EA
EA
On voit atissi, d'après e(»s considérations, que la forcée n'sisfanrr t'^lastique des prismes n'est, à proprement parl^^* que la rniilrnr prise potu" l'unité de longueur de ces prismw-
Entin, si, au litMi de sounietire le prisme cidessusâu" (»n'oii dr irariion, on lui rn appliquait un de compression, toujours mesmé par P, et (|tii fut néanmoins incapable del^ fairi» plier ou lléehir transversalfuienl, les allongements /eU se rhangeraiiMït en aecourcissemenis correspondants, et tous
. DBS RÉSISTANCES. 3oi
raisonnements resteraient les mêmes aussi bien que les nules. De plus, on doit admettre, d'après ce qui a été (225), pour le système de deux simples molécules, que la otite E conservera la même valeur dans les deux cas et ir des allongements ou accourcissements censés toujours s-peiits.
î37. Définition du coefficient, ou module d'élasticité. — nombre E, qui entre en facteur dans les formules précé- Iles, et qui indique, en quelque sorte, l'énergie de la réftnce, ou réaction élastique d'une substance quelconque, té nommé : par les uns, coefficient^ par les autres, moh de l'élasticité; sa considération est très-importante dans îles les questions de Mécanique appliquée. tour en acquérir une notion plus précise, on supposera, en ttculicr. Taire A, des sections transversales de la barre ci- Rnis, égale à l'unité superficielle, et recherchant le poids P' i serait capable de l'allonger ou accourcir d'une quantité lie à sa propre longueur, si un pareil allongement ou acircissement était possible physiquement sans que la vair de E fût changée , on fera , dans la formule générale !? AEi,
A = I, /=:L ou l=rl,
'sorte qu'on aura
Ëiat qui montre, conformément aux notions admises par omètres, que le coefficient d'élasticité d'une substance gène quelconque n'est autre chose que le poids qui serait 4e d' accourcir ou d'allonger une barre prismatique, forde cette, substance et ayant l'unité de surface pour sec-»^ transversale , d'une quantité précisément égale à sa Ion- \r primitive,
\e manière d'envisager la force élastique est analogue à dont nous avons vu (132 et 133) qu'on mesurait les motrices variables par la vitesse finie qu'elles imprime- Int directement à un corps, au bout de l'unité de temps, si ilcur supposait une intensité d'action constante, et précisent égale à celle qu'elles possèdent à l'instant considéré. isil convient de ne jamais perdre de vue, dans les appli-
rations, l'origine de pareilles définîtions, qui souvent offrent une contradiction apparente avec les faits naturels.
2ÎÎ8. Consid/'mtioiis géométriques ft physiques retativai la loi (le la nUistance élastique. — Puisqu'il existe pour toas les corps solides, même pour ceux qui sont considérés comme les plus élastiques, une limite passé laquelle lesallongemenls ou accourcissements / cessent d'élre exactement proportlOBnels aux efï'oris de tracticm ou de compression correspondants \\ il faut bien admettre aussi qu'en deçà de cette limitCi plus ou moins reculée pour chaque cas, la valeur de E varie avec le déplacement absolu des molécules, d'une manière qui peut bien être insensible à nos moyens d'observation, imis qui n'en existe pas moins dans la réalité. Rn général, les efforts de traction ou de compression et la résistance des prismes, doivent suivre des lois mathématiques, par cela seul qu'il existe de pareilles lois entre les forces d attraction cl de répulsion des molécules qui les composent. Ces lois peuvent ètretrèsr distinctes de celles qui se rapportent aux molécules individuelles; mais, en les supposant données par l'expérience, dans chaque cas, on peut leur appli(|uer des considérations géométriques analo^'ues à celles dont nous avons fait usa^e aux n"' ii2l) et suivants, et en déduire des conséquences souvent ulil(*s.
Si l'on construit, (»n etIVt, une courbe avant pour abscissi'S
b»s ailon^MMuenis ou accnurcissfMuents, et pour ordonnées les
etloris de traction ou de compression relatifs à chaque M
d'équilibre stable du prisme, en observant de porter en si*ns
contraire b\s abscisses et ordonnées simplement relativesaut
accourciss(Mïienis et aux compressions; la discussion, établie
à j)eu prèscouïme aux endroits cités, IV^ra connaître la manière
dont la résistance élastique, considérée pour la longueur totale
ou runilé (!(» lonj^ut.'ur de ce prisnit», varie avec chacun des
changements (U* l'orme qu'il a éprouvés : cette résistance sera
ici évidcMumcMil m(.'surée(*) par rinclinaison, sur l'axe des
abscisses, de la tauj;ente au point correspondant de la courbe,
c'est-à-dire par h» rapport constant de raccroisseinent des or-
(• ) / oMZ |)iiiiri|>aloiiii>iit les .Xob's qui act'oin|iai;ni^iit les i|0« î'iiO, Îi'i7 elî'S.
« I>B8 BÉSISTANCES. 3o3
inées à l'accroissement des abscisses de cette tangente, port qui peut se confondre sensiblement, dans une étendue s ou moins grande de part et d'autre du point de contact, c celui qui se conclurait des accroissements ou diminutions » ordonnée set des abscisses mêmes de la courbe dont il s*agi t. ifaintenani si l'on porte chacune des valeurs de ce rapport ' l*ordonnée correspondante, on obtiendra les points d'une jvelle courbe qui fera connaître la loi même des variations s subit la résistance élastique pour les divers allongements prisme. Enfln, si Ton calcule, d'après la méthode du n^ 180, re comprise entre la première de ces deux courbes, Taxe k abscisses et deux quelconques de ses ordonnées, on oblidra(72) la valeur du travail mécanique nécessaire pour iicre la résistance que le prisme oppose à l'action de la ce qui lui est appliquée, entre les deux positions qui corrodent à ces ordonnées.
Vous appelons spécialement l'attention du lecteur sur ce ire de considérations qui peut servir, dans chaque cas, à se leurer, par l'expérience, des données claires sur ce qu'on Mme, en général, la raideur, la résistance élastique des I|I8; car ces considérations s'appliquent évidemment aussi jîl corps solide de forme quelconque, sollicité par un effort t agit dans une direction constante, perpendiculaire à sa ^CQ extérieure, et dont le point d'application décrit, dans »ns de cette même direction, des chemins qui croissent, son intensité, suivant une loi exprimable par une courbe inue. En effet, cette résistance sera toujours donnée, pour me des positions du corps, par rinclinaispn de la tancorrespondante de la courbe, sur l'axe des abscisses, aux déplacements du point d'application de la force.
L Données et obseivations générales sur cette loi, — En
|uant, par exemple, ces considérations à la détente ou à
ipression des gaz, dont on s'est occupé aux n** 181 et
\\s[PL Hfjig» 4* 6^ 4^)» *^" trouvera que leur résistance
lue va constamment en diminuant à mesure que le vo-
ou la délente augmente, et réciproquement; mais que
a Jieu suivant une progression beaucoup plus rapide que
^fiiidique la loi de Mariotte pour les simples pressions,
3o4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
puisque la rcsislunrc dont il s\igit suit alors la raison inverse du carré des volumes.
Quant aux prismes solides, il parall qu'à partir des premieis iiistanls, la résistance élastique croît, en général, avec lese^ forts de compression, et diminue, au contraire, à mesure que les elîoVts de traction augmentent, à peu près comme on h admis (229) pour le cas de deux simples molécules: mais htexpériences connues ne permettent pas d'affirmer qu'au deli' d'une certaine limite, la force élastique devienne nulle et eicore moins négative (229), ni que les prismes entiers prése» tent des états d'équilibre, alternativement stables ou instabiOi* analogues à ceux qui ont été mentionnés dans les n** 231 et i)|
Les courbes des Jig. 4? et 48, Pi. II, relatives à des expériences qui seront rappelées plus loin, sur la résistance le prismes solides tirés verticalement par des poids, et dont abscisses et ordonnées expriment les allongements et cbarges correspondant aux états successifs d'équilibre, courbes montrent, par Tinclinaison de leurs tangentes suri' horizontal des abscisses, que la résistance élastique, d*abord reste sensiblement constante, diminue souvent d'u! manière très- rapide a partir d'un certain terme, sans né moins devenir rigoureusement nulle, même pour les alio menis très-voisins de la rupture. Or cette dernière circoail staiioe tient, sans aucun doute, à la difticulté (|u*on éprouve! observer les ét;a> d'êtjuilibre instables: à la rapidité avec Im quelle la résistance du pri>nie décroît dans les instants oi s'opère la séparation complète des parties: enlin à ce quflj vers re< inst^mis, les allongements cessent de s'opérer uni^ loi moment sur ri'lendu»-* eniitMc lie la barre, et n'ont plus lid sen>ihU'uieMt que sur la |»Miii«.»n. <ou\eiit très-courte ponrlei cor|i> rdides. l-u sh fiiii la >*.'j'<i[aiiMii définitive des molérule!(j l'Ortii'U dont rjll'TJlii.tn i-ld<iii|Ut? e^l masquée par la force dl it'ssoîi quo «'••ii>'.*i\riii i.ii'.orH le> «,u(res parties, «*t qui se mi! iHU'>i«' ouiiicuu'ni •qiir> 1(1 ni[<iure complète. «t
i\'ilo dt'inu'i'- c«iiïi'ivr.iii<»n uiii voir qîie la résista n^^eél
liijiiv* do Li i'.iiiO riili'.-re, «nix in^tafits qui précèdent cel
riij i\iio. osi K\\\\- >«'.l'- w nivxr-iiii.* ijui n»- ^aurait élreconfc
iuo jNoo la r.'>i>i>ii t • ïî Cii\t' .J\uî' '.ni dt* ses élt*menls, c^
•jui vîiîi.inue l-rjUCMisj- >,^.ii importance sous le point de vue
DBS RÉSISTANCES. 3o5
ique. Quant à la résistance absolue, sans rien vouloir pré- \T sur ce qui se passe dans un assemblage de molécules U comme nous le verrons bienlôt, les unes se rapprochent se repoussant, en même temps que les autres s*écartcnt s*attirant, on est cependant encore ici fondé à admettre, sque cette résistance est nulle à l'instant où les dernières ticules se séparent, qu'elle a du décroître, d'une manière ilinue, à partir de celui qui répond à sa plus grande valeur, eu près comme on conclut que, dans le choc des corps les B durs, la pression et la vitesse passent, de leur valeur Dl le choc, à celles qu'elles prennent après, par une sucsioD de degrés continus et infiniment petits ( 165).
M* De la contraction et de la dilatation latérales des prismes r premiers instants, — Nous avons admis implicitement, ks ce qui précède (236), que quand un prisme solide est imis à un effort qui tend à l'allonger ou à raccourcir, ses érentes fibres ou files de molécules restent parallèles entre ^etéquidistantes, c'est-à-dire que les sections transversales ee prisme demeurent constantes dans toute sa longueur; Ib, en réalité, l'expérience apprend que, dans le premier ^le prisme va en se rétrécissant, de plus en plus, à partir i extrémités, et, au contraire, en se renflant dans le second, Banière à présenter une sorte de ventre vers le milieu de longueur. Ces effets, qui se manifestent d'une manière trèsparente pour des prismes fort courts et pour des substances Il ou moins molles, tiennent essentiellement à l'isolement 1 la disposition mutuelle des molécules qui, uniquement jtoles unes aux autres par leurs forces d'attraction et de réfàon réciproques, forment une sorte de réseau on filet dont fnailies ou losanges tendent à se resserrer daxis un sens M on les allonge dans l'autre, et vice versa; effets qui sont irisés d'ailleurs, dans la plupart des dispositifs employés expériences, où les molécules des extrémités des corps liîs à la compression ou à l'extension, sont ordinairement ileDues entre elles à des distances invariables par des >s particulières, ou parce qu'elles forment liaison avec tes corps, fsqu'il s'agit, au contraire, de prismes dont la longueur
3o6 MÉCANIQUE 1NDUSTM1ELLE.
est fort grande par rapporl à l'épaisseur ou à la largeur, Qiét substances Irès-raides et irès-élaslîques, telles que les bois, les pierres et la plupart des métaux, le mode d'application des deux forces qui agissent à leurs extrémités, c'esl-à-dire lama* nière dont ces extrémités sont saisies ou fixées, n'exerce d'in. flucnce appréciable que jusqu'à une distance assez faible des points d*attacbc, et les sections restent sensiblement uniformes, sauf dans ce'tie petite étendue, tant que l'extension oo compression n'a pas dépassé la limite pour laquelle les cules conservent la faculté de revenir à leur position primiti< Chacune des parties d'un pareil prisme se trouve ainsi, à peu près, dans le même état que si l'on avait appliquée difîi'^rentes fibres ou files de molécules, des forces égales leur permissent de s'approcher ou de s'écarter librement unes des autres, en cédant uniquement à la force d'attrac ou de répulsion latérale et réciproque de ces molécules.
241. Loi de cette dilatation et de cette contraction, ci ffement de volume subi par les prismes, — En adoptant hypothèses, et en ne considérant d'ailleurs que les effets se rapportent aux premiers déplacements des moléculi!S, géomètres de notre époque sont parvenus à découvrir, à l'i de savants calculs, la loi qui lie les allongements des prii élastiques aux contractions ou distensions de leurs sect
transversales. Nommant toujours i = j- l'allongement pro
JLj
tionnel ou pour l'unité de longueur du prisme, et a la qi tilé dont Taire A, dos sections lransvei*sales de ce prisme, trouve en même temps diminuée, on a, d'après ces calcul
dans toute retendue pour laquelle les allongements de ront exactement proportionnels aux efforts de traction; c* à-dire que la contraction superficielle des tranches parai c/Vi//r c/f'5 sections tnmscersales est précisément la moitié l'allongement par unité linéaire.
Or il rô^ul te aussi de ce principe, que le volume du prismeaM mente, encore bien que ses sections diminuent, et augmf*"
DBS RÉSISTANCES. 807
'une fracUonquieslsensiblemcnila moUié de celle/, qui corespond à rallongement. En elTet, le volume du prisme avaii rabord pour mesure le produit AL, et il est ensuite devenu
(A — tf)(L-+-/) = AL-h A/-rtF.~ «/,
[juantité dans laquelle on peut négliger le produit r^f/ vis-à-vis des autres» puisque a ei l sont censés extrêmement petits par rapport à A et à L. L'accroissement absolu de ce volume est donc sensiblement égal à A/— aL, ce qui donne pour son accroissement proportionnel :
\l — ah / a ^ ' •
~~Xl ~" l "" a ~ Vl " 9. ''
attendu que -r- = — r-, d*apres ce qui précède.
A 1 Là
Ces résultats, déduits d'abord du calcul par M. Poisson, ont été vérifiés ensuite, par M. Cagniard de Latour, sur des fils de fer soumis directement à la traction, toujours dans les limites où leur élasticité n'est pas altérée d'une manière sensible (*).
242. Mesure de la conlraction et de la dilatation cubiques, — Les géomètres ont aussi considéré le cas d'un prisme so-
(*} Cette question, qui est foudamentalc dans la Uiéorie mathcmaUqiic de rélatticité, a été étudiée éxpérimenlalcment par Wcrtiiciin, par M. KiichhoiV et réremment par M. Cornu. Werthcini, en opérant sur dos tubes en laiton nt en erittal, a trouvé que le coofTicient do contraction de la section est é(;al aux ^ da eoefiicient d'allongement lon(;itudinal ; d'où il résulte que raccroissemont de l'unité de volume est |, et non 7, de rallon{;ement par unité de longueur; ee rapport paraît du reste, d'après les expériences antérieures, devoir vaiier d'une aubttance à une autre.
M. Cornu {^Comptes rendus des séances de l\4cadémie des Sciences^ y iioiU 186g) conteste l'exactitude des résultats trouves par \\'ertheini ; il conclut, d'après des expériences très-remarquables bas4>es sur le phénomène des anneaux Coloréa de ^Newton, que, comme l'avait établi ^a^icr, en créant la théorie de l'^asticité sur des bases -imparfaites, comme l'a déniontié depuis M. <le Saint- Venant d'une manière rigoureuse, le rapport entre le coefficient de contraction transTersale d'un prisme et son eoefiicient d'allongement longitudinal, sous l'influence d'une traction, est le même pour les corps vraiment isittropes, et que ta valeur est représentée par le nombre j; ce réfultat est d'accord avec eenz <iu2 *ont donnés dans le texte. I^s expériences publiées jusqu'ici par H. Cornu portent exclusivement sur le verre, qui est la seule substance i.'0tfope dont on polaie Térifier l'homogénéité. (K.)
3o8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE^
lide pressé à la fois et perpendiculairement à toutes ses faces, par des forces proportionnelles à l'étendue de chacun de leurs éléments superiiciels, à peu près comme il le serait (Uei suivants] par un liquide qui rcnvelopperait de toutes parts, e( qui supporterait lui-même une pression extérieure constante. Dans ce cas, la diminution de la hauteur du prisme est la moitié seulement de la contraction qu'éprouverait cette même hauteur pour le cas qui précède, c'est-à-dire précisément égale à la contraction linéaire, relative à une pression moindre de moitié, agissant aux deux extrémités du prisme seulement Or, comme un prisme, prQ6sé également sur toutes ses faces, se contracte d'une manière proportionnelle dans tous les sens on en conclut immédiatement (*) que la contraction de volume correspondante, ou ce qu'on nomme la contraction cubique du prisme, est, à très-peu près, les J de la fraction i qui exprime, dans le cas précédent, la contraction ou la dilatation linéaire subie par ce môme prisme (**).
Ce principe qui s'applique à un corps déforme quelconquei attendu que tous les éléments cubiques de ce corps, pressés également en tous sens, éprouvent encore des diminutions de volume proportionnelles, ce principe fournit également le moyen de calculer la compression subie par les enveloppes solides : par exemple, les vases creux, soumis en tous leurs points e\l(*rieurs ou intérieurs, à une pression constante; car la rôd action s'opérani proportionnellement dans toutes le> parties, comme si le vide était rem[)li de la matière propre d<' l'enveloppe, ou comme si celte enveloppe appartenait à une masse continue et compacte, il est clair qu'on obtiendra, dans
(*) F.ii riU'.ly TKimniaiit L, .M vl i\ h's trois diiiUMisions du jiriâiiio dont il s'a it, il rt'Miltc, du |>rin('i|M> rnonrc, (]uo tes diuu'iirtions se truu^fmiit n'Jtiiti'* ii'S!:i<liv<'in<»nl a
cr ({ui doinu", jM)ur h' voluinv cwnliat-ti' du juisnu-, en noj; livrant ici oiicori' !•'' turim*s (|r.i (•(Uitit'iincïit \v c.iurv vX K- <":ilu» «lo Im (Vartion trrsiK'tit«* /,
<.'t, |>ar <;<»uso(|U(»iil, pour la conlraclioii tôt :lr ou cubiqui*, ^ i I.MN.
{**] UiM'llu'ini, en introdui>»ant Ir résultat d.' sj'S rxporiorircs dans Iw (-«iiulious <l« (!aurliy, u trouvr i\uv le coonicieiit de coiupros^Jbilih* cubique t*»* 0[;al au coeflicitrnt de cjmprossihilitc lin<>airi>. 'k.}
DES BÊSISTAN'CES. Boi)
ce cas, la contraction cubique de Tcnveloppe, en retranchant, de la contraction cubique de son volume entier, celle qui appartiendrait à son vide intérieur.
On ne doit pas confondre, au surplus, la dilatation et la contraction cubiques dont il s'agit et qui sont occasionnées par des pressions véritables, avec celles que prennent les corps sous l'influence d*un changement de température; car, encore bien que celle-ci suive les mêmes lois, cependant sa mesure a une valeur très-diiTérente, et qui est évidemment double de la précédente, c'est-à-dire trois fois la dilatation ou la contraction lhermométrique///f^«ri>/?, de la même substance, puisque celte dernière indique bien l'accroissement ou la diminution proportionnelle que subissent les dimensions linéaires de chacun des éléments de volume, infiniment petits, dont se compose le corps entier.
243. Influence de la pression extérieure et de la gravité sur la constitution des prismes, — Il résulte du principe exposé en dernier lieu, qu'on sera en état de calculer la contraction ou la dilatation cubique d'une substance donnée, quand on connaîtra sa dilatation linéaire, son allongement proportionnel sous un effort correspondant à la pression superficielle qu'il supporte, et réciproquement; or cela est utile dans plusieurs circonstances de la pratique.
C'est ainsi, par exemple, que MM. Colladon et Sturm, dans \euT Mémoire sur la compressibilitc des liquides, qui a été couronné, en 1827, par l'Académie des Sciences de Paris, ont trouvé, d'après des expériences directes sur rallongement des liges de verre tirées dans le sens de leur axe (*), que la contraction cubique ou la diminution de volume de cette substance, est les 0,000001 65 ou j^tj environ (**), du volume primitif, pour chaque atmosphère de pression équivalente ù i'«,o33 par centimètre carré de surface, etc.
On voit aussi que ce même principe permettra de tenir compte, dans certains cas, de l'influence de la pression atmosphérique» qui, en agissant à la surface extérieure de tous les
(*) Voyez le résnltat de celte cxpéricnco au n® 2G7 ci-apivs.
(**) D'après les cipcrienccs de Wertheim, il faudrait prendre les l do. ce chiffre, ce qui donnerait 0,000001 1 au lieu de o^ooconiGô. (K.)
3lO MÊGANIQUB IMDUSTEIELLB.
corps, icnd à diminuer leur volume lout en augroeriiani leur force élastique. Mais on peut négliger entièrement celle influence pour des corps soFides tels que ceux qui sont ordinairement employés dans les arts, et il nous suffit ici de rf-
marquer que l'clfet de la pression dont il s'agit se réduii à
augmenter la force élastique E= -r-rj relative (236) à l'unilé
de section d'un prisme, tiré dans le sens de ses arêtes par une force P, d'une quaniité égale à la moitié seulement de ccue pression atmosphérique sur la même unité.
Quant à l'influence du poids propre de chacune des parties ou tranches d'un prisme veriical soumis à l'effet d'une charge qui comprime ou distend ses fibres, elle peut évidemment èire représentée, pour les premiers accourcissements ou allongemenls, par celle d'une surcharge égale à la moitié du poids total du prisme {*); ce qui la rend pareillement négligeable dans presque tous les cas d'application.
2iV. De la résistance îles prismes à la rupture ou de leur force absolue de ténacité, — On désigne spécialement ainsi, le plus grand des cfïorls (2V0) que peut supporter, sans se rompre ou s'écraser complélemenl, un prisme solide ou comprimé dans le sens de ses arêies, et Ton admet encore ici que ce plus grand effort demeure proportionnel au nombre des molécules conlenues dans chacune des scellons transversales du prisme, ou, ce qui revient au même, à Taire de ces seclioiis, sans avoir aucunemenl égord aux allongements et aux autres changcmcnls de forme (|u'il a pu éprouver avant l'instant de la rupture.
Nonimani toujours A cette aire considérée pour l'état d'équilibre nalurel ou prinnlif du solide, et R la résistance sur l'unilé de stirface, on aura, pour calculer la charge, ou force P, capable de rom[)re le prisme, soil en l'éci-asant, soit en le déchirant ou rallongeant,
