M-4-M^)MV

M-+-M' ique

M-f-M' M-f-lVr' lonc enfin la perle de force vive est égale à

l64 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

c'esl-à-dire à la force vive que possédait la masse M avant k choc, imiltipliée par le quotient de la masse M' et de la somme de ces masses.

La moitié de celle valeur sera donc aussi (137) la mesure du travail développé, par la force de réaction F, pour opérer la compression des deux corps.

Si le choc Onit à Tinslant de la plus grande compression, ce qui revient à supposer que l'élasticité de ces corps soit nulle ou ait été complètement détruite» ou, plus généralement, s 11$ ont acquis forcément la même vitesse après le choc (159), It quantité ci-dessus donnera encore la perte de force vive occasionnée par le changement d*élat ou de forme des deui corps.

Mais, si le choc continue après Tinstant dont il s*agit, eique les corps fînissent par se séparer, une portion de cette même force vive sera restituée dans le débandement des ressorts moléculaires; mais elle ne pourra Têtre intégralement qu'autant que les deux corps seraient revenus complètement à leur état primitif (158 et suivants). C'est, en effet, ce qu'on trouve par des opérations analogues à celles ci-dessus, appliquées au\ valeurs des vitesses qui, selon le n» 158, ont lieu alors après le choc.

0^2, Conséquences particulières. — Supposons que la masscM' d u corjjs choq ué ( A' ) {PI. Il, Jif;. 35 ), et qui est au repos a vanl le rhor, soit très-petite par rapporta celle» M du corps choquant(A> M' s(»ra aussi très- petit par rapport à M-f-M'; et par con-

sénuent la perte de force vive ^ -rr, M V', relative au casoii

ces corps ne sont pas élastiques, se réduira à une très-petite

Iraclion de celle M V' (ju'ils possédaient avant le choc. On peuU

dans clés circonstances semblables, négliger une telle perle

dans le calcul des résistances d'une machine, pourvu queic

choc ne soit pas fréquenmient ré|)été (97); mais il en est tout

autrement quand la masse M' du corps en repos est très-grande

par rapport à celle M du corps choquant; car la fraction

M' z-z j-p pourra approcher beaucoup de l'unité, et par conséquent la perte de force vive dilférer très-peu de la force vive M\*

APPLICATIONS, ETC. l()5

possédée par ce dernier corps avaiil le rhor. Supposant seulement M' = M, la valeur de Velte fraction sera i-, et la perte s'élèvera déjà à la moitié de M V^ On voit donc conihiiMi il est essentiel d'éviter, dans la construction des machines, tpruri corps vienne inutilement cliO(|uer un autre corps en repos, dont le poids est comparable au sien |)ropre.

Nous disons inutUement , parce qu'en elTet il est (luelquefois utile d'opérer par Ut choc sur la matière à confectionner; c'est ainsi, par exemple, que procèdent les for{;eroiis pour donner différentes formes aux métaux, et (|ue les cordoimiers parviennent à étendre les semelles de cuir et à auf^^'menter leur densitc, leur raideur ou leur force de ressort; mais alors même un ouvrier qui a l'expérience de son art, ne manque jt^mais d'employer des marteaux, des enclumes bien aciérés et Irempés, ou tout autre corps plus ou moins élastique, conftumémenià la remarque qui en a déjà été faite au n° 98; de ^orte que la consommation de force vive (jui a lieu alors ( l.VJ) esl, du moins en très-grande partie, employée à produire le rhanl^ement de forme même de la matière à confectionner.

Cesl encore ici le lieu de rappeler (97) qu'il ne suflit pas Mue les corps soient élastiques pour qu'on puisse aflii mer (ju'il ■lyait pas eu consommation inutih^ de travail; car il faut encore que la force vive, qui est restituée par les ressorts moléculaires après le choc, soit ulilement employée. C'est bien ce ^ui arrive, par exemple, à l'égard du marteau des forgerons, puisque Télaslicité, en renvoyant le coup, sert à élever ce mar- Iwu contre l'action de la pesanteur, et aidt» la main de l'ou- ^fier habile qui sait en profiter; mais le conlrain» peut aussi arriver, si, par exemple, l'enclume est assise sur un terrain ™ou: la force vive qu'acquiert celte enclume est alors, en Partie, consommée à [produire l'enfoncement du sol; aussi les Maîtres de forge entendus ont-ils soin de placer de gros blocs ''eboîs ou des charpentes très-élastiques sous leurs enclumes. "n'esl pas moins indispensable aux ouvriers de tous les au- ^s états, de choisir, pour leurs chantiers el établis, des corps ' la fois raides et élastiques; il faut en outre ({u'ils soient sufbamment lourds et stables; car alors ne |)i'enant qu'un mouement insensible (100), et n'ac(|uérant qu'une force vive trèslibie» ils auront très-peu d'action pour déformer ou comprimer

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le sol; de sorte que, quelle que soil sa constitulîon, les pertes (le travail seront tout à fait négligeables.

163. Formules relatives au cas le plus général du choc dirtci, — Jusqu'ici nous nous sommes uniquement occupés du cas où l'un des deux corps est en repos; mais il n'est pas inutile de montrer comment on peut étendre immédiatement les raisonnements à celui où les corps seraient animés de viiesses quelconques avant le choc.

A cet effet, nommant M, M' les masses, V, V les vitesses respectives des deux corps, avant le choc, et U leur vitesse conimune à l'instant de la plus grande compression, on observera que, quand les corps cheminent dans le même sens [PLII.Ji^. 36), la force de réaction F (loV), diminuant la quantité de mouvement MV' du corps ( A ) de quantités égales à celles (|u'elle ajoute à la quantité de mouvement M'V de (A'), I» sonnnc MV-+-M'V' des (|uantités de mouvement primitives reste encore la même à toutes les époques du choc. On a donc, à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps,

MU-hM'LÎ ou (M-f-M')U = MV-f-M'V'; d'où

tandis que, dans le cas où les deux corps (A) et (A') vontàl»» rencontre l'un de l'autre [PI, lï^Jig, '^7) animés des qiioiiliti*^ de mouvement MV, M'Y', la force de réaction diminuant chacune d'elles de la même valeur (15i), leur différence absolnf MV— M'V ou M'V — MV demeure aussi la même à tous les instants; de sorte qu'en supposant que MV surpasse M'V, ^" aura, à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps,

MU -+- M' L ou ( M + M' ) L = MV - M' V ; d'où

MV-M y

la vitesse U étant nécessairement dirigée dans le sens de celle V, qui répond à la plus grande des dcîux quantités de mouve ment primitives, MV et M'V.

Quant aux forces vives, possédées ou perdues au momeni

delà plus grande compression, c'esl-à-dire lorsque les corps

ooi acquis le même mouvemcnl, on les calculerait aisément

la moyen de la vitesse U ; mais on peut arriver immédiatement

i la valeur de la perte commune à la fois à ces corps et qu'il

est souvent essentiel de connaître, en observant que, dans les

deux cas dont il s*agit, leur réaction réciproque s'opère uni-

}uement en vertu des vitesses relatives {k6 et 85) dont ils sont

njmés avant le choc ; de sorte que les valeurs de F et les chan-

«ments d'état ou de forme correspondantes sont, à chaque

nslant, les mêmes que si, le corps (A'), par exemple, étant

y repos, le corps (A) venait le choquer avec une vitesse

'— V égale à la différence de leurs vitesses pour le premier

is» et avec une vitesse V-f-V égale à la somme des mêmes

[fesses pour celui où les corps marchent en sens contraire.

La perte de force vive, qui dépend uniquement (85 et 139)

i l'intensité de la réaction des deux corps à chaque instant

j choc, sera donc (161), au moment de la plus grande com-

'ession, pour le cas où les corps marchent dans le même sens,