Ton voit le peu d'influence exercée alors par l'inertie propre d'une aussi grande masse.

■ià

APPLICATIONS, ETC. l45

Si la voilure devait aller avec la vitesse du trot, qui est de

i mètres environ par seconde, alors le travail absorbé par

inertie serait

5io X 2 X 2 =r '2o4o^»'",

c'esl-à-dire quadruple; si elle devait aller au galop ordinaire de 4 mètres par seconde, la consommation de travail serait

5iox4x4 = 8i6o^«'",

ç'esl-à-dire i6 fois celle qui répond à la vitesse de i mètre.

On voit, par là, que le travail nécessaire pour vaincre l'inertie dans les premiers instants augmente très-rapidement avec la vitesse imprimée à la voiture; ce qui tient à ce que la force Tive croit elle-même comme le carré de cette vitesse.

H7. Idée du temps nécessaire pour imprimer le mouvement àla voiture. — Il est essentiel de remarquer qu*on ne peut rien inférer de ce qui précède relativement à la durée du temps qu'emploient les chevaux pour mettre elTectivement la voiture en mouvement à compter du repos. Car, d'un coté, nous avons £ût abstraction de la résistance du terrain et des divers frottements, et, de l'autre, il peut bien arriver que la voiture acquière, au bout de la première seconde et sous l'effort réuni des 8 chevaux, une vitesse qui soit plus petite ou plus grande, par exemple, que celle de i mètre considérée dans le premier des cas ci-dessus : cela dépend principalement de l'intensité absolue de cet effort (129 et suivants) dans chaque instant infiniment petit.

Pour mettre la chose dans tout son jour, nous supposerons que l'effort exercé par les 8 chevaux agissant à la fois, soit Seulement de 56o kilogrammes, c'est-à-dire égal à celui qui t^pond à l'allure du pas ordinaire, et qu'au lieu de varier, comme cela arrive effectivement au moment du départ, il demeure constamment le même; on trouvera facilement la valeur de la vitesse qui serait transmise, par cet effort, au bout delà première seconde de temps écoulé, au moyen de la formule F =: MV, du n* 132, qui s'applique au cas actuel, puisque V est aussi la vitesse imprimée, à la fin de l'unité de temps et

wr une force F qui resterait constante, à une masse M = -

l46 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

représentée ici parla masse même de la voilure. Or nous avons, par hvpoihcse,

F — 56o*S M = ^Tô— = ï 020 environ;

donc la vitesse cherchée