DES C0IP

153. Considérations générales. — Quand deux corps, eij mouvement, réagissent l'un sur l'autre par leurs vitesses quises, ou se choquent, ils présentent en général plusiei circonstances qui permettent de partager en trois époqui distinctes la durée entière du phénomène : dans la premièi les corps se compriment, se refoulent, ou bien se tirent mi tuellement s'ils sont liés entre eu\ par des traits, des bai non tendues avant le choc; dans la deuxième, leur déformatic est devenue la plus grande possible, et ils ont nécessairerot acquis la même vitesse aux points où s'opère la réaction proque; dans la troisième enGn, les corps reviennent vers h forme primitive, et tendent, de plus en plus, à se séparer vertu de Ténergie plus ou moins grande de leurs forces ressort.

Comme les phénomènes du choc des corps se reproduiseiiW| d^une manière analogue, dans tous les cas possibles, not nous bornerons a étudier, avec quelques détails, l'un des pli simples d'enire eux, et qui se j^rèsente le plus fréquemnu dans les appliraiicns d»? la Mécanique â l'industrie : c'est celi où un iorps libro, en repus, esi choqué fiar un autre cor|i^ di^jà on niC'U\env/i.i; il sera irc'S-facile ensuite d'étendre lei» Mi>onnomei:i> ii vi'S c:'S j'ius ojnjpliquês ou présentant det circonsinnoos iliiî rcijHs. I»j reste, afin de simplifier l'état de

APPLICATIONS, ETC. l55

question, nous supposerons, conformomcni aux idées orinairesy que la constitution des corps soit telle, que !\iciion l le mouvement s'y propagent, pour ainsi dire, instantané- \ent d'une extrémité à l'autre, ou assez rapidement pour lu'on puisse considérer leurs diverses ])arlies comme animées «nsiblement de la même« vitesse à chaque instant du choc. Quoique cetic supposition ne soit pas en elle-même rigou- 'euse(63 et suivants), elle conduit cependant à des conséluences exactes toutes les fois que les molécules d'un même !orps ont repris une vitesse commune ou des distances invamhltss, à l'instant du choc que l'on considère; car alors les forces ont produit tout leur efîel, et le mouvement a été communiqué à toutes les parties.

154. Principe relatif au choc dit^ct des corps. — Il ne peut être ici question encore que du choc direct des corps, c'esti-dire de celui où deux corps (A) ci (\') {Pi. H^fif^^ 35) réagissent continuellement l'un sur l'autre, dans la direction propre leurs mouvements, de telle sorte que la perpendiculaire ou oormale AA', qui est commune à leur surface au point de contact T où se fait le choc, soit précisément la direction de h vitesse de chaque corps, et cela pour tous les instants de ce choc. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, dans le cas où feux boules sphériques homogènes marcheraient parallèle- ^ntà elles-mêmes avant le choc, et de façon que leurs cen- ^sA, A' demeurassent continuellent sur une ligne droite LN. Or on peut établir, pour ce cas, un principe général qui dei»eure applicable, quels que soient et Tintensité et le sens du Mouvement de chacun des corps aux divers instants du choc; 'sufOty pour cela, de se rappeler ce qui a été dit au n® 131.

En effet, il naîtra (03 et suivants) de la réaction mutuelle es deux corps, une force de pression mesurable, à chaque islant» par un certain nombre de kilogrammes, et qui agira, ins le sens de la droite A A', pour repousser le corps (A) de vers L, et une autre force de pression égale et précisément inlraire (64), qui agira pour repousser le corps (A') de T îrs N. Nommant donc F la valeur commune de ces forces à 1 instant quelconque du choc, v le petit degré de vitesse »rdu ou gagné, au même instant, par le corps (A), v' celui

l56 MtCânQCE DWCfTUEIXC.

qoe perd ou §afne le corps ■ A ;, enGo P cl M, F el M' représeDiant respect iTerneot les poids el les masses des deui corps \} et ; A'^, on aura, d'après le principe du n* 131,

c'esl'à-dîre que ie$ quantités de mouvement^ perdues ou gagnées par les deux corps , seront égaler entre elles pour chaque instant injini ment petit du choc; et la même égalité aura liea aussi entre les quantités de mouvement totales imprimées, i chaque corps, entre deu\ instants quelconques de leur réaction mutuelle, c'est-à-dire entre les quantités de mouvemeDi totales, soit perdues, soit gagnées |iar chacun de ces corps.

155. Du choc des corps pendant la compression, — Nous supposerons ici que le corps [A'} était au reposa rinslanloù l'autre (A) est venu le rencontrer avec une vitesse finie el précédemment acquise, que nous nommerons V; ces corps se comprimeront donc réciproquement en vertu de Tinertie de [K') qui tend à s'opposer au mouvement de (A), el, dès lors, la force de pression variable F agira pour diminuer,! chaque instant, la quantité de mouvement MV du premier corps, de quantités qui seront égales à celle qu'elle fera natlre dans l'autre. Les choses continuant ainsi tant que (A) conseN vera en quelqu'une de ses parties, et de L vers N, une vitesse supérieure à lA' , on voit bien qu'il arrivera une certaine époque où, la compression, la déformation des corps étant à son maximum, el le mouvement se trouvant communiqué également à toutes les parties, ces corps auront acquis b même vitesse et marcheront, en quelque sorte, de compagnie^ du moins pendant un très-petil instant.

156. Vitesse des corps au moment de leur plus grande compression. — Nommons U la vitesse commune dont il s'agit, b quantité de mouvement gagnée ou acquise par (A') sera, au même instant, M'U, et celle qui a été perdue par (A) sera. MV — MU, laquelle, d'après ce qui précède, devra être égale à la première M'U. La quantité de niouvemeni totale MV, primitivement possédée par le système des corps, selrouvani donc être augmentée, d'une part, el diminuée, de Jaulre, de

uaniilés égales, celle MU h- M'U = (M -f- M')U, qui leur »sie à rinstant dont il s'agit, sera aussi égale à cette quantité e mouvement primitive MV; de sorte qu'on aura

(M-hM')U = MV;

•où

MV

M-hM'

Ainsi, sans connaître la manière dont les corps se comprisent et dont varie l'intensité de F à chaque instant du choc, >n n'en peut pas moins calculer exactement la vitesse qui a leu au moment de la plus grande compression où la distance tet molécules cesse de changer, et où elles ont acquis un nowement commun (153) : cette vitesse est égale à la quanlié de mouvement possédée par ( A ) avant le choCy divisée par 0 iomme des masses des deux corps.

157. Du choc pendant le retour des corps vers leur forme fimitive. — La plupart des corps tendant à revenir ( 19 et 95), ^c une énergie plus ou moins grande, vers leur forme priitive, quand ils ont été comprimés à un certain degré, on il que les ressorts moléculaires vont, en se débandant, forr ( Â ) et ( A' ) à réagir de nouveau l'un sur l'autre, mais pour carter mutuellement, ce qui tend nécessairement à augînter le mouvement déjà acquis de (A'), et à diminuer, au ntraire, de plus en plus, celui de (A); et, comme l'action t toujours égale à la réaction, il est clair, d'après ce qui pré* de (15J^), que les quantités de mouvement gagnées par (A') ront sans cesse égales à celles qui sont perdues par (A ). Les loses continuant ainsi tant que la force de réaction F n'est is nulle, on voit bien qu'il pourra arriver un instant où la uantité de mouvement MV, primitivement possédée par (A), 3it entièrement détruite, après quoi la force F, qui continue

repousser ce corps, lui imprimera, en sens contraire, un louvement de plus en plus rapide, et qui ne cessera d'augmnier que quand la pression F sera nulle; ce qui arrivera técessaircment à l'inStant où les deux corps se sépareront, ^'un de l'autre, en vertu de leurs vitesses respectivement ^cquises.

l58 aftCANIQUE INDUSTRIELLI.

158. Du mouvement des corpt après le choc, — Il est cbir, d'après ce qui précède, que ce mouvement ne peut, en gé« néral, se calculer, puisque nous ne connaissons pas non plus, en généra], la loi que suivent les forces de compression F pendant la réaction des corps. Cependant le calcul est possible dans deux circonstances principales qui servent comme de limites à toutes les autres, et qui répondent, l'une, au cas où les corps seraient entièrement privés d'élasticité, l'autre, au cas où, au contraire, ils seraient parfaitement élastiques.

Premier cas. — Des corps non élastiques. — Nous avons vu (17) qu'il n'existe réellement pas de corps qui soient entièrement privés d'élasticité, ou qui ne tendent, jusqua on certain point, à retourner vers leur forhie primitive» quand 3s ont été comprimés. Toutefois on doit remarquer que, non> seulement les corps mous, les liquides, etc.> sont extrêmement peu élastiques quand ils ne sont pas maintenus, dan tous les sens, par des enveloppes solides; mais qu'aussi h plupart des corps, qu'on regarde comme plus ou moins élastiques, peuvent perdre entièrement (20) cette élasticité par. suite de la grande compression, de la grande déformation qu'ils éprouvent pendant le choc; or, pourvu qu'ils ne se divisent, ne se rompent, ou ne se séparent pas à l'instant de la plus grande compression, ils continueront à cheminer ensemble^ en vertu do leur vitesse acquise, sans réagir désormais l'uc^ sur l'autre; de sorte que cette vitesse sera donnée par la for^ mule ci-dessus (156), toutes les fois que l'un des corps trouvera au repos à l'instant où le choc arrive.

Deuxième cas. — Des corps parfaitement élastiques, — To\^*^ les fois que les corps auront suffisamment de ressort po^t^ venir exactement à leur forme primitive, après l'instant. ^ plus grande compression, la force de réaction F repr^ par hypothèse, dans le débandement des corps, les ^^^ ^^ valeurs (95) pour les mêmes positions relatives de c^^ ^® il est clair que les vitesses imprimées ou détruites s^|^ ^T^ cisémeni égales à celles qui Tont été pendant la cor^^w^ ^^ P'^ si, comme on le suppose ordinairement, les corps ^^ ^ssion, à l'instant même où ils sont revenus à leur étal t^^^ ^^parenl

■Vkiitr

APPLICATIONS, ETC. l5ç)

qui n'arrive pas toujours. Or de là résulte un moyon de caU culer, à l'avance, la vitesse des deux corps après le choc. • Pour le cas qui nous occupe, par exemple, la viiessc perdue par le corps (A), à rinslant de la plus grande compression, élanl (156) V— U, il perdra do nouveau (157), dans le débandément, une vilesse égale à V — U, et par conséquent la vitesse qu'il conservera, après le choc, sera U--(V^U), ou alJ— V, si V— U est moindre que U, ce qui indique que (A) continue à marcher dans le même sens après le choc, ou (V— U)— U = V — aU, si V — U surpasse U, ce qui indique que ( .\ ) retourne en arrière après le choc. Quant au corps (A'), la force F lui a d'abord communiqué (156) la vitesse U; elle lui imprimera donc, après l'instant de la plus grande compression, un nouveau degré de vitesse égal à U, c'est-à-dire que sa vitesse, après le choc, sera 2U. Mais nous savons calculer (fô6) la vitesse U; donc nous saurons aussi calculer celle des corps parfaitement élastiques au moment 011 ils se séparent après le choc.

Nommant W et W respectivement, ces vitesses des corps (A) el (A'), on aura, selon les cas spéciOés,

W = 2U-V, ^'=^ï^^'* jj^ MV

159. Remarques relatives à l'application des formules, — U est une infinité de circonstances où les corps marchent forcément de compagnie^ avec la même vitesse, après le choc, sans que, pour cela, ces corps aient été entièrement prives d'élasticité avant le choc, ou qu'ils la perdent complètement par l'efTet de ce choc : c'est ce qui arrive, par exemple, quand une balle d'argile ou de cire molle, lancée contre un corps résistant et élastique, demeure collée après ce corps, ou quand une balle dure et élastique, lancée contre un bloc de bois suspendu librement au bout d'une corde ou d'une barre, demeure enfoncée dans l'intérieur de ce bloc. Or il est bon de remarquer que les conséquences qui précèdent, relatives au cas des corps totalement privés d'élasticité, demeurent alors exactement applicables, parce qu'elles ne supposent uniquement que l'égalité de la vitesse U conservée, par ces

l6o MÉC4NIQUE INDUSTRIELLE.

corps, à la On du choc. Quelle que soit en efTcl la cause ou la force qui oblige ces corps à demeurer réunis, comme celle force ne peut agir sur Tun d'eux, sans qu'une force égale ei directement contraire agisse au même point et en même temps sur Vautre (64^), on conçoit que, pendant toute la durée du choc, les quantités de mouvement perdues ou acquises par chaque corps seront les mêmes pour tous deux; de sorte que finalement (A') aura encore gagné précisément ce que (A) aura perdu (156).

Quant au cas où les corps se séparent après le choc, on ne peut jamais affirmer que les choses se passent comme le supposent les calculs ci-dessus, même pour des corps qui seraient parfaitement élastiques et qui reprendraient exactement leur forme primitive: car cela suppose encore que leurs molécules n'aient point conservé de vitesses relatives à l'instant de la séparation, ou ce qu'on nomme des mouvements vibratofres{i% lesquels absorbent toujours une certaine portion du mouvement primitif; en outre, il peut bien arriver, par exemple» que, pendant le débandement des ressorts, les corps soient retenus momentanément, l'un contre l'autre, par leur adhérence réciproque ou par tout autre obstacle qui empêcherait que les quaniiiés de mouvement, imprimées alors, soient aussi grandes que celles qui l'ont été en premier lieu. EnGn 7 il peut aussi arriver que les corps aient subi, dans leur inlcrieur, des allcralions moléculaires plus ou moins grandes, sans qu'aucune trace s'en manifeste quant à la forme extérieure, etc.

Ces considérations, jointes à ce qu'il n'existe, en réalité ( 17 et suivants), qu'un ircs-peiil nombre de corps qu'on puisse j regarder comme parfaitement élastiques, expliquent pourquoi généralement les valeurs de la vitesse, à la fin du choc des corps solides, diffèrent toujours plus ou moins de celles que donnent les calculs, et se rapprochent plus ou moins de celles (jui sont relatives au cas où les corps sont entièrement privés dVlasliciié. Cependant il est des corps élastiques, tels que les billes de verre, d'ivoire, etc., qui, dans certaines circonstances 1 de leurs ciiocs, présentent des phénomènes et acquièrent des vitesses qui s'acoordcMit, à peu de chose près, avec ce qu in- 'ique le calcul.

APPLICATIONS, ETC. l6l

160. Exemples particuliers.— Faisons maintenanl coniiatiro uelques-unes des conséquences de nos formules. Supposons, «rexemple, que la masse M'du corps cho(|ué(A')(P/. U,Jig. 35) oit très-petite par rapport à celle M du corps choquant (V);

MV

1 valeur de U sera sensiblement égale à -ri- on V, c'est-à-<lirr

ue la vitesse de M sera très-peu altérée à l*instant de la plus rande compression; et comme, dans le cas des corps parliiement élastiques ( 158), on a .

Q voit qu'à la fin du choc, elle ne le sera pas davantage, mais 06 le petit corps s'éloignera de l'autre avec une vitesse i^'=2V double de celle de (A). Supposons, au contraire, ue la masse M du corps choquant soit très-petite par rapport celle M' du corps choqué; on voit que le dénominateur [ -I- M' de U sera aussi irès-grand par rapport au facteur M de )ii numérateur, et que par conséquent la vitesse U, à l'instant e la plus grande compression, sera également une très-petite action de la vitesse V que possédait le corps choquant; de arte que, si M' est, pour ainsi dire, infiniment grand, par ipport à M, la vitesse U pourra être considérée comme sen ibiement nulle. Si donc les deux corps étaient doués d'uni? licite parfaite, la vitesse W, acquise par le corps choqué, •erait elle-même infiniment petite, tandis que celle W^:: V— 2 U lu corps choquant serait V, c'est-à-dire précisément égale et miuaire à celle qu'il possédait avant le choc. Ceci explique, entre autres, pourquoi les cordonniers plami, sur leurs genoux, une forte pierre pour recevoir les CQps du marteau dont ils frappent les sefnelles de souliers, comment il est possible de forger du fer sur une forte enime posée sur le corps d'un homme ou sur le plancher lîble d'uD rUge supérieur, sans blesser cet homme^ sans iofnma^er sensiblement ce plancher et les murailles de la ison. On Toit* en effet, que la vitesse communiquée à la rre ou à I>Drlume, et par suite aux corps qui les suppor- U e<^t e\tnf«nemeut laible comparativement à celle que po^v* ? le fzurteao: de sorte que la Oexîbîlité, rébsticité natu-

l67. ^ MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

relie de ces corps suffit pour amortir les effets du coup, sans qu'il survienne d'accidents.

On s'expliquera aussi facilement une infinité de phénomènr^s, relatifs aux corps élastiques ou non élastiques, qui se passent journellemenl sous nos yeux : il n'est personne, par exemple, qui n'ait observé que, quand une bille de billard vient à en choquer une autre directement , c'est-à-dire de la manière dont nous l'avons entendu précédemment (15i). il arrive qu'elle s'arrête loul à .coup dans la place même qu'occupait cette autre, tandis que celle-ci chemine avec toute la vitesse de la première; or, c'est ce que montrent très-bien nos formules. Les masses M et M' de deux corps sont ici égales, rélaslicilé est, pour ainsi dire, parfaite; de sorte que la vitesse U, commune aux deux corps à l'instant de la plus grande compression, a pour valeur

ce qui donne, pour celle de M après le choc, et enfin, pour celle de la bille choquée,

161. De la force vive des corps après le choc, — D'après o' que nous avons déjà dit (95 et 139), on peut prévoir que. dans le choc des corps parfaitement élasti(|ues, la force vivo perdue pendant la compression doit être précisément égale a ctîlle qui est restituée dans le débandement, tandis que, dans le choc des cor|)s qui ne reviennent pas exactement à leur état primitif après l'instant de la plus grande compression, 1« somme des forces vives doit être altérée d'une quantité précisément égale au double de la quantité de travail nécessaire pour produire l'altération de forme ou de constitution éprouvée par les deux corps; quantité qu'on pourrait direciemeoi calculer (136 et 137) si l'on connaissait, pour chaque instant du choc et pour chaque corps, la valeur moyenne de la force de réaction F et celle du petit enfoncement qu'elle produit

APPLICATIONS, ETC. l63

e cocps. Il est évidenl, en effet, que le travail, relatif à stant, serait mesuré (72, 85 et 86) par le produit de F el >omme des enfoncements qui lui correspondent dans les corps. Mais, comme on ne connaît ni la loi que suit cette

ni celle de l'enfoncement, on n'a d'autre moyen de me-

soit le travail, soit la force vive développés ou perdus le choc des corps, qu'en les déduisant directement des es que possèdent ces corps avant et après l'insiant du

vitesses qu'on ne peut calculer rigoureusement d'ail- (159) que dans un petit nombre de cas.

exemple, ayant appris, dans les cas ci-dessus (156), où rps en choque un autre au repos, à calculer la vitesse U, ?up est commune à l'instant de la plus grande ^ompresnous pourrons aussi trouver la force vive qu'ils possèdent instant, et la perte de force vive due à la réaction de leurs pts moléculaires. En effet, la force vive totale ( 122 et 126 )

avant le choc, MV, el, à l'instant que l'on considère,