AE

qui se déduisent très-simplement, soit de la formule générale du n° 310, dans laquelle on supposerait Q — o, soit de la for-

DES RÉSISTANCES. /^l']

mule /'=r^/'L, dans laquelle on mourait pour i' sa valeiir-^^,

DL

ou -g-.

Limite i*elative à la ténacité. — Pour oblenir le maximum de la hauteur sous laquelle la force de cohésion des parties de la barre se trouverait vaincue, il suffira (ây*) de poser l'équalion

R.A=-pL=rD.AL; ^'oii l'on tire

-ce qui montre que la hauteur dont il s'agit, s'obtiendra en divisant la force de cohésion de la substance, sur i mètre -carré de section, par sa densité ou son poids sous l'unité de

volume correspondant.

Prenant ici, pour la valeur moyenne de cette cohésion,

Jl = 4^ ooo ooo'^" (SS'i-), on trouvera

iooooooo^» ^ o L = ^=^ — 5 — r — =^ 5128'" environ ; 7 ooo*«

c'est-à-dire que la barre devrait avoir plus d'une lieue et quart de hauteur, pour rompre sous son propre poids. On pe*ut juger, d'après cela, combien la force, qui unit entre elles les molécules des corps solides, doit surpasser celle qui les sollicite en raison de la pesanteur; car la valeur de R se rapporte à la seule action subie par les molécules de la tranche où se fait la rupture, de la part des molécules qui en sont immédiatement voisines, tandis que le poids /^L, auquel R fait équilibre, se trouve réparti sur toutes les molécules du prisme.

Hauteurs des modules d'élasticité et de ténacité, — La hauteur qui vient d'être obtenue en dernier lieu, de même que

E celle = i'=iï82"» qui l'a été ci-dessus, sont très-propres à

caractériser les forces de ténacité et d'élasticité de chaque substance, ou plutôt les limites respectives de ces forces, indépendamment des unités de mesure adoptées ou des di-

4l8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

mensioNs considérées dans chaque cas en parliciilier. Or, en étendant pareillement cette observation au quotient =r9 du

coefricient d'élasticité divisé par la densité, lequel représcnie, de son côié, la hauteur d'un prisme vertical qui serait capahlf de produire, en vertu de son propre poids et sur sa tranche supérieure, l'allongement proportionnel défini au n" 237, on se rendra compte des motifs qui ont conduit les Auteurs anglais (*) à appliquer une dénomination particulière à ce dernier résultat qu'ils appellent : hauteur du module d'élasticité. On pourrait nommer également : hauteur du module de ténacité ou de cohésion, la valeur de .. » et limite de la hauteur

du module d'élasticité, la valeur de la quantité -tt''.

EXAMEN DES PRINCIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEMENT OSCILLATOIIE DES PRISMES SOLS l'iNFLUENCE DE CHARGES CONSTANTES ET U CHOCS VIFS.

Dans tout ce qui précède, nous avons fait, à peu près complètement, abstraction de l'intluencc qui peut être due à la vitesse acquise par les charges suspendues à Textrômité inférieure des prismes; ou plulol, nous n'avons considéré que Ie> simples efforts capables d'amener ces prismes à un étal d'allongemonl ou de stabilité déterminé. AfaiiUenant il s'agit de revenir, avec quelques détails, sur le rôle joué par l'inertie dans tous les phénomènes relatifs aux allongements et à la rupture des prismes, rôle que nous avons seulement chcrrlu* à faire pressentir dans le Chapitre servant d'introduction à l'exposé des résultats de l'expérience, et qui concerne les premières notions ou principes sur la résistance élastique de< solides. On verra, dans la partie des Applications, que cette matière offre un vaste champ de recherches théoriques ou

(* ) Esstii pratique sur la force du fer coulé ^ etc.^ par Trvdjold, traduction «Ip T. Duvenio, p. 167, ii* 74.

es, (lonl nous n'avons fait, pour ainsi dire, qu'efus simples élémenls.

nommément y dans le cas où la charge ne possède aucune vitesse initiale,

ence du mouvement acquis par cette charf^e, sur et rallongement maximum du prisme. — Dans s qui précèdeni, nous n'avons considéré que ce rès l'instant où le prisme solide est parvenu à son lité sous l'inlluence de la charge qui le sollicite, t se rappeler (250) que, lorsqu'il s'agit de tiges •umises à l'action de leur propre poids ou d'un er, les premiers allongements s'opèrent en vertu ment continu et accéléré, qui est dû à la préponla charge, dans ces premiers instants, et qui est semble des diverses parties acquiert rapidement ou une force vive finie, sous laquelle la charge ppasse ensuite la position de stabilité ci-dessus . Il en résulte aussi que les allongements vont lient en augmentant, jusqu'à l'instant où le mourouve complètement anéanti, pour recommencer traire, et ainsi alternativement.

ent maximum. — D'une part, la quantité de tra* )pée, par l'ensemble des ressorts moléculaires, à nstant où les forces d'inertie des molécules ne aucun rôle, est donnée (2W) par la formule

T,rrrT;.ALii^;AL.E/%

|ue à un allongement proportionnel quelconque lar le prisme, en deçà des limites pour lesquelles lemcure parfaite.

re ])art, le travail développé par le poids, Q (310), î étrangère, sur la hauteur de l'allongement maxiectif que nous représenterons par IL, a^ant pour irodnil Q. IL, on devra avoir l'égalité

iALEI'^QIL, ou ;AEI=::Q;

4^0. MfiGÀMIQUB UfDUSTHIKLIJB.

en divisant par le facteur commun IL, et négligeant l'infliMM peu sensible, qui pourrait être due au poids des parties iMérielles du prisme, dont le travail serait facile a évaluer d'apiji ce qui a déjà été exposé au n** 310 ci-dessus.

Hais AEI est précisément (236) la mesure de reflrortP.qri serait capable de produire ou de maintenir, d'une mmièii stable et permanente, l'allongement I, par mètre, que h prisme a reçu sous l'influence de la charge Q et de la xhtm acquise; donc, cette dernière charge n'est que la moitié k celle dont 11 s'agit, ou, ce qui revient absolument au mémer le plus grand allongement subi sous Vinfluence de la vitm acquise^ est le double de rallongement stable qui eontsfm^ drait à la charge effective, si l'on venait à s*opposer à te^ accélération sensible du mouvement; ce qui peut se faire ftf divers moyens faciles à imaginer.

On voit aussi, d'après cela, qu'encore bien qu'un eirori,(|^ fût, par lui-même, incapable d'énerver l'élasticité d'un priM solide, vertical, à l'extrémité inférieure duquel il agirait 90 vitesse appréciable , cependant un poids égal , fixé , i ttm extrémité, Il vec beaucoup de douceur, mais abandonné ensuite librement à l'action de la gravité, l'affaiblirait inévitablemeM si sa valeur dépassait seulement la moitié de l'effort ou.de il résistance qui correspond à la limite de l'élasticité naturelle. Cette conséquence justifie complètement ce qui a été avancé, d'une manière générale, au n*> 256, et elle prouve aussi combien on aurait tort de s'en rapporter, dans certains cas,ili règle qui consiste à prendre, pour la charge permanente dei matériaux de construction, celle qui correspond a cette mène limite, dans des expériences où l'inertie n'aurait, pour ainsi dire, point été mise enjeu (295).

Allongement relatif au maximum de vitesse. — PoutToIk tenir, on considérera que la vitesse de la charge Q, et celle dei différentes tranches ou parties matérielles du prisme, denot atteindre sensiblement leur valeur maximum, c'est-è^iie cesser de croître, au même instant, et par conséquent lei

forces d'inertie m- (130 et suivants) qui leur sont relalivcs,

devenant nulles pour chacune d'elles séparément, il faut quH y ail simplement équilibre entre les poids et les forces (te

DES RÉSISTàNCBS. 4^'

3SSort ou résisiances élastiques qui les animent, comme dans état de stabililé ordinaire du prisme. Négligeant donc encore Mie poids de ses différentes tranches, et nommant i' l'allonement proportionnel qu'elles subissent à Tinstant du maxilum de vitesse, et qui sera le même pour toutes, aussi bien ue leur force élastique mesurée par le produit AEi', on aura Implement, pour déterminer T, la relation

Q=AEi';

cil il résulte que cet allongement est seulement la moitié de

etui 1 = — -, obtenu , en premier lieu, pour la fin du mou-

ement descendant de Q; c*est-à-dire qu'il est précisément gkX à l'allongement de stabilité sous celte même charge Q..

Nommant d'ailleurs U = IL, /' = i'L les allongements corespondants à I, i ', et qui sont relatifs à la longueur entière L, La prisme, on voit qu'on aura, pour calculer L' et /', les for- Dules