DIMENSIONS

te s

mm 1,319

1 ,3oo

mm 2,770

2,770 i,3oo 2,900 2>770

LONcaElR Df

: LA PARTIE XESl'llÉE

sou* one charfo de

lOM

ibH

1 recherchant simplement^ d'après les nombres de ce tableau , ou H (238) d'après les courbes continues qui donnent la loi des allonge- 18 représentés par ces nombres, les valeurs qui en résultent pour le Bcient d'élasticité E, des corps soumis à l'expérience, on arrive aux iltals suivants :

MtCANlQDB IMDU8TBIELLB.

NATURE DES Sl'BSTATfCES.

cosmciBirr

4'éUtlicllé B,

par rallllm. carré.

Fil de ccivre, N<* 1 .

Id. No 2 .

id. iN'o :j . .

Fil de laito!<

Fil d'acier

Fil de fer

Tige de verre, N» 1 ,

Id. NO 2 .

Id. N» 3

14 3oo

5 5oo

▼ALims

■OJMMi

ridaiut.

Pour le laiton, lo fer et racior, ces nombres s'accordent très-bien arec les moyennes insérées dans la table du n** 298; et, ce qu'il y a de renarquable, le fer en fil continue (202) à donner ici un coefficient d'élasticité 17900 kilogrammes, un \>c\ï inférieur à celui qui se conclut des expériences sur les prismes non étirés ou passés à la filière.

Quant aux valeurs de E, relatives aux tiges de verre, elles sont, toataa plus, les I de celles qui ont été déduites, au n*^ 267, du résultat des expériences de MM. Sturm et CoUadon, expériences que ce dernier physicien se propose, au surplus, de répéter. Cette grande difTérence ne peat tenir évidemment qu'à des erreurs d'observation ou de mesure, à moiai qu'on admette, entre les verres, une différence de constitution élaftti(iue (233), analogue à celle que présentent, eux-mêmes (293), les aciers, selon qu'ils sont plus ou moins trempés et recuits; et, comme les résultats des expériences répétées, de M. Savart, sur les premiers, s'accordent suffisamment bien avec la moyenne d'entre eux, on devra provisoiremeol adopter, pour le verre, cette moyenne qui réduira ainsi (242 et 207) i

— = 0,000001 73 = ^ et a - 0,000001 75 — 0,00000263= -'.

les valeurs respectives des dilatations ou contractions linéaire et cubiqw de celle substance, par atmosphère de traction ou de pression (*).

(•) Voir les Notes des n'* '242 cl 243. (K.)

DBS RÉSISTANCES. 897

Questions particulières relatives a la résistance

des matériaux.

)i. Observations préliminaires. — Nous nous sommes jcoup étendu, dans loul ce qui précède, sur ce qui con- 16 la résistance directe des corps à l'extension et à la corn- ^sioify parce que ces notions, non-seulement forment la i des plus importantes applications de la Mécanique à la nce des machines et des constructions, mais encore sont spensables pour bien saisir et apprécier le rôle que jouent, I une infinité de circonstances, les forces d'élasticité et ténacité, soit des molécules individuelles, soit de leur smble constituant les divers corps solides en usage dans irts.

n remplaçant, comme on le fait quelquefois, cette exposi- . circonstanciée des résultats de l'expérience, par des talux résumés qui ne continssent que les moyennes gênés relatives à chaque espèce de corps; en négligeant de les HDpagner d'éclaircissements propres à en montrer le véri- 6 esprit, ou le degré de précision ef de certitude, quant diverses applications, nous eussions craint, dans une mae aussi grave, d'inspirer au lecteur une fausse sécurité, I confiance trop aveugle dans les résultats, qui ne serait noins dangereuse sous le point de vue de la solidité, que ■ celui de l'exagération même des dimensions et de la ense. C'est dans un but semblable que nous croyons der iaire suivre ces données expérimentales, de quelques llcations particulières, en elles-mêmes fort simples, mais [ nous offriront l'occasion d'appeler l'attention du lecteur divers faits d'expérience ou de théorie, qui ne sont point loésd'un certain intérêt, et qui eussent difficilement trouvé ce dans un exposé général.

OS. Des plus grandes charges à faire supporter aux piliers naçonnerie. — Demandons-nous d'abord quel est le maxi- D de la hauteur qu'il serait possible de donnera un pilier, odrique ou prismatique, appareillé en pierres de taille, de

398 MÉCANIQUE INDUSTBIELLI.

Jaunwnt, en usage dans la ville de Meiz (259), afin d'éire assuré qu'il ne s'aflaissera pas sous sa propre charge.

Il est évident que les sections horizontales du pilier étant censées égales dans toute sa hauteur, il suffira de considérer (258) ce qui a lieu pour l'unité de surface de ces sections, sauf ensuite (264') à réduire les résultats dans la proportion jndi(|uéc par Tusage ou l'exemple des constructions existantes. Or nous voyons, par la dernière des colonnes du tableau do n"" 259, que le calcaire ooliihique de Jaumont, de première qutlité, peut supporter, avant de rompre, une pression de 180 kilogammes par centimètre carré; et, parFavant-^ernière colonne, on trouve que son poids spécifique est 2,20; ce qui donne (35), pour sa densité ou le poids du mètre cube, 2200 kilogrammes. Donc, si nous nommons x la hauteur cherchée, en mètres, nous aurons pour calculer sa valeur

2 200"^*. ^ rr: 1 800 000''* ;

d'où l'on tire ^ = 818"*, 18, pour la hauteur qui produirait la rupture Instantanée du pilier. Mais, à cause des motifs énumérés au n"264', on devra, dans une construction permanente, et attendu qu'il s'agit^ ici d'un assemblage de blocs de pierres, réduire cette hauteur au sixième au moins, ou, pour plus de sécurité, au 7^, c'est-à-dire à 82 mètres environ, afin d'être assuré que les preniières as^ises du pilier pourront supporter la charge dos assises supérieures, d'une manière indéfuiie, ou telle que l'indique l'expôrience des anciennes constructions. Si C(» même pilier devait i)Orier, en outre de son propre poids, une charge addilionrielle de 70000 kilogrammes, par exemple, sur chaque mètre carré, on poserait l'équation

2?oiM >; X H- 70000''^ — - ,'j I 800 000*^8 11-- 180000, d'où Ton tirerait

a: -1^ 5o mètres ,

hauteur un peu moindre que celle des piliers qui supportent le clocher de Multe de la cathédrale de Metz.

4)3. Observations relatives à l* élasticité des pierres. — Il js serait impossible, dans le cas actuel, de calculer le tasnent (261) ou l'aflaissement d*un semblable pilier sous la irgequ*il supporte; mais nous no devons point passer sous 5nce un fait qui s'observe sur le clocher dont il vient d'être r\é, fait qu'on peut également remarquer dans beaucoup utres, et qui prouve jusqu'à quel point les pierres, en gérai, sont douées d'élasticité : lorsqu'on met en branle la >sse cloche placée à la moitié environ de sa hauteur, et qui se près de iiooo kilogrammes, les oscillations des parties , plus élevées, situées à 85 mètres environ au-dessus du sol, ni tellement grandes, que c'est à peine si l'on peut s'y tenir bout (*). Des expériences, dans lesquelles on tiendrait note

nombre, de la durée des oscillations, et qui seraient faites *aide d'un pendule ou d'un instrument à niveau, ronvenaornent disposé, seraient très-propres à faire connaître l'é- "idue de ces excursions du clocher, de part et d'autre de

irerlicale; et elles mettraient ensuite à même de délermer, approximativement, la compressibilitéet le coefficient élasticité des matériaux qui constituent ce remarquable ifice.

On arriverait encore plus directement au but, si, lors d'une nstruction nouvelle, on se servait du moyen déjà indiqué au

2fâ, pour obtenir directement les accourcissemcnts ou ^sements éprouvés successivement par les premières assises une pile, en pierres de taille fichées, avec beaucoup de •in, en mortier ou ciment, dont on pourrait, dans tous les 9, négliger la faible influence, d'après les observations de ^ Vîcat.

Au surplus, les calculs ci-dessus supposent que les piliers, >nt on avait à déterminer la limite de hauteur, étaient com- 3sés uniquement d'assises en pierres de taille bien dressées ; lais s'ils devaient être simplement parementés en pa.'^eilles lerres, et que leur intérieur dut être garni en moellonnage» lors il conviendrait d'avoir égard à cette circonstance, dans

(*) Des cwciUatioDft de même nature, produites par la AÎmple action du vent, ■tent facil4*nicnt être constatées au sommet des {;randes cheminées d'u-

■i. CK.)

4oO MÊGAIIIQUI 11ID08TRIBLLI.

les calculs , et de réduire , suivant la proportion indiquée au n"" 26<^, la charge permanente à faire porter aux piliers dont il s'agit.

'30k. De la forme la plus avantageuse à donner aux piiien ou supports isolés des édifices. — Le problème qui vient de nous occuper dans l'article précédent, donne lieu à une queslion fort iniéressanic concernant la loi suivant laquelle on doit agrandir Taire des sections ou assises horizontales des piliers, pour que la charge qu'elles supportent soit la même en tous les points.

Soit ( PL Ilfjig' 49) ^^^^' ^^^ assise ou tranche très-mince d'un pilier en pierre, dont ABDC représente le profil. La sa^ face de la base supérieure, ab, de celte tranche, aura à supporter tout le poids de la partie, abBA du pilier, et de la surcharge en AB, s'il en existe. Celle de la base inférieure, cd, aura à supporter les mêmes poids, plus celui de la tranche abcd que l'on considère; dont l'aire de cd^ devra surpasser celle de aby de toute la quantité relative à ce dernier poids. Or, si» pour fixer les idées, nous supposons les différentes seclions du pilier circulaires, et ayant leurs centres situés sur l'aie vertical IL, la tranche abdc pourra être considérée comme ud petit tronc de cône, ayant pour volume le produit de sa seclion moyenne, mw, par son épaisseur a/, mesurée sur la ver-

tirale du point rt, c'esl-à-dire r.mo .ai; 7: étant égal à 3,i4i(k et o étant le centre du cercle moyen dont il s'agit.

D'un aulre rôle, si nous supposons qu'on projelte verlicaiemcni le cercle ab sur le plan de la section cd, on verra que l'excès de celle dernière sur ab sera mesuré par une couronne circulaire ayant pour surface le produit de sa largeur constante ci, par la circonférence moyenne qui répond au diamètre mriy c'esl-â-dire c/.ïtt./iio. Donc, si nous nommons /il^ poids du mèlre cube de la matière du pilier, et ^--77 R(2U et 26'*), la charge permanente qu'on veut faire supporter, par mèlre carré de surface, aux différentes seclions horizontale^ de ce pilier, on devra avoir, d'après la condition indiquée cidessus.

p,r,.nio ,ai =: h ,ci .9.T.nio,

DBS RÉSISTANCES. 4<^I

que soit l'assise ou la tranche horizontale que l'on

considérer.

ivisant les deux membres de cette égalité par le pro-

mo, qui en est facteur commun, elle deviendra

p.mo.ai =^^k.ci, ou mo = n

'^ p ai

pourra, dans chaque cas, servir à calculer mo, quand ort de ci à ai, ou Finclinaison de la génératrice ac, sur L, c'est-à-dire l'inclinaison de la tangente en m, à la

de profil du pilier, sera donnée à priori, et récipront. Or nous allons voir que cela suffit pour qu'on soit

de tracer cette courbe, de proche en proche, avec un l'approximation très-suffisant pour la pratique. )ngcons, en effet, la direction de ca jusqu'à sa renconf, avec l'axe IL du pilier; le triangle cai, semblable au î mto, donnera, par les principes de Géométrie connus,

ai : ci :i ot : mo, ou mo X ai = ci x'ot.

içant donc le produit mo.ai, par sa valeur dans l'équa- -dessus, et observant que ci devient facteur commun ux membres, et peut être supprimé, on aura

p.ot=zih'\ d'où l'on tire 0/ = — •

i la distance ot, qu'on nomme la sous-tangente de la î AmC du profil, par rapport à l'axe IL, doit être une té constante et facile à calculer dans chaque cas. exemple, dans celui de la pierre de Jaumont dont il a lé parlé (302), on aura, en prenant le mètre pour unité,

p = ?.2oo^«, k =: ■— 1 800000^» = 180000^»,

conséquent

ot = — = = 163" ,64 ;

lî annonce que les inclinaisons des éléments de la courbe,

4o2 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

sur Taxe IL, ou la verticale, seront extrêmement faibles, et d'autant moindres que les rayons n\o des sections correspoo- ' dantes, seront eux-mêmes plus petits. D'après celle donnée, . rien ne serait plus facile que de construire, dé proche en pro- ! che, la courbe du profil AmC du pilier, soit en partant du sommet AB, s'il y a surcharge, soit en partant de la base CD, s'il ne doit point y en avoir. Sans nous arrêter à ces détails, auxquels le lecteur suppléera facilement, nous ferons remarquer que la courbe dont il s'agit est précisément celle que les géomètres nomment logarithmique, parce qu'elle est telle, que ses abscisses ol, prises par rapport au sommet I du pilier, ont un rapport déterminé avec les logarithmes hyperboliques des ordonnées correspondantes (198). C'est ce qu'il est facile de démontrer (*) à l'aide de l'équation p.mo.ai =:2k.ci,

(') Pour s'en coiivainrro, il n'y a qu'à tirer de l'équatioD p.mo.ai = 2kÀ dont il s'a >,it, la valeur d« m, é.^ale à l'accroisscnicnt rs de l'abscisse Ir de «, et à laquelle correspond l'accroissement ci qu'a subi, de a en c. rordonnéf tf/'i de la courbe, qui peut être substituée à l'ordonnée moyenne ma, dm» T^ quation ci-dessus, si Ton suppose l'intervalle ai ou rs infiniment petit. On

aura ainsi

îA ci ai ou rs =. — X — ; p ar

ce qui montre (fue, pour obtenir l'abscisse entière 1 1, il faudra faire la somme cor-

rcspombiute des valeurs du «luoliout — ou du produit — • t*/, relatives aux di • ^ ar tir

lerciits accroissements iiilitiiinerit petits ci reçus, par l'ordoiinei^ or, dcpiii» ^

jus(|u'au point (b'terinine r, puis mulli]»lier b? résultat par le facteur commun

et constant — , opération «jui, ici (»ncore, s'elFectue approximativement par U

méth<»(le du n'^' 180; c'est-à-dire en calculant l'aire de la cour)>e qui a H'U»"

ordoniii'es les différentes valeurs de — •, et, pour accroissements d'abscissos, 1«^

valeurs corrosi)ondantes «le tV, qui sont les accroissements mêmes dw pcri^niliculaires ou rayons ar de la c(donne. Or, la courbe dont il s'agit ne î*ra évidemment autre chose (181; que rhyj)erbole équilatèrc construite ^ur <^"^ mêmes ordonnées et absrisses; d'où il est aisé de conclure, d'apivs les «>l>*«'i"' valions du n^ 108, <pren eH'et, la lon^;ueur \r ou l5, des abscisses pn>prcs «la profil de la colonne, ont les rapports indiqués avec les ordonnées correspondantes, ar ou t'.ç, etc.

En général, on voit que, si la différentielle ou raccroiss<>ment infînimfnl petit dv d'une quantité r, variable avec une autre o", dont elle dépend, d"''

demeurer proportionnelle au produit - r/x, de sa valeur inverse par l'accrois-

trouvée rî-dessus, cl de considérations géométriques semblables à celles que nous avons mises en usage dans les n°' 181 el 198; mais nous nous contenterons d'indiquer ici les résultats, pour ceux des lecteurs qui désireraient les appliquer en se servant de la Table (n**H), placée à la fin de ce volume. Dans le cas d'une surcharge, de Q kilogrammes, |)lacée sur le sommet de la colonne, on aura, en nonnnant h le ravon Al, de ce sommet, qui sera déterminé par la relation

/,.::.A>zzzQ, d'où /; : i/H^

ik , mo

ol=z — X log. -T-; p o

et, dans celui oii il n'existe pas de surcharge et où l'on se

donne, à priori, le rayon CL = 8, de la base du pilier, on

aura, à l'inverse,

f 2/,- , B oL= — X log. — :

p mo

i^lations qui serviront à calculer les dislances ol et oL, répondant à un rayon quelconque mo, au moyen de la Table ^éjà citée.

Il est parfaitement évident, d'ailleurs, que tous les résultats ^u\ précèdent sont indépendants de la forme, pleine ou évitlée, des sections du pilier, pourvu que ces sections soient, pour les diverses assises, semblables et semblablement disposées autour de l'axe IL.

305. ^application particulière ; limite de r élévation des édifices. — Prenons toujours pour exemple, la pierre de Jaumont qui donne

«t supposons que le pilier doive porter une surcharge de

«ement correspondant dx de* ceUc atiln*. lu prcniièiv pont toujours être dvlurminée par Taire d'une certaine portion d'hyperbole étpiilatère, ou par le ^ofirtthme népérien qui représente celte uin*.

4o4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

25oooo kilogrammes sur le sommet. On calculera le i par la relation

/fTré' zzz '25oooo*'^,' ou iSoooo'^'X 3,i4i6.6' = 25o

ce qui donnera

, /aSoooo ^

à très-peu près. Mettant cette valeur et celle de — daru dernière des formules du n** SOii', elle deviendra

olr=:i63™,64xlog. '^^

Cela posé, demandons-nous «à quelle hauteur, audeAB, se trouve placée la section m/idontle rayon wo: On aura à chercher dans la Table (n** II) le logarithme tient de 2,28 et de 0,67, quotient qui est 3,4o4 envi trouvera, pour celui du nombre 3,4o qui en approche en dessous, i,2'2378; mais, comme le nombre propos supérieur de 0,004, et qu'une différence de 0,01, po de la Table, en donne une de 0,00293 dans les loga correspondants, nous devons augmenter notre premier tat des 0,4 de 0,00293, ou de 0,00117 environ; ce qu finalement, pour la valeur approchée du logarithme d le nombre 1,22495, ou 1,225, avec une exactitude tr santé. Ainsi on aura

On trouverait de même les autres coordonnées de la < soit dans le cas dont il s'agit ici, soil dans celui qui re la dernière des formules du n° 304.

La hauteur qui vient d'être trouvée paraîtra énor néanmoins elle croîtrait indéfîniment, quoique leot avec mo : par exemple, pour mo = dix fois 0*^67 =6* trouverait

o\ zni63",64x

4o6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

dércible; de sorie qu'en adoptant la forme lof;arillmiique (it^i.i il s'agit, et qui, diaprés Tobscrvation déjà faite, s'applique u»ui aussi bien aux massifs pleins qu*à ceux qui sont cvidrs, il cm toujours possible de satisfaire, à la fois, à toutes les cunditions de stabilité.

Au surplus, relto même forme s'observe également dan^ la structure des liges verticales des grands végétaux, notannii^ni dans celle des arbres, dont le tronc, surmonté d'uiu» lèif épaisse, offre presque toujours une grande prise à l'action «lu vent, réunie à un grand poids. Le principe qui consiste da» l'agrandissement progressif de la base des corps, scmLlenii donc être Tune des conditions d'économie que la nature s'impose dans ses œuvres, et dont elle offre d'ailleurs beaucoup d'autres exemples non moins remarquables, dans l'éviilenieni des tiges des roseaux et des graminées en général.

On vient de voir comment, dans un support isolé, coinposf de diverses assises indépendantes, la pression croissant (h sommet à la base, il devient nécessaire d'adopter pour leur profil une forme conoïdale ou logaritbmique. Mais il n>n«l pas tout à fait ainsi des colonnes monolithes ou compusèo d'un seul bloc de pierre, supposées chargées ou nonau^ooK met. Car, dans un solide homogène de celte espèce, ilonlli forme s(Tait, par exemple, cvlindrique, la section de wo/Wjr rcsislancr, celle pour laquelle le renllement transversal sPiat le plus grand avant l'inslanide la rupture, se trouve, d'aprèsll raisonnement et l'expérience (2V0, 258 et 281). silné<.' uinlÀI vers le milieu de sa hauteur, lors([u'ou peut négliger son («viA propre, vis-à-vis d(» celui de la surcharge, tantôt un peuain dessous de ce milieu, lorsqu'il devient nécessaire (l«* lei compte de riiilluence de ce poids dans le cas de colonru'si élevées. Il en résulte» (jue ce ne sont pas précisément les ties voisines de cette base qu'il faut le plus fortifier, inaisbii celles (jui se trouvent situées un peu au-dessus, vers la tion de moindre résistance dont il s'agit. Or celte obscrvalii fort simple, donne une explication plausible des motifs ont pu conduire les Grecs, ce peuple si plein de goût et véritable génie, à rentier le fut de leurs colonnes suivant forme de la concfioùie, dont le tracé est bien connu des a lectes, et qui se rapproche beaucoup de celle de la logaril

DBS RÉSISTANCES. 4^7

le, vers la partie élevée de la colonne, où elle a pour ploie Taxe même de cette colonne. En général, on aperçoit les fornnes, les proportions et les principales dispositions tées dans les monuments de l'antiquité, ne sont point le tat d'un pur caprice ou d*un simple esprit d'imitation, ne on pourrait l'admettre d'après un premier examen ; qu'elles dérivent, pour la plupart, de règles qui ont leur ce dans les faits de l'expérience et la puissance du raisonent. L'archiiecture gothique elle-même, si bizarre qu'elle sse, est fondée, comme on l'a aussi reconnu, sur les prinî d'économie et de stabilité des diverses parties des édi- , combinés avec ceux qui dérivent des idées religieuses ystiqucs de Tépoque.

7. Calcul de Véquarrissage à donner aux supports en bois{*), msidérons un poteau carré, en chêne, posé debout, et qui supporter une portion connue du poids dont est chargé lancher ou une construction supérieure quelconque. Supf)s notamment que ce poteau, vertical, doive avoir 3" ,90 uteur, et porter une charge de 28000 kilogrammes à son let; cela posé, demandons-nous quelles sont les dimenhorizontales qu'il conviendra de lui donner, non-seuleafin de l'empêcher de rompre ou de fléchir transversalemais encore pour être certain que son élasticité ne sera lement altérée; enfln demandons-nous aussi quel sera le nenl ou raccourcissement que sa hauteur pourra subir, ignons-lui des limites convenables.

nme nous ne connaissons pas, à priori^ le côté des sechorizontales de cette pièce, dont le rapport à la hauteur 3 ici (269) une influence très-appréciable, faisons une hèse : supposons-le de o",5o, ou égal à \ environ de sa jr totale; on trouvera, d'après les observations de ce nuque chacun des millimètres carrés de la section dont il pourra supporter, d'une manière permanente, un poids loins o^*,3o. Nommant donc x, le nombre, inconnu, des lètres contenus dans le côté de la pièce, x^ sera celui lilllmètres carrés contenus dans l'aire de sa section, et

ij)lr 1» Mots d« «* 269. (K )

4o8 MÉCANIQUE INDOSTRIBLLI.

l'on aura, pour calculer Xy la relation

o,3a:'=:îi8ooo*^»; d'où x = ^93333 = 3o5**,5.

Mais ces SoS'^'yS ne sont guère que le treizième de la hauteur de la pièce; donc on devra augmenter de quelque chose réquarrissage trouvé. Afin de le découvrir, on remarquera, toujours d'après le n*" 269, que, pour une telle proportion entre la hauteur et le côté de la section, la résistance doit être supposée réduite aux | environ de o^«,3o ou à o^«,a5 par millimètre carré; refaisant, en conséquence, les calculs dans cette hypothèse, on trouvera

X = 2v^28ooo = 334"'", 6.

Pour calculer la quantité dont la pièce s'accourcira, on remarquera que, sous la faible charge de o^*,a5 par millimètre carré, sa force d'élasticité ne saurait être aucunement altérée, et qu'elle peut être supposée (i236 et 269) la même, à peu près, que si les fibres se trouvaient allongées au lieu d'être accourcies. On aura donc, d'après les n**» 271 et 275, la fo^ mule

de laquelle, en faisant Pr-^ ?.8ooo*'», et A =(335)*= ii2?.oo"*^ onviron, on liro : /--o,ooo?.i pour rarcouroissement proportionnel de la pièce; co qui donn(* finalement, pour son tassement total, 3'",i)X o,ooo?.i -^o'",ooo8 environ. Ce tassement est trop faibjp évidennnenl pour qu'il soit nécessaire de s'en inquiéter dans les ronslruclions, (juand bien même on y comprendrait celui qui provient du refoulement inévitable des fibres aux doux bouts de la piôce, ol qui ne peut guère hri" infiMieur au preuïier, lorsque les faces n'ont pas été exactement dressées et dégauchies. Au surplus, s'il ne s'agissait que d'une construction provisoire, et qui ne dut, par exemple, subsister que pendant le cours d'une seule année, on pourrait évidemment (270 et suivants) diminuer de beaucoup réquarrissage obtenu par ces calculs, et courir la chance d'un plus grand tassement des fibres sans compromettre la solidité de l'édifice.

DBS RÉSISTANCES. 4^9

Dans cette hypothèse, il n*y aurait certainement aucun danger (268 et 272) à porter jusqu'à i^Soo = J 4^Soo, par millimètre carré de section, la charge absolue de la pièce que précédemment on avait prise égale à o^«,3o seulement, et, en répétant les calculs de tâtonnement ci-dessus, on trouvera finalement â:=:22o millimètres environ, attendu encore qu'ici l'épaisseur de la pièce n'excédant pas le jj de sa hauteur, on doit réduire la charge (269) à 0,6 X i^Soo = o'^sGo h très-peu près.

368. Question relative aux effets mécaniques de la chaleur. — Proposons-nous de rechercher quel est Teffort de traction qui serait exercé, par une barre de fer de 5°*, 5 de longueur, 60 millimètres de largeur et 3o millimètres d'épaisseur, contre deux supports invariables, dans lesquels ses extrémités auraient été solidement encastrées, à la température atmosphérique de 28 degrés centigrades, lorsque cette même température vient ensuite à s'abaisser à 10 degrés au-dessous de zéro, c'est-à-dire diminue, en totalité, de 38 degrés centigrades. On trouve, en premier lieu, d'après la Table du n° 26, que l'allongement ou la dilatation, par mètre, étant de o'", 00122 pour 100 degrés d'élévation de température, il sera de

également par mètre, pour 38 degrés; et, comme les contractions et dilatations correspondantes aux mêmes abaissements ou élévations de température, sont égales, on voit que o"" ,000464 sera aussi raccourcissement que tendrait à prendre la barre, si elle était parfaitement libre. Mais, par hypothèse, elle reste allongée de toute cette quantité, par mètre courant de longueur, en raison de la résistance des supports; elle les sollicitera donc en vertu d'un certain effort qu'on trouvera (236) par la formule

attendu que l'allongement dont il s'agit ne dépasse pas la limite d'élasticité naturelle du fer (298). Dans cette formule d'ailleurs, on devra prendre

4lO MfiCANlQUB INDUSTRIELLE.

si l'on adopte le millimètre carré pour l'unité d*aire de la section; ce qui donnera pour l'elfortF, attendu qu'ici i=o,ooo4&i>

Par conséquent, si, au lieu d*étrc inébranlable, chacun des supports n'est susceptible que d'une résistance limitée il cédera jusqu'à l'instant où cette résistance sera précisément égale à la force de traction correspondante de la barre, force que, pour un déplacement donné des points d'attache, on pourra calculer au moyen de la formule ci-dessus ou de celle-ci:

P =1 20000 X 18001 =: 36oooooo/*^«,

en ayant soin de diviser ce déplacement total, mesuré dans le sens de la barre, par la longueur entière de celte barre, aGo d'en conclure l'allongement /, par mètre, qui entre dans la formule.

Quant au cas où, au lieu d'une contraction, la barre, déjà encastrée à ses extrémités, subirait une dilatation par suite d'une élévation ultérieure de température, le petit nombre des données que Ton possède sur la résistance des métaux à la compression (281 et suivants), même aux températures ordinaires, ne permettrait pas de calculer, avec une suffisante exactitude, les efforts qui seraient dus à celle dilatation, et qui pourraient être accompagnés, dans qucl(|ues cas, d'une flexion transversale, d'une alléralion moléculaire dont il deviendrait bien diflicile de tenir compte dans l'état aciuel de nos connaissances.

309 I\eniargues diverses sur l'application du calcul à ces ejfets. — Les calculs que nous venons d'exposer donnent une idée de la manière donl on peut avoir égard aux effets mécaniques dus à l'appliciition de la chaleur aux pièces métalliques qui entrent dans la consiilulion des édifices, cl donl nous avons cité plusieurs exemples dans les préliminaires de cet Ouvrage (25). Les changements de température que nous avons eu à considérer dans ces calculs, étaient assez faibles, en effet, pour qu'il nous fùl permis de supposer la résistance élastique de la barre à peu près constante dans les deux étals. Mais, si

DES BÉSISTATHCBS. 4' *

b variation de température à laquelle se trouve soumise une pièce de fer était capable d'amener un changement notable dans sa constitution moléculaire, si, par exemple, on prétendait appliquer ces calculs au cas des bandes ou frettes de roues, aux ceintures des dômes des grands édifices, eic, pour la pose desquelles on fait usage d'une assez haute température, alors il deviendrait nécessaire d'avoir égard à ce changement d'état moléculaire, lors du refroidissement du fer, soit sous le rapport de raifaiblissemcnt de la ténacité provenant du recuit, soit sous celui de l'altération de l'élasticité qui résulte de rétendue même des allongements ou des contractions subis par chaque pièce; et c'est à quoi ou parviendrait, d'une manière approximative, à l'aide des données de la Table du n" 289, ou d'une Table analogue, si la loi des dilatations relatives à de hautes températures était suffisamment bien connue. Or'il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi; et l'on sait, par les savants travaux de MM. Dulong et Petit, dans lesquels le platine, le fer et le cuivre notamment ont été soumis à des températures de 3oo degrés centigrades, que les dilatations suivent une marche progressivement croissante, variable avec la nature et l'état moléculaire de chaque corps. Toujours est-il que les effets dus à la contraction et à la dilatation des métaux par suite des changements de la température, doivent être d'autant plus considérables, que ces changements le sont euxmêmes davantage.

Quant aux allongements qui répondent à la limite de l'éiasticité naturelle de chaque métal, on peut s'assurer, par la comparaison des nombres de la Table du n" 298, avec ceux qui sont rapportés en détail dans les Traités de Physique, et dont nous avons donné un simple extrait au n*' 26, que, pour le plomb, le laiton, et le fer ductile, ou recuit en particulier, ces allongements correspondent toujours à des températures inférieures i loo degrés, et auxquelles par conséquent les calculs ci-dessus demeurent applicables. En effet, pour les métaux dont il s'agit, les allongements relatifs à la limite d'élasticité étant respectivement de 0,00067, 0,001 35 et o,ooo54, on trouvera, pour les limites correspondantes de. la température, les nombres 23^,5, 69% 8 et 46%6 environ. Remarquons, au surplus, que, si les résultats des expé-

r^xy^.*, r;ti^<ri Afj x^ îM n'ont pas ju«qa'ici permis de coo- «t»t>r, k'*^.f. ^i^^:iiiijdi>, lers différences de lénacîté dues an ^^furiofii ^-^ t.5:rfi péri lare, reU lîeni csseniiellemeni aui rfr//rr*ir«re>i^e^ ''^ii^e's «l 'incertitude qui accompagnent le pbénornrri'^ 'i*^ i.) fjptiire. et, surtout, a l'impossibilité d'opëitr rffU'tUfMfif'Ati sur un même corps ou sur des corps identiques. Of f>z^ difficultés uk se présenteraient pas, si l'on se bornaiti fth^f-.nf-r Id loi des premiers allongements en deçà de la limite ou I él;isiicité s'altère, et l'on ne saurait trop encourager les physiciens et les ingénieurs à entreprendre de semblables etp' riences. Il serait possible, en effet, d'y tenir un comple ekact des variations de la température, qui, pour les ûlsiiiétallif|ues en particulier, doivent, comme on l'a vu, eiercer sur ces premit*rs allongements une Influence très-companble â celle des poids mêmes que ces fils supportent, et desqueb on concliii spécialement les valeurs du coefficient d'élasticité. A l'égard des bois, dos pierres, et autres corps spoiigieui, on sait que l'influence des changements de la température peut être, en partie, masquée (11) par celle de l'état hvgrométri(|ue do l'air, de sorte qu'il deviendrait nécessaire d'ea étudier séparément les cfl'ets, si Ton tenait à une rigoureuse <>xariitnde. Mais, comme la quantité d'humidité ou devapev d'eiui, conlciiue dans l'air atmosphérique à l'état naturel, est «sst»z éinnicnient liée à l'élévalion de sa température, il suf- (hait, (|uniii à r(d)joi dos applications ordinaires, de tenir noie do oott<^ dorniôro, dont les cfl'ets mécaniques, sur les pierres du pont iU^ Souillac, ont été spécialement signalés et étudiés par M. \ irat, dans un intéressant article inséré aux Jnnala </c5 Ponts Vf (yiatisst'^tfs,

ÎUO, t\trmnh's vt calculs relatifs à l* influence exercée pur Ir poith lies prismes sur leur résistance à rallongement, - Soit .//i ^/V. i/*Jig- 5o), un prisme homogène, de longueurL ot do sootioii \. suspendu verticalement à un point fixe, -/.el ohar^o à son extrémité inférieure, ^, d'un poids Q; nommons U la donsito, ot p A. H lo poids de l'unité de longueur ou du uiôtiv courant do co prismo. Considérons, en particulier, l'un do no^ oloinonts. abcJ, de longueur infiniment peiile,tfi ou 0,/, do poivis /•.•i/>. 01 situé à la disunce bB, de l'extréinilé

DES EfiSISTAMGES. 4'^

inférieure B dont il s*agit; ab et bB se rapportant, de même que L ou ÀB^ A et /?, à l'état primitif ou naturel de ce prisme, c'est-à-dire à celui qui correspond, par exemple, au cas où il se trouverait posé, dans toute sa longueur, sur une table de niveau, sans être sollicité par aucune force. Il est évident que, pour la position verticale, Télémcnt ab, se trouvant chargé, dans Tétat d'équilibre, du poids Q, augmenté de celui p.bBj qui correspond à toute la longueur 6/^, il s'allongera d'une fraction i, de aft, qu'on trouvera au moyen de la formule du n^236, laquelle, en remplaçant ici P par Q -{-p.bB^ donnera

Q-hp.bB '= A.E '

et, par conséquent, pour l'allongement absolu de ab, . . Q-hp.bB , / Q p.bB\ ,

formule qui aura lieu pour un élément quelconque du prisme, et qui suppose seulement que la charge, Q -+-/>. 6 /y. n'excède jamais la limite pour laquelle l'élasticité cesse d'être parfaite, ou les allongements, d'être proportionnels aux charges correspondantes.

JUlongement de la partie inférieure du prisme. — Si l'on veut maintenant obtenir la quantité dont se sera allongée tonte la partie bB du prisme, il faudra évidemment faire la somme de toutes les valeurs du produit infiniment petit, i.ab, relatives aux différents éléments semblables, qui sont compris depuis le premier, abcd, jusqu'au point d'attache, B, du poids Q. Or c'est à quoi l'on parviendra, par les méthodes dont on a fait usage notamment aux n"* 108, 110 et 13.'), c'està-dire en élevant aux extrémités, 6, de ces éléments, des ordonnées ou perpendiculaires, bb\ à l'axe du prisme, qui soient proportionnelles ou égales aux valeurs correspondantes de I. Car ces ordonnées se composant, d'après la formule cidessus qui donne /, d'une première quantité ou longueur constante bn^ BB'=-rK.^ et d'une autre, nb'=^^-^-^j qui

A.E A.Jt

4l4 MÉCANIQUE llfDUSTRIELLE.

croit proportionnellement à la distance» bB, de chaque élément à l'extrémité inférieure du prisme» ces ordonnées, disons-nous, auront toutes leurs extrémités, B', 6', ji\ situéfs sur une même droite, y4'B', inclinée par rapport à l'axe AB,cl qui formera, avec la portion 6^ de cet axe, et ses ordonnées extrêmes, BB' et frfr', un trapèze, BB'b'by dont Taire *

\bB{BB'^bb')=zbB{BB'-h\nb') ou ftJîf-^ -+- 2l^\

représentera rallongement total subi par la partie bB.

Allongement de la partie supérieure Ab, — Cet allongemeol sera évidemment donné par Taire du trapèze correspondant, bb'J'À^ qui a pour mesure

attendu qu'on a ici

et toujours

Mais^Z? est la même chose que AB — bA ou L — fr//, etpar consc(|ueni, p.bB =: p.L ^ p,b^; donc Tallongemenl cherché (le h\ est

\ A.E A.E / A.E csA.E

résultai aiuiuel on arriverait direclem(3ni encore par la considération (le la figure.

Allongement total. — Considérant, en particulier, Tallongemenl total de la barre AB on L, sous Tinlluence réunie de son poids et de la charge Q, on aura, d'après Tune ou Tauire des formules ci-dessus, pour calcnler cet allongement que nous représenterons par /', T(»x pression

DBS RÉSISTANCES. 4^5

ompose de deux termes distincts, dont le premier est rallongement que produirait la charge Q, indépent du poids des parties du prisme, et dont le second se essentiellement à ce dernier poids, considéré, à son nme s'il agissait seul, et abstraction faite de Q. Or ce int mesuré par le produit /iL, on voit que, pour avoir ion influence, il suffira, comme cela a été indiqué au i*en ajouter la moitié à celui de Q, pour obtenir, sur- ), la valeur de rallongement total du prisme; ce qui he nullement que rallongement proportionnel, i, subi nient situé en ^, ne soit dû à la charge entière

:ation numérique, — Supposons, afin d'offrir un

L^io"*, A ^o*"*!, 002 5 ou îSoo"*'"*, et 0 = 'oooo^S

orrespondra à une surcharge de —= — = 4^»,o seuler millimètre carré. Soit, de plus,

7 8oo^« ou /? = 7 8oo^« X o"*i, 0025 X I " = 1 9^*, 5, E 1= 20000000000^8 par mètre carré,

qui conviennent indistinctement (292) au fer forgé lé, on aura, pour la première partie de l'allongement,

0 r lOOOO

^ L— = lo'" — o'",oo2;

A '. E 5o ooo ooo

leuxième,

— 7—=. L'= -^ ;= o",ooooiq5.

2A.C. lOOOOOOOO

3it, par ce dernier résultat, combien peu le poids ie la barre exerce d'influence pour le cas du fer; mais, sant les mêmes calculs sur un prisme de plomb pareil, veraiique cette influence, quoique assez faible encore, . néanmoins sensible, de même qu'elle le serait évi- Hit aussi pour une barre de fer chauffée au rouge vif, etc.

4l6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

311. Limites relatives et absolues, de la hauteur des prismes suspendus verticalement à un point fixe. — Parmi les questions intéressantes dont la solution se rattache au point de vue qui nous occupe, nous mentionnerons celles où Ton demande le maximun de hauteur qu'il serait permis de donner à un prisme suspendu verticalement à un point fixe, pour que sa force de ténacité ne pût être vaincue, ou son élasticilé être altérée sous l'action du poids de ses propres parties.

Limite relative à r élasticité. — L'élément supérieur de ce prisme devant supporter la charge ph^ tout entière, subirûl un allongement proportionnel i\ qu'on trouverait évidemment (236 et 310} par la formule

., jDL.L D.L

puisque /> = A.l), et que Télasiicilé est supposée parfaite; ce qui donnerait réciproquement» dans la même hypothèse, et en prenant seulement (298) /'— o,ooo5,

AEi' E./' 20000000000^»

L = — -jr- = 5 — r- o"',ooo5 =1282",

pour la limite de la hauteur qu'on devrait donner à la barre de fer, afin d'éviter (jue son élasticité ne fût énervée sous l'action, inonie nionientanée (295), de son propre poids.

En recheroiiant, dans les mêmes hvpoihèses, quel sérail rallongement total, /', subi par cette barre de 1282 mètres dp hauteur, on trouverait

/' — '. /' L -.- \ o , ooo5 X 1 282"' -- o'", 32o5, valeur qu'on obtiendrait directement aussi par les formules