DES HOLVEMENTS DES PRISMES

326. Résumé des principales de ces conséquences, — En rapprochant entre eux les divers résultats auxquels on vient de parvenir dans le Chapitre qui précède, il en découle deux principes généraux vérifiés par Texpérience, qu'il est essentiel de retenir pour l'explication de plusieurs faits relatifs au mouvement oscillatoire, et dont la connaissance mettra à même de résoudre, sans nouveaux calculs, diverses questions qui se présentent dans les applications de la Mécanique:

1** Le nombre et la durée des oscillations des prismes sont, dans les limites où l'élasticité demeure parfaite, entièrement indépendants (319 et 325] de l'intensité des chocs ou de la vitesse imprimée, et uniquement relatifs à la valeur de la résistance élastique natureUe, A£, de ces prismes, à leur longueur absolue, L, et à leur tension primitive ou naturelle, c'est-àdire aux poidSy aux efforts, Q ou Q + Q', qui les sollicitent, d*une manière constante, pendant le mouvement;

a® Les mêmes choses ont lieu également à Tégard des divers points (321) qui, pendant ce mouvement, indiquent la

cipe de raperposition mentionne à la fin de la Note du n® 3«2; car ici le poids Q doit être nul dans le premier terme de la parenthèse, puisque nous supposons le prisme en équilibre, sous l'action de ce poids, à l'instant où le choc s'opère. Quant au cas où Q posséderait, à cet instant, une certaine vitesse, à laquelle correspondraient un allongement et un état du prisme, déterminés par les lois d'un mouvement oscillatoire antérieur au choc, rétablissement des nouvelles formules ne serait guère plus difficile.

463 HtCAJIIQDB UnraSTMILUU

position mqjrenne de chacun des éléments des prismes» d qu'on pourrait ainsi nommer leurs eenires ^cmittaiion^ si ce mot n'était pas déjà employé en Mécanique pour désigner toute autre chose.

La position de ces divers points ou centres, par rapporta celle qui correspond & l'état naturel de chaque prisme, est, comme on l'a vu (31jh, 318, 321 et 835), donnée par h posilloa même d'équilibre que prendrait l'élément correspondant de ce prisme, sous l'influence de la charge constante qui çollîdie son extrémité inrérieure, et dont, par hypothèse, les effortsae propagent d'une manière & peu près instantanée, à ses dlflfrrentes parties. Ces mêmes points milieux ou centres indiqueM aussi, comme on l'a vu, notamment aux n* 31S et 314, la position pour laquelle la vitesse de l'élément correspondant de prisme cessant de varier pendant un très-petit instant, attelât ' sa limite supérieure à chacune des demi-oscillations de h

charge; l'influence de l'inertie et la force m j, qui la représente, devenant ainsi nulles au même instant.

Quant à la durée et au nombre des oscillations isochrone et simultanées, exécutées par les divers points matériels da prisme, ils dépendent essentiellement (315, 319, 321, 3S5) do nombre k ou A*,, dont la valeur est généralement donnée ptf la racine carrée du rapport de g ou 9", 809, à la distance qui sépare la position moyenne de chacun de ces points matériels» de sa posiiion relative à Téial naturel : celle durée, ce nombre des oscillations entières par seconde, sont eux-mêmes donnés dans ciiaque cas : la première, par le quotient de ar = 6.283î divisé par k ou /r,, le second, par le quotient de ce même nombre divisé par 27:; ce qui en rend le calcul très-simple el, redisons-le, tout ]à fait indépendant de Tintensitc de la vitesse en chacun des points du prisme.

DBS RÉSISTANCES. 4^3

Faits d'expériences et questions relatives à l'extinction et à l'accumulation du mouvement vibratoire,

327. Utilité des principes qui précèdent, pour les applications,— Pour en oftrir tout d'abord un exemple, nous rappellerons ce fait d'expériences dr»jà énoncé au n" 315, et d'après lequel les oscillations des corps considérés dans leur état naturel, loin de se perpétuer indéfininient, comme le suppose la théorie, vont, au contraire, sans cesse en diminuant et finissent bientôt par s'éteindre complètement; car on conclura sur-le-champ, des principes généraux énoncés au n"3â6, cette conséquence : que si l'élasticité d'un prisme n*a pas été altérée à la fin delà première période du mouvement, ou du plus grand allongement, la durée de ses oscillations, leur nombre en un temps donné, et la position moyenne de chacun de ses éléments, ont dû rester les mêmes jusqu'aux derniers instants de ce mouvement, quoique l'amplitude même des oscillations ail sans cesse varié jusqu'à devenir complètement nulle. Or cette conséquence, ce nouveau principe est non-seulement vérifié par l'expérience, pour le cas particulier des prismes, mais il s'étend généralement, comme le démontre le calcul, à tous les mouvements oscillatoires ou vibratoires dont Tamplitude est assez faible pour que la force qui anime les parties n*alt pas été modifiée dans sa nature, c'est-à-dire dans la loi de proportionnalité qu'elle suit par rapport aux distances.

Supposez, maintenant, qu'un corps suspendu à l'extrémité d'un prisme vienne, au milieu de ces oscillations régulières, produites par une cause antérieure quelconque, à subir un nouveau choc de la part d'un corps étranger, et dont l'action ne dure que pendant un certain temps, on saura, à l'avance, que le mouvement oscillatoire qui succédera à cette première impression, suivra les mêmes lois que le précédent; que l'étendue des excursions des molécules de part et d'autre de leur position moyenne sera seule modifiée; qu'en un mot, cette position, le nombre et la durée des oscillations ou vibrations seront demeurés tels qu'ils étaient en premier lieu.

S'il s'agit notamment d'un choc vif survenu en un point

464 MtcAïaQUB nmmmnu^.

quelconque de la course du corps suspendu «a prisHM; esB* naissant d'ailleurs la vitesse V de ce corps au point où le<koe s'opère, il deviendra possible» au moyen des princfpoi étabHi dans les n** 323 et suivants» et en procédant spédalemeoi comme on l'a fait au n<* 325» de découvrir» non-senlement k vitesse Vi qui succède immédiatement k V, nniis encore k nouvelle amplitude des oscillations» les plus grands allongements ou accourcissements qui en résultent, toujours dns l'hypothèse d'une élasticité parfaite; car (8B6) k valew éi nombre kt n'ayant pas changé» non plus que le centre do code qui appartient au nouveau mouvement» on sera en état de calculer ou de construire le rayon n de ce cercle, eu majm de l'ordonnée relative au point où le choc a Heu» et qui est toujours donnée par le rapport de la vitesse Vi » commune, m ce point» aux deux masses choquantes» et du nombre kt doM il vient d'être parlé.

Lorsqu'au premier choc» il en succédera'un deuxième» ai troisième» et ainsi de suite» on pourra calculer de même sue» cessivement» les amplitudes croissantes ou décroissantes des nouvelles oscillations dont la durée ne sera nullement dtengée» pourvu toujours que l'on reste dans les anciennes byp^ thèses d'élasticité. Mais» afin de préciser davantage les idéies, nous offrirons» dans les numéros ci-après» quelques exemples particuliers des lois par lesquelles peut s'opérer cette accoinih lation ou cette soustraction progressive du mouvement dans les prismes.

328. Examen des circonstances qui accompagnent le choc en retour des prismes. — Nous avons annoncé dans le n* 3tt que nous reviendrions sur les circonstances que présentent, dans le mouvement de retour du prisme vers l'état naturel» les deux masses M et M\ censées libres de s'élever, en glissant le long de ce prisme. Le phénomène des chocs et vibrations successives qu'il éprouve en raison de cette indépendance des masses est très-compliqué dans le cas où celles-ci pourraient se détacher à la fois de son extrémité inférieure» puisqu'il conviendrait alors (320) de tenir compte du rôle que joue l'inertie de ses parties matérielles dans le mouvement vibratoire qui succède à sa séparation d'avec les masses M et H'; nous sap-

DBS RÉSISTANCES. 4^

'ons que la dernière de ces masses soit seule libre de se her, el que Tautre, au conlraire, fasse système avec la 5 inférieure du prisme dont le poids, pAL (310), sera ici re censé très-petii par rapport à celui des deux masses, thèses qui, au surplus, se réalisent presque toujours dans as d'application. Mais, comme il peut aussi arriver que la e M' se trouve liée d'une manière accidentelle quelconque nasse M, nous chercherons préalablement quel est le plus 1 des efforts qui tendent à les séparer l'un de l'autre, dans istants où le prisme vient à se contracter, de plus en plus, avoir dépassé, dans l'oscillation ascendante, sa position 'elleAB(P/. //,/^. 5i).

;et effet, on remarquera que M' n'a de tendance à quit- , qu'en raison de ce que la réaction élastique, P = AEi, isme, ayant changé de sens ou de signe dans tous ces its, agit pour retarder, de plus en plus, le mouvement de -ci par rapport à celui de l'autre, qui ne saurait en être încé autrement qu'en vertu de leur liaison réciproque, el esserait de l'être dès l'instant où cette liaison viendrait à létruitc par suite de l'accroissement d'intensité de leur ion commune. D'ailleurs, cette question, où il s'agit de miner l'effort de séparation des deux masses M et M', est rement analogue à celle qui nous a déjà occupé (323), le cas inverse du choc de ces masses; et, comme en némt ici encore, par rapport au mouvement commun dû aux actions du prisme, le mouvement relatif qu'elles peuvent Ire, en raison de la déformation, de l'extension subies eriaines de leurs parties, ou, plus spécialement, par les s liens qui les unissent accidentellement, les accroisses élémentaires, v et (/, de leur vitesse, devront être cenïs mêmes à tous les instants de la réaction; de sorte qu'il ndra, pour le cas qui nous occupe, également possible sierminer les valeurs de F, à ces divers instants, par la aissance de la loi du mouvement commun dont il vient e parlé.

isonnant donc ici, à peu près comme on l'a fait dans cet oit, si ce n'est que F devient l'effort de réaction qui s'op- , de bas en haut pour la masse M, et de haut en bas pour asse M', à leur séparation mutuelle, on aura évidemment,

pendant la durée entière de cette réaction,

F 4- Q' = M' j pour la r% et F -f- M y = Q -+- P pour la

attendu, je le répète, que ces masses cheminent de conr gnie, et qu*on néglige la faible déformation qu'elles peu\ subir sous Tinfluence de F, ce qui rend v' = v. On aura donc aussi, à tous les instants de la réaction,

ce qui donne

/ — M-t-M' ~Q-hQ''^^'

pour calculer, à chacun de ces instants, le degré c^, du ralemis sèment éprouvé par les masses, ainsi que l'effort de réaciionf qui en résulte, et dont la plus grande valeur correspoodn évidemment au maximum même de raccourcissement, /oii( donné par la formule

dos n"* 3:î'» et 3io, laquelle permettra ainsi de calculer rigoorousoinenl ce plus grand effort dans chaque cas.

Il osi ôvidoni d'ailleurs que ces formules mettroni en mesuro, uv^n-seuloment de découvrir la loi du mouvement poK d*uu la durxv des accourcissements du prisme, loi qui s«j immodiaiemeni donnée :fâ5 parla partie du cercle B'N'D'I'j ^/V. /A.'îjC- >^' • comprise entre B' et le prolongement de SI; nw:s ouioro do doiomiînor. soit le degré de résistance que, tinns oortJïins cjs, il faudra procurer aux attaches, pour empêohor q.:o *ji mass-* M no ']r.iHo M, si'kil l'iniensiié de leurrilosso ixM'nmuuo a Tinsi-jn où cette résistance, supposée doDwe ,i ^rror;\ so ir. u\e tire eni:erenîent vaincue.

ro«sii^,oriî>i !r ji sîionjn: v*e q:ii arrive après cette séparalioiv dv^nt rojsvquo p^*:;?r» e^âît^n^reni èin? assignée par le calcul, oo.

ce qui revient au même, supposant désormais que la masse M' soit entièrement libre de se détacher, de M, avec la vitesse V, qu'elle a reprise, en sens contraire, au point B, dans le mouvement de retour du prisme vers Folat naturel; il arrivera, à peu près, ce qui a déjà été expliqué au n" 320 pour le cas d'une seule masse libre elle-même de quitter son appui sur le prisme. Seulement, ici, le poids Q, qui remplacera cet appui, ayant un^ très-grande valeur par rapport à celle du poids/; AL de ce prisme, Il deviendra possible de calculer, avec exaciilude (318 et suivants), les circonstances du mouvement oscillatoire qui succède à sa séparation d'avec Q', et, par suite, tous les effets des chocs qui peuvent en résulter. D'un côté, la connaissance de la vitesse de séparation, V,, au point B, entraînera celle du cercle B'ND'B ou du mouvement oscillatoire de Q; et, comme la ici de l'ascension et de la descente de Q' sera également connue (120), on pourra, à Taide d*un tâtonnement facile ou de Tintersection des courbes qui lient les temps aux chemins parcourus, déterminer Tinsiant et le point précis où Q' atteindra de nouveau le poids Q, dans sa chute de la hauteur

Hi = — ^j ce qui permettra aussi (322) de calculer la vitesse

initiale, très-différente de V,, qui succède à ce choc, etc. D'un autre côté, non-seulement on sera en état, au moyen de cette dernière donnée et des principes exposés dans les n<^ 32V et suivants, de déterminer la loi du nouveau mouvement oscillatoire, le plus grand accourcissement subi par le prisme, etc., mais, de plus, on saura, à priori^ quelle est la vitesse avec laquelle s'opère la nouvelle séparation des deux masses en B, et ainsi de suite, en continuant les calculs jusqu'à ce qu'on arrive à un dernier choc et à une dernière oscillation, pour laquelle, en raison des pertes de force vive, résultantes de chaque choc, le maximum d'accourcissement subi par le prisme se changera en minimum d'allongement; ce qui arrivera nécessairement lorsque, pour une dernière vitesse initiale, V,, qui pourra d'ailleurs, ainsi que les précédentes, être contraire a celle que la masse M, possédait avant le choc, on aura

/"' + — </' + /", ou j<st'{l' -h^.r i:

468 MtCAMUL.

coïKlition Tacilc à vériner paj qu'elle indique simplcmcni < dernier choc el au mouvcmen pour cenire le point 0, doil p; A. Mais il nous sulïil d'avoir dont le développement et l'a raient offrir de difficultés scri.

329. Question relative à Face latoire dans les prismes. — Sup| avec adrcïise, les instants où le l'extréniité inréricure, B, du prl limim de sa course ascendante, .

plutôt un nouveau poids, Q', q' même, sans vitesse acquise, pen descendante, cl qu'il enlève ou si demi-oscillaiion ascendante, sau nuer ainsi successivement les mè est certain, d'après les principes ci mouvement restera la même dans tions respectives, descendantes o mettant noiamment les conveniii reroiii constamment autour du poii point C. Or, cetie seule donnée si découvrir, dans les hypothèses so.

les circonstances du mouvement nombre quelconque d'impulsions ' part de la force motrice.

En elTct, le mouvement ascendau ment à un mouvement descendant, féricure, par exemple D", commune devenani ainsi un point de contact < correspondants, dont le centre est ' ment, et 0 pour le second, il Aut bi ci, ou la demi-amplitude de l'oscElbi nienlé, à chaque fois, de la distant' ' ces centres ou points milieux. El, '■■ à l'inverse, toutes les fois s opérée soumit

DFS RÉSISTANCES. /J69

cendantc, qui le sera sous les actions réunies de Q ei Q', on voit irès-clairement que les demi-àmpliiudes de ces oscillalions allernalives, s'acoroîtroni successivement de quantités indiquées par la progression arithmétique

CO, 2CO, 3C0,..., 2/iCO;

2/1 élani leur nombre, ou n celui des oscillations entières, à partir de celle où Q' s'ajoute, pour la première fois, à Q. Et, par conséquent, CD' étant la demi-amplitude, supposée constante, des oscillations exécutées antérieurement par Q»

BD' -h 2/iCO =: CD' H- BC H- 2/1CO, BB' -h 2/iCO = CD' — BC -4- 2/iCO,

sera l'allongement ou raccourcissement subi finalement par le prisme, c'est-à-dire au bout des n alternatives d'action du poids Q', si l'élasticité est demeurée parfaite, et que Ton continue à négliger la faible part d'influence qui peut être due à l'inertie et au poids des parties matérielles du prisme, ainsi qu'aux pertes de force vive, occasionnées par la transmission du mouvement oscillatoire aux corps extérieurs, perte insensible cour chacune des alternatives d'action.

Supposons, à l'inverse, que le moteur trouvant le prisme dans l'état de mouvement qui est relatif au centre 0 et aux poids réunis de Q et de Q', vienne à soustraire, à chaque oscillation descendante, ce dernier poids, tout en le rétablissant dans l'oscillation contraire, sans lui permettre d'ailleurs (328) de quitter Q, aux instants où les allongements du prisme se changent en accourcissements, on voit que les amplitudes de ces oscillations iront en diminuant précisément suivant la progression arithmétique indiquée ci-dessus, et que le niouveaient oscillatoire finira bientôt par s'éteindre complètement pour recroître ensuite dans le sens opposé, si la puissance continue la marche régulière de ses aliernatives d'action. Supposant d'ailleurs que, dans Tune ou l'autre hypothèse, cette même puissance ajoute à la fois à Q, un poids Q', dans les oscillations ascendantes du prisme, et l'en retranche dans l'oscillation contraire, ou inversement, alors il est bien évident encore que la vitesse d'accroissement ou de décroissement

A double de

, .«i^plaçam ces actiois

jMCcejsion de chocs oi

reproduiseni à ëes

) par réoergie de h

les élémeots di

il ne iisrattra pasmoios

I semblables 5e re-

▼ife, saufqaldle

aseeodanies el desee^

si le corps cboqinii

Q, aussitôt après le

i instaotaoémeM

quantité relitifei

qods on ptrrieflt datnnûleldei

au cas cèle chacune des alte^ ici comme oa h fait *?■ particiifter am ar* M3 et 3B(k g pin ilii i érident, puiaqie b fonr? vf^e de Ha ■■inpi. oiriïiinii? M devient nolle ao coninvMtOHneac ?t i la Sn de c«s altematîvesw que si /' représente fe gbis zrmd 4Ioisnemf?ac ja ilêpart. et /,. en génénl, celai pii 1 fi«?fi ipr>^ 'xn nombre •|(iel«:i?at|Tie s d'acUoDS moirices, îe trairiU meranin'ie «î»!»? >«ipp«>!î4î.en I*ii-meme»reicèsd'allon- ^•iment £. — T. étant f JiIIe•J^^ m«î-?ure 32^ par Texpressloo

. "-=— /; — r - . -renie-cî ■!•?' n «fir^ prei:Ls^ment é^e à b somme

mm

i*?*!? qtjaatit-^s de travail founiies par la puissance dans le sens 'iii mouvement, moins la somme «ie celles qm font été dans le -seos" 'T'.n traire, pftis encore la «iemi-âooune des forces vives imrrimees- effe^'ilvement. au «roros i?S4'il!anl, lors des chocs •ife. -T'est-j-^lire abstraction faite «les pertes qui en résuliem -f ;'ii pe'ivent toaj«}fip^ s'evuluer approximativement, d'après Les ftjrni'iJes dn w *îilî. ou les principes des n"" 161 eisui-

;j;jl). D*^ffj:fme '^u^stion fur <.v sujet ^ ejrempie rtitUifà

art des consi met ions. — Imaginez un homme placé, debout, \T un support horizontal fixé à l'extrémité inférieure du risme vertical dont il vient d'être parlé et pour lequel ce appert représentera la charge constante qui, dans les quesions précédentes, a été nommée Q, tandis que le poids dé et homme représentera, si Ton veut, celui de la charge addiionnelle nommée Q'. Supposez, en outre, que ce même lomme, en fléchissant et se redressant alternativement sur les ;eD0ux, abaisse et élève périodiquement la partie supérieure é son corps ; il fera nattre ainsi, dans le prisme, un mouveleni oscillatoire dont l'amplitude ira sans cesse en croissant, il a su, adroitement encore, mettre le mouvement de sa tasse en harmonie avec celui que peuvent prendre le prisme : le support, c'est-à-dire si, la durée de ses alternatives d'ac- 3n étant précisément égale à celle des oscillations naturelles i ces derniers, il s'arrange de manière que les plus fortes ou s plus faibles pressions qu'il exerce par son inertie et son >i(îs aient précisément et respectivement lieu dans les oscillions descendantes ou ascendantes du support, ce qui arrivera lévitablement s'il s'élève ou s'élance de bas en haut, quand i support baisse, et s'il se laisse, au contraire, retomber en lOyant les genoux, quand celui-ci vientà son tour à remonter. On se rendra parfaitement compte de ces effets, en obserintque, dans ce double mouvement, Teffort de réaction que homme fait éprouver au support, se compose du poids total

e son corps, augmenté delà résistance ou M —(130),

ue à l'inertie de la majeure partie de ce poids, quand 11 s'é-

5ve rapidement par la forme musculaire des jambes et des

Bins, tandis que cette même réaction est simplement réduite

v' l'excès de Q' sur M' — , pendant les instants où il se laisse,

u contraire, retomber en fléchissant les genoux. Or, puisque a force musculaire dont il vient d'être parlé permet à l'homme k quitter entièrement le point d'appui de sespied^, lorsqu'il îSlà lerie, on conçoit que ce dernier effort de réaction, cet acès pourra devenir complètement nul dans certains instants, andls que, dans l'autre, l'excès contraire pourra dépasser de beaucoup le double du poids, Q', de cet homme.

47^ HtCANIQUI IHDUtTUILLI.

Il est certain que l'un et l'autre de ces efforts wiaUes de réaction seraient très-difficiles, pour ne pas dire impossibles» à calculer à priori ou à déterminer par expérfence» quand bies même on parviendrait à découvrir la loi des mouvements qse rhomme peut ainsi imprimer à son corps. Mais ce calcul n'esl pas nécessaire pour se faire une idée approximative du maiimûm de travail ou d'effet utile qu'il pourrait développer dasi un semblable exercice. Car, si l'on estime i o",3, par exemple, la hauteur dont il al>aisse, dans chaque période, le poièi de la partie supérieure de son corps, supposé s.eulementfc 5o kilogrammes, et i o*,3, pareillement, la hauteur totale i laquelle il peut élever, au-dessus du sol, par sa force mosealaire, le poids entier de son corps supposé de 70 kilogrammes» il en résultera que le travail, relatif i la toulité de o",6 desea ascension, sera mesuré par la somme

C'est à cette quantité qu'il faudra ici égaler celle,

tAE— j— -,

dont il a été question ci-dessus (329) pour obtenir la valeur de /.ou la — l'f à la fin de chacune des oscillations entières do prisme, si, comme on le suppose toujours, et en raison de iJ lenteur plus ou moins grande de ces oscillations (*), l'homme emploie de la manière la plus favorable possible, c'est-à-dire sans chocs ni contre-coups, l'action musculaire par laquelle il parvient à développer constamment, ou à chaque alternative, les 36 kilogrammètres dont il s'agit.

(*) I^nir diiri'C, sous la char[;e conslanlo Q, étant donnée (319) par la formule T = 2a i/--.-rri tandis qui» celle des alternatives d'action de rhomSK

V érAt

ne peut {juère être moindre qu'une ou deux secondes, celte condition lîie t» relation h établir entre les quantités Q, I., A et E qui se rapportent spéfi*lement au prisme, \iiisi, par exemj>le, en prenant T = 'i", on aura pour dét^

miner la lonr'ueur L,de ce prisme, tout le reste étant connu, L = 2-—- = o,633-Tr;

\E étant la résistance élastique de ce même prisme, et Q le poids du soppoH-

£ii effeciuant le calcul pour un exemple particulier, il sera facile de s'assurer que Tampliiude des oscillalions du prisme irail continuellement en augmentant, mais d'une manière beaucoup moins rapide que dans les hypothèses de l'exemple précédenty où l'action motrice croissait elle-même sans cesse avec cette amplitude, tandis qu'ici elle en est supposée indépendante. Si l'on nomme, en etret, pour plus de généralité,

B' la valeur toute connue de la quantité yi? 36''»'" :^ -^t-tt- qui

ne dépend que des dimensions ei de réiasticité du prisme, on

trouvera par un raisonnement fort simple, mais dont le déve-

'oppement serait trop long à rapporter, que l'allongement In

subi par le prisme, au bout de n oscillations entières, est

donné par la formule

dans laquelle /' = ^, représente (237 et suivants) Tallonge-

tnent de stabilité que le prisme acquiert sous le poids seul de son support.

Le premier de ces allongements croît donc d'une manière d'autant moins rapide, que B' est plus petit vis-a-vis de /'*,

ou que le rapport de B' à /'', égal à -7x7,— = tttt est lui-

même moindrepar rapport ù Tuniié; mais on voit aussi que la valeur de ce dernier allongement ne saurait, en aucun cas,

surpasser celle de ^/iBS qui croit seulement comme la racine carrée du nombre w, des oscillations ou secousses successives de la puissance.

Cette accumulation du mouvement oscillatoire par la répétition des mêmes effets, est un autre moyen d'emmagasiner, dans les corps élastiques, le travail des forces motrices naturelles, et de produire, comme dans le cas du choc (179), des résultais dont elles seraient incapables par leur application directe à la résistance. C'est ainsi, par exemple, qu'en faisant osciller alternativement l'exlrémiié la plus faible d'une grosse et longue poutre horizontale, rej)Osant sur un appui solide, Vers son autre extrémité, armée, à cet effet, d'une bride en

474 MftCAlflQIII WDlIBTtlILU.

fer embrassant la tête d'un pilot, c*esi ainsi qu'on parvient, au bout d'un temps souvent fort court et à l'aide d*un petit nonh bre d'hommçs, à l'arracher du sol t>ù il avait été enfoncé à coups de mouton redoublés, etc. Hais, cette application p comne plusieurs autres que nous pourrions citer, sont un pen étnuh gères a notre objet actuel, et nous passerons i un exemple qai y a plus directement trait.

331. Explication d'un fait observé par Jf. Soport dam m expériences sur la vibration des verge* éloMÊiqueê, — Dans ■ Chapitre intéressant du Mémoire que nous avons cité au n*9l^ cet habile physicien s* est proposé de démontrer rextrème 6cilité avec laquelle les vibrations longitudinales peuvent être excitées dans les verges élastiques, lorsqu'on les fixant vos le milieu ou à l'une de leurs extrémités, on vient k passer légèrement, mais à plusieurs 'reprises différentes, les dol|k mouillés le long de leur surface. Il arrive alors, comme l'oin serve H. Savart, que le mouvement se propage, de proche (a proche, des couches externes aux couches centrales, de façaa que les effets de la friction répétée, se communfquant bienlli & la masse entière des verges, les oscillations finissent ptf acquérir une amplitude qui ne parait nullement en rapport avec la faiblesse de la cause.

Parmi les expériences délicates quil a spécialement entre* prises dans la vue de constater les efforts qui seraient capables de produire directement le maximum des allongements observés, nous citerons celles dont il a lui-même soumis les résultats au calcul à la page SgS du tome LXV des annales de Chimie et de Physique ^ et nous y ajouterons, d'après ce qai précède, révalualion des quantités de travail qui correspondent à ces mêmes efforts.

Dans une première expérience sur une verge de laiton de i",4o7 ^c longueur et 34"*'", gS de diamètre, r«illongemeol, sous Finfluence des vibrations, s'est élevé à o",ooo26, ce qui donne, pour calculer l'effort correspondant, P, par la formule P = AE/ du no 236,

o",ooo26 o,o . 7r(34,Q5)* ^ ™„. o

i = — î-7 = o,ooo 1848, A = 7^ = 959""",37,

DI9 16S1ST1HCB8. 4?^

-' P = 959,37 X96i5*'Xo-,oooi848== 1704^', 7.

>- « 4-11 pn-naiii pour E la valeur déduite du résultat des expérienp^^^^s de M. Savart, et qui se trouve rapporté dans la Table du

Multipliant ensuite ce résultat, qui coïncide, à très-peu de

ffcose prés, avec celui de ce physicien, par la moitié de l'aljDgemeni Correspondant, o", 00016, de la lige, conforii)^ment ce qui a été établi au n" 21^7, on trouvera pour la quantité de ' «vait ou la résistance vive, que cet allongement suppose

T, = i704^',7 Xi^Xo°',oooa6 = o^"",2iia.

On voit combien ce résultat est Taible, puisqu'on supposant

(Tort longitudinal, nécessaire pour vaincre la Triclion des

Diets dans l'expérience dont il s'agit, égal à,o^',i seulement,

1 suTllrait de répéter celte friction deux fois de suite, dans le

me sens elsur une étendue de i*,!!, pour développer une

■ntilé d'action égale à celle qui vient d'être trouvée. Le

wnnemeiil et le calcul sont donc parfailement d'accord

ec les faits de l'expérience, bien que, à considérer les choses

1 peu plus près, on aperçoive qu'une certaine quantité

:tiDii et (le travail doit nécessairement être employée, en

B perte, à détruire une portion correspondante de la force

k acquise par les molécules dans leurs mouvements vers le

1 d'encaitremenl de la tige, et une autre portion égale-

011 appréciable, employée à transmettre le mouvemeiil vi-

toïre 3u\ corps environnants, par l'intermédiaire du sup-

TBxt refiiisantles mêmes calculs pour la seconde des expé-

wces citées, relative à un cylindre de veire, de o^.gtiG de

jr, et ï9"",i de diamètre, qui s'est allongé de o™, 00021,

I l'influence des frictions répétées, ou des vibrations qui

Vont été la suite, si Ton refait, dis-je, ces calculs, on irou-

|' = 90o*' environ, et T.— o^"",098,

**l prenant, d'après la Table de l'article 300, £ = 6200^' pour

476 kEcIMQUB INDUSTRISLLB.

la lige de verre 11" 3. Or le dernier de ces rfl nouvelle preuve de la Taible dépense de lro« sairc pour engendrer, dans les liges élasliqul ou vibralions longiludinali^s les plus pulss

On peui même voir, par les résultais em et 398, qu'il n'en coulerait pas beaucoup F ces verges au point de la rupture, et, qu'il en coulerait d'aulatit moins que len plus raide ou plus dure, c'est-à-dire moins I résultats donnent aussi une idée de la [ physiques qui pourraient être produits k l mulation du mouvement vibratoire dans c soumis à l'action réitérée des plus faible: faibles causes, qui viendraient ainsi à su^ mitive de cette action, par l'étendue diu elle se trouverait répartie (71 et 72).

Jfip/icatioru lelath

s à l'emploi diil suspendue.

332. Données essentielles de la qut tiges verticales de ces ponts, soutenues,! chaînes en fer, qui vont d'une rîve à 1' quefois sur des piles intermédiaires, soal les extrémités de poutres liorizonules, \ sur lesquelles reposent à leur tour 1 qui reçoivent le plancher ou'tablier 4 ces liges se trouve ainsi chargée ( qui agît sur la poutre ou traverse»; peut toujours être calculé, à pHçf système. Nous supposerons qutt.ï ordinairement uniforme ainsi oilctid grammes, et qu'en conformité do Eaj] indiquée au n°288, on ait donné * I 2450

.225 millimètres

M un ^oi ■.

478 MÉCANIQUE INDUSTIIIELLB.

suite aucun efîet dangereux pour la solidité. Mais il en est tout autrement lorsque le pont étant une fois établi, il vienià être surchargé passagèrement ; et c'est dans la prévision des accidents fâcheux qui peuvent en résulter que rAdministralioB des Ponts et Chaussées oblige les entrepreneurs à soumettre le pont à une épreuve préalable, qui consiste à le surcharger uniformément d'un poids de 200 kilogrammes par mètre carré, représentant à peu près celui du plus grand nombre de personnes qui puissent y être contenues, à raison également de trois par mètre carré. Sur un pont de 8 mètres de largeur, et dont l'espacement des tiges serait de i",5, par exemple, cela donnerait T2 fois 100^*= 2400^» de surcharge par couple de tiges, ou 1200 kilogrammes par tige, et augmenterait d'environ moitié en sus, la charge permanente de 24^0 kilogrammes que nous leur avons supposée ci-dessus. Mais, comme la pose des matériaux destinés à cette épreuve se fait d'une manière progressive, il en résulte que les tiges de suspension sontbîei loin de subir l'amplitude d'allongement qu'elles recevraient, en réalité, de la part d'une masse pareille, ou même moindre, qui serait animée d'une certaine vitesse, ou qui viendrait envahir le pont d'une manière plus ou moins rapide : telle senit, par exemple, une troupe d'hommes ou d'animaux, un crois^ ment de voitures lourdement chargées, et dont l'action d^ viendrait d'autant plus dangereuse qu'elle se ferait sentir seulement sur un petit nombre de points d'appui.

333. appréciation des effets produits sur les tiges 'le | suspension, par la rencontre de voitures lourdement cliargéfS. — Pour se convaincre des dangers qui peuvent en résuliiT pour la solidité, il n'y a qu'à supposer la rencontre, en ud point déterminé du pont, de deux voitures pesant chacune 8000 kilogrammes tout compris : comme les poutres longitudinales, qui entrent dans ce pont, n'embrasseront généralement guère plus de (juatre travées ou cinq couples de tiges et que les couples, qui correspondent directement aux roucs porteront au moins deux ou trois fois la charge des autres, on n'exagérera certainement pas en élevant à 2600 kilogrammes celle que supporte chacune d'elles, même aux derniers instants de l'allongement qu'elles devront subir, et où elles seront le

DBS KfiSISTANCES. 479

igées par leurs voisines. Supposant, en outre, ces voinées d'une certaine vitesse, et rencontrant les obstanégalltés dont les planchers des ponts sont toujours mettant enfin en ligne de compte les effets dus au asionné par la marche des chevaux, il sera facile de près les calculs déjà établis aux n*»* 317 et 318, que, faiblesse de la charge permanente supportée par les icales du pont, et l'épreuve préalable qu'on fait subir, t bien arriver, dans certaines circonstances, que Télé ces mêmes tiges fût plus ou moins énervée, offrir un nouvel exemple de ces calculs et de fixer ; les idées, nous supposerons que la surcharge de •grammes vienne choquer la tige qui la supporte, vitesse deo",70 par seconde, due à une chute de lètres seulement de hauteur, et nous admettrons ue cette tige ait la longueur de lo mètres, que nous )ns comme un maximum. D'après ce qui a été expH' ssus, on aura donc ici

ininc

>nne d'abord, pour la vitesse initiale commune à Q 1 fin du choc (323),

0' ,r, a6oo ^ « o/î

Q-hQ' 5o5o "

[ui correspond elle-même à une chute de très-peu re à o"»,oo6 . On trouvera ensuite, par les formules '*, et en prenant toujours E = 20000^»,

— G*", 001, /" = ^:^ = o",ooio6, /'-h/'' = o"",oo2o6,

Dnnera, pour le plus grand allongement subi par la

.= /'-+-/"-+- i//"'-h TT = o«,oo2o6 -4- v'ô, 00002834

rr o"* , 002 06 -4- O" , Oo5 32 =: O*", OO7 38,

48o HfiCJLNIiQUI INDUSTRIILLI.

et, pour rallongement proportionnel I, ou par mèlre,

résultat qui montre que Télasticiié des tiges de suspensio pourrait en effet être altérée (298) dans les hypothèses don il s'agit, et qu'on ne saurait d'ailleurs considérer cumm exagérées (*).

Les réflexions que ce résultat suggère , ainsi que le modi d'épreuve qu'on fait actuellement subir aux ponts suspends sur chaînes en fer, feront l'objet de l'article suivant.

33&>. Réflexions concernant la stabilité des ponts suspendm, — Les conclusions auxquelles nous ont conduit nos préôé* dents calculs, si -elles étaient prises à la lettre, donneraieil lieu de craindre que, par suite de la répétition plus ou mois fréquente des.accidents occasionnés par la rencontre delounlei voitures, sur ces sortes de ponts, l'altération élastique desti|ei verticales n'allât sans cesse en augmentant ainsi que le«n allongements permanents, et que, bientôt, il n'arrivai me époque où leur éncrvation complète entraînerait la ruine p»; tielle ou totale du système. Ce danger, si l'on s'arrêtait à in | premier aperçu, paraîtrait bien plus imminent encore pour les ' immenses chaînes auxquelles toute la charge du pont et des tiges se trouve suspendue, et qui sont composées de longues barres, de longs anneaux dont le fer est soumis à des efforts

(*) On peut, à la vérité, objecter, d'une part, que la simultanéité du chK de deux voitures à Tinstant de leur croisement sur le pont, offre, en elle ^ môme, peu de probabilité; d'une autre, que les roues ne peuvent retomlicr, ' avec une certaine vitesse, sur le tablier du pont, qu'autant qu'elles cesseraiiil i d'agir sur lui pendant toute la durée de leur chute, et qu^alors il poomA bien arriver que les extrémités inférieures des tiges de suspension, eusanta le temps de se relever ou de se détendre d'une quantité plus ou moins c;rande,ele. L'unique réponoc à ces questions, c'est que les hypothèses contraires, Vià improbables qu'on les suppose, sont néanmoins possibles; car il poutsefaki; que le choc surprenne les ti^^es dans un état d'allongement supérieur à kv allongement moyen, en raison des oscillations mêmes qui naissent de Imt. détente élastique. Or, dans ces sortes de questions, il est d'usage d'admeltii préciséniont Thypothése des chances les plus défavorables, pourvu qu*cll» soiiiC possibles rationnellement.

DI8 KÉSIST ANGES. 4^1

anents, qui s'élèvent quelquefois à 8 ou lo kilogrammes lillimètre carré, mais que les ingénieurs prudents réduiconformémentà la règle du n"* 288, à 5 ou 6 seulement, anîère que, lors de l'épreuve dont il a été parlé ci-dessus I, la charge soit, au plus, de g ou lo kilogrammes égale- . par millimètre carré. Or on doit remarquer que, si la on de ces chaînes est susceptible de croître proportionmenl à la charge qui se trouve uniformément répartie sur anchcr du pont, il s'en faut de beaucoup qu'il en soit pour une surcharge isolée, même en considérant le^ ions qui supportent immédiatement cette surcharge par Tmédiaire des tiges; le calcul démontre, en effet, que es de tension, qui en résulte, est toujours une fraction fmement faible de celui que reçoit chaque tige, de sorte est permis d'en négliger Tinfluence dans la question qui ; occupe.

l'égard des tiges de suspension qui peuvent momentanét se trouver soumises, comme on Ta vu, à des allongets surpassant d'une quantité notable la limite assignée, 'ensemble des expériences connues, à l'élasticité naturelle îr, on est conduit à reconnaître que l'absence des accidents pourrait entraîner, avec elle, une pareille altération, si était souvent répétée, doit tenir à quelque propriété phye du métal, qui n'a pu encore être mise en parfaite évi- ;e dans les expériences d'une courte durée, et qui doit analogue à celle dont il a été parlé au n® 300, à l'occasion Intéressantes recherches de M. Ardant. On a vu, en effet, des fils métalliques dont l'élasticité paraissait comme èrement énervée sous l'influence d'un chargement brus- , Ou d'une succession de charges additionnelles, qui ne mient, pour ainsi dire, aucun repos à ces fils, reprenaient lite, en grande partie, leur élasticité, leur énergrfe primi- 5, quand ils demeuraient soumis à l'action permanente ou ongée, de ces mêmes charges; de sorte qu'il peut bien er, à fortiori^ pour le cas des ponts de fer, que les tiges uspension reprennent, après une série d'oscillations occanées par le passage de lourdes voilures, etc., une portion ble de l'élasticité qu'elles avaient momentanément perdue, ue leurs molécules reviennent même complètement fi leur

48a HtGàNIQOt imcrsTtiBLUt.

ancien étal, à leur étal moyen de stabilité sons rinflueace éi temps, ou des actions lentes qui les sollicitent.

Cette opinion est d'ailleurs conformé à celle qu'a énbi M. Savart, à la page 385 du Mémoire cité au n* 9M, ei d*aprèi laquelle des tiges métalliques» en s'aliongeent, d'une manièn progressive et permanente, sous l'influence d*une charge cinstanie, et de vibrations excitées dans le sens de leur longneorp finissent néanmoins par acquérir un état de stabilité, une sorte d'écrouissage, qu'elles conserveraient ensuite IndéOniiNit * sous l'influence des mêmes conditions.

335. Du mode d* épreuve qu'il conviendrait défaire aux ponts suspendus. — Quoi qu'il en soit de ces deraièm réflexions, il ne résulte pas moins, de nos précédents cakoH que l'épreuve, en quelque sorte statique^ k laquelle os 9 contente ordinairement de soumettre les- ponts suspewhfli bonne, en elle-même, pour mettre en évidence les délos accidentels des chaînes et autres matériaux de la constmcdoii ne saurait offrir, pour la suite, toutes les garanties de solidifé désirables. De plus, les fâcheux accidents qu'elle entniM parfois, et contre lesquels on s'est élevé avec de justes raisiM doivent la faire entièrement proscrire par r'Administratioi: mais par quel genre d'épreuves pourrait-on la remplacer aiac sécurité et de manière à atteindre le but désiré ?

Dans deux lettres successivement adressées à rAcadémie des Sciences de Paris, M. le docteur Gourdon a proposé soit d'efl'ectuer le cliargement d'épreuve ordinaire, en se servini de cabestans, fixés à Tune des rives, pour amener successiT^ ment les matériaux sur le tablier du pont, soit de faire pu^ courir, par le même moyen, toute la longueur de ce dernier, à une v(5iture chargée deux ou trois fois autant que les plos lourdes voilures de roulier : la vie des hommes préposés à cette manœuvre serait ainsi préservée de tout danger. Hais, de ces deux procédés, le premier, à cause de son excessive Icoteur, paraît peu susceptible d'application, et il exigerait toajours la présence, sur le pont, d*un certain nombre d'hommes pour le déchargement et le placement des matériaux; le second offrirait l'inconvénient d'exagérer, outre mesure, b charge instantanée, et il ne permettrait pas de juger de l'effet

DBS RÉSISTANCES. 4^3

S forces vives imprimées aux diverses parties, dans l'étal dinaire.

Il nous semble qu'on atteindrait plus sûrement et plus omptement le but, si Ton faisait traîner par des chevaux et la vitesse voulue la voiture ou les deux voitures destinées répreuve au moyen d'une chaîne ou d'un cordage de pronge suffisamment étendu ; à peu près comme cela se praque, pour les canons, dans certaines manœuvres d'artillerie, n mettrait d'ailleurs les chevaux à l'abri de tout accident, en isant passer la prolonge sur un tambour à gorge, monté sur une des rives, et qui serait muni de saillies et de rochets onvenables, pour rendre impossible le mouvement de recul les chaînes lors de la rupture du pont. Quant au placement le la surcharge uniforme, qui paraît êlre indispensable pour iprouver les parties les plus solides de la construction, nous le. voyons aucun moyen suffisamment simple de l'effectuer ans compromettre l'existence de quelques hommes.

336. Des accidents qui peuvent résulter du passage d*une vupe sur les ponts suspendus, — Il est peu de personnes qui i soient au courant d'une ancienne disposition des ordonnées militaires, qui prescrit de faire rompre le pas à la troupe, X abords. des ponts. On sent parfaitement bien que cette îsure, pleine de sagesse, a pour objet d'éviter l'influence s secousses simultanées qui seraient le rcsullat de la marche Jencée d'une pareille troupe ; mais il n'est peut-être pas Jtile, et cela rentre spécialement dans l'objet de ce Chapitre, impliquer comment cette simultanéité d'action peut, au bout MU temps plus ou moins long et par sa répétition, devenir vilement dangereuse ; car il paraît évident aussi qu'une seule ces secousses, fût-elle-méme instantanée, ne saurait proîre, en chaque point, un effet équivalant à celui de lourdes itures dont il a été parlé au n*» 333, à moins de supposer s colonnes marchant au pas de charge, serrées en masse et cupant toute la largeur du poni et de ses trottoirs. Lorsqu'en "cît, les hommes viennent, dans leur marche ordinaire ou &me accélérée, à poser à la fois et alternativement chacun i leurs pieds sur le plancher du poni, ils ne le choquent «finement pas avec la vitesse et l'intensité d'action que nous

4^4 HÉCJLRIQUE INDIJSTmilLU.

avons attribuées à ces voitures : la masse réellemeot agi! dans ces chocs, est bien loin d'égaler celle de leurs ce est évident qu'il faut chercher principalement la eau accidents qui ont motivé l'ordonnance» dans Taccumi du mouvement oscillatoire imprimé au plancher des a ponts en charpente, et dans l'accroissement progre! l'amplitude des oscillations qui en résulte, et dont nous déjà offert des exemples, plus ou moins analogues, aux \ et suivants.

Pour faire une application sufDsamment exacte des pri établis dans ces numéros, au cas actuel, il est nécessai préalable, de considérer attentivement ce qui se pasi général, pendant la marche ordinaire de l'homme et d< maux; le pas de course, le trot et le galop étant eic puisqu'a de telles allures, les dangers et l'intensité de 1' développée par les chocs successifs qu'occasionne la ch la totalité ou d'une partie plus ou moins grande du po corps, qui a été comme lancée au-dessus du sol, ne sont choses douteuses, et qu'il soit nécessaire de soumeu "calcul.

337. Évaluation approximative du travail développa V homme y dans les oscillations verticales qu* il imprime corps pendant la marche ordinaire. — Loin d'agir pai succession de chocs ^ifs dans la marche lente et gra(! dont il s'agit, les animaux ne font éprouvera leuroori; droite à gauche et de bas en haut, que de légères oscillai par suite desquelles le poids en est successivement ref sur Tune ou l'autre jambe, avec une intensité d'action v« entre zéro et une limite qui est principalement relative | à l'inertie de la partie de leur masse qu'ils mettent en vemeni, soit en se portant en avant, soit en s'abaissanic s'élevani au-dessus du point d'appui naturel.

Nous laisserons de côté l'influence qui peut être due actions opérées dans Iç sens horizontal, et provenant, so la progression en avant, soit du balancement transversal il vient d'être parlé, et nous tiendrohs compte uniqueii des effets qui peuvent résulter, comme au n*» 330, de Téfc lion et de rabaissement périodiques de la partie supérie

du corps de l'homme, dont le poids sera supposé de 60 kilogrammes seulement, y compris la charge qu'il porte. Observant, en outre, que dans la marche ordinaire d*un homme de taille moyenne, l'amplitude de ces abaissements et élévations successifs, ne surpasse guère 2 à 3 centimètres, on sera conduit à évaluer, tout au plus, à o",o3 x 60^^ z= i^«"*,8 le travail dynamique qu'il peut ainsi développer à chaque pas ou alternative d'action ; ce qui, en estimant également à o'",7 la longueur du pas ordinaire, porterait, d'après le tableau du

n-21*, à i*^«",8x -4^ = i^'™,8 X 77 142 = 1 38857^»» envi-

ron, la quantité de travail que fournirait ce même homme dans sa marche journalière, en terrain horizontal : le chemin total qu'il est ainsi capable de parcourir, étant de 54ooo mètres, ou le nombre de ses pas de 77 i43, à raison de 2,1 environ par seconde.

Si Ton compare d'ailleurs la quantité de travail ci-dessus à celle qui, d'après le tableau de la page 252, est développée par Thomme cheminant le long d'une rampe douce, on peut voir que, loin d'être exagérée, elle est à peine la moitié de cette dernière; ce qui conduirait à porter, avec quelques Auteurs, à 5 centimètres, au moins, la hauteur à laquelle l'homme élèverait, à chaque pas, le poids entier de son corps, si l'on n'avait point égard à l'excès de fatigue occasionné par la vitesse avec laquelle il est obligé de porter en avant les différentes autres parties de sa masse, dans la marche horizontale.

338. Calculs relatifs aux effets résultant, dans certains cas, du passage d'une troupe sur les ponts suspendus, — En comptant seulement deux hommes par mètre carré de la surface du pont, ce qui, d'après nos premières hypothèses (332), fait environ 24 hommes par travée, ou 12 par tige, cela réduira à 800 kilogrammes environ la charge additionnelle due au passage de la troupe, dont le poids s'ajoute, à peu près constamment ou moyennement, à celui de la charge permanente de 3450 kilogrammes, provenant du tablier, et élèvera à 3 25o kilogrammes la force de tension moyenne , de chacune des tiges de suspension , valeur qui représentera ici simplement celle de Q; ce qui donnera, en conservant toutes les autres suppo-

486 atcàinQoi isDutnnus.

sitions du n* 338,

/' = ^ = ^^f^^' '^'' — tf. ooiSS AE ^Sooooo '

pour rallongement prlmltir ou de stabilité que subiraient iei plus longues d'entre elles, sous rinfluence de cette seule !«► sion.

On aura donc aussi (319 et Ù5)

V o,ooi33 .

et par conséquent, pour le nombre N, des oscillatiODS entièm que ces mêmes tiges sont susceptibles d'exécuter dans la dorée de chaque seconde et sous l'influence d'une vitesse initiiie quelconque (326),

NAti 85,88 ^ -, = — =Tî — s^ = 13,67.

Le nombre des pas exécutés par la troupe ayant été trouvé ci-dessus de 2,1 seulement pour le même temps, c'est-è-dfac 6,5 fols moindre environ, on voit qu'il s'en Tant, de beaucoa|H

que les alternatives d'action» relatives à la marche ordinaire des hommes, coïncide avec celles des oscillations qui sont naturelles aux tiges de suspension, et que ce ne pourrait être que par le plus grand des hasards, que la coïncidence arrivât au bout de chacune des treize vibrations exécutées par leur extrémité inférieure; de sorte qu'il y a tout lieu de supposer que la majeure partie des i''«"",8 fournis par les hommes, pendant la durée, l'^joS environ, de chacun de leurs pas, serait détruite par TelTet dos chocs et contre-coups qui naîtraient du défaut de coïncidence, dej'opposition des deux mouvements.

Ainsi, dans l'hypothèse de rigidité qui vient d'être admise pour les tiges de suspension, il serait à peu près inutile de s'inquiéter de l'accumulation de mouvement qui pourrait être occasionnée par les effets de la marche cadencée de la troupe; et, à fortiori, en serait-il ainsi du cas où, cette troupe ajinl

S pas, les alternatives d'action de chacun des individus mposent seraient en complet désaccord avec les oscillaturelles des tiges. Mais les choses se passeraient tout ment si les oscillations devenaient plus lentes en )17 ) de l'augmentation de leur longueur, de celle de la } qu'elles supportent, ou de la mobilité de leur point î supérieur avec les chaînes. M. Navier a, en effet, é dans son savant Ouvrage sur les ponts suspendus pécialement l'art. 295 de cet Ouvrage), que la durée Hâtions éprouvées par ces chaînes el, en conséquence, talité des tiges et du tablier du pont, peut s'élever, tains cas, à 5", 7 ; ce qui ferait moins de 7 d'oscillation )nde. Or, on conçoit qu'il est telle circonstance de >ement d'un pont où l'isochronisme entre les oscillala marche de la troupe pourrait en effet s'établir; et npliiude des premières augmenterait progressivement, me loi analogue à celle qu'indique la formule du n"" 330. l'en offrir au moins une application numérique, et de l'influence de la répétition des effets sur la progres- » allongements, nous supposerons que la durée de pas ail, en réalité, un rapport exact avec celle des ons naturelles des tiges de suspension ; remarquant, s, que le travail fourni pendant celte durée, par les nés qui agissent simultanément sur chaque tige, est 2 X 1 ,8 = 2i*'«'",6, la formule en question deviendra, qu'on a ici

AE 24 5oo 000 '

►sant dans cette formule, n ou le nombre des pas exér la troupe, qui est d'ailleurs censée occuper l'étendue du pont, égal à 10 seulement, l'allongement total subi ige de 10 mètres dont il s'agit ici, s'élèverait déjà à

00177 "*" 0,00017633 = o™, 01334, ou à o"*, 001334 par e longueur; résultat supérieur à celui qui a été obtenu U, et qui prouve, non- seulement que l'élasticité des irait dès lors complètement énervée, mais que leur

488 HÉCâHIQUI IHDUmilLU.

rupture, et par conséquent la chute entière du poni, ne ta derait pas à s'ensuivre par la répétition des mêmes effets.

Si Ton supposait, au contraire, n = o dans la formule, d redonnerait simplement rallongement /« =r /' =: o*,ooi33,cc respondant au cas où la troupe serait Immobile, ei qui a*e pas même le diiième du précédent.

Expériences et calculs relatifs à la résistance longitudinah

des prismes au choc.

339. Données particulières fournies par les expériences de M. CA Dufour^ de Genève. — On doit à cet ingénieur distingaé quelques opi riences ayant trait à cet olijet, et dont il a consigné les résollats dâ son Ouvrage sur les ponts en fil de fer, imprimé à Genève, en ili (§5, p. ao). Ce sont, à ma connaissance, les seuls dont les détaili lia été jusqu'ici mis au jour, et, attendu le but restreint dans lequel elleiM été entreprises, il y a lieu de regretter qu'un sujet de recherches wm intéressant et aussi neuf ait encore si peu attiré l'attention des physcNi et des ingénieur».

Dans une première série d'épreuves, M. Dnfour s'est servi d'un fila fer de Saint-Gingolf, n*i3, ayant i"*,9 de diamètre, ou a~^,835 des» tion, qui était susceptible de porter moyennement, avant de rompre, v charge de ig6 kilogrammes, à raison de 69^',! par millimètre carré. G même fil, après avoir été chargé verticalement d'un poids de 70 kilo grammes, un peu moindre que les 0,4 de celui qui en représenle la foro de ténacité moyenne, a été ensuite soumis à l'action de divers chocs pr» duits par une masse de fer pesant 10 kilogrammes, et tombant soccoa vement, de 2, de 4} de 6,..., de 100 centimètres de hauteur, suri caisse qui contenait les poids formant, avec le sien propre, la charge per manenle, 70 kilogrammes, du fil. Mais, bien qu'il ne soit résulté, de ce chocs, aucun effet apparent, aucune rupture sensible, il n'est pas mois regrettable que TAuleur ait négligé de constater, à chaque fois, par de mesures précises, les plus grands allongements auxquels les fils sont pv venus, et les allongements permanents qui ont pu s'ensuivre, toutes 0» cillations étant terminées; car ils eussent mis à même de comparer la résultats de Teipérience à ceux du calcul, et de découvrir la vériiaUl influence des forces vives sur la constitution élastique des fils.

Au surplus, nous avons vainement cherché, dans TOuvrage de V. I^ four, la longueur absolue des fils sur lesquels il a opéré; donnée dobt, à la rigueur, on peut se passer quand il s'agit simplement d'obtenir oop limite de la résistance absolue, sous l'action lente d'une force directe db traction (âU). mais qui devient, au contraire, indispensable dans (ootei

les questions relatives au choc, puisque la résistance vivo des prismes croit^ sinon pro|)ortionnelloment, du moins très-rapidement, avec leur longueur.

Pour faire néanmoins une nouvelle application des formules des n**^ 323 et suivants, nous supposerons cette longueur des fils soumis ù l'expérience par M. Dufour, égale à 2 mètres, de sorte qu'on aura ici

L = a»,o, A = 2— *»,835, Q = 7o*^^ Q' = lo»'», V = y/i^.ùiSW,

H' représentant la hauteur d*oii sont tombés successivement les 10 kilogrammes dans les expériences dont il s^agit.

Prenant d'ailleurs E = 18000 kilogrammes, par millimètre carré, pour le RI de fer (292), il en résultera (324), pour l'allongement permanent avant le choc :

QL 70 X^ » ^.^^r