Q' - AEi ) / = Mv - MV

mais cette nouvelle égalité ne peut pas servir immédiaiemenl à faire trouver les quantités de mouvement perdues et gagnées

DBS RÉSISTANCES. 4^1

I chacun des instants du choc, ni par conséquent celle qui a lieu après sa durée, comme cela arriverait (ians le cas déjà cité des corps entièrement libres.

Supposant, au contraire, que la résistance à la compression, des masses M et M\ qui subissent directement Taction du choc, soit très-grande par rapport à leurs poids P et Q et à la résistance AEi de la tige, ou, ce qui revient au môme, supposant que leurs impressions réciproques, pendant le choc, soient comme insensibles par rapport aux allongements / = îL, éprouvés par cette tige, alors on retombera dans la condition F = Mi' = MV, en vertu de laquelle M et M' prennent (155) la vitesse commune

avant que la tige soit allongée d'une manière appréciable; par suite, elles agiront, sur cette même tige, avec une quantité de mouvement (M H- M') V, = M'V, ou une force vive initiale mesurée simplement par

au lieu de M' V'*, et à laquelle correspond une perle antérieure mesurée, à son tour (1(31 ), par Texpression

^^ .M'V'^r-:— ^.,- \rV',

puisque les corps sont ici censés ne point se quitter après l'instant qui suit la première impression (159).

Que si d'ailleurs la masse M était, elle-même, déjà animée d'une vitesse Y", dirigée ou non dans le sens de V, et à laquelle correspondrait une certaine valeur donnée de rallongement /du prisme, alors on aurait (163) pour mesurer, dans les mêmes hypothèses, la vitesse et la force vive communes à ces

deux corps, à ]*iiislant où le choc a cessé,

( MV ± MV^ y ( Q' V ± QV y

les signes supérieurs de l'ambiguïté ±, devant être adoptés dans le prennier cas où Q marche dans le sens de Q', el les signes inférieurs dans le deuxième.

Ces préliminaires étant admis, rien n*estplus facile, comme on va le voir, que d'appliquer au cas général qui nous occupe les différentes considérations exposées dans les numéros qui précèdent.

32^1.. Méthodes et formules pour apprécier les effets d'un tel choc. — Sous le point de vue de la résistance des prismes, on n'a point à s'occuper de ce qui survient après la première période de l'allongement, puisqu'on sait, par rexpériencc, que, si la limite d'élasticité naturelle n'y a point été atteinte, elle ne le sera pas, à fortiori, dans les oscillations suivantes, où l'amplitude des excursions de la charge va sans cesse en diminuant ; du moins, il ne paraît pas qu'on doive ici admettre cette cause, encore mal définie (249 et suivants), el qui ferait dépench'e la résistance élastique, de Tinfluence du temps ou du nombre, de la répétition des elfels, même en deçii de la limite dont il s'agit.

Méthode générale. — Ayant appris, ci-dessus, à calculer approximativement la force vive initiale

(M-t-M')V;, ou ,0-^-0')—^

commune aux deux masses, M et M', à la fin du choc dont la durée est censée extrêmement petite par rapport à celle de la première période du mouvement, où rallongement du prisme, de /' qu'il était d'abord sous l'inlluence de la charge permanente, 0(313 et 318), devient, je suppose, L', à l'instant où la masse M h- M' est réduite au repos; il ne s'agira, en vertu du principe des n" 130 et 137, ainsi que des observations

DBS RÉSISTANCES. 4^^

liéjà faites aux n°' 312 et sulvnnls, que de reclicrchcr si la moitié de cette force vive, augmentée de la quantité de travail (Qh-Q')(L' — /') qu'y ajoute la pesanteur pendant la descente effective des deux corps de la hauteur L' — V , plus encore, de celle que suppose l'allongement primitif, /', du prisme, et qui, dans Thypothèse d'une élasticité parfaite, et où la masse M se trouverait au repos à Tinslanl du choc, peut

être mesurée (312) par ic produit \Ql' ^- ÎQ^^ou ! AELi'»,

il ne s'agira, disons-nous, que de voir si la somme de ces quantités surpasse ou non la résistance vive d'élasticité, T, = T'^ AL, ou la résistance vive de rupture, Tr = T,. AL( 2i7 j, dont les coefficients, T^, T,., sont donnés par les Tables des n** 275, 296 et suivants, pour être en mesure de reconnaître, à l'aide d'un calcul facile et dont nous offrirons un exemple dans la partie des applications, s'il y a chance que l'élasticité du prisme soit énervée par les effets qui succèdent au choc, ou que la rupture immédiate s'ensuive. A l'aide du principe déjà cité, et des courbes qui expriment (PL H^fig' 4? et 48, n** 274 et 200) la loi des allongements des prismes de diverses substances, on pourra également étudier, par des constructions ou des tâtonnements faciles, les particularités essentielles du phénomène de rallongement produit sous l'influence de la vitesse initiale et des efforts exercés par les poids réunis des deux charges. Mais, en supposant , comme au n"* 318 et comme il convient généralement de le faire dans les projets d'établissement des constructions, qu'on limite la question au cas où ces effets doivent laisser l'élasticité du prisme intacte, il deviendra possible encore do soumeilre directement ces circonstances au calcul.

allongement maximum dans l* hypothèse d*une élasticité paifaite. — En limitant la question au cas où la charge Q se trouve au repos à l'instant du choc, et nommant toujours L le plus grand allongement subi par le prisme, ou I l'allongement proportionnel qui lui correspond, sa valeur s'obtiendra au moyen de l'équation

(Q ■»- Q')l^-*-(Q -*-Q')(ï - ') I^ + i ^ELi'^- lAELP,

454 MÉCAHiQui iHonsniuxi.

qui exprime précisément que l'égalité a lieu entre les divenes quantités dont il vient d'être parlé ci-dessas, attendu que» dans l'hypotiièse d'une élasticité parfaite, le produit ^ AEU* mesure (2ï7) la résistance vive totale» T«, du prisme.

On mettra cette équation sous une forme plus simple H plus commode pour le calcul ou la discussion géométrique, si,

après avoir multiplié tous ses termes par la fraction jst oa

observe que Ton a