AE"" ""L • AE
i'^ et r représenunt ainsi l'allongement proportionnel et l'allongement effectif que subirait le prisme sous un efot permanent égal au poids Q' du corps choquant. Cette éqm* tion prendra, en effet, la forme
LLIÎliJVî -f- !î(/' -+-r)(L'- /') 4- /'» = L'%
et donnera, par les mélhodes connues, en posant de nouveau, pour abréger (322),
jr^ ^" V (Q + Q')L "" ^" L' ou IL =^ r -h /"± i/n -f- ^,
double valeur dont la plus grande doit, comme au n" 318, cor respondrc toujours au maximum de rallongement, et la plus petite à son minimum si elle est positive, ou au maximum de raccourcissement subi par le prisme, dans son oscillation en retour, si elle est, au contraire, négative; c'est-à-dire si elle doit être portée {PI. Il^fig- 5i) en sens opposé par rapporta l'extrémité inférieure, B, du prisme considéré dans son éiai
turel. Mais, d'après ce qui a déjà été remarqué au n"* 320,
dernier résultat est sujet à restriction, et suppose, tout au wns, que les poids Q et Q', demeurent assez unis entre eux
avec la barre, par suite des déformations ou résistances ^identelles qui naîtraient du choc, pour qu'ils ne puissent
séparer aux instants où la réaction élastique du prisme &nt à s'exercer en sens contraire du mouvement acquis dans scillatîon en retour. Afin d'éviter d'interrompre le (il des •es, nous ferons, pour le moment, abstraction de ces circon-
nces particulières, sauf à y revenir plus tard, quand il s'a-
■a des applications spéciales de cette théorie du mouvement
dilatoire.
Équation fondamentale du mouvement. — Le principe des
-ces vives (136 et 137) mettra pareillement à même de dé-
Qvrir, pour le cas dont il s'agit, la relation qui sert à cal-
1er la vitesse V, commune aux deux masses M et M', à un
liant quelconque de leur mouvement, par exemple, à celui
d correspond à un allongement donné, /= /L, pourvu qu'il
h ici permis encore (313) de négliger l'influence due à
Bertle et au poids des parties matérielles du prisme. Car
ccroissement(M -<- M')(V'-- V'j qu'aura reçu la force vive
» ces massée, depuis l'origine du mouvement, devra être
liil au double de la quantité de travail (Q -f-Q' )(/—/') dé-
Joppée, sur elles, par la pesanteur, pendant leur descente
I la hauteur / — /', diminuée du double de la quantité de
ivail,
AF
iAEL(i'-i'»)=:|-^;/^-r\^
liest développée, en sens contraire, par la résistance élasfue, AEi, du prisme, pendant la durée de cette même des- IDle; c'est-à-dire qu'on aura, pour déterminer V, au moyen l/, la nouvelle relation
[±QiV(Q^*iQ:)vî=.(Q+Q')(/-n~^(^^ g g ^
AE , en multipliant tous ses termes par -j— ? et en ayant égard
observations et conventions ci-dessus, devient successi-
4^6 MftCAHIQUB niDOtnilLU.
veinent
par des transformations algébriques bien connues, mais qu'il nous eût été très-facile d'éviter, ou plutôt de suppléer entièrement» tant dans cette question que dans la précédente, si nous n'avions voulu montrer, par un nouvel exemple, cohh ment l'application du principe des forces vives peut conduire directement au but, sans recourir aux données que nousavoas précédemment acquises sur la nature du mouvement osdtti* toire des prismes.
325. Interprétation géométrique des réêultats ei toi* Jb mouvement qui succède au choc. — Rien n'est plus simple que d'interpréter dans le langage géométrique, les résultats auxquels on vient de parvenir en dernier lieu, et dont Tanalogie avec ceux qui ont été exposés, pour des cas particuliers, daas les n"^ 313 et suivants, est facile à saisir : BG représentinl {PI. //, Jig» 5i] la quantité /', dont, par hypothèse, s'est allongé primitivement le prisme vertical, AB, sous la charge permanente Q, et CO celle, l", dont il s'allongerait par I'Idfluence immédiate de Q\ BO représentera pareillement rallongement total de stabilité, l' ■+■ i^^ qui entre dans les formules ci-dessus, et que prendrait le prisme sous l'action d*une charge unique Q -f- Q', allongement qui, en vertu du principe éiabli à la fin du n'^ 312, doit correspondre aussi à l'instant où la vitesse Vi ayant atteint sa valeur maximum, l'Inertie ne joue plus aucun rôle, et où l'extrémité inférieure, B, du prisme, atteint elle-même le centre au milieu de ses courses asceodantes et descendantes, dans le mouvement oscillatoire qui succède au choc.
Allongement ei contraction maximum, — D'après cela, si l'on porte, sur l'ordonnée ou horizontale du point, C,qui indique la position initiale de cette extrémité, la distance
CN'=:-t:*î il est évident que l'hypoténuse
ON
' = y/oc' + CN'' ^ t//"' + jl
sera le rayon r,, d'un cercle dont les inlerseciîons, B" el D", avec la direction prolongée de Taxe du prisme, donneront les positions extrêmes de B. On aura donc aussi
BD" ^B0 + OD" =^1' -h r + i// '» -f- ^,
" = OB'^ - OB :rz 4//"3+ ^ (/' + /"),
BB
qui sont précisément, Tune la plus petite, et l'autre la plus grande des valeurs absolues de L', trouvées ci-dessus (324), par la voie purement analytique.
Vitesses et allongements quelconques. — Supposons que y représente Tune des positions intermédiaires de B, pendant son mouvement descendant, de sorte que Br soit précisément égal à /. Si l'on élève, en ce point et au cercle mentionné, Tordonnée 7* M' dont le carré
XW = OM' - Oy == ON' - (jB - OB)^
celle ordonnée représentera précisément la valeur de ,-, que
fournit la dernière des équations du n° 324-; ce qui prouve que loutes les circonstances du mouvement oscillatoire, déjà éludiées dans les n""* 318 et suivants, «pour le cas particulier d'une seule masse M, animée de la vitesse Vi , se reproduisent exaclement ici, pourvu qu'on substitue la considération du cercle B"N'D*^B" à celle des cercles B/iDB, B'ND'B', etc.; conséquence évidente à priori, puisque le mouvement oscillatoire des deux masses, M et M', lorsqu'elles sont une fois réunies et que l'élasticité n'est en aucun instant altérée, ne saurait différer de celui d'une masse unique, M + M', suspendue à l'extrémité inférieure du prisme, AB, et qui aurait reçu, en C, une vitesse initiale, Vi, capable de lui foire atteindre l'une ou l'autre des positions extrêmes D" et B".
amplitude, durée et nombre des oscillations. — Ces rappro-
458 MÉCANIQUE INDOSTRIKLLB.
chcments et tout ce qui a été exposé aux n*** 318 et suivants, nous dispensent d'entrer dans la discussion détaillée des autres particularités du mouvement, relatives au cas général qui nous occupe, et dont la plus remarquable est /sans coniredii encore, Tindépendance complète qui existe entre le nombre, la durée des oscillations et leur amplitude, l'intensité du choc ou la vitesse du mouvement. On aura, en effet (315), pour calculer celte durée,
, circ.B''N'D''B' A-,. ON'
27rr, 27:
*>T- 4 / «ÏW
attendu qu'ici les quantités
dont la dernière exprime aussi la demi-amplitude des oscillations « nMiiplaoent celles qui ont été désignées simplement l^r A' et r au n'' 319.
Quant au nombre N. des oscillations par seconde, on le irv^u^om au mo\en des formules
qui soiu jur^M^îviv.e: :l indr^penijnis de la vitesse initiale, Vi, et vîo i*jt-"pHi,Lio, :î ' , ies os*:ir:itions du prisme, mais non |v*> vv; îj ;h^ri:'e 0 -- 0 • V-^^- ''^ sollicite d'une manière cod* s:jir::\ A *\t'îlr -ie Vl s:ir.i iz -rfc»>c. Ce dernier pourrait d'ail- N*;:.> jt\: r '■- ,: iir.s ur. >r:s :-:cînip? ei pour une po<ilioD, ,*:* 0 ; ,: ,v: R. • rar :\f^ .;:':?, ir»?r5— 1 !Îêr?nie de C, sans qu'il/ :*\V, ; ■; ; .; v^: j . .:-• • > sr : if li ^lîr-JT 4^ V :l±±' et la gran- .^;*. r .t; ji .:: ; —i VT ■..:-' : - i- -*«:-n .r . du nouveau cercle, 1^ N l^ f'\ j • .- î:—z-. .:-::r:-^ i-nî: ûi!>-i;our> pouf cenlfc fe
;v . , v\ f", :•: t . •':^:': :-f-f • M . -k: • . *j :i:-.iTelle valeur de 7-:
Al
ce qui donnerait encore
r. ou OM' ^r. \/oy^ '' -f- ^M'' ^ \/o j + ^,
ei mettrait ainsi en mesure de discuter toutes les circonstances du nouveau mouvement.
Formules analytiques du mouvement. — 11 nous suffira ici de faire connaître celles qui concernent spécialement le temps, ei qui peuvent être immédiatement déduites de leurs correspondantes des n®* 319 et suivants. Remarquant à cet effet que, dans le cas actuel, ce temps doit être compté à partir do Tépoque où l'extrémité inférieure, B, du prisme, est en.C, on verra (319) que, si Ton nomme, en général, T sa valeur, en secondes, relative à la position quelconque, y, de cette extré- Oiîié, ou à l'allongement total, B j = /, subi par le prisme, sa ■"elation avec l'arc N'M', ou l'angle N'OM', sera ici donnée par les formules
^ arcN'M' arcN'M' angleN'OM' , .,,^,,, , ,^
Nommant, de plus, T' le temps qui correspond à Tare B'N', Ou à l'angle B"ON', et qui est également donné par le rapport inverse du nombre constant, /r,, à cet angle censé mesuré loujours dans le cercle qui a Tunilé pour ra^on, il sera aisé d'apercevoir quelle est la nature des changements à effectuer, tant dans les formules du n"" 319 que dans toutes celles du n^ %2, pour obtenir les expressions qui appartiennent au cas
actuel.
Ainsi, par exemple, on aura pour calculer, à un instant quelconque indiqué par la valeur de T, l'allongement / ou hy, subi par le prisme entier, AB,
/ = BO -+- Oj = /' -4- /' - OM' . cos B" OM'
= /'-t./''r,cos/r.(T4-r),
attendu que le cosinus de l'angle obtus B''OM', doit ici changer de signe.
En employant les transformations trigonométriques indi-
46o aic&siQOB uiDonBiBixi.
quées dans la Note du n' 319, et observant qu'ici encore ont
cos A , T = cosB'ON' = -^ = ^ , et sln*,r = gS =Tp' cette formule prendra la forme plus explicite
/=/'-t-/«(i cosA-,T) + ^9ln*-,T.
On aura donc aussi (3^1 et 3â), pour calculer, en général, rallongement z, subi, au même instant, par la partie quelconque Ab=:x du prisme, la formule
-5 = /^=J[/'-hr-.ricos«-.(T-f-r)]
= |-a?-t--r-a?(i — cosAr.T) +-7^-sfni(r(T; dans laquelle /% l" et V| ont les valeurs
déjà indiqués précédemment (322 et 324) , et où il serait bciie de tenir compte (322) des termes relatifs à l'influence exer cée par le poids des parties matérielles du prisme (*).
(*) Pour le cas qui nous occupe, l'expression générale de z, déduite d'one analyse semblable à celle qui est indiquée dans la Note du n^ 322, et où Toi tient compte de Tinertie des molécules du prisme, devient, en con«enrant tMjours à B^ la mî^me si(rnification
ADL AD , , (Qh-QO^
AE aAE AE
forme sous laquelle elle conduit à des résultais qui cadrent également avec
ceux du texte ci-dessus, quand — rr; ou m sont censés des quantités trèi-
petites.
C'est, au surplus, un résultat auquel on arrive directement d'après le pria-
DBS RÉSISTANCES. 4^1 *
On remarquera, au surplus, que, pour rentrer dans les conditions des n~ 318 et suivants, il suffirait de supposer /' et Q nuls 9 dans les formules ci-dessus, sauf ensuite à remplacer, dans les résultats, /" et Q' par /' et Q, puisqu'on exprimerait, par là, que le mouvement du prisme est simplement produit par le choc d'une masse. M' ou M, animée de la vitesse \' ou V,, el qui viendrait rencontrer verticalement un obstacle, une saillie quelconques, placés à Texlrémité inférieure, B, de ce prisme.
