V-iq Doo'^S M r^-- —V =^ 3o

.donc

Mais, puisque la force constante est capable d'imprimer la vitesse de 637", 67 au bout de 1 seconde, il est évident ( 110) qu'çlte mettra, à imprimer ou détruire la vitesse de r>"',o5, un temps t qu'on obtiendra au mo^en de la proportion

637", 67 ; i":: 5"*,o5: t; d'où

t-- .^* ^ -: o",oo8 r^ YTj ^^^* sccoude u peu |irès. 007,07

Les mêmes résultats s'obtiendraient immédiatement d'ailleurs au moyen de la formule F = M - du n" 130, en ob^er-

^nt qu'ici les raisonnements sont applirables à une vitesse ^1 à un temps quelconques; car elle doime pour le temps/ qui répond à la vitesse de 5'",o5,

Mx5,o5 3o,')8x5,o5 „ ^

r II) ^00

comme ci-dessus.

168. Cette durée est d* autant moindrtf que /#? corps clioqm* ^plutmide. — Nous venons de trouver (jue, dans Th^pothèse ^'nne résistance constante, le lemps nécessaire pour (iroduire 'enfoncement des 2 centimètres est de 8 millièmes de seconde aviron. Si la substance qui reçoit le choc était assez résistante, ''sez dure pour que l'enfoncement fût seulement de 1 milli-

174 atCAlliQDI ITOOtmiUl.

mètre, dans les mêmes clrconstJhces, on troùveralltM mençant les calculs qui précèdeni, que le p<rids R du

qui produirait cet enfoncement serait de -^^-- = SgoSooN, et;

que la force motrice F, qui agit pendant le choc^ aurait valeur moyenne ces mêmes 3go3oo kilogrammes dlml de 3oo kilogrammes ou Sgoooo kilognunmes, qu'énOn la de renfoncement serait seulement de o'yOooSg, on ei ao fois moindre que dans le preAiier cas; ce qui di combien doit être excessivement courte la durée du choc corps raides, tels que le marbre, racler, l'ivoire, dont les pressions sont quelquefois si faibles, qull est impossible les apprécier par des moyens directs. '

A la vérité, nous avons supposé, pour paiSrenir k ces tats, que la résistance des corps à l'enfoncement était coi mais la même conséquence peut se déduire de nos princ quelle que soit la loi de la résistance ; car la force vive déîi par exemple, pendant la première période ( 1 56 et 161 ) du de deux corps quelconques, ou pendant leur compi étant généralement très-comparible k celle qu'Us avant le choc, il en sera de même (136) du travail déveli par leur force de réaction réciproque F. L'enfoncement donc extrêmement petit, il faut nécessairement (95) que courbe du travail Oo'frV,. . . (PI. I^Jig. 06), s'éloigne dérablement de Taxe OB des abscisses, du moins à com| d'une petite distance de l'origine; de sorte que les ordoni qui mesurent les valeura de la force de réaction F, dei aussi être extrêmement grandes. Or de là on conclut, sans

Acuité, soit par la formule ' = ~|r déjà citée, soit par la

structîon de la courbe des vitesses ( 134, PI. tffig- 3a}, quel temps nécessaire pour produire l'enfoncement- ou la pression doit être, de son côté, d'autant plus petit que les ta* leurs de F sont elles-mêmes plus considérables et l'enfMh cernent total moindre. Mais, attendu que l'aire comprise entii cette dernière courbe et Taxe des abscisses mesure effective ment les espaces décrits ou les enfoncements, il n'est pas mèiM nécessaire de recourir à la courbe des pressions {PL I^fig*^ pour voir que, si l'enfoncement total est extrêmement petit

indis que la vitesse conserve une grandeur donnée, lu durée u mouvement doit elle-même être extrêmement courte.

169. Obsen niions gémira 1rs sur la communication tlii niott- 'entent par le choc, — C*(*st [\ cause «le l'excessive petitesse le la durée du choc des corps irès-résislanis, «[ue les mécaliciens se sont crus autorisés à regarder généra l(»ment conmie ^nlièrement nulle cette durée, et que, par suite, ils ont été conduits à supposer infinies les forces de n'*action qui se développent pendant la compression réci|)roquc des cor|)S. jMais nous voyons bien clairement maintenant que, puisqu*il n'existe pas de eorps infiniment durs, on ne peut pas dire, non plus. en termes absolus, qu'il v ait changement brus(]ue ou instantané de leur vitesse; la communication du mouvement par le choc ne diffère, ^n elFet, de celle qui a eu lieu par les forces motrices ordinaires, telles que la pesanteur, etc., que parce que généralement celte communication s'opère dans un temps réellement très-court, et que la force de réaction acquieri ainsi une très-grande valeur. Encore <levons-nous remarquer qu'il arrive souvent que des corps réagissent fun sur l'autre, par leurs vitesses acquises, sans que la pression soit excessive, sans que la durée de la réaction soit très-courte; et cjue réciproquement des forces motrices, qu'on ne peut se refuser de regarder comme des pressions ordinaires, telles (|ue celles nui résultent, par exemple, du ressort des gaz de la poudre, etc., ^communiquent cependant aux corps une vitesse très-grande» ^ns un très-petit temps, attendu la grande intensité de leur action. La distinction qu'on voudrait établir entre d<»s phéiio- 'Qènes qui ont autant de connexion entre eux, ne pourrait ^Onc servir qu'à complicjutr l'étude de la Mécani<iue, en y in- ^''oduisant, sans utilité immédiate, un ordre de considérations 9uî n'y est point indispensable.

170« Utilité du choc dans les arts; battage des pilots de fondation^ — Maintenant on doit bien concevoir comment il est possible de comparer les eiîels des chocs, sur les corps, à celui des pressions ordinaires qui produisent des mouvements 3lus ou moins lents; on con^'oil très-bien aussi que, le choc iroduisanty dans un temps extrêmement court, un travail ou

un eiîet comparable à celui que produisent, dans un temf» généralement beaucoup plus long, les pressions ordinaires, il y ait souvent avantage, nécessité même d'employer ce mode d*action dans les arts, malgré les inconvénients qui y sont attaches (1G2). Car, toutes les fois que la pression ou l'effort direct dont on pourra disposer pour produire un travail mécanique sera au-dessous de la résistance à vaincre, il faudn recourir au choc qui développe des pressions considérables et toujours en rapport avec la force de réaction.

On s'expliquera encore aisément le but qu'on se propose en plaçant, sous les fondations des édifices très-lourds, tels que les piles de ponts, les palais, les remparts, etc., de forts pieux ou pilots affûtés vers le bas et enfoncés, sous le sol, a coups de mouton. Le poids dont est. chargé verticalemenl chaque tète de pilot par les constructions établies direciemeot * au-dessus représente celui R du prisme dont il a été questioi ; au n"" 166, et le mouton remplace également le cube; seuie^ : ment ici ce n'est pas renfoncement même de la tête du piloi qu'il s'agit de produire, mais bien celui de sa pointe inférieure^ dans le sol; c'est pourquoi l'on cherche à éviter le premier: enfoncement, qui consommerait, en pure perte, une partie notable de la force vive du mouton; à cet effet, on consolide la tète du pilot par une forte frette, quand la violence du cboe pourrait la déformer rapidement; et, comme il ne s'agit pu davantage d'en briser la pointe, on a l'attention de la durcirai feu ou de la coiffer d'un sabot enfer. Enfin on dresse, oniN rondit, le mieux possible, les côtés du pilot pour diminuer les résistances qui s'opposent à son enfoncement; de celte façon, la plus grande portion de la force vive du mouton esli transmise à rcxtrémité inférieure (fu pilot, et sert immédiatement à l'enfoncer dans le sol jusqu'à ce que, arrivée sur le roc, le tuf ou quelque autre terrain solide, les coups redoublés du mouton ne puissent plus la faire descendre, d'uoemanière sensible, auquel cas on dit que le pilot est parvenu au refus. '

♦ 171. Conditions du battage des pilots et conséquences qui en résultent, — On exige ordinairement, pour un pilot de 25 cenlimèlrcs do dianièlre et de 3 à 4 mètres de longueur,

^ue l'enfoncement produit par chacune des dernières volées le trente coups, d'un mouton de 3oo à 4oo kilogrammes, tomhint d'une hauteur de l'^jSo, soit, au plus, de 4 î) ^ millimètres; moyennant quoi il devient permis, d'après les obserrationg du célèbre Perronet, de charger chaque lèle de piloi

jusqu'à 25ooo kilogrammes, sans qu'on nil à craindre aucun

accident fâcheux pour la solidité des conslruciions.

Pour comparer cette donnée de l'expérience avec les résul-

Hls du calcul, nous observerons qu'ici les trente coups de uton équivalent (16C) à une quantité de travail do

3o X 3oo^« X i", 3 = 1 1 700^»™ au moins.

itnvaîl produisant un enfoncement de 5 millimètres au plus,' rpolds qui, placé sur la tête des pilots, produirait le même enraient» dans l'hypothèse d'une résistance constante du sol,

It d'au moins — ^ = 2340000^»; ce poids est environ

o,oo5 '

t6ts celui que Perronet assigne comme limite de la charge

pilots; mais il faut observer: 1® que les bois sont suscep-

de s'altérer plus ou moins à la longue, et que le même

qui supporterait momentanément, sous le choc d'un

iton, des efforts de 2340000 kilogrammes, pourrait s'af-

ïr ou s'écraser sous des charges permanentes beaucoup

»indres; a"* que l'élasticité naturelle du bois et du sol tend

diminuer la profondeur de renfoncement, en relevant, à

|ue coup» le pilot d'une certaine quaniiti'; ce qui n*au-

it pas lieu sous une compression permanente égale; 3"ennn,

i*il ne conviendrait pas non plus de statuer sur un abaisse-

LCntde 5 millimètres pour les fondations d'un édifice qui doit

înier les caractères de la plus grande solidité, tel qu'un

II, etc., quand bien même cet abaissement devrait s'opérer

un temps extrêmement long. C'est pourquoi l'on peut

lettre, d'après la règle posée par Perronet, qu'en général,

[Mnd il s'agit de constructions monumentales, on ne doit

^ndre, pour charge des pilots, que la centième partie envi-

du poids qu'assigne la théorie ci-dessus, et calculer en

^^anséquence l'équarrissage de ces pilots.

Les calculs qui précèdent supposent d'ailleurs que la force

178 SÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

vive du mouton soil tout enlière consommée contre les résistances du sol, qui s'opposent à renfoncement, tandis que, dans la roalité (170), une portion plus ou moins grande de celte force vive est consommée pour écraser la tète du pilou On peut admettre que le ressort du bois est tout à fait négligeable dans les circonstances actuelles où le choc s'opère avec violence : Texpérience démontre, en effet, que le moutonne quitte pas sensiblement le pilot pendant le choc, et qu'ils cheminent d'un mouvement commun toutes les fois queb réaction du sol lui-même n'est pas fort grande, ou que le pilot n'est pas arrivé au refus; il en résulte par conséquent qu'avant cet instant, le pilot et le mouton se comportent, au commencement de chaque choc, comme le supposent les raisonnements des n"^ ioo et J5G; d'où il est aisé de juger que lo observations du n" 162 sont applicables au cas actuel, c'està-dire que, pour diminuer le plus possible la perte inutile de force vive résultante de la compressibîlilédu pilot, il convient de donner au mouton un poids qui excède de beaucoup ceini de ce pilot: on doit par conséquent employer des moutons KÏaMiatit plus iotinls^ <]ue les pilots à chasser le sont eux-mêmes davantage. Dans la pratique, le poids du mouton est assez (m^ dinairemoni compris entre deux fois et trois fois celui du pieu, de sorte qu»» iltî2) la perte de force vive est aussi comprise entre le y et le ; de celle qui opère le choc : en se servant de moulons encore plus pesants, la perte diminuerait, mais la manœuvre deviendrait embarrassante dans bien des cas, et occasionnerait d\niire> consommations inutiles du travailmoteur,

1^ perte de force vive, provenant du défaut d'élasticité des pilots. étant donc généralement une fraction assez faible, el d'ailleurs a p^^u pit-s ronstante. de la force vive totale imprimée au niiuitoii. il résulte 166 . de ce qui précède, que les «'«yivif cvï;««rj. ou r\^'r<s i}.\x ohoo «ic divers moutons, doiveU et re se n s i bî e : n 0 n t propo ri ion n *• /j aujc protiutis de ieun poUt />,;r /î :tT< hr.u:-, ws ,v c*i:tU\ ou tzujc forces n\'es qu'ils acqiA F>'if ,::* S:.< .'« .s ./:;*:t*.- • e que confirme parfaitement Texperier.vO. non-s-uiem-.i.i dans i'opèniiion du battage des piem do lon^lau.n. iî;j;s v'i.j-re ians une intinité d'autres circofr sijî.cos v^u ies o'î. is soîii uire lemenl comparables.

DE LA COMMUNICATION DU MOI VEMENT PAU LES GAA ET SPÉCIALEMENT DU TIR DES PROJECTILES.

172. Observations préliminaires. — Nous avons drji donné un aperçu (138) de la manière dont rélasticilé d(? l*air comprimé roriement dans le réservoir d*un fusil à venl penl servir à lancer des balles ou à convenir une certaine quaniité de travail» accumule dans cet air, en force vive. Or, en admetuiitt, comme on le fait ordinairement, que la tension des fluides élastiques suive exactement la loi de Marioite (16), quelle que soit la manière dont s'opère leur compression ou leur débandement, c'est-à-dire leur détente , ncm-seulement on pourra calculer la vitesse totale imprimée à la balle, a Tinstaiil où elle sort du canon, au moyen de la quantité de travail développée sur elle, par les pressions successivement décroissantes dVi volume d'air qu'on laisse échapper, à chaque coup, de l'intérieur du réservoir, mais encore on sera en état ( 129 et suivants) de calculer toutes les autres circonstances de son mouvement pendant le temps où elle chemine dans, l'aine du canon, et de résoudre plusieurs questions intéressantes, telles que de trouver la tfitesse de recul du fusil, le temps que la balle met à parcourir Tàme, la longueur de cette finie qui donne le plus grand effet ou la plus grande vitesse do sortie, vitesse qti'on nomme aussi la lûtesse initiale des projeciiles dans l'art de la Balistique,

Nous n'entreprendrons pas de résoudre ici toutes ces questions, parce que le fusil à vent est d'un usage très-borne de nos jours, et que nous avons à traiter divers sujets, plus ou moins analogues, qui sont d'un intérêt plus immédiat et également très-propres h servir d'exemples de l'application des principes. Nous ferons seulement remarquer, relativement à la recherche du maximum d'elfet, que la limite, passé laquelle le ressort du gaz intérieur ne peut plus contribuer à accroître la vites.se de la balle, répond à l'instant même où la pression de ce gaz est, par suite de sa détent(s réduite à la pression de l'air atmosphérique extérieur (37), augmentée du frottement qu'éprouve la balle de la part des parois du canon : pression et frottement qu'il n'est permis de négliger qu'autant que

l8o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

ràinc aurait pou de longueur, ou que ces rcsislanees demeureraieni constammenl, ei de beaucoup, inférieures à la force molrice qui pousse la balle en avant; or c'est ce qui a lieu précisément dans le tir ordinaire des projectiles, par le moven de la poudre, dont nous allons maintenant nous occuper avec quelques détails. Nous reviendrons plus tard sur ce qui concerne l*air en particulier, en cherchant à apprécier le rôle que joue Tinertie propre de ses molécules, dont nous ferons, quant à présent, entièrement abstraction; ce qui revient à admettre, sans restrictions, les principes de Mariette et de Pascal (Met IG], qui se rapportent essentiellement à l'état de repos des (lu ides.

Des effets et du travail des f^uz de la poudi^ dans le tir

des balles et boulets.

173. Principes sur la communication du mouvement par les gaz, — Le tir des balles et des boulets, par Tinflammation d'une certaine quantité de poudre enfermée dans le fond de rame d'un canon, et à laquelle on a mis le feu, présente des circonstances tout à fait analogues à celles qui sont relatives au fusil à vent; car ce tir consiste encore (99) à emplojer le ressort d(*s gaz de la poudre, qui sont le résultat de sa combustion, |)our imprimer progressivement la vitesse au projeclil(» : ces gaz, en se dilatant par l'action de la chaleur ;26/, n.Muplissent ici, en ell'et, la lonclion d'un ressort véritable : ils ïjrcsseni h* boulet avec des forces qui, partant de zéro, ( roisscnl d'une manière extrêmement rapide, jusqu'à un certain lermt» qui s'a[)proche plus ou moins de l'instant où la poudre est culièremcMil enllammée, puis décroissent ensuilc à mesure que les gdz se riMVoidissenl ou (|ue leur température baissci (21 et suiviium), à mesure (pie les pertes ou fui tes éo cos gaz atigmenienl, j^? jdus eu plus, par l'elVet du vent oiijeu (!u boulet dans la pièce et (h' l'ouverture assez forte de la lumière, à m(»sure enfin (jue le boulet, cheminant en avant, agran<iil, de plus en plus, resjiace occupé par les dilîcrenls gîiZ (1(>).

Quoiqu'on ne connaisse ni la loi de ces j)ressions ni celle (l<*

APPLICATIONS, KTC. . l8l

l'innammaiion uâoessain^mtfnt pro*:^rf\ssive do la poiidro * ■, on peut cependuni doduirc, <Io nos principes, pliisionrs coiisf'»queiiccs ronfoiiups, diiiis lour iiriHMîdilô, aii\ rrMihnis \w\\ connus de rexpérionre; car le ras osi \c\ s^'nihlahlo à (fini do la communication du iniHivcnicnl par lo rlior dos r-orps ! 15V et suivants), où, sans ooiniallro nhsolumont la loi qiio suit la force de réaction, on par\iont nôannioins à divors piinripos utiles et qui ne s*ôoart<'nl pas trop dos (»llois nalurols. .\n<si doit-on s'attendre à voir reparaître un ordre de» ronsidôraiions analogues, et qui se prosonto j^onéralonu'nt loutos los fois (pTII s'agit de la comniuniration du niouvoniont par la roariion imituelle des corps.

Comme on n<î saurait trop insister sur lo prinoi|)o do p.iroillos applications, je pense (pi'il no sera nullonnMit su|)or(1u <]o rovenir sur les démonstrations très-sinipN's (pii on i»nl dôjà f'tô données précédemment (131 et 15îî).

Soit F, à un instant donne, la foroo motrice qui pousse on ïvani le boulet et qui est censée jïrossor, on sons contraire oi *vec une intensité égale (IV, le loncl ilo Tàmo do la pièoo; soient P et P' les poids du boulot et d(» la pièce v conqiris son ^'ft^l, etc.; soient v et v' rospoctivonn»nt b\s |)olits doj^rés iW ^'Icsse qui leur sont imprimés à un instant quelconque et dans '* durée de l'élément de temps t\ on ama ( i:JO) la proportion

F:P::v:^^/, ou Po Fxg/.

^'ï aura, de même, pour la pièce et son alVùt,

F : P' : : o' : i^ty ou P' i-' . : F x i^t ; a«nsî

Vv A^'v\ ou v\v::V'\\\ ^'^Hime ou le conclurait inuiiédialoniont dos résultais du

\ *) Di*pii» qim co r.lin|iiln' :i vW vvv'xi 'iS.»i);, IViiin>l(*t, c1:iiih un K;i|>|M)it

^ l'Académio cIph Scinirej*, !<; ■*■•. aoi'it iS'.ti, ;i t'iiil l'i'\|io>tv liiitoi-i«|iit* cl

''■•que des nombn'iisrs n'r'licn'lu'?» li'iilros» sur ri' >u.jt'l par li's jM-niniiii'- «l

■^^ les physiciens. M. Piohorl .'i l'Iuilii- «ii «li'lail li*- luis «li- riiillamiiuitioii pn»-

'^''^^•««Xle la poiifins ot a fait fain' di» lîiands pro|;irs à la tlu'urii' ili- ws l'flV'ts

y^lamiques; M. Rpsul a n'priK In quL'htIon a nu point do viio enlii'rcnn'nt uoii-

.^^U en y appliquant le principe de requivalrnc»' «le lu rlialeur et du travail;

est arrivé à des iv»iilt:its prt'MMilaiit une ciiiK-oid.inre reniarqualile .!>•><'

•*Xpcricnco.(K.)

n**13t. Par conséquonl les degrés de vitesse imprimét au boulet et à la pièce ^ dans un temps infiniment petite toni récipi^oquement proportionnels aux poids de ce boulet et de cette pièce.

Puisque le produit P X ^ repond au peiil temps /, la somme des produits ])arliels, relalifs au\ divers inslants écoulés depuis le point de départ du boulet jusqu'au moment où, quittant la pièce, il a acquis toute sa vitesse V, aura pour valeur le produit du poids P par la somme des degrés de vitesse v, successivement imprimés, ou par la vitesse totale V, c'est-àdire P X V. La somme des produits P' X i'', pour le même intervalle de temps, sera pareillement P' x V', V étant la vitesse Hnie communiquée à la pièce et à rafTiJt quand celle do boulet est V. Mais les petits produits P x i* et P' X v'y relatib aux divers instants écoulés, sont continuellement égaux entre eux d'après ce qui précède; donc aussi P X V^= P' x V, c'est à-dire que :

Les vitesses finies, imprimées à la pièce et au boulet à Fin stant où celui-ci a acquis tout son mouvement, sont réciproquement entre elles comme les poids de cette pièce et de ce boulet.

i*Iï. Observations sur la vitesse de recul des pièces. — Les gaz de la poudre continuant à agir sur le fond de l'âme après l'instant où le boulet a quitté la pièce, on voit que la viteue ' totale de cette pièce supposée libre, ou du recul, serait, pour j cette cause seule, un peu plus forte que ne le suppose lapro- J portion ci-dessus. On voit aussi pourquoi le recul est beaucoup I moindre quand on tire à poudre seulement, que quand on tire J à boulet. On se rappellera d'ailleurs (172) qu'il faudrait, pour rendre plus exacts les raisonnements ci-dessus, diminuerFde toute la pression exercée, dans le sens opposé au mouvement, par l'air atmosphérique, sur la surface extérieure du boulet, ainsi que du frotleniont qu'il éprouve delà part de Tàmedeh pièce, pression et frottement qui sont toujours, comme on le verra ci-dossous, trè<-faiblos par rapport à la pression totaledc la pou'ire. Enfin cui remarquera que, le poids Pdu boulet étant {j;énéralemcnt Irès-pelil par rapport au poids P' de la pièce ef de l'allVit, la \ilesse \' est aussi très-petite par rapporta Y;

APPLICATIONS, ETC. l83

I plupart des cas, P' est au moins 3qg fois P; ainsi, dans polhèses ( 172 ), la vitesse du recul surpasserait rarement rie la vitesse communiquée au boulet, à sa sortie de e.

Mesure du travail total développé par la poudre contre e et le boulet. — Pour calculer directement ce travail» rail (72) connaître, d'après Texpérience, la loi ou la I qui lie les pressions F aux chemins correspondants

par le boulet dans Tâme de la pièce, ce qui n'est pas 1 présent. Mais, comme nous savons (136) que celte lé de travail est la moitié de la force vive imprimée, ourrons Tobtenir au moyen des vitesses V et V acquises remeni par la pièce et le boulet; ce qui suppose toujours néglige les résistances étrangères à leur propre inertie, îl, la force vive du boulet étant (126) égale à MV^ et ela pièce à M'V'% la quantité de travail totale, transmise )Oudre, a pour mesure (136)

idérons, par exemple, une pièce de 24, dont le boulet

1 viron 1 1 kilogrammes ( * ), et dont la charge ordinaire est

liante de 4 kilogrammes; on sait, par expérience, que la

totale V de ce boulet s'éloigne peu de 5oo mètres par

e; g étant environ 9'",8i, X V^ sera donc égal à

^ ^ I P' kilogrammètres. Pour trouver X V'% nous admet-

ue le poids P' soit seulement 3oq fois le poids Pou égal

kilogrammes; et, puisqu'on a PxV=:P' xV',on en tire

V'i= - — Vi=: - — 5oo" = i"»,67,

3oo 3oo '

vitesse du recul. Ainsi on aura, pour la valeur de la

applications numériques faites dans le texte se rapportent aux an- 'mes; nous avons pense quMl serait peu utile, pour le but que scl'Autcur en donnant ces exemples, de citer ici les chiffres relatifs à actuelle. (K.)

l84 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

quantité de travail développée par la poudre contre l'afTàt, ou

pour X V'S 5io kilogrammètres environ; c'est-à-dire -4-

seuleinenl do celle qui a été dépensée sur le boulet, comme on pouvait Tapercevoir sans calcul.

176. Conséquences relatives aux vitesses initiales des prth jectiieSf leur accord avec V expérience entre certaines limites, — Le travail consommé par la pièce et son affût, clam trèspetit, par rapport à celui qu'exige le boulet, on peut le négliger, et se contenter, dans la pratique, de mesurer simplement leseiîels de la poudre d'après la quantité de travail nécessaire pour imprimer la vitesse au boulet, d'autant plus que la force vive du recul y est, dans la réalité, bien moindre que ne le supposent les calculs, puisque les pièces ne sont jamais eih tièrcment libres, et qu'elles éprouvent, de la part du terrain, des essieux, etc., des résistances absolument comparables aoi pressions exercées par la poudre. Or, les effets de cette poudre devant, dans des circonstances semblables d'ailleurs, être pro* portionnelsà sa quantité, c'est-à-dire à son poids, on vDitque les charges seront sensiblement proportionnelles aux forces vives imprimées aux boulets, ou aux produits du poids de ces derniers, par le carré de leurs vitesses initiales; de sorte que les vitesses initiales seront aussi entre elles comme les racines carrées des charges et inverses des racines carrées des poids du boulet ( * ).

Ces conséquences, de la théorie, sont parfaitement d'accord

( * ) De nouvelles recherches paraissent démontrer que cette loi théorique i^ pas l'cxaclitudc qui lui est attribuée ici. Consulter à ce sujet le Rapport'nr les expériences faites à Metz de i^3C à iS\i [Mémorial de t\4rtHlefU, n" VII), les expériences exécutées à Liège eu i832 par M. NaTex, le iMémoire du Coload Ducheniin sur la >ilr««si' initiale des projectiles {Mémorial de l\4rtillerie^ n®IV\ les expériences d'artillerie entreprises à I.orlent de i8.|i à i8.f3 nmpriBMrii royale; 1^17]. M. Sarrau, à la suite d'expériences faik^fi, en 1868, au Drpâl central des Poudres, a été conduit nux formules suivantes, dans lesquelles T reprcscnle la vïIosm^ iinlialc, p le poids de la charge, m celui du projectile, a,

A, c, <l des constantes :

\ =^ a \ p — h et V = — r: — d,

ArPLICATIOKS, KTC. l85

ec celles qu'IIullon a conclues des exprrionrcs qu'il a faites, i Angleterre, sur le lir des projeciiles, non-seulement pour îs pièces d'un même calibre, mais encore pour des piùros e calibres diirérenls, considérées dans les cirronslanccs oi diaires de la pratique. Ces expériences louiofois ont prouvé [u'au delà d*une certaine limite, raugmenlation de la vitesse lu boulet n*c(ail plus en rapport avec celle d(*s charges de K)udre, et que même, pour une longueur d'àme donnée, il irrlve un instant où les vitesses imprimées décroissent au lieu rangmentcr; ce qui s'explique très-bien en ob>ervant que la loialité de la poudre n'a point alors le temps de s'enflammer. H que la portion demeurée inaclive, loin de contribuer à l'effet, tend, au contraire, par son inertie, à absorber une partie plus ou moins grande du travail développé par l'iiutre. L'expc?- 'ienceaaussi fait voir qu'à cbarge égaie de poudre, la vitesse initiale, pour un même calibre, augmente avec l'allongement le Tâme de la pièce; ce qui tient évidenniientà ce fjue les gaz léveloppent alors, par leur détente prolongée, une quantité faction et par conséquent une force vive plus grandes (138); Biais, par suite descauses'déjà énoncées au n" 173, il ne paraît pas que cette compression soit, en généial, aussi forte que le suppose la loi de Mariette (10). Nous reviendrons bientôt, au ^rplus, sur les effets de cette détente des gaz |)our augmenter «vitesse des projectiles.

Ces mêmes considérations prouvent encore que \à force vive •otale ou la vitesse Jinaie, imprimées au boulet par une même ^rge de poudre, restent à très-peu près les mêmes, soit qu'on 'inpèche tout à fait le recul par un obstacle solide, soit qu'on ï^ispende librement la pièce; car nous venons de voir que, '•nsce dernier cas, la force vive communi(|uée à cette pièce '^ i raffut est réellement une très-petite fraction de celle lu'acquiert le boulet; de sorte que l'action de la poudre est fresque tout entière consommée contre ce dernier, comme *U arrive quand le recul est cmpècbé. Cette nouvelle corjsé- Ifence de la théorie est exactement conforme encore aux repliais des expériences de Hutton, qui, de plus, ont appris r]ue ' nf^anière de bourrer n'avait aucune influence sensible sur la 'lesse initiale : c'est qu'en effet le bourrage ne fait qu'aug- 'emer un peu les frottements, au premier instant, sans dimi-

iWf aÉCARIQL'B INDt'STBIBLLE.

iiij(*r Ui vonl du boulet, et que la résistance occasionnée par (:(; froltenuMit est excessivement faible comparativement à h pression totale des gaz. On remarquera que le bourrage se fait ordinnlrenieiit avec des substances très-légères, et que, s'ileo (Unit autrement, l'inertie de ces substances consommerait une portion notable de la quantité de travail développée par h poudre*, an dciriment de celle qui est transmise au boulet: connaissant le poids de la bourre, on pourrait même déterminer («xiiciement la diminution de force vive éprouvée parce: dernier, etc. i

177. Du travail utile de la poudre, dafis le tir des boulets,' compati à celui des machines à vapeur; son effort moyen d^ (^solu, etc. — D'après les calculs ci-dessus, la quantité d^ travail totale, développée par la poudre sur le boulet et surli!| pièce, est d'environ

1 5a 905^»" 4- 5io^«™ = 153415^*" ;

itrierf

le travail du cheval des machines à vapeur étant (82),

chaque seconde, de 75^»"*, on voit qu'une telle force motrii

i53ii5 emploierait - — -^ - = 2045*', 5 = 34' environ, pour lancer h

boulet avec la vitesse de 5oo mètres; ou, si Ton veut, il fiBdraii une machine de 2045,5 chevaux de force pour lancerai preil boulet à chaque seconde. Attendu qu'il faut un certain temps pour charger la pièce et pour la pointer, etc., on comple seulement i coup par 5 minutes, ou par 3o« secondes dans l« service onlinaire des pièces avec la poudre; ainsi la machiiMi ù \apeur, pour fournir à ce service, devrait être d'enviroB

■ ' ^ '" 6,8> chevaux, en supposant d'ailleurs qu'il n'yeûî;

l^s de perle de force motrice et que tout fût transmis au boiH let; ce i\iù ne peut a\oîr lieu, quelle que soit la machine o« les disposilits qu'on adopte pour communiquer le mouvemeol À ce bouiei llU^ .

i'enune ],\ \ov^\:c\:7 -U- l âme des pièces de 24 ^st d'enviroi .^^'.«o ei >o:. ,h.:r..oire .5 .:o:iiimeires. il sera facile de caloaler 7;^ If;'.*; ■•'v>^c7: f: tiva^M/i/ que les gaz de la poudif dexraieïU e\er;::. Ov:.::*^ ie boulet ei le fond de la pièce

ur développer la quantité d'a'ction ci-dessus i534i5 kiloimmètres» pendant que le boulet chemine, dans l'intérieur l'âme, en décrivant un espace que nous réduirons à 2'>',75 âusie de la place occupée par la poudre, etc. En divisant Î4i5 kilogrammètres par 2™, 75, on trouvera, en effet, 787 kilogrammes, à une petite fraction près, pour cette pressa moyenne ; comme elle est répartie, avec la même intensité, r la surface du cercle de section de l'âme, qui a 1 5 centimètres

diamètre, ou sur la surface 3,i4i6x — ^ = 176*^ envi-

D, on voit que chacun de ces centimètres carrés sera pressé

ec un effort de — ^ = 317^». La pression, exercée par l'air

nosphérîque sur chaque centimètre carré de la surface d'un

fps, étant de i^»,o33 environ dans les circonstances men-

Hinées au n*» 37, l'effort moyen ci-dessus équivaut donc, à

b*peu près, à 307 atmosphères; l'effort réel et moyen des

idela poudre est au moins de 3o8 atmosphères, attendu

Tindépendamment de l'inertie du boulet, cet effort doit

iacre aussi la pression de l'air extérieur (174).

En calculant, comme on Ta fait dans le n*" 167, à l'occasion

choc des corps, le temps que mettrait cet effort moyen,

isé constant, à imprimer la vitesse de 5oo mètres au boulet,

1 2^* X 5oo*" le trouvera égal à g,u^g, ^55^3^1., = o^ol i, ou ^V ^e se-

ide environ. Mais, d'après la rapidité avec laquelle croît la ssion dans les premiers instants de Tinflammation de la idre, il y a lieu de supposer que la durée du temps que le ilet met à parcourir l'âme de la pièce doit être moindre îore.

I faut distinguer \ effort moyen de X effort rée/ exercé, par )Oudrey dans chaque position du boulet; ce dernier effort nécessairement variable, suivant cette position. D'après ce I été dit au n" 172, on peut juger que, dans les cas ordi^ ?s, il est au-dessous de l'effort moyen, à l'instant où l'innation commence et à celui où le boulet sort de la pièce; \q surpasse de beaucoup vers le moment de l'inflammaomplète de la poudre; qu'enfin cet effort moyen diffère lérablement de \ effort absolu et total que peuvent exer-

l88 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

cor les gnz do la poiidro, lorsqu'ils sont contenus dans l'espace trôs-olroil occupe par le volume même de celle poudre, el qu'ils no pouvont s'ciendre en aucune manière. D'après Runiford, coilo pression absolue surpasserait 5oooo atmosphères; d'après d'aulros, elle serait beaucoup plus faible. M. Brianchon, savant Professeur à l'École d'arlillerio de Vincennes, a trouvé, par dos calculs bases sur dos considérolions de phvsiquc enfc chimie Irès-iuijéniouses et très-plausibles, que la pression absolue de la poudre ne s'élève pas au delà de 4ooo atmosphèrps; mais on conçoit (|ue la manière dont on essaye la poudre e( dont on mesure sa pression, doit exercer une très-grande influence sur les résultais. Suivant les calculs hypothétiques de Hulton, par exemple, qui a fait ses expériences avec des panons ordinaires, la plus forie pression exercée sur le boulel serait environ 2000 fois celle de l'atmosphère; mais, comme, suivant d'autres expériences directes ( 13), une pièce de bronie de 3 pouces d'épaisseur éclate avant que la pression soit de 1 000 atmosphères, tandis que des pièces de moindre épaisseur ne sont pas même endommagées après un grand nombre de coups tirés à poudre, il y aurait lieu de penser que ce résuliat de llutton surpasse encore de beaucoup le véritable, si Tonne savait que, dans ceriaines circonsiances, les corps solides et ductiles sont susceptibles de résister momentanément à des elToris qu'ils ne pourraient supporter pendant un temps même assez peu prolonge.

178. Examen et prix comparés du travail de la pondre et de la vapeur d*enu, — Si l'on voulait remplacer l'action de la poudre par celle de la vapeur d'eau introduite directement dans ràuïe de la pièce, ainsi (|u'on Ta proposé dans ces dc^ niers temps, il faudrait, selon ce qui précède, employer, dans le cas d'une pièce de ^4, cette vapeur sous une pi*ession coti' stante d'au moins 3()8 atmosphères, pour lancer le boulet avec la vitesse de 5oo mètres, la longueur (rame parcourue parce boul<»t étant do 2"', 75. Kn donnant à l'iime environ 8,8 fois cotte longueur ou ?.|'">'-» *' suffirait d'employer la vapeuràune tension de 35 atmosphères, comme le propose l'ingénieur anglais Perkins; mais il faudrait qu'elle aflluat constamment, avec cette force, derrière le boulet, et que, par conséquent,

îlle ne subit aucun rofroidissciiionl (173) pcndaiii (ju'il pui-

court la longucur'de la pièce. Si le bouhîl devait rire hiiicé

seulement avec une vitesse moitié moindre ou de 25u migres,

Il suffirait évidemment d'une pression moyenne éf^aleau (juart

le 3o8ou de 77 atmosphères, en conservant la ion{;ueu)' d'ànie

irdinairey etd*une longueur d'àme de G mètres, si la pi/'ssion

onslantc de la vapeur n*était que de 35 atmosphères; car les

ffeis étant mesurés par la force vive imprimée dans chaque

asy sont entre eux comme les carrés des vitesses initiales du

oulel.

En refaisant tous les calculs qui précèdent pour les balles

e fusils de mupition ordinaires, dont le diamène est de

'*yOi64, le poids de u^',o'258, à raison de 19 a la livre, et (jui,

irecune charge de poudre de o^Soi29, égale à la moitié de ce

lOidSy reçoivent une vitesse initiale de 5oo mèlres moyenne-

Denty en refaisant» dis-je, ces calculs, on trouve : 1*^657 pour

a force vive imprimée au projectile, ce qui représente une

3o8 5 luantité d'action de SaS^'^jS (*); y." ' —- ox)^)^* pour la pros-

sion moyenne sur la surface ('^/*ï,iiî?) de la section de Tàme, ^longueur parcourue par la balle étant d'environ r",i ; vl^enlin

("] Ot eflcl utile répondant à une chiir(rc dt* puudiv d«' 0^^,01 .;(), on ^oii K|K, toutes choses égales d'aiUnirs, 1 kilui;ramni<>. do poudir doniiciait

*■ = 3.i/|fïj kilo,';i'aniinèlres, et /| kilograniiiu's, cliar,;»» des |»i««ci's dr j^,

'OiSHo Li1n,;raniinùlres, résultat henuroup uu-dossons dos i.Vmimô kilo;;iam- *l>Ues trouvés ri-dessAis (177) pour IVil'ct uliio des nièiin's ] kil(>{;raniiin-h de Povdre dans ces dernières pièces, et qui paraît d'autant plu:» cloniiaiil au premier asi»ccl, qu'ici la longueur de Tânu; etanl Uvs-(;ianth' par i.ippnrt an ca- ^ft de la lialle, la détente doit \ être plus lorti', et la roui hiisf ion d(* la ^••dre plus complète; mais on sVxpliquj' tiès-liien ce retiultal (O'J el 17]) en ''^lliidéraut que liMi grandes masses de poudie d(>\elopp<wil, par r.ippoil an\ ^titet, une chaleur lieaueoup plus forte el qui eprouM*. de la part des «'iivc- ^ppea, une |>erte proportionnellenient moindie, piiiM|U*elle e^t èvidciiinieiit '•lii le rapport des surfaces de ces en\el(»ppes aux \olnines des |;a/. i|u*eile< enferment à circonslances égales d'aill<>ui*s quant a la nature et ù ré|>ai:«seiir O cea mêmes enveloppes. On sait, en eflel, que la vitesse ave<- laquelle la elia- ■Ur le» Iraversc dépentl de l'espèce de leur subst-nce el au,;iuenle d'autant plus de leur épaisseur est moindre. Ces réflexions pourront servir ii faire \»iir émulent, dans des circonstances distinctes, un niêiue poids <le poudre peut pmuire dea eflets utiles essentiellement diOercnts, quoiiju'a la rigueur sa quanti fc 'action abso/ue ou théorique soit réellement la même.

igo MÉCANIQUE INDL'STKIBLLB.

-^99— i^i^'KjS; pour la pression moyenne, par centimclre

carré, répoiidanl à environ 1.37 atmosphères, el qui doit êlre supposée réplloinont de i38 nlmosphères, à cause de la pression de l'air extérieur. Telle est aussi la tension constante à laquelle il faudrait faire travailler la vapeur, pour Imprimer la vitesse de 5oo mètres aux balles de fusils ordinaires, vitesse qu'elles reroivent eiïectivement de la poudre, cl qu'il faudrail se résoudre à voir réduire de moitié, si Ton tenait a n'employer la vapeur qu'à 35 atmos[d)ères, et à laisser au canon du fusit sa longueur d'ame actuelle.

On voit donc que l'emploi direct de la vapjcur ne serait pis sans difficultés dans les circonstances dont il s'agit, ménieeo mettant de côté les dangers de toute espèce qu'il présenie, parmi lesquels il ffut surlout citer celui qui provient de h facilité qu a la vapeur de passer, d'une tension déjà considérable, à une tension double ou triple, par suite d'une légère élévation de la température.

Du reste, on peut démontrer (|ue la force motrice de lanpeur serait d'un usage beaucoup plus économique que celle de la poudre, (^.ar, en admettant que le kilogramme de poudre de guerre coule seulement 1 francs au (iouvernemcnt, chaque coup d'une ])ièce de 24 revient à 4 X ?. = 8^'. Or les machines à vapeur les plus désavania-ieuses n'exigent guère queSi f) kilogrammes de houille par lieun^ et par chaque cheval de force; et nous avons vu ri-dessus ( 177) qu'il faudrait trente-' quatre minutes, environ une demi-heure, de travail d'une telle force, pour lancer le boulet avec la vitesse de 5oo mètres; donc il en coûterait moins de 3 kilogrammes de houille par coup, c'est-à-dir(î moins de *) ceniinirs, en comptant la houilk à 3o francs hvs i 000 kilogrammes, tandis (|u*on dépense a^ tuellemenl. en t'nq)lovant la poujln», une somme environ 90 fois aussi forte.

179. .1 perçus sur les moyens d' utiliser raction de la vapeur pour lancer 1rs projectiles — 11 ne sera peut-être pas impossible de mettre à profit, un jour, cette grande économie de h force motrice de la vapeur d'eau, pour la défense des places de guerre ou des cotes; mais il faudra probablement renoncer

I l'emploi direct de cette vapeur à de hautes tensions on presiionSy et Ton devra se borner à recherclior les moyens d'uiiiser directement le travail des machines à vapeur aciuelles )Our imprimer la vitesse aux projerilles. Le ressort de l'air itmosphérique parait, sous ce rapport, oiîrir des avania^es oui particuliers; on conçoit, en elï'ol, très-bien comment, lans l'état de perfection actuel des arts industriels {*), il serait possible, en se servant du travail des machines à vapeur ordinaires, de comprimer fortement (l.>) un certain volume l'air atmosphérique, de manière à lui faire occuper un espace beaucoup moindre; et comment cet air, ainsi comprimé, pourrait être employé i^ lancer les boulets avec des canons ordinaires, un peu modiilés, de la même manière qu'on lance les balles avec le fusil à vent. Il suftirait de comprimer cet air dans un grand cylindre de fer d'une rapacité de i à 2 mètres cubes, par exemple, et absolument semblable «à celui des chaudières de machines h vapeur, puis de mettre momentanément l'intérieur de ce cylindre en communication avec l'espace compris entre le boulet et le fond de l'aine de la ^'pièce, et de fermer cette communication à ini instant convenable.

Supposons, pour otfrir une nouvelle application de nos principes^ que la capacité du cylindre servant de réservoir d'air comprimé soit de i^^G ou de i()oo litres; ce volume sera environ 29 fois celui de l'àme du canon de 24* ^^^'y d'après les données ci-dessus (177), ce dernier volume ^t 3'", I X o"«t,oi76 -— G'"', 0546 ou 55 litres, à très-peu près. Si donc on laisse échapper, de l'intérieur du réservoir, contre le boulet, une portion du volume total égal à 55 litres, ou plutôt, si on laisse ouverte la communication entre le réservoir et l'àme, jusqu'à l'instant où le boulet quitte la pièce, l'air occupant, à ce même instant, un volume égal à i H-^r» — 4^

(•) DcpniB quo ctvi a ôt« écrit (fôvriiT 1859;, l'Arailrmic royale di's Sriciirrs a décerné, à M. Thilorior, le prix <lo Mecaniqui' ['omhi par ^^. do Montymi, pour riDTentioii d'une pompo à plusieurs pistons l't à compensation^ an uiuycii di; IsqneUe on peut comprimer, d'un tkuil coup, les {;a/ a 100 et même looo alnvor iphëres, «ou» des enbrls modérés et senKiblement cnnstanis. \t inez le Mémoire iniéré, par l'Auteur, à la pnQO ^/p du tome XXIX, année iM3o, <lu Ihillvtin tie Im Société d'Encouragement pour lUndustrie nationale.)

I<p MËGAMQUB INDUSTRIELLE.

do SOI) volume priinilif, la tension de cet aîr sera, d'après le principe de Mariolte (16), aussi réduite aux W de sa valeur primiiive, oi par conséqueni, si celte tension était d'abord de 3i5 atniospluMvs, par exemple, elle se trouverait réduite à 3 1 5 ; î 3o4"*"', 5 au moment oii le boulet quitterait la pièce (*), Or on peut admettre que, puisque les valeurs extrêmes de la tension ditTèrent peu entre elles dans la supposition actuelle, TotTort mo\en (73) de Tair, contre le boulet, différera ausâ très-pou do celui (pii répond à la moyenne arithmétique Q}\ï la domi-sommo ^{3i5 -h 3o4,5) = 3o9**"',75 de ces valeun oxlromes : co résultat surpassant TefTort moyen qui a été trouvé plus haut (177) pour le boulet de 24» chassé parla poudre, il est clair aussi que, abstraction faite des pertes, h pression qui lui correspond suffirait pour imprimer, à ce boulet, la vitesse de 5i>o mètres; et que, s'il s'agissait seule- ' mont do lui communiquer une vitesse de 25o mètres, 00 pourrait se borner à comprimer l'air à 78 atmosphères seule- \ mont, ou au quart environ.

Néanmoins, attendu le frottement du boulet contre Tâme \ do la pièce, mais surtout à cause du jeu ou du i*ent qui lais-^ serait échapper, on pure porte, une portion notable du fluide, j il oonviondraii d'augmonior de quelque chose la tension de ^

• ! t> r-vS^i ^r* à';;!; , i.:»;î:i >. J- i-j.J fsXD^ jJJi'.iou ni Siiustraction de *î'.Alru: r.i s;;ï»»:.: r.i> l.i '.. àr ^iri.::v. Ia-j.u-IIo ii'rti scnsiMoraciit ^riif .^..< ^^■>-:..^ ..1 :« :v.:.. -..II.-. . -.* ■»: r\>v t loiàiil» . Or. dan* I»» cas traité, il •■ . ■•'-. '. «■ 1 -■■ ;■ ^.. -■."■ '-■-.. :■.:'..:.. ;- r:i -ri «i-. }» th.ileur du pai est tnn»- :. •v.^ .' : .* ■ . : :- ' ■• .. : - '.- ^« A.:;^- Ju n® îOj"; les pi\sâioai

v'..^ -.-. . ; : : .... :- î'i:.ij.»ii.- Ij loi de Mnriutte. Oa

■^' ■ ".'.:'::. :•: 1 'j-:; , som* r\'covoir ni pordn

: ' >?: T - 1; • - j'- î-:.j'.'iir> ojalo à &a font

■■».'>•. ■ ' ' ■= I ui>sjnce -^ =. — du tih

-■-' "> >:-.*: q':'.>. a prossiun cod-

■ :..;«.!.: i.:- i'.>.-iiiont la tlu'orie

;. • r ;>? " . Tjïdv disdonnm

- ••:■":■.- : :'; isl S4'n>îblvimHit

ir dans le réservoir, si mieux encore on ne préférait y faire river continuellement, par la machine à vapeur, de nouvel • pour remplacer celui qui se perd à chaque instant, de maère à rendre la tension à très-peu près constante; car. on it bien, par les raisonnements qui précèdent, que, dans le s contraire, la pression diminuerait, à chaque coup, de y« iriron de la valeur qu'elle avait à la fin du coup précéni; de sorte qu'après un certain nombre de coups, il s'en •drait considérablement que la vitesse de 5oo mètres fût insmise au boulet. C'est précisément là l'inconvénient attaché ^fiisllà vent ordinaire, et qui, joint à d'autres, a fait renoncer mi emploi malgré les avantages qu'il possède sous beaucoup Mipports.

JbOn, au lieu de procéder de l'une ou de l'autre de ces Mères, on pourrait aussi, mais non sans augmenter beauptf les difficultés et les dangers d'explosion, se contenter ^mettre en usage de très-petits réservoirs en bronze, d'une îpacité à peu près égale, par exemple, à celle des gargousses l^^yées dans le tir ordinaire à poudre, lesquelles occupent, les pièces de 24, un espace cylindrique d'environ 6 lilres, compris, ou du neuvième de celui de l'âme entière. En se iDt d'un aussi petit réservoir, il faudrait comprimer l'air tension de beaucoup supérieure à 3oo atmosphères, et que, dans sa détente graduelle, il développât, contre le M et pendant que ce boulet parcourt la longueur de l'âme, ^taantîté de travail nécessaire pour lui imprimer la vitesse *Soo mètres. Nous n'avons pas d'ailleurs à examiner com- Il ces petits réservoirs, indépendants de la pièce comme « gargousses elles-mêmes, pourraient s'adapter solidement > fond de l'âme, ou dans le renflement de la culasse, et jouer Boiument le rôle de la poudre lorsqu'on viendrait à lâcher détente qui retient l'air; il nous suffit ici que l'hvpothèse U assez plausible, en elle-même, pour exciter quelque in- 1^1, et appeler l'attention du lecteur sur les applications des Cories de la Mécanique.

Cesl, au surplus, l'occasion de faire connaître la méthode t calcul que nous avons promise au n"72, méthode due au iomèlre anglais Thomas Simpson, et par laquelle on peut aluer, d'une manière très-approchée, le travail mécanique

>94 MÉGANIQUE INDUSTKIBLLB.

uariable, ou, plus généralement, Vaire superficielle des figures planes limiiées par des contours quelconques (*).

Méthodes générales des quadratures pour calculer l'aire superficielle des couf^bes planes.

Méthode de Th. Simpson.

180. Démonstration géométrique de la méthode, — Soil a'd'g'ga (PL II y fig. Sg) une aire plane limitée par une portion de courbe a'd'g\ par la droite OB, servant d'axe des abscisses {i5), et par les deux ordonnées extrêmes aa', g^ perpendiculaires à cet axe. Supposons qu'on ait divisé la dis^ tance ag, de ces ordonnées, en un nombre pair de parties égales, par exemple en six parties, aux points b, c, d^ e,/, et qu'on ait élevé, en ces points, les nouvelles ordonnées hV^ ce' y. . ', ff'j terminées à la courbe; on aura une première valeur approchée de Taire mixtiligne aaW^'^a, en calculantles surfaces de chacun des trapèzes rectilignes aa'b'b, bb'&c,..^ ffg'gy dont elle se compose, puis ajoutant entre eux tous les résultats; ce qui revient à remplacer la courbe par le polygone rectiligne a'/^'c'r/'. . • ^' qui lui est inscrit. Mais on obtient, sans être obligé de multiplier davantage les points de division, une valeur beaucoup plus approchée de l'aire cherchée en procédant comme il suit.

Ayant numéroté le rang des diverses ordonnées, comme on le voit sur \^fig' 39, on considérera, à part {PL II ^ fig. 4o), l'aire mixliligne cc'd'e'ec, limitée aux deux ordonnées impaires quelconques ce', ee\ qui se suivent et qui comprennent entre elles l'ordonnée dd' de rang pair; la surface totale des trapèzes rectilignes correspondants cdd'c', dee'd', aura pour mesure, puisque de = cd,

i cd{cc' -h dd' ) -4- ; de{ dd' -^ee')^ { cd[ ce' 4- arfrf' 4- e^)>

(* ) ^«^u.s ferons suImc lu méthode de Th. Simpson, que TAutcur avait dunncf Mïulo diins les odilions prércdcntos, d'une autre méthode qui a etu eiposf* ])lus tard par Poncelet dans ses I^eeons à la Faculté des Sciences de Paris. Po»' respecter le texte de l'Auteur, nous n'apporterons aucune modification ans calculs de ((uadrature (|ui se présenteront dans la suite du Cours, calcHls qui ont été faits d'après la méthode de Simpson, (k. }

APPLICATIONS, ETC. ig5

Mais on obtiendrait c;irl(lennment une valeur plus appro(?hée Taire cc'd'e^Cy si, partageant cette aire^n trois autres aires pézoTdes cmm'dy mnn'm', née* n'y par des nouvelles ornnées équidistantes mm\ nn\ c*est -à-dire telles que \ z=z mn =zne = j cd, on prenait, pour cette valeur, la somme trois trapèzes rectilignes inscrits correspondants, c'estlire

\cm{cc' -h /nm')-|- J m/i ( w m' -h n/i') -h \ne[nn' -^ee'),

1, attendu que \cm z=\mn =:. {ne =z\ce=^ \cdy

~cd{cc'-\'iimm' -h 2nn'-hee'),

Or, pour s'éviter la peine de tracer les nouvelles ordonnées pdfnn', ei pour obtenir néanmoins une approximation égale |[iDème supérieure, on remarquera que la corde m'n' vient ïr l'ordonnée intermédiaire dd'^ qui est à égale distance fmit' et de nn', en un point o tel que orf = y{m/ii'-i-nn'),

le par conséquent ^od=^2mm' -^ 9.nn'; la valeur de Taire

ligne cd min'e'e devient donc simplement

busn*avons pas, il est vrai, Tordonnée od immédiatement, selle difrère extrêmement peu de Tordonnée véritable dd' a courbe^ que nous connaissons; en remplaçant donc od dd' dans les calculs, nous obtiendrons une mesure trèsrochée, quoiqu'un peu trop forte, de Taire polygonale l il s'agit. Mais, puisque cette aire est elle-même un peu ihible que la véritable aire terminée à la courbe, il se fera sorte de compensation (*) si nous prenons, pour mesure

) n »t érideut qu'en prenant dd' pour od^ on augmente Taire polygo» ét\cJ.!^o€i' i mais, en traçant les nouvelles cordes m'd\ n'd\ il sera aisé lirfbe la surface du triangle rectiligne m'n'd' a pour mesure | mnx^od', '«compose des triangles rn'od\ on'd\ dont la somme des surfuces est

\\0,d'.m€i -^ ioJ'.dn = \ od'{md-t- nd)= \ od'.mn;]

me mn = \ cd, la surface du triangle m' du' sera

)i\.cd.od'=z \cd.od'.

»oc ay^menié l'aire du polygone recti ligne ce' m* n' e'ec de \ fois le tri-

'9^ MÉCANIQUE IKDUSTRIBLLB.

de cf ue dernière, la quaniiio

•crf{c'c'-h4rfrf'-+.|?e').

On aura de même [PI. //, fg. 39)

acc'a'= ;c</(art'-h466'-f-cc'),

donr la surface totale el mixliligne agg'd'a\q\ï'\\ s'agildc calculer, a pour mesure approchée

\cil{a<i' -^ ^bb'-\'cc'-k-t:c''\-^(l(l'-i- ee' -h ee'-hiff '\- gg%

ou

\c(I[aa' 4- gg' -f 2( cc'-h ^e' ) 4- /iibb'-^dd' -^ff')],

c'eslà-dire ie tiers du produit qu'on obtient en muUipHoni,

par l'intervaife constant compris entre les ordonnées de kt

courbe, la somme des ordonnées extrêmes^ augmentée de deux

fois celle des autres ordonnées de rang impair, et de quatre

fois celle des oixlonnées de rang pair.

angle in'd'n , tandis ((u*U faudrait raucmontcr de la somme des aimdesMf' mcn(soom]>i-i.-i enlre la courbe et l«'s cordes v'm\ m'n' et n'e* . Par conswnwo'i si cette somme équivaut à \m'cl'n\ la compensalion S(*ra exacte et la nii'tho<k ri(îoureuse; dans tous les cas, on \w risquera de se tromp<*r que de la diffrrenc? de cette somme et «le :\m'(J'n\ din'ereiice qui ne sera {généralement qu*iine pf lite fraction de chacune d'elles, excepté pour quelques points iinguliers de U courbe.

On voit, d'apiès cela, que, quand il s'agit de calculer, avec une grandceiactitude, l'aire d'une figure plane limitée par des contours quelconques, il convient, non-seulement de multiplier beaucoup les ordonnées et de bien choisir l'axe des abscisses pour éviter la trop graiule obliquité de ces ordonnéi*» p*' rapjiort aux rouibes, mais <'iicore de parta|;er l'opération en plusieurs opérations distinctes, soil qu'on multiplie davantai;e les ordonnées dans ccrlainft parties, soit qu'on rapporte les courbes a plusieuis axes diUért'nts; en un m«>t. il faudra «Mter qnr les tra|ié/,«'s n'ctili^^ncs \\o dînèrent nulle part, d'une tn»p jjramle quantité, (b's trapèzes curvilignes cniirspondants. 11 parait bien claif il'ailleurs qui', par la formub; île Simpson, on appr«)clie, dans les cii'constan^'i'^ ordinaires, non «<eulcmeiit plus de la vcrile qu'en calculant la valeur des trapé/.es rrctilignes inscrit> et limite> aux ordonnées sini[>Ies, mais même davantage encore (ju«; si l'on calculait c<*lb' tics trapè/es relatifs à des onlonn»'« |)lus rapprochées d'un ticis.

Les mêmes raisonnements demeurant applicables, quel que lit le nombre des ordonnées équidistantes, pourvu qu*il soit fipair, on voit que la règle est générale; mais il est clair u'elle ne donnera des résultats très-approchés, pour les pares de la courbe qui s*écarieraieni considérablement de la )Tn\e d'une ligne droite, qu'autant qu*on divisera les intcralles, compris entre les ordonnées extrêmes, en un nombre lirde parties égales, assez grand pour que les trapèzes recii- Ignes inscrits ne diffèrent nulle part beaucoup des trapèzes éritables, ou qu'autant qu'on resserrera convenablement les idonnécs vers les parties dont la courbure est irès-prononcée. lest également essentiel de remarquer que le calcul donnera te résultats un peu trop petits pour les parties de la courbe ul présentent leur concavité à Taxe des abscisses (voir PI. //, f. 39), et un peu trop grands pour celles où celle courbe orne sa concavité vers cet axe, comme cela a lieu pour la urbe de la Jig. 4»» ^l- ^A par exemple.

Méthode de Poncelel.

180 bis. L'aire akGBb limitée à la courbe ACD...LB, à l'axe s abscisses ab et aux ordonnées extrêmes An, B6, étant nsée décomposée en segments trapézoïdaux par des ordones équidislantes, nous considérerons d'abord le cas où les » de courbe correspondants ont tous leur concavité dirigée rs Taxe ab.

le divise la base ab de l'aire en un nombre pair db parties

lies, doni je désigne la commune longueur par h. Soil, par îDiple, 6 ce nombre; je mène les ordonnées aux points de

198 MÉCANIQUB INDUSTIIBLLI.

division i, 2, 3, 4» 5, 6 de la base, et j'appelle j^i,^^,,^*, ru. n, y^yj'-i les valeurs numériques de ces ordonnées limitées à la courbe. Je joins, par des droites ou cordes, AC, BL, les extrémités des deux premières ordonnées et les extrémités des deux dernières; puis, de deux en deux, à partir de^j=:Cf, les extrémités des ordonnées intermédiaires qui occupent des numéros de rang pair.

J'obtiens ainsi un polygone inscrit, dont Taire, moindre que celle de la courbe, est exprimée par

^- /i ( ,s + ii±i' - û±i-)

en appelant S la somme des ordonnées de rang pair.

Je mène, à l'extrémité de chaque ordonnée de rang pair, une tangente terminée à l'ordonnée qui la précède et à celle qui la suit immédiatement, et j'obtiens ainsi une aire polygonale à angles saillants et rentrants, plus grande que l'aire de la courbe, et qui a pour expression

2 h)\ -h a hy\ -+- 2 hy\ ^^ 2 AS.

En prenant donc pour valeur approchée de Taire mixtilignc la demi-somme des aires polygonales, il vient

Terreur commise étant moindre que la dcmi-dilTérence enuc ces mêmes aires, ou que

En général, si Ton divise Tintervalle ah des ordonnées extrêmes en 2/1 pariies égales, on aura, pour valeur approchée de Taire correspondante,

A = A ^s -^ yi±I^ - --r~\

i, pour la limite supérieure de l'erreur qui a pu être cornlise, *

Je joins par des droites AB, CL, les extrémités des ordonnes extrêmes et celles de la seconde et de ravant-dcrnière; es droites viendront couper l'ordonnée du milieu G g*, aux lOiDts respectifs M et N, tels que l'on aura évidemment

3) E = iA.MN.

L'une ou l'autre de ces expressions de la limite de l'erreur SMumise pourront servir à régler la marche des opérations vilbmétiques dans chaque cas, et détermineront, à l'avance len quelque sorte à vue, le plus petit intervalle ac ou bl des Uoonées exlrêmes qu'il convient d'adopter, et qui sont des irtfes aliquotes, en nombre pair, de l'intervalle entier nA. Lorsque la portion de courbe considérée est entièrement Qvexe vers l'axe ab des abscisses, l'aire relative au polygone "conscrit devenant moindre que celle qui se rapporte au Ijgone inscrit, il est évident qu'il suffira de changer l'ordre

soustraction ou le signe des résultats, pour obtenir une lite correspondante de l'erreur; l'expression de la moyenne i donne approximativement Taire cherchée restant la même. Il est évident encore que la méthode restera applicable au > où la courbe offrirait des points d'inflexion, des change* ;nts de sens de la courbure ou toute autre particularité esuticlle, pourvu qu*on la suppose partagée en parties concaves

convexes, limitées à ces points, et pour l'aire desquelles

appliquera les formules précédentes. Les chances d'erreurs

■ont même généralement moindres, puisqu'elles pourront

)ir lieu en sens inverse pour les différentes parties concaves

convexes de la courbe.

)uant à la détermination d'une limite approximative et su-

ïeure de l'erreur commise dans les mêmes circonstances,

ra nécessaire de rechercher cette limite pour chaque partie

rémentf aOn d'additionner leur somme.

tfln, il est presque inutile de faire remarquer que c'est

200 MÊCAHIQUE IHDCSTKIELLl.

surtout dans les parties où la courbure est très -prononcée ei s'écarte le plus de la ligne droite, qu'il conviendra de resserrer les ordonnées ou les opérations arithmétiques.

Applications numériques. — Soit d'abord à évaluer l'aire d'un quart de cercle, de rayon égal à i. Je divise le rayon qui sert de base à l'aire en lo parties égales; alors on a A=o,i, et l'on calcule facilement les longueurs suivantes :

Substituant ces valeurs dans la formule générale ci-dessus, 01 trouve, pour la valeur approximative de l'aire du quart d« cercle, 0,78413, et, pour la limite supérieure de l'erreur, 0,01077.

La valeur exacte de cette aire étant 0,78539, l'erreur commise est 0,00126, quantité beaucoup plus faible que la limiu précédente.

Ainsi la formule d'approximation nous donne l'aire à moitt de yjj près de la valeur exacte; approximation très-grande pour le petit nombre de calculs que l'on a eu à effectuer.

Soit ensuite à évaluer Vaire de l'hyperbole équilatère aym pour équation :rr= i, et dont les limites correspondent t X = 1 et X =^ 1.

Je divise toujours en 10 parties égales la base de Taire, c qui donne encore // = 0,1, et j'obtiens

ri= 1,000, ;-,= 0,9090, ^-4=0,7692, ^•6=0,6666,

r»:^ 0,5882, ^^0= 0,5263, J,,rz:0,5o.

La valeur approchée de l'aire est A = 0,69348; la limite d Terreur E m 0,0062; la valeur exacte de Taire étant le I09 riihine népérien de 2 ou 0,69314, Terreur commise estinoii

dre que o,ooo4 ou t-jVt»

En général, Tapproximalion est beaucoup plus grande qi relie qui est indiquée par la limite calculée de Terreur, ce qi n'a rien de surprenant; et, selon la nature particulière de courbe ou de la loi des ordonnées, il arrivera mêmequelqu fois que la somme relative au seul polygone inscrit ou au se

polygone circonscrit donnera un résultai plus approché que la moyenne de ces sommes. C'est ce qui arrive notamment dans l'exemple ci-dessus du cercle, où Ton a 2/18 = 0,7929; tandis que, pour celui de Thyperbole, on trouve 2//S = o,()i9 seulement; la courbe s'approchant ainsi plus de ses cordes que de ses tangentes.

Obscn*atio/i , — Celte mélliode de quadrature, que nousi'NtriiXons textuellement des Étênienis de Mvamiquv de M. Re^al, où elle ii été |)Ubliéecn premier lieu, a reçu de M. Purmenlier (Note sur Li comparaison des difTércntcs mélhodes d'approximation |>our la quadrature des courbes, MémoHal de rOfficierdu Gvnic^ n" XVI) un pcrfoctionnemrnt approuvé sans restriction par Poncelel. Co perfectionnement ronsi>le à prendre pour valeur approchée de Taire de la courbe, au lieu de la somme de Taiie de la Ggure inscrite et de la demi-diflerence entre celleH'i et Taire de la figure circonscrite, la somme de la figure inscrite et des deux tiers de la dilTérenco ci-dessus. Cette modification, obtenue par M. Parmeutier a l'aide de considérations tirées de la formule de Taylor, se justifie trèssimplement, comme Ta indiqué Poncelet lui-même, par cette remarque, que Taire d*un segment de ])arabo1e est les deux tiers de l'aire du parallélogramme dont les deux côtés sont la corde du segment et 1.) flèche comptéa parallèlement à la direction des ordonnées; ou encore, ce qui se rapporte peut être plus exactement à la figure nécessitée pour Tex{>osil ion de la méthode de Poncelet, que Taire du si^gmeul de parabole est les deux tiers de l'aire du triangle formé par la corde et les tangentes nienées aux extrémités de celle-ci. Kn reprenant la formule, nous trouvons

A =:: h (aS -4- '^''^^'"' ' - — ^-'') (*)•

Du travail produit par la détente des fj[az,

181. Exemple de la manière de calculer ce travail. — lieprenons maintenant la dernière des questions du n'' 179, et

(*) D'autres formulcii ont été donntM's par divers {;r(»ni('tr('A, vuXrv autres par M. Pîobert(i\Wir//« j4nnalc% de Mathèinathfuts^ i*"* sciio, t. XIII, p. \\'i\\ \'^'^\.., par M. Catalan {Nom^Uei Jnnahs df Mnthêmatiques^ \^*^ j-crû», t. X, p. f\\}\ i8ji). m. Dupoin a comparé q<*% diverses méthodes en tenant compte du double point de tuo de Texaclitudc et de la facilité des opérations; il est arrivé à celle coDcIution que, do toutes les méthodes proposées, celle de Poncelet non perfectionnée qui, sous le rapport de Texactitude, n'occupe pas (généralement le premier rang, doit pourtant être préférée dans la pratique, non-seulement parce qu'elle nécessite moins de calculs, mais surtout parce qu'elle donne une limlie loujonra certaine do Terreur commise. (K. )

aOl MÉCANIQUE IllDUSTRIBLLB.

appliquons-y la méthode qui précède, en négligeant d'ailleurs, comme nous Tavons fait alors, le recul de la pièce qui est (175) presque toujours insensible. Cherchons, à cet elTet, la loi que suivent les pressions de Tair à mesure qu'il se développe ou se détend en poussant le boulet en avant, c'est-à-dire (50) formons la Table qui donne, pour chaque chemin parcouru par ce boulet dans l'intérieur de la pièce, la pression correspondante. Soit Oi {PL II, Jig.^i) la longueur totale de l'âme, Oa la portion de cette longueur occupée primitivement par l'air, supposé comprimé à 1200 atmosphères; d'après ce quiaéié admis à la fm du n** 179, Oa sera le ^ de Oi, et le i de l'espace ai parcouru par le boulet; divisant donc ai en 8 parties égales aux points fr, c, d,.... A, elles seront aussi toutes égales à Oa, et représenteront chacune des volumes cylindriques de l'âme, égaux à celui qu'occupe l'air comprimé. Ainsi, quand le boulet sera successivement arrivé en é, en c, en rf, en e,.», en I, le volume primitif Oa, de cet air, sera double, triple, quadruple,..., nonuple. Et, si nous admettons (172) la loi de Mariotte(16) (*), la pression exercée par cet air, sur le boulet, qui d'abord était de 1 200 atmosphères, n'en sera plus que laî, le K le 1,..., le |; c'est-à-dire qu'elle sera respectivement

Do 1200, 600, 400. 3oo, 240, 200, 171, i5o, i33atm.

Aux points a, b, c, r/. r, /, /», //, /,

Ayant pour n**. i, 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Élevant les perpendiculaires aa\ bb\ ce',..., ii', sur Oi, et, portant, sur ces perpendiculaires, des longueurs proportion- j nellos aux pressions correspondantes, on formera la courbe j a'b'c\..i\ nommée hyperbole équiiaière, et dont la pro--; priéiê osseniielle consiste en ce que les produits de chaque or- ! donnée par son abscisse sont constants, ou, ce qui est la même] chose, on ce que les ordonnées suivent le rapport réciproqnei ou inverse des abscisses correspondantes. La surface de ccttli courbe, limitée aux ordonnées aa\ ii', et à Taxe ai, repré^ sente, d'après le n* 7i, la valeur du travail variable développé

awv inx1io4l otî< xîo ïa >.^:: ia r.* IT.'*: «»< corn?rti».*ns b* modifieraient en rk 1rs ^vncUisiv^ns lormuUv* dir* le n* lïC. K.

APPLICATIONS» BTG. 2o3

pir le ressort de l'air contre le boulel; mais il n*esl pas nécessaire de tracer la courbe elle-même pour obtenir la mesure de ce travail; le tableau ci-dessus suffit, en y appliquant la méthode du n^ 180, car l'Intervalle total ai se trouve justement divisé en un nombre pair de parties égales par les diverses ordonnées.

On a ici, en effet, pour

Il toteme det ordonnées extrêmes i ttoo -h 1 33 = 1 333*^™

Ikfokeelleàes autres ordonnées impaires. Q(4oo-Ha.'|0-H I7i)=ii6a3

4iNS ceUe des ordonnées paires /|(6oo-i-3oo-H300 + i5o) = 5ooo

ToUl 7955

atm

Il faudrait multiplier ce résultat (177) par i^'SoSS, puis par [k surface de 176'centimètres carrés du cercle de section de le, c'est-à-dire par i8i^«,8i, pour avoir la somme des presms véritables. Pour obtenir le travail total résultant *de pressions, il faudra, de plus, multiplier cette somme jab = ^Oa; le résultat sera donc jOaX 7955»*"», ou |*65i**~,7 X Oa multipliés encore par i8i*^«,8i, ce qui donne ilemem(177)

482 io5^s6 X0a = 482 io5^»,6 X ; 3™, i = lôGoSg»'»'».

La courbe des pressions tournant sa convexité vers l'axe OB abscisses. Il est clair (180) que le résultat obtenu doit sur- $r un peu le véritable; on voit aussi que la courbe diffère icoup d'une ligne droite dans la partie qui répond aux Ils V, c\ d'y «'; il y a donc lieu de craindre que l'excès, il s'agit, soit assez considérable pour qu'on ne puisse le \r; en conséquence, il conviendra de multiplier davanles opérations vers les points b, c, dy e. Pour ne pas être de recommencer tous les calculs, nous considérerons b portion de l'aire totale, comprise depuis aa' jusqu'à ^» et nous sutKlîviserons les intervalles primitifs des ordoneo deux parties égales aux nouveaux points m, n, p, q; me d'elles sera donc égale à jOa, et les espaces occupés îivement par le volume primitif Oa de l'air seront res-

ao4 MÉCANIQUE IMDUSTBIELLB.

peclivemenl

Oa -h jOa= îOaen m, (2 -h {)0a= ^-Oaen /i,

(3-f- ;)Ort=: JOa en/i, enfin

•Oa en q.

Par conséquent, d'après la loi de Mariolle, les pressions correspondanlcs seront les-, les J, les 7 et les \ de la pression de 1200 atmosphères, relative au point a; en joignant à ces pressions celles déjà calculées plus haut relativement aux points fe, e, r/, e, on formera, pour la portion ae, la nouvelle Table qui suit :

Fraisions.. 1200. 800, 600, 480, 4o<>, 343, 3oo, 267, 24oalra.

Points ^j w, bj //, r, />, ri, q^ r,

Numéros.. i, 2, 3, 4? 5, G, 7, 8, 9.

Par conséquent,

Somme dos pressions extrêmes laoo 4- a^o = ij^o""

1 fois celle des pressions impaires. . . i (600 -h .'|00 -f- 3oo) s= î6oo

/| fois celle des pressions paires '| ( 800 -h 480 -f- 343 -+- 267 ) = 7'»6o

Total iiGoo*'"

qu'il faut d'abord multiplier par [aniTz^^Oa, ce qui donne pour résultat \ 1 1 600 X Ort — i 933"*"", 3 X Oa, et ensuite par iSi'^^Si. Mais, comme cette dernière multiplication se reproduirait à la fin de chaque résultat, et que nous ne voulons ici que comparer entre eux les chilfres de ces résultats, nous négligerons de relîecluer, dans ce qui va suivre, afin d'abréger les calculs; seulement on devra se souvenir, dans les applications particulières, (|ue, pour obtenir le travail véritable, il restera encore à mullipli(îr cha(|ue nombre trouvé, parla pression totale qui répond à la surfi^ce de section de l'âme et à la pression atmosphérique movenne.

En recherchant, comme on vient de le faire pour la partie aa'ee'y le surplus ee' i' i de la surrace de la courbe, et bornant simplement les opérations aux points de divisions/, g^ /i, qui

APPLICATIONS, ETC. ao5

îront alors une approximulion suffisante, on la trouvera a

iOa[24o -f- 133 -f- 2. 171 4-4(200 -f i5o)]

= }2 I i5.0a =: 705»"" X Ort.

lai général esl donc

i933-«"*,3.0a4-7D5«*'».Oa = 2638«»"',3.0a,

ilé irès-peu moindre que celle 265i**",7.0a trouvée ieniment; ce qui prouve Texcelience de la méthode.

. Pression moyenne de l'air, vitesse imprimée, etc, — ue/i/ = 80«, représente la longueur d'âme 2", 75 décrite boulet, il est clair que 2638"*", 3.0a, divisé par 80a, )=**", 8, indique précisément (177) la valeur moyenne de îsion que. en vertu de sa détente, Tair exerce contre ce i. On voit donc, sans aller plus loin, que la vitesse ime à ce dernier surpasserait 5oo mètres dans les suppo- > actuelles, puisque TeiTort moyen de la poudre, pour ner celte vitesse, s'élève au plus à 3o8 atmosphères (177). 5t très-facile,, au surplus, de calculer quelle est la tenue devrait recevoir le volume ou la charge d'air, reprépar Oa, pour imprimer au boulet la vitesse jusle des êtres, tout restant le même d'ailleurs et la pression des imosphères étant seule changée; il esl évident, en effet, s résultais partiels et toiaux des opérations ci-dessus rent proportionnels à la pression primitive. On posera 1 proportion

la tension demandée.

obtenir un tel degré de lension à l'aide d'une machine ression ou d'une pompe foulante (179), il faudrait, a \oï de Mariolle, coercer, dans le petit espace repré- •O/i, un volume d'air, pris à la lension atmosphérique », qui serait égal à 1 121 fois On\ el, comme les dent proportionnelles aux pressions (36), on voit que le ibe de Taîr ainsi condensé pèserait aussi 1121 fois

1,8: 1200:: 3o8:a: d'où x= 00 —1121*^"

206 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

celui de l'air ordinaire, dont le poids est» a peu près (40), de i^S3, c'est-à-dire 14^7 kilogrammes; la densité de Tair du réservoir devrait donc égaler presque 1 { fois celle de Teau, et son poids, qui serait (179) de 0"% 006 Xi457''' = 8^*1742, surpasserait même le double du poids de la charge dans le tir avec la poudre (177). Or il pourrait bien se faire que, par suite d'un tel rapprochement des parties, l'air se convertit en ud liquide véritable, ainsi qu'il arrive pour plusieurs autres corps gazeux, et notamment pour les vapeurs (3 et 5), lorsqu'on les comprime seulement de quelques atmosphères.

Quoi qu'il en soit, il parait difficile d'admettre qu'on puisse, de longtemps encore, obtenir l'air à un pareil état de condensation, et il y a lieu de croire par conséquent que la poudre, qui nous représente également un grand volume de gaz coercéi dans un petit espace et dont la tension est neutralisée par h force d'affmité ou d'agrégation des parties, que la poudre qui est si facilement transportable, continuera, à moins de découvertes chimiques majeures, à remplir dans les combats le rftie qu'elle y joue depuis tant de siècles, malgré l'élévation de son prix comparé à celui des autres moteurs, et malgré l'incon* vénienl, quelquefois très-grave, qu'elle présente de rendre inhabitables les lieux clos où l'on en fait usage.

183. Des avantages de la détente prolongée et de sa limite utile. — Nous avons supposé la pièce de la longueur ordinaire, mais on gagnerait nécessairement quelque chose, sur la len- ! sion primitive de l'air, en augmentant cette longueur; car ici j les effets du refroidissement (173) ne paraissent pas, à beau- i coup près, avoir autant d'influence que lorsqu'il s'agit des gai j de la poudre. Il n'en serait pas de même évidemment des ^ pertes croissantes dues au jeu du boulet dans la pièce, ai j frottement, à la résistance de Tair atmosphérique extérieur, ! et il est probable que, passé un certain terme, on retirerait, en raison de ces pertes, fort peu d'avantages en augmenlaol les dimensions de l'âme : calculons néanmoins le surcroît d'effet produit par la délenle prolongée de l'air, en négligeant tout à (i\ii les perles dont il s'agit.

Supposons d'abord que Oi [PL II,Jig> ^i] soit augmentée (le doux parties y, 7/», égales chacune à Oa ou à J- de la Ion-

APPLICATIOKS» ETC. 207

gueur totale Oi de rame, considérée dans le premier cas (181); on trouvera, pour les pressions exercées en /,y et k respeclîvementy

1 1 200*«"= iSS**», -pî ï 200»»'» z= I 20"*'", -^ I 200"'™ -. 109"*"».

Donc (80 et 81) la surface de ii'h'k aura pour mesure |Oa(i33H-io9H-4.i2o)=OaX \ 722 = 240»»", 7 xO/r environ;

c'est-à-dire qu'en donnant à Tâme une longueur totale de 3*,io -i-{3"",io = 3'",8o, la quantité de travail de Tair sera augmentée d'à peu près 7^ de sa valeur 2638**"», 3 x 0/ï, relalive à la longueur de 3", 10.

En prolongeant de nouveau l'ûme de /ir= /7r== aOn, on trouverait^ de la même manière, que Taugmentation de travail du fluide serait de 2oo*^'"x0a; la somme totale du travail développé par la détente de ce fluide, pour la longueur d'âme de 4**» 4^ Qu> excède, de près de moitié, la longueur primitive, serait donc

(2638, 3 4- 240,7 4- 200) Oa = 3079»»'" x Ort,

c'est-à-dire qu'elle surpasserait de \ celle qui se rapporte à cette dernière longueur; de sorte que la force vive imprimée au boulet serait aussi plus forte de ^. Quant à la pression moyenne, dans le cas actuel, on la trouvera en divisant le travail total 3o79*'"X Oa, par flr= i20rt, longueur d'âme décrite

30-q"*'" X Oa par le boulet, ce qui donne — - — vr — 250^*", 6 environ :

cette pression moyenne est, comme on voit, moindre que celle qui répond au tir'ordinaire avec la poudre (177), quoique la force vive imprimée soit réellement augmentée dans le rapport de la quantité de travail 3079^"" xOa, à celle BoS'^^X 80a = 2464'*"* X 0^, qui est relative à ce dernier cas, la longueur d'âme étant alors 80 a.

S'il s'agissait seulement d'imprimer au boulet la vitesse de 5oo mètres, comme dans ce dernier cas, il suffirait (182) de comprimer l'air du réservoir à la tension de

-^^ =:g6o'**'" environ.

3079 XOa -^

2o8 MÉCANIQUE INDUSTEIBLLI.

Pour une vilesse moitié, ou de 25o mètres, il suffirait (178 e( 182) de donner le quart de 1 200 atmosphères ou 3oo atmosphères de pression à Tair du réservoir, dans le cas de la pièce courte, et 7960 — s>4o"*™ dans le cas de la pièce longue. En allongeant de plus en plus l'âme, il est clair que le travail, produit par la détente, irait aussi en croissant; de sorte que, pour produire les mêmes effets, la pression absolue dans le réservoir pourrait être progressivement diminuée; mais on remarquera que, passé un certain terme, cet accroissement et cette diminution deviendraient peu sensibles, même en faisant abstraction de toutes les causes de pertes rappelées cidessus. Car nous avons trouvé, par nos diverses opérations, que le travail était proportionnel à 1933**°", 3 pour le point e (PL II, Jig4i),hj 933-'",3 H- 7o5«*" = 2638*«»,3 pour le point/, à 2 638»*'",3 -f- 240""» 7 -^ 2oo**"= 3o79»''» pour le point r; de sorte que, dans la première partie ae de la détente, il est prés du triple de celui qui répond à la seconde partie ei =0^, et près du quintuple de celui qui est développé dans la troisième ir= ae, A une distance du point a égale à ibo fois ae, ou à

400 fois Ou, la pression serait réduite à environ — 7 = 3"^,

et le tra/ail, sur une longueur égale a ae ou ^Oa, serait, au plus, 40rtX 3**"*-:i9.««'" xO^/, ou Yj-j de celui qui est produit dans le premier intervalle ae, etc. Or on conçoit que les résistances et pertes de toute espèce suffiraient alors pour absorber ces faibles augnîenialions du travail.

En calculant d'ailleurs le travail total développé par la détente de l'air, dans cette longueur d'ame de 100 fois ae, on le trouvera égal à environ 72oo'**'"X On, quantité qu'il faut diminuer, tout au moins, de celle i"*'" x 4^^^^ :=4oo"*'"xOff, qui est absorbée par la pression de l'air atmosphérique extérieur; ce qui la réduit à G800''*'" xOrt, qui surpasse très-peu le double de la (pianliié de travail

3079^"° X 0</ — !**•" X ï20a — 3067»*"' X Oa

relative au point /•; mais, eu égard aux autres genres de pertes, celle première quantité do travail serait moindre encore.

\Hï. Examen pailicnlier des différenfes causes qui (liminuenl les effets de la détente des ç^az. — Nous avons déjà

isieurs fois remarqué que le froliement du boulet, dans me de la pièce, est une quantité très-faible et qu'on peut ujours négliger, tandis qu*il en est tout autrement de la perte : gaz, occasionnée par le vent du boulet, laquelle tend conluellement à diminuer la densité et la pression intérieures, i manière à les faire différer de plus en plus de celles qui, îlon la loi de Mariotte, auraient lieu, sans cette perte, pour laque position du boulet. Connaissant le jeu de ce dernier insTâme, il ne serait pSis impossible, à la rigueur, de calculer I perte de gaz dont il s'agit, d'après les lois de l'hydraulique viseront enseignées dans une autre Partie de ce Cours; car eite perte est proportionnelle à la vitesse avec laquelle le laide tend à s'échapper en vertu de la pression intérieure, et h surface du vide qui règne au pourtour du boulet, surface lui, a largeur égale, croit à peu près comme le calibre des lièces ou la circonférence du boulet.

Mais il est une autre cause de déchet de la force motrice, et |Di exerce une influence peut-être plus grande encore sur la phesse du boulet : c'est celle qui provient de l'inertie même la fluide. En effet, la force de ressort de ce fluide n'est pas pilquement employée contre le boulet; une portion sert à hiprimer le mouvement à ses propres molécules, et il en ré- Mlle une perte de travail mesurée (136) par la moitié de la ionme des forces vives qui leur correspondent. Or la vitesse de BBS molécules et leur poids total (182) étant généralement très- XNDparables à la vitesse et au poids du boulet, on conçoit que I perle dont il s'agit est généralement aussi très-appréciable, t mériterait d'être prise en considération, s'il s*agissait de dculer rigoureusement les circonstances du mouvement (*).

B résulte de là, d'ailleurs, que la pression éprouvée effectif unentparle boulet, de la part des gaz, diffère plus ou moins e celle qu'il éprouverait, dans les mêmes positions ou pour ^ mêmes délentes, s'il était sans mouvement, ainsi que le uppose expressément la loi de Mariotte (IG), que nous avons irise pour base de tous nos calculs (**); et cette remarque s'ap-

(•) Voir à ce sujet le Traité d' Artillerie de M. Piobert, III« Partie. (K.)

f •* j Consulter la Note de Poncelcl sur l'écoulement de l'air {Comptes rendu étiiimceide V Académie des Sciences ^ t. XXI, p. i^S). (K.)

210 MÉGANIQUE INDUSTBIELLE.

pliquc aussi à la tension qu'exerce le fluide sur les différenis autres points des parois de la pièce ou sur lui-même^ laquelle, d'après le principe de Pascal (14), se trouverait répartie également et en tous sens, s'il y avait repos. Cette tension varie d'un point à un autre de la longueur de l'âme, conformément à la remarque du n"" 68, elle est plus faible là où le fluide éprouve plus de facilité à se mouvoir, c'est-à-dire près du boulet; elle est plus forte, au contraire, là où il éprouve le plus de résistance, c'est-à-dire vers le fond de l'âme, puisqu'elle doit y vaincre à la fois la résistance provenant de l'inertie du boulet et de tout l'air interposé. Enfin il n'est pis moins évident que la vitesse du fluide varie, de son côté, selon la distance du boulet au fond de l'amc, et qu'elle est plus forte près du boulet qu'à la culasse où elle se réduit à la vitesse du recul (17&-), vitesse dont la direction, contraire à celle du boulet, indique même qu'il se trouve, non loin de là, uo point où le fluide est complètement en repos.

On voit, d'après cela, qu'il existe une relation nécessaire entre la vitesse et ta tension ou la densité (36) des molécules en chaque point; de telle sorte que, cette densité étant précisément la plus faible là où la vitesse est la plus forte et ré- . ciproquement, il en résulte nécessairement aussi que la force vive des différentes tranches élémentaires du fluide, comprises entre des sections perpendiculaires à l'axe de la pièce, doit être une quantité assez faible comparativement à celle qu'auraient ces mêmes tranches, Si, conformément au principe de Pascal, la densité était la même partout et si la vitesse éiall aussi, dans les différentes tranches, égale à celle du boulet. Mais, comme à l'instant où ce dernier quitte la pièce, les molécules du gaz sont encore dans un état de tension irès-grande, surtout aux environs de la culasse, il en résulte qu'elles conservent aussi une quantité d'action disponible très-comparable à celle qui a été développée utilement contre la pièce et le boulet, et qui, réunie à la moitié de la force vive déjà acquise par ces diverses molécules» doit la surpasser d'autant plus que la pièce est plus courte ou la détente moins prolongée. EnOn, il ne paraîtra pas moins évident que, puisque la pression contre le fond de l'àmc surpasse notablement celle qui a lieu contre le boulet, la quantité de mouvement imprimée à la pièce (173)

Bl qui produit le recul quand celle pièce csl libre, doii eire aussi plus grande que celle que recoii le boulet; de sorle (|ue la vitesse du recul esl, par un double nioiir(17V}, plus forte que ne l'assigne le principe du n"* 17:).

185. Réflexions nouvelles sur la dépenlition inévitable tlu travail flans la réaction des corps, et sur les courtes mais rapides détentes des gaz, — (]c ne serait pas ici le lieu d'entrer dans de plus grands développements sur les lois du mouvemeni et de Faction des gaz, lois qui se reproduisent, d'une manière analogue, dans le choc ou la réaction plus ou moins briisque(153 et suivants) des corps élastiques; nous avons voulu seulement donner une idée de la nalure des causes (|ui empêchent que la détente n'ait son enlier ellet, et prouver surtout que l'inertie des molécules des gaz, lorsque cette délente esl rapide, peut exercer une certaine inlluence sur le mouvement transmis au boulet, et occasionner des perles d*efl'et tout aussi appréciables que celles qui proviennent des fuites et des diverses résistances. Il est donc bien vrai de dire (144), 103 et suivants) que la quantité de travail qui a été primiliîemeni dépensée, pour changer la forme, la position ou en général Tétat d'un corps, ne peut jamais être restituée d'une manière complète, ou sans qu'il y en ait une certaine portion de consommée, en pure perte, pour l'eifet utile; car il s'agit ici de gaz qui sont des corps éminemment élastiques.

A la vérité, on diminue considérablement les pertes lie travail, occasionnées par l'inertie des molécules des gaz, en utilisani leur force de ressort contre des masses ou des résislances plus grandes que celles d'un boulet de canon ordinaire, et qui ne cèdent que lentement ou avec peu de vitesse à leur action ; mais alors la déperdition du calorique et les fuites augmentent rapidement avec le temps; et si, dans la vue d'éviier ces fuites, on cherche à diminuer le jeu au pourtour du boulet ou du piston, jeu vérilablemeni indispensable, on augmente considérablement le frottement le long de ce pourtour. Enfin, en admettant même que ces différentes causes de perle n'existassent pas, il arriverait encore qu'on ne pourrait utiliser complètement le travail recelé dans le volume primitif des gaz, puisque le cylindre où se fait la détente ne saurait recevoir,

212 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

dans rexéculion, qu'une longueur fort restreinte par rapport à celle que lui assigne la théorie^ pour le maximum d*elTel.

Ces dernières réflexions sont principalement applicables à la détente de la vapeur d'eau, dont il sera fait mention plus loin; mais il ne faudrait pas en conclure généralement que la détente des fluides élastiques présente peu d'avantages, et que tout son effet est absorbé dès les premiers instants oii elle s'opère; car Texpérieiice prouve, même pour les gaz de h poudre dorit l'action diminue beaucoup (173) par le refroidissement, que, si cet effet a une limite nécessaire dans chaque cas, cette limite n'est pourtant point aussi rapprochée qu'on pourrait d'abord le présumer d'après ce qui précède. On peut admettre, par exemple, que la détente, dans le cas examiné ci-dessus, et quand le vent est réduit à ce qui est strictement nécessaire, ne cesse pas d'être avantageuse tant que le volume occupe par le gaz n'excède pas 4o ou 5o fois le volume primitif. Nous verrons bientôt d'ailleurs que la limite relative aui machines à vapeur ordinaires est beaucoup plus restreinte.

On est obligé, dans l'artillerie, de se servir de pièces trèscourtes, telles que les obusiers et mortiers qui servent a lancer des boulets creux; il semblerait donc, au premier aperçu, que les effets de la détente devraient y être à peu près nuls, de sorte qu'à charge égale de poudre, la force vive imprimée lU projectile y serait beaucoup moindre que pour les pièces longues, ce qui n'est pas. Mais on doit observer que, dans les j)remiùres pièces, la charge est toujours irùs-faible par rapport nu poids de l'obus ou de la bombe, et que le rapport du volume occupé par la poudre au volume total de l'âme, diffère peu de celui qui est relatif aux pièces longues; or 11 en résulte (jue les (|uaniilés de travail totales développées par la détente des gaz doivent, à circonstances semblables, être encore à peu |)rùs les inruies dans les deux cas, et que la seule différence doit coiisisier en ce que la force motrice, la pression sur le projectile, est plus grande dans le dernier et opère son efîet total dans un tenips beaucoup plus court. C'est ce que démontrent, on ell'el, les principes qui suivent.

18G. Principes relatifs au travail produit par la détente //« {faz. — L'un des plus importants d'entre eux, envisagé sous

APPLICATIONS, ETC. ai3

son point de vue le plus général, ronsislc en ce que, quelle que soit la manière dont on fasse agir un volume donné de gaz comprimé à un certain degré, sur une résistance qui cède graduellement à son action, le travail développé sera, toutes choses égales d'ailleurs, constamment le même pour la même détente ou la même augmentation du volume primitif. Comme ce principe a de nombreuses applications dans les arts, nous ne croyons pas inutile de nous arrêter un instant à sn démonstration, en prenant pour exemple le cas des mortiers.

On sait que, dans ces armes, la poudre est enfermée dans une cavité cylindrique particulière ABCI)(P/. Hyjig' 4^)> nommée chambre, et dont le diamètre est beaucoup plus petit que celui de l'âme ou du projectile. Or, si nous faisons abstraction des propriétés physiques particulières de cette poudre, pour ne nous occuper que des effets de la simple détente des gaz qu'elle produit par son inflammation; si nous supposons, en d'autres lermeSy qu'elle soit remplacée par un volume égal de gaz comprimé à i^oo atmosphères, par exemple, comme dans le cas examiné plus haut, il nous sera facile de calculer la quantité de travail que, abstraction faite des pertes ( 18^ ), ce gaz produira par sa détente dans Tintérieur de Tame, en concevant toujours» pour la simplicité, le projectile remplacé par une sorte de piston ou cylindre de même diamètre que celui de râmCy et qui serait terminé par une face plane MN du côté du fluide; hypothèse qui n'altère en rien les résultats, attendu qu'on prouve aisément, par les principes qui seront établis plus tard, que le travail, communiqué par le fluide, est indépendant de la forme du projectile censé remplir exactement le contour de l'âme. Tout consistera donc encore à déterminer la valeur de la pression totale exercée, par le gaz, pour les diverses positions du plan MN.

Supposons, par exemple, que, le piston étant arrivé en h, le volume occupé alors par ce gaz soit égal à 6 fois le volume primitif ABCD; d'après la loi de Mariette, la pression sur chaque centimètre carré de la surface de la section MN, correspondante à 6> sera aussi \ de 1200 atmosphères ou 200 atmosphères; par conséquent la pression totale», snrcelto section