MV-/M'V' M + M
pour calculer la vitesse finale ei commune dont il s'agit, dins l'hjpothèse d'un choc assez vif ou d'une durée assez courte, pour qu'il devienne permis (168 et 159) de négliger le poids
des corps vis-à-vis des efforts de réaction, M' -> développés pendant la durée même de ce choc.
d masse M possédait seule, avant le choc, la force vive borizoniale, MV', maintenant les deux masses possèdent en commun, par hypothèse, la force vive (M-t- M')W'; donc onaun
DBS RÉSISTANCES. 555
pour calculer la perte de force vive, dans le sens horizontal, l'expression :
MV- (M -t- M')W' = MV- ^^\r-^S/^'^'>
dont la moitié fera connaître le travail détruit par le froitcment du traîneau, dans le sens dont il s'agit, travail auquel il conviendra d'ajouter encore (162) celui, jM'V'% qui s'opère dans le sens vertical, si, comme il arrive presque toujours, il est permis de négliger la vitesse de rejaillissement de jM'.
Nous venons de supposer que cette dernière masse, en recevanty pendant le choc, la quantité de mouvement horizontal y'M'V, ou la vitesse horizontale /'V, avait acquis finalement lemouvementmêmedont est animé le traîneau; ce qui revient à admettre que/' V soit précisément égale à la vitesse W, de ce mouvement. Mais, généralement, il n'en sera pas ainsi dans le cas d'un simple frottement exercé à la surface supérieure du traîneau, et alors Ia«quantité de mouvement possédée par le système, à la fin du choc, prendra simplement la valeur MW-h/'M'V, au lieu de (M-f-M')W; ce qui donnera, pour déterminer W, cette aulre relation :
llW-f-/'M'V' = MV-/M'V' ou W = V-(/-4-/')g^V';
d'où il sera facile de déduire la nouvelle expression de la perte de force vive occasionnée par le choc.
D'ailleurs, si la condition
ou, ce qui revient au même,
MV PV
se trouvait satisfaite, la masse M' ne pourrait acquérir, à la fin du choc, la vitesse W du traîneau ; elle resterait donc en arrière par rapport à celui-ci, c'est-à-dire qu'elle continuerait à glisser, à sa surface supérieure, jusqu'à ce que le frottement f P% occasionné par son poids, sur cette surface, ait complètement anéanti la différence de vitesse, W — /' V.
556 atCÂiiiQiig oiMrsnuLB.
Nommons T le temps nécessaire pour TaeocMipIteemealii cet eflet./'FT sera évidemment (36() la quantité de movi»
ment imprimée, pendant ce temps, â la masse M% par le frotte
menlfV, ei^ ^, sera l'accroissement correspondant de ri
tesse de cette masse, si elle n'est sollicitée, ainsi qoe le ttà neau, paraucune force étrangère et qu'elle ne fiisse ^mplemeii que glisser sans tourner. D'une autre part, la masse H, de ce traîneau, étant sollicitée, k sa surface Inférieure, par le froll^ ment/(P + F), et, à sa surface supérieure, par le frotleoetf f F, ou, en totalité, par la force retardatrice/t P -^ F) -f /F, Il perdra, pendant le temps T et en raison de cette force, ne quantité de mouvement/( P + F) T -hf F T, ou une nvem
mesurée par '^ ~ — ^ : donc on obtîeodn a
temps par la condition
-|p--W jg ,
si, je le répète, le frottement et l'inertie sont les seules fiNfB qui sollicitent le traîneau.
Mettant dans cette équation, pour W, la valeur troofée ai dernier lieu, et obsenant que P = M/ç; F = M'g, on eo déduira immédiatement
PV-?/-T-/')FV
"ffLr-/';:p+F)'
pour calculer le temps T' dont il s'agit; ce qui donnera Cicilement aussi l'espace décrit, par le traîneau, pendant celle dernière période du mouvement, qui sera uni^o^némeolf^ Urdé 36^).
368. Autre question sur ce sujet — Supposons maînteottl que le poids P'. au lieu d*ètre eniièremeni libre danssacbott^ soit contraint de prendre, â chaque instant, la vitesse bontûê» ule. V, dont le traîneau est successivement animé; eimmstance qui se réaliserait, par exemple, si la niassell',eotoaibant de la hauteur H', éuii dirigée par une tige ferlîcale \^ mani svstème avec le traîneau, et dont l'exuémilé supérie^
aurait été le point de départ de la chute : dans ce cas, il n'y aurait plus lieu évidemment à s'occuper des réactions horlxontales produites par le frottement sur la surface supérieure du tratneau. D'ailleurs, le poids P', perdant ici encore, à l'instant du choc, toute la vitesse verticale, V qu'il avait acquise dans sa chute, il en résultera, sur la surface d'appui du trat-
neau, un frottement, /M' - ? qui, d'après le principe établi à la
fin du n** 350, détruira, dans la masse M + M' de ce tratneau et de ce poids censé faire corps avec lui, une quantité de mouvement toujours mesurée par l'expression /M' V; et, comme celle que le système possédait avant le choc, dans le sens horizontal, était [M + M') V, la quantité de mouvement qui subsistera ensuite, aura pour valeur (M -f- M')V— /M'V. Nommant donc W la vitesse commune aux deux corps, à ce dernier instant, on aura, pour la calculer, la formule
W(M-f-M') = (M4-M')V-/M'V' ou W=V-ï/^,V',
trèf-différente de celles auxquelles on est arrivé dans le numéro qui précède.
Les corps possédaient, avant le choc, la force vive horizontale et commune (M + M') V% celle qu'ils possèdent maintenant est (M-hM')W'; donc la, perte de force vive, dans le sens horizontal dont il s'agit, est mesurée par l'expression
où il ne s'agira plus que de substituer, à W, la valeur obtenue ci-dessus, et dont la moitié exprimera toujours le travail consommé, par le frottement, pendant le choc; la moitié de la force vive MV'S exprimant, d'un autre côté (162), celle qui est absorbée dans le sens de la réaction normale des masses M et M'.
Ces calculs, comme on voit, supposent encore que le choc finisse à l'instant même de la plus grande compression des deux corps, et que leurs poids et la force horizontale Q, qui les sollicite, soient négligeables vis-à-vis des efforts de réaction, F, développés pendant le choc; mais évidemment cela
558 MtGAmQoi wwiiwjji.
ne serait plus permis» si le choc éttlt très-doos» oa las coifi tr&»-coinpressibles, car alors il deTiendrtll nécMsrire, on Ta plusieurs fois- remarquét d'avoir égard à la loi cette compressiblilté, pour arriver au résultat final. Quant si cas d*une élasticité plus ou moins parblte* il sulBva de co»> naître la vitesse ou la liauteur du rejalliissenient du poids F, pour être en état de calculer le surcroît de perte de force vin qui en résulte : nV, par exemple» étant la vitesse de ce rqaillfssement,/M'V'+/iiM'V' sera évidemment (157), toqioM d'après le principe du n* 350, la somme des quantités de dm»- ,vement liorizontaies, détruites pendant la réaction mutualli des deux masses M et M'; de sorte qu'on aurait Ici la noavelle relation :
W(M-»-M') = (M + M')V-/(n-i»)ll'V', ou
^~ Mh-M' ^' •
pour calculer la valeur de la vitesse, après le cboc, qu'il cesviendra de substituer à l'ancienne» dans l'expression de h perte de force vive (M + H') (V*— W>). Cette vitesse élaal moindre que celle trouvée en premier lieu» on voit que h perte de force vive sera aussi plus grande» conformément è ce qui a déjà été remarqué à la Gn du n*" 350.
Pour le second choc, on procéderait comme pour le premier, et ainsi de suite. Mais l'expérience démontre que, dans les cas ordinaires, où les corps ne peuvent éprouver de flexions transversales sensibles, la hauteur et, par conséquent, la vitesse, nV, du rejaillissement, sont toujours, en effet, des fractions très-petites de celles qui ont produit le choc; de sorte que le mouvement vertical du corps P' est promptement éteint.
369. Particularités offertes dans ce dernier exemple, par le mouvement qui précède l'instant du choc. — Dans la réalité, le poids P' n'a pu, dans nos hypothèses, participer à l'accélération de mouvement du traîneau, due à TinOuence de la force horizontale Q, et à la diminution du poids P', sans éprouver, de la part de la tige directrice, un certain effort de réaction horizontalekjg» et, par suite, un frottement vertical, qui a dû
DBS RÉSISTANCES. S5g
ralentir la viicsse de chute de la hauteur H'. Nommant/' le coefficient de ce frotlemeni, v rarccléralion de mouvement reçue par le système du traîneau et de la tige, pendant le temps infiniment petit t, TefTorl horizontal q, dont il s*agit, sera évi-
demment (130) mesuré par M' - = j tandis que Teffort
vertical, dû au glissement, le sera par /'M' - =/' : le
/P + 0\ c premier s'ajoutera à la force d'inertie ( j- du traîneau
et de son contre-poids Q; le second s'ajoutera à la pression P, occasionnée par son poids propre, et fera naître un excès de
Pi' P f
frottement mesuré par la fraction/de/' - - onff - -\ enfin,
le premier de ces efforts détruira, dans le traîneau, pendant une fraction quelconque, T, de la durée de la chute du poids P', une quantité d^ mouvement précisément égale à celle que ce poids a reçue de la tige ou du traîneau, tandis que le second détruira, toujours dans le sens horizontal, une autre quantité de mouvement qui sera à la précédente, dans le rapport de 9 à ff'q, etc. Quelle que soit d'ailleurs la complication apparente de ces effets, il sera toujours possible, et môme facile, de calculer les circonstances des mouvements simultanés, de descente du poids P' et de progression horizontale du traîneau, qui n'en continueront pas moins d'être uniformément accélérés. En effet, V» étant la vitesse horizontale de tout le système à l'instant où le poids P' vient à être lâché de la hauteur entière H'; E l'espace horizontal décrit par le traîneau, pendant que P' descend de la hauteur quelconque. H, relative au temps T;
41= l'effort de réaction horizontal, et /' — - le frotle-
aient, ou l'effort de réaction vertical, éprouvés par la tige directrice de la part du poids P', dont, je le suppose, la vitesse V prend l'accélération du mouvement /, pendant l'élément de temps infiniment petit /, les équations du mouvement instantané» ou pendant la durée de /, seront, d'après ce qui vient d'être indiqué : i** pour le traîneau.
56o MÉCANIQUE INDUSTEIBLLE.
2" pour le poids P',
ce qui donne immédiatement
/ ^ p 4. p' + Q ^ffp' - ^^'^^^^ ^'
j=g-f] = g -/'A = consl. A'.
et, par conséquent (107 et suiv.), V = AT-^V„ V'zziA'T. V»=2AE-yî, V"=iA'H,
pour calculer toutes les circonstances de deux mouveiDCDb uniformément accélérés dont il s'agit, pendant la durée entière de la descente du poids P' de la hauteur H du H% d'où l'on déduira aisément ensuite, celles qui se rapportent au choc subséquent de ce poids et du traîneau (368).
D'ailleurs, ces équations ne tiennent point compte des résistances qui peuvent être inhérentes au mouvement du conlrcpoids moteur Q; nous avons voulu seulement ici donner une idée de la manière dont on doit avoir égard, en général, aa froilemcnt qui se développe pendant la réaction lente ou brusque des corps on mouvement (*).
{*) Dans un Mémoiro intitulé : Formules relatives aujc effets du tir sur la différentes parties de l'affût y INlomoirc imprimé, eu i8'j5, par les ordres d<* M. le Ministre de la Guerre, et dont une nouvelle édition vient tie paraitn*, M. Poisson a, le premier j»; crois, oflert un exemple, un peu étendu, de la minière (lont on' doit appli({uer le calcul à ces sortes de questions. La mcthod»* de cet illustre {géomètre consiste à exprimer, d'après le principe <lo d'Alembcrt, les conditions de l'équilibre entre les quantités finies de mouvoment, jK^rd»*^ ou gagnées i)ar les diflerents corps du système, et considérées comme autant de forces de percussion com|>renant celles que les frottements détrui^iit ao point où s'opère la réaction mutuelle de ces mêmes corps. J'ai fait voir ensuite, dans la lithographie du Cours de .Mécanique de l'École d';>ppIication de Melx (édition de iSiG), qu'on pouvait arriver aux équations fournies par ce principe, ainsi qu'à l'expression des pertes de force >ivc, i\\\\ ne sont données que «l'une manière fort indirecte par le principe de Carnot, au mo^en de U coiisidcration des pressions ou forces motrices variables, développées pcDdant U
DBS RÉSISTANCES. 56 1
370. Principe concernant les effets du frottement pendant le choc. — Uevenant maintenant à nos premières considérations, nous ferons remarquer que, dans les instants qui précèdent celui où le poids P' vient à être làclié du sommet de sa lige directrice, il pèse sur le traîneau, et y produit un excès de frottement mesuré par/P' ; qu'il pèse également, sur ce traîneau, à partir de Tinstant où il le choque; qu'enfin il cesse entièrement de peser sur lui pendant sa descente de la hauteur H' de la tige, dont le frottement/'^ peut ici être négligé, circonstance d'où il résulte qu'en supposant ce iratneau sollicité par TefTort horizontal et constant Q, qui lui donne (365) un mouvement uniformément accéléré, ce mouvement s'accélérera bien plus rapidement encore pendant la descente dont il s'agit; qu'en un mot, le système aura gagné, par cette seule cause, une quantité- de mouvement relative à l'énergie de la pression qu'aurait produite le poids P', et qui sera évidemment mesurée par la quantité /P'T=/M'g^T, T représentant ici la durée entière de la chute H'. Mais gT est précisément égal (117) à la vitesse V, acquise librement, par M', au bas de celte chute; donc la quantité de mouvement /F T est aussi égale à celle /M'Y', qui est ensuite détruite pendant le choc (367), et, par conséquent, à la fm de ce choc, la vitesse du traîneau se retrouvera être précisément la m^me que si le poids P' n'eût pas quitté le sommet de la tige, où il était primitivement soutenu.
Au surplus, quelles que soient la vitesse horizontale et la vitesse verticale acquises par le traîneau et par le poids F, à la fin de la chute de celui-ci, la quantité de mouvement qui, en vertu du frottement, sera détruite, dans le sens horizontal, pendant l'acte du choc, n'en sera pas moins toujours égale à celle qui aura été reçue par le système, en raison de la dimi-
darée même du choc des corps, et j'en avais immédiatement offert une série d'applications aux chocs des marteaux, des pilons et des systèmes de rouages qoi entrent dans la composition des machines. Depuis lors, MM. Cauchy, Ravier, Coriolis et Duhamel, dans des Ouvrages ou Mémoires bien connus et Juelement appréciés, sont revenus, à leur tour, sur ces questions, par une marche analytique qui leur est propre, mais qui n'ajoute rien, ce me semble, dn moins quant an fond, aux résultats que j'avais moi-même obtenus par des eoniidérations d'une autre espèce.
UtCxMîQtt INDCaTaiBttl.
pression survenue ppndanl la dcsccnic de fn
lements, établis i368] pour le cas où il ii> a pwi
, exercé le long de la tige directrice, denieui
.it applicables, par exemple, à celui ^369) où 3.)
.e sorte que, malgré ce rrollement, la vitesse da m
d|irèB les instants qui succèdent au rtioc, n'en «en|i
s précisément telle qu'elle cùl été si le poids P' lilà
iiiruré au sommet de la tige.
371. Férijicalion de ce principe par l'expérience, W ff JlexIoHs générales à ce sujet. — Une expérience dans bqodl se trouveraient vérifiées, à posteriori, les conséquences at quelles on vient de parvenir e dernier lieu, serait irès-pni|tf à prouver que le frottement i, il, pendant le choc des rom le» mêmes lois de proporiionnaltié à la pression et d'ind dance de In vitesse, que dans le cas des pressions et des vements ordinaires. Or tel ei 1, en etTet, à très-peu pifvê manière dont M. Morin a pro( jdé et raisonné dans lese^ riences déjà cilées au n" 348; seulemeol le poids P', luBii d'être contraint de suivre, dans sa descente de la hauteur^ la tige verticale dont il a été parlé, tombait libremeoiili' linuteur, à laquelle il était primitivement soutenu. ! comme la vitssse horizontale dont il était animé aux rrtsi qui précédaient sa chute, lui était commune avec le Inline comme nulle autre cause, si ce n'est la résistance iasensiUi de l'air, ne venait modlRer celte vitesse horizontale; «mm enfin, l'accélération de mouvement, que l'effort moteuroilt contre-poids Q, pouvait communiquer au traîneau iieadinb durée fort courte de la descente du poids P', se irouwiléuti B cause de la petitesse même de ce poids vis-à-vis du si« propre et de celui de Q, une fraction négligeable de ti f\tt» commune dont il s*agil, il eu résulte que les choses se soU ■ a irès-peu près, passées, pendant le choc, comme si le , V" (ùi, daus sa chute, demeuré consianunent uni au Iratoau^ ainsi que nous l'avons supposé dans les derniers arlicl«t,ikL d'éviter l'emploi de principes étrangers a celte première ''■'^1^ de la mécanique, et relatifs à la conservation du mouremrtL. horixunul du poids F, pendant sa descente en ligne court^L d« la hauteur U'. ' \
DBS RÉSISTANCES. 563
Ce qui se passerait dans le cas d'un traîneau, dont l'intérieur serait occupé par des hommes qui agiraient en vertu de secousses verticales imprimées à leurs corps» ou à des corps étrangers qu'ils laisseraient retomber après les avoir élevés ou lancés à une certaine hauteur, de telles circonstances, disonsnous, offriraient un autre exemple, très-familier, des effets de compensation qui viennent de nous occuper; car, sans qu'il soit nécessaire de se livrer à un nouvel examen de la question, on peut, à l'avance, affirmer qu'après chacune des alternatives d'actions ou secousses dont il s'agit, le mouvement du système du traîneau et de ce qu'il porte, se retrouvera précisément être le même que si ces secousses n'eussent pas eu lieu, ou que les corps fussent restés dans un élat de repos relatif, pourvu néanmoins que l'on fasse absiraciion de la légère influence occasionnée par l'accélération ou le retard que pourrait recevoir le mouvement du système, pendant ces mômes secousses ou alternatives d'action.
La vitesse horizontale du traîneau ne faisant ainsi qu'osciller entre ses limites extrêmes, et ce qui précède pouvant loul aussi bien s'appliquer au frottement sur les essieux des voitures ordinaires, qu'à celui du glissement rectiligne des traîneaux, sur le sol, on est conduit à admettre également que les pertes de travail ou de force vive, occasionnées, par les frottements, dans de pareilles circonstances, seront telles, à trèspeu près, qu'elles eussent été dans l'absence de tous chocs; de sorte que, sous ce point de vue, les rcssoris de suspension, qui permettent à la charge des oscillations verticales ou alternatives d'action, semblables à celles dont il vient d'être parlé, ne sembleraient offrir aucun avantage particulier sous le rapport de la diminution du tirage. Mais on doit considérer : I* qu'ici les secousses proviennent de causes étrangères à cette charge, et notamment des obslacles solides dont les routes sont presque toujours parsemées; 2'' que nos raisonnements, dans les précédents articles, supposent que les pressio'hs, dé- Teloppées pendant le choc, ne soient ni assez vives ni assez inienseSy pour que la loi de proportionnalité du frottement à ces pressions cesse d'être observée, ou pour que la constitution des surfaces en contact soit altérée d'une manière notable. Les avantages bien constatés de la suspension des voitures
564 MÉCANIQUE Iin>IJSTRIBLL£.
sur ressorts, dans le cas de cahots sur des routes mal pavées, l'accroissement progressif de la résistance moyenne avec It vitesse du mouvement qui s'observe alors ( 213 ), prouvent asseï que les effets de ces chocs et les circonstances de ce moiFvement, sont complètement modifiés, comme le sont ellesmêmes les lois du frottement sous de grandes vitesses et pressions.
