X o'",o35 X — — ^ - o"',o35 X ' J -- o"',io

?*" 22 pour les grandes roues, et deo'",o35 x -^-yrrp = o™,i()o2 pour

les petites; ce qui donne immédiatement les quantités de

travail :

^X 27i^«,5 Xo'", io22 = i3^«'",85

el

qui s'accordent respectivement avec les précédentes, et donnent, au total : i3»"™, 85 -+- 2i''»"»,74 = 35*^»",5ç), pour le travail absorbé par les frottements réunis de quatre roues ; travail qui paraîtra bien faible en comparaison de celui qui serait con- |8ommé dans le cas (3()0)d'un simple traîneau. En elTet, supposons seulement, d'après les tableaux des n<** 35() et suivants,

f=i 0,33, on trouverait pour ce dernier travail :

toujours par seconde.

Sous le point de vue théorique, cette remarque suffit pour montrer l'avantage de la substitution des voitures avec roues aux simples traîneaux; car les calculs qui viennent d'élrf établis font très-bien apercevoir que cet avantage ne réside pas uniquement dans un affaiblissement, plus ou moins grand, de l'intensité du frottement. direct, mais bien dans l'affaiblissement même de la vitesse, ou dans la diminution du chemin relatif, décrit parle point d'application de la résistance, etqai est mesurée par le rapport du rayon des essieux au rayon des roues. Ainsi, par exemple, tandis que, dans le cas ci*dessus, la vitesse ou le chemin effectif de la charge, qui est aussi celui de la circonférence des roues, est de 2*^,22 par seconde, celle de la boîte de ces roues est seulement, comme on l'a vu, égale à o"',io2 pour les grandes, et à o™,i6o pour les petites, c'esià-dire environ 22 fois et i4 fois moindre que la première.

Quant au point de vue pratique, il conviendrait encore de considérer : i® la résistance que l'air oppose au mouvemenide la voiture; 2° le frottement circulaire ou latéral (347) qui a lieu contre les épauleinents, intérieur et extérieur, du moyeu des roues, aux instants où la voiture éprouve des chocs ou oscillations transversales résultant des inégalités du sol; 3" enfin, le frottement de seconde espèce ou de roulenieni [ih'uL] qui naît du contact même de ces roues avec le sol, ou, plutôt, de la résistance que les matériaux de la route opposent J leur déplacement, à leur compression et à leur écrasement, au moment où ils sont atteints par les bandes des roues. Faisanl ici abstraction de la résistance de l'air, qui, en olTet, est trèsfaible, même pour des diligences lancées au trot; observant d'ailleurs que la résistance des épaulements de roues ne peut exercer qu'une influence peu sensible, dans tous les cas où le sol est convenablement nivelé; défalquant enfin, dans chaque cas, de la quantité de travail qu'aurait fournie la mesur»* directe de l'ctTort du tirage, etc., la perte de travail occasionnée par le frottement des essieux, perte toujours calculable, à priori, par la méthode indiquée ci-dessus; en opérant, di-

DBS RÉSISTANCES. 547

•sons-nousy cette défalcation, on voit comment il devient possible d'arriver, dans de telles hypothèses, à la mesure du travail consommé parla résistance au roulement dont il s'agit, et, par suite, à la valeur même de l'intensilé relative, de cette résistance, dans les difTérenis cas. Mais, ainsi que nous en avons déjà averti, notre intention ne saurait ôtre de nous étendre ici sur les considérations expérimentales et physiques •qui se rapportent à ce genre de frottement (*).

365. LoU du mouvement horizontal des corps sous V influence du frottement. — Le frottement étant une force retardatrice constante toutes les fois que la pression ne change pas, il est évident, à priori (iOl et suivants), que, si un corps pesant se trouve lancé sur un plan de niveau, dans une direction rectiligne donnée, et qui demeure invariable à tous les instants, comme il arriverait, par exemple, pour un iratncau glissant dans des rainures ou sur des languettes saillantes, parallèles et rectilignes, il est évident, dis-je, que le mouvement

(*) Frottement de roulement. — Daus les Leçons que nous avons données, 1839, aux ouTriera de la ville de Metz, et dans celles que nous avons pro<l'année suivante, à i'École d'applicalion de l'Artillerie (!t du Génie, nous avions expose quelques données d'expériences et de calculs, relatives au frottement dont il s'agit, et que, d'après Coulomb, nous supposions proportionnel à la charge N des rouleaux, et inverse de leur diamètre 2r, la puissance étant .eUe-méme censée immédiatement appliquée à leur centre ou axe, ce qui donne lieu à la formule

poar mesurer ce genre de résistance. Appliquant ensuite cette considération Max données fournies par la Table du n^ 213, et par les expériences mêmes de Coulomb, nous en avions déduit une nouvelle Table des valeurs du coefficient/*,, que nous croyons utile de rapporter ici, en attendant que des résultats d'expériences plus directes et plus précises aient levé entièrement les incertitudes qui existent maintenant encore sur la véritable loi de la résistance au roulement. Car, si M.Dupuit, dans un récent Ouvrage intitulé : Essai et expériences sur le tirage des voitures (Paris, 1887), a été conduit h modifler, en partie, la loi BTancée par Coulomb; d'un autre côté, les expériences encore Inédites de M. Iforin sont venues la confirmer pleinement ; de sorte que ce n'est pas trop M hasarder que de reproduire aujourd'hui môme des résultats déjà publiés en i83i, dans les lithographies de l'École d'application de Metz. Nous avons d'autant plus de motifs de le faire, que ces mômes résultats ont été postérieninsérés, sans notre aveu, dans un petit Ouvrage ayant pour titro : Mé-

548 HÊCAHIQUB INDUSTRIELLE.

que ce corps prendra naturellement, en vertu de sa vîtes initiale, sera uniformément retardé; c'est-à-dire que cet vitesse ira continuellement en diminuant de quantités qi

seront proportionnelles aux temps écoulés depuis un insui

quelconque. Nommant P le poids de ce corps, M = - sa masse

Vi sa vitesse initiale, V la vitesse qu'il conserve au boutd'oi nombre quelconque, T, de secondes écoulées, enûn, dési-

canique des Écoles primaires^ où ils sont présentés comme de simples donsM do l'expérience.

Tiibie des rapports du frottement à la pression, dans le cas du romlemeu é surfaces cylindriques sur des surfaces de niveau ( " ).

TALinS

DÉSIGNATION DE L ESPÈCE DE ROl'E», . ,

et de rétet des sarfacee en conUct. de fraocBMi

Boris DE voiTCRBS garnies de bandes de fer, cheminant :

Sur une chaussée, en sable et cailloutis nouveaux o,c63{

Id. en empierrement, à l'état ordinaire o^o^i^

Id. id. en parfait état o,oi5o

Id. en paTé, bien entretenu : au pas o,oi83

Id. id. au tr^ o,osjl(

Id. en planches do cht^ne, brutes o,oi(tt

Roi*i:s EN roNTE sur rails en boi:> saillants et rectilijjnes (Gerstner).. o,0C3S

Id. sur ornières plates en fer. o,ooJ5

Id. sur ornières saillantes, arec alimentation de graisse,

ordinaire o,ooiï

Id. sur ornières saillantes, a\ec alimentation de (jraisàc,

continue o.ooio

Roi'LE.vi' D'oaMC sur pave uni Régnier «iW^Î

Id. sur chêne parfaitement dressé Coulomb' 0,0016

Id. sur j-ayac IJ 0,OOIO

RoiLA.vc »c »v.MB sur {^rauit uui 0,0010

lHi?«i; fi.t reBiar>|«ir <(a4 I« fr>;bpa«a: «i<i r9aI«n«atcoa«i*t« en <-eq;ve. Ionien «jiiiAv iv«:* Mir «a 7i43. I4 r««<Uoa ii*>c«)i« «1« c« d«ni«r {mm* e en* ftï\%t dbUBCC I ee ar«a< Ak <«a^oai^ric« À't cvm\»<: >it9pu«' f«oa4;ri-|iw. «t« c^ie Àm ■o^*feot 11 refaite dckqw,tl bM tit; 1 .HiAHBl» «ua:: «vic.«. Ui ^mux<* î «ersi: oMuua:«. p4«r ^<s néffies c«>rp«eB cacUrt, il^frit 1 «1«« l'i»? 'Ji- * "i? «i Crfi .■ ■•i a« 3«îu- ja* <:re 1 imi*» «a ztitr^'. pei»ii«« îdoil w^j^wii* ?:■*■» ,»».'..; iiî e -1» .M P»ija:'. 1 cwic.n I» V** tfi7»'n<iKe» -r» pi^r le» BiéaA n^uvcM lee»

f y Jvt > J>- yr'i^T'.: «01*1 1 j rr:. t« .Mr-re vi rtjoa. «t ii^e p«r«Ki'.e 00 « R — •-^;. I y r

U 't.>rr> V \to<*>u a t\ Xi Cj^ js^ «^ 71a» t^QrjcaiM J« la i«ribè. dai» le» ca» •riiu.'rei ât fe

>e^ .*l-tf . t ->.'<i «. M ^>i r.> \i* « ipp-'f*. - «i,aii«:atefaa3«l, tiMtrsckoAef «ra'^''*^^'''''''^

^i<tîu«<ir j« a f*iMrt r<oi iir .^a ac: 4ivn«<. E.

DKS RÉSISTANCES. 549

gnant par £ l'espace qu'il a décrit à la fin du temps T, on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement retardé dont il s'agit, les formules

dans lesquelles /est le coefficient du frottement des corps en contact, et qui dérivent immédiatement dos principes et considérations géométriques exposée^ dans la première Partie de <;cl Ouvrage (112, 130 et suivants, 136 et 137).

Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer : i® qu'on doit avoir ici, à chaque instant,

<e qui donne

pour le degré de vitesse infiniment petit, détruit à chacun des instants/, dans le corps mobile ou tratneau, et, par conséquent, fgT pour la vitesse totale détruite au bout du temps T, et V, — yjg^ï pour la vitesse V conservée au bout de ce temps; 2? que le produit/P.E exprime la quantité de travail développée, par le frottement, en sens contraire du mouvement, dans loule rétendue de la course E, et que la force vive, M Vf, diminuée de celle, MVS doit être précisément égale (137) au double de cette quantité^ etc.

Ces différentes formules ou lois du mouvement sont, comme on voit, entièrement indépendantes du poids absolu, P, du iratneau, qui a disparu comme facteur commun à tous les termes des équations, mais il n'en serait plus ainsi du cas où ce tratneau serait sollicité par une puissance étrangère, d'intensité également constante, comme celle qui résulterait de l'action d'un poids Q, décomposée ou ramenée, dans le sens horizontal, par un moyen quelconque, par exemple à l'aide d*une corde passant sur une poulie de renvoi: dans ce cas, pour arriver aux formules qui donnent la loi du mouvement, il suffirait d'ajouter au frottement, /P, du traîneau, ou d'en retrancher, l'effort constant Q; ce qui revient évidemment à augmenter ou à diminuer, dans les équations ci-dessus, le

55o MtCAMiQui mmmui.

coefflcient/du frottemeni de la quantité ^9 selon queFcM

Q agit pour favoriser ou pour empêcher le flrolleiDent, c^e#' à-dire pour retarder ou accélérer le mou¥emént du tnineat; le seul changement à opérer dans les formules d-deasos, coa-

sistant ainsi i remplacfer/par/=k ^» pour passer du pnaiv

f»s au second. Toutefois, sSil arrivait, dans cette dernière hf' pothèse, que l'effort Q surpassât le frottement /P, il pouml aussi arriver que le traîneau, après avoir clieminé pendantu certain temps dans sa direction primitive, retoumlt l>ieiilll en arrière, pour continuer ainsi indéBnimentdans le sensdeQ; ce qui suppose qu'à Tinstant de cette rétrogradation la vileaieT s'évanouisse, et que sa valeur change de signe dans les éqMtiens, le mouvement, d'uniformément retardé qu*il élait, d»" venant ainsi uniformément accéléré. Or on sera averti, pirb discussion même des formules, de cette circonslance tootà fait analogue à celle que nous a offerte (180) t'ascenrion vtr* ticale des corps pesants, et sur laquelle il devient ainsi inulle d'insister.

Quant au cas où la puissance constante, Q, toujours softrieure à/P, agirait dans le sens même de la vitesse initiale, Vi, il va sans dire que le mouvement serait, à tous les instants, uniformément accéléré, comme cela a lieu pour la chute des corps graves, T intensité et le sens du mouvement éiant seuls changés; ou, si l'on veut, Taction, P = Mg',de la gravité, se trouvant remplacée par celle d'une force horizontale égale à Q — /P, la vitesse initiale, Vi, serait augmentée d'une quao-

lité mesurée par ( ^ •— /) ffT, au lieu de gT, après un temps

quelconque, T, écoulé.

366. Férijication de ces lois par l'expérience dii'ecle, procédé pour obtenir l* intensité du frottement des corps en mouventent. — Ce qui vient d*êlre dit, en dernier lieu, peut donner une idée de la manière dont Coulomb et M. Morîn scot parvenus à constater les lois du frottement après l'instant du premier ébranlement des corps, et principalement son indépendance de la vitesse absolue du mouvement; car elle a