DES MILIEUX
372. Notions préliminaires . — On appelle spécialement milieuy un assemblage plus ou moins étendu de molécules contiguës ou sans autres vides que les pores (12 et 27), et qui néanmoins est susceptible d'être traversé, pénétré dans tous les sens, par des corps plus ou moins durs, obligeant ainsi les molécules de ce milieu à leur faire place, le long de la route qu'ils parcourent. Les liquides et les gaz considérés sous de grandes masses, lelfes que celles de notre atmosphère, de la mer, des lacs el des grandes rivières, sont ce qu'on nomme des milieux indéfinis relalivement aux ballons, aux vaisseaux el aux bateaux qui les parcourent; maison considère aussi comme indéfini tout milieu dont les dimensions absolues soni assez grandes, par rapport à celles du mobile, pour que ses molécules n'éprouvent à se déplacer, ni plus ni moins de résislance que si sa masse offrait effeclivemcnl une étendue illimitée.
L'extrême mobilité dont jouissent les molécules des liquide> et des gaz, les a aussi fait appeler des JI aides parfaits, par opposition aux milieux consistanis, de la nature des sables el des terres, auxquels on donne quelquefois la dénomination de fluides imparfaits ou de demi- fi aides; mais, en général, nous réserverons le nom de fluides pour les liquides et les gaz proprements dits, tels que l'air et l'eau.
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Enfin ces différents milieux sont souvent nommés milieux résistants, pour les distinguer des fluides ou milieux imponilérésy tels que l'électricité, la chaleur, la lumière ou plus spécialement encore Véther, fluide éminemment élastique et ^ubtily qu'on suppose remplir loutl'espace, et jusqu'aux pores 4ui séparent les derniers atomes des corps, mais dont l'exisf,ence, bien que démontrée par certains faits, n'offre pas jusqu'ici, sous le rapport de la matérialité, tous les caractères ordinairement attribués aux fluides même les plus rares. Et, pour le dire en passant, c'est aux vibrations d'un tel fluide que l'on attribue, assez généralement de nos jours, la perception ^e la lumière, comme nous avons vu (19) qu'on attribuait celle ^es sons aux vibrations de l'air atmosphérique, etc. À la vérité, on ne conçoitguère de milieu sans inertie, sans résistance j^ibsolue, mais les calculs des astronomes et des géomètres de ^otre époque, appliqués au mouvement des comètes, ne pei^ glpetlent pas encore de décider si le fluide éthéré, dont l'élude ^|iparlient à la Physique proprement dite, est lui-même soumis ji la loi générale.
Quoique les résultats de certaines expériences semblent ^tiblir qu'il y a lieu, dans quelques cas, de distinguer la résistance opposée, par les milieux en repos, aux corps en I0iouvement, de l'effort que supporteraient ceux-ci dans des ^circonstances d'ailleurs semblables, si, étant au repos, ils ^leoaient, au contraire, à recevoir l'action d'un milieu en gouvernent, cependant on comprend généralement, sous le j^m de résistance, l'un et l'autre de ces effets, et l'on est 4'autant plus fondé à en agir ainsi, que ces deux modes d'action jie confondent quand le milieu et les corps sont tous deux 09i0iés d'un mouvement absolu ou relatif.
373. Recherches théoriques et expérimentales relatis^es à la g^isiance des milieux. — La question de la résistance que les floides opposent aux mouvements des corps solides, surtout eeJI^ qui concerne l'influence de la forme de ces derniers, ijf^^ de très-grandes difflcultés sous le point de vue mathéma- \QUB9 etelle n'en offre guère moins sous celui des expériences, csiusB de la complication du phénomène. Newton, auquel on aie après Galilée (116), les premières expériences précises
566 ■tCAKiouB nmifniiixi.
sur la résistance des fluides, en donna «usl le Vraniler (*) deux théories dont la moins Imparfalle suppose le corps Arectement choqué par chacune des molëcàles da mfliea ^ se trouvent sur sa mute. Daniel BemouIR (**) et» après M, L. Euler (***)» Introduisirent la consldératfon du moinrencM par filets^ sur le pourtour antérieur du corps ; imis, qooiqw cette théorie rendît mieux compte de certains laits de l'eipérience» relatifs au choc des veines fluides isolées, cependaal elle n'a point été admise dans les Écoles» où Ton eontinsa i enseigner celle de Newion, sans doute à cause de sa sîmpitcité; car les expériences multipliées de Robins, de Borda, de Bossut, de Hutton, et surtout celles de notre célèbre Dubual, en avaient sufQsamment démontré riroperfection. Oopeutlher dans la nouvelle édition du premier volume de V jé rchiteeîmn hprdraulique de Bélidor, un lumineux article sur la résistance des fluldesy par M. Navier, article dans lequel ce savant doaae un-exposé de la théorie d'EuIer et des idées que Dubuat s'élail formées, à priori^ sur la question, d'après le résultat de ses propres expériences {Principes d'hydraulique, t. II),
Au fait, cette théorie d*Euler critiquée par un géomètre tel que d'AIembert, est bien peu satisfaisante dans sesapplicatloas, et le moindre de ses défauts, c'est de supposer connues b forme des filets fluides et la vitesse à l'instant où les molécules quiiient la face antérieure du corps; car on y néglige, pour ainsi dire entièrement, la considération de ce qui se passe sur les faces latérales et la face postérieure du corps» dont les belles expériences de Dubuat ont suffisaniinent constaté rinfluence dans certains cas.
Les données fournies par ces expériences et les vues émises à leur sujet, par Dubuat, étaient d'ailleurs bien loin de satisfaire à toutes les exigences de la question ; et c'est ce qui porta l'Académie des Sciences de Paris à la proposer pour sujet du grand prix de Mathématiques, à décerner en 1828; mais, tout
(■) Principes mathématiques <if ia philosophie naturelle, t. I, liv. 2,
(**) Commentaires de l'Académie de Saint-Pétersbourg^ t. VIIÏ, année 1736.
("**) Nouveaux principes d'artillerie do B. Robins, avec des ivmarqufftde Léonard Euler, 174^» traduit de Tallemand par Lombard, 1783, p. 3o6 et mî- Tantes.
DK8 BÉ8ISTANCBS. 667
en accordant, à cette époque, une mention honorable au Mémoire de M. le colonel d'artillerie Duchemin, elle jugea qu'il n'y avait pas lieu à décerner le prix, et la question fut maintenue au concours jusque dans ces dernières années, où les expériences sur les bateaux rapides de TAngleterre ont de nouveau et plus vivement encore appelé l'attention de TAcadémie et des ingénieurs sur l'impçrfcclion des anciennes Ihéories de la résistance des fluides. Les Mémoires présentés en i836 et i838, par MM. Duchemin, RusseU Piobert, Morin et Didion, sont venus augmenter le nombre des données expérimentales déjà possédées sur cette épineuse matière (*). Pour nous, fîdèle à la marche élémentaire suivie dans la première édition de cet Ouvrage, et en nous appuyant uniquement sur la considération du travail et des forces vives, qui s'applique t un assemblage quelconque de molécules soumises à des forces d'attraction et de répulsion mutuelles, nous nous efforcerons de rendre un compte exact des principaux faits ou résultats de l'expérience, ainsi que des notions systématiques qui les coordonnent.
374- Notions physiques sur les phénomènes qui accompagnent la résistance des fluides, — Quand un corps solide se meut dans un milieu indéfini, parallèlement à lui-même, sans tourner et avec une vitesse constante (48 et 52), il éprouve de la part des molécules de ce milieu et dans le sens même de son mouvement, une pression, une résistance mesurable à chaque instant, en kilogrammes, et qui varie, comme on l'a déjà dit à roccasion de l'air (113), suivant la forme, les dimensions et la vitesse du corps; cette résistance ou réaction ne peut évidemment provenir que de deux causes distinctes : i"" du mouvement imprimé, en commun, aux molécules du milieu, c'est-à-dire de l'inertie; 2° de leurs déplacements relatifs, de
(*) La Commission chaq^éc de Texamcn des pièces adressées au concours, a décidé qu'il n'y avait pas lion à décerner le prix, mais que les recherches de MM. Piobort, Morin et Didion méritaient, à cause de leur utilité pratique, que la somme affectée au prix leur fût accordée à titre d'encouragement ; en même temps, elle a mentionne honorablement le travail de M. Duehcmin, à cause des nouTclles expériences et des faits nombreux qu'il renferme sur les questio.ns indiquées an programme.
568 MÉCiNlQUB INDUSTAIBLLB.
leur séparation mutuelle, qui mettent en jeu les forces de cohésion et d'adhérence. Mais, pour bien apprécier rinfluence de ces causes et les lois du phénomène, il est nécessaire de se former, d'après l'expérience, des idées plus nettes sur les circonstances physiques qui raccompagnent.
Supposons qu'un corps (A) {PI. lII,Jig.Si), de forme quelconque, entièrement plongé dans un fluide indéfini, se meufe uniformément, de A vers B, avec une certaine vitesse V, et de manière, par exemple, à décrire constamment (48) le chemin e = V X / dans chacun des éléments égaux /, du temps; il est évident que ce corps poussera devant lui, directement ou indirectement, un certain nombre de molécules fluides, et les forcera à se dévier, à s'éloigner de part et d'autre de sa face antérieure, avec une certaine vitesse qui croîtra avec V, ei avec les dimensions transversales du corps. Les molécules ainsi placées sur la route de ce corps, suivront elles-mêmes certaines routes distinctes de la sienne, et dans lesquelles elles seront remplacées successivement par les molécules situées à la place qu'elles avaient primitivement occupée» en avant ou sur les côtés du corps. Ces routes forment autant deJileU, de sortes de tuyaux contigus les uns aux autres, et dont la représentation fictive sur ]es/ig. 5i et 53, est très-propre à donner une idée du phénomène dans le cas des faibles vitesses: la première, comme l'indique la flèche placée dans rinlérieur même du rorps, se rapportant au mouvement uniforme* do celui-ci dans un lluide supposé en repos, et la seconde comm<' rindiquenl pareillement les flèches extérieures, étant relative au cas d'un fluide en mouvement, agissant contre un corps supposé au repos.
On voit que, dans la première circonstance {Pi.III,Jig.57\ les filets qui, à partir d'une petite dislance de la face antérieure du corps, sont d'abord perpendiculaires à l'axe AB, de son mouvement, s'infléchissent ensuite, de manière à devenir parallèles à ses faces latérales, puis se courbent de nouveau pour se rapprocher de leur première direction, mais qu'étant parvenus vers l'arrière de ce corps, ils s'y infléchissent de plus en plus, perpendiculairement et circulairement, pour venir remplir continuellement l'espace vide qui tend à s'y former, et d'où résulte, sur la route suivie par le corps, un courant
DBS RÉSISTANCES. 669
qui raccompagne, et qu'on nomme proprement le sillage de ce corps.
Dans le cas de ^^/ig> 53, PI. 111, les mêmes choses ont lieu, avec cette différence que les filets, après s*être infléchis en arrière du corps, reprennent bientôt la marche parallèle qu'ils possédaient en avant, et laissent immédiatement contre sa face postérieure un espace occupé par une masse fluide en apparence immobile, mais qui, au fond, est douée de mouvements concentriques ou circulaires indiqués sur la figure et nommés remous ou tourbillons.
Ceci arrive principalement, comme on Ta dit, pour les petites vitesses du fluide ou du corps. Mais, quand le mouvement est très-rapide, quand la vitesse surpasse i ou 2 mètres par seconde, le fluide vient former en arrière de ce corps, par suite de l'excès de force vive qu'il y possède, une série de tourbillons marchant par couples, comme on le \o\i Jîg. 54 et 55, PL III, et qui se succédant les uns aux autres dans des directions alternatives et contraires, finissent bientôt par s'écarter de la route du corps, en s'étendant et se disséminant dans toute la masse fluide.
Enfin on peut remarquer qu'il se forme aussi parfois, latéralement au corps et dans le cas où celui-ci offre une certaine longueur dans le sens du mouvement, d'autres petits tourbillons ou remous m et m', qui restent comme fixés à ce corps, et remplissent l'espace dont le fluide tend à se détacher en vertu de la vitesse qu'il a acquise transversalement, et dont il se détache en effet, dans certaines circonstances favorables, comme celles, par exemple, que présente le mouvement de Teau aux abords des piles de ponts, dans le temps des grandes crues, époque à laquelle la formation des tourbillons est rendue manifeste ainsi que beaucoup d'autres phénomènes, sur lesquels nous reviendrons par la suite, et qui accompagnent, en général, le mouvement des corps flottants à la surface de l'eau, ou en partie plongés. Il nous suffira ici de faire observer que les circonstances offertes par le fluide aux points m et m', sont absolument semblables à celles qui accompagnent le phénomène de la contraction éprouvée, par les veines, aux débouchés des réservoirs, dans les canaux et tuyaux de conduite.
570 ■tCÀinQus imosnnui.
D'ailleurs les apparences générales, oflèries par la marcha des filets» sont à peu près les mêmes dans les deux cas distincts où c'est le corps {PL III^ fig. S/^)oo\e fluide (/g. 55) qui se meut, l'autre demeurant en repos ; seolemenl les to» billons qui» pour le premier, tendent à être entntnés dans h route du corps, dans son sillage d'arrière, le sont» pour le second, dans le mouvement général même du couruil.
EnOn on observera que si le corps se trouve entièresMai plongé dansie milieu, les tourbillons se forment non-seuleoMBi dans le sens latéral, mais aussi en dessus el en dessous, cl qu'en particulier, s'il s'agit de corps flottants, tels qu'un baieaa, par exemple, les tourbillons qui surgissent du fond, et doit l'action n'est plus contre-balancée par ceux de Is partie supérieure, viennent s'épanouir à la surface du liquide, à une ee^ talne distance du corps, en y donnant lieu au phénooièae connu sousle nom de bouillons^ et dont l'apparence est trèfdistincte de celle qu'offrent les tourbillons à mouvements horizontaux.
375. Remarques sur la formation des iourbillom et la jmnière dont la force vive s'éteint dans les fluides. — Ces phénomènes bien connus, et que nous avons eu I'occmIob d'observer en 1828 et 1829, dans des circonstances favorables, relatives aux corps en partie plongés dans l'eau, sont, comme on voil, beaucoup plus compliqués qu'on ne se Timaginc ordinairement, et ils laissent peu d'espoir de voir la question de la résistance des fluides soumise à une analyse mathématique rigoureuse. Néanmoins celle extrême complication n'empêche nullement que le mouvement des tourbillons et leur production successive ne soient assujettis à des lois régulières, consistant principalement dans la périodicité de cette production, et dans l'accord des mouvements de circulation dont sont animées leurs molécules, accord tel, qu'ils ne font, pour ainsi dire, que rouler les uns sur les autres sans se nuire réciproquement. On peut croire que l'étude de ces singuliers phénomènes n'a pas été étrangère aux anciens, et Ton sait qu'elle a particulièrement occupé le célèbre peintre Léonard de Vinci, dans un Ouvrage physico-mathématique du xv* siècle, dû à un esprit observateur et philosophique. Il est bon de
DBS RÉSISTAIfCU. S7 I
rappeler aussi que Descartes et ses disciples avaient mis en honneur l'étude des lois des tourbillons, et que le grand Newton, lui-même, n'a pas dédaigné de s'occuper de quelquesunes de leurs propriétés dans le liv. II, sect. g, de ses Principes mathématiques de la Philosophie naturelle, auquel nous renvoyons (*). Enfin M. F. Savart les a pareillement observés et rendus manifestes dans des circonstances où ils étaient excités par des vibrations transversales imprimées à des plaques en partie plongées dans la masse d'un liquide.
En général, la production des tourbillons est l'un des moyens dont la nature se sert pour éteindre, ou plutôt, dissimuler la force vive dans les changements brusques de mouvement des fluides» comme les mouvements vibratoires eux-mêmes (315) sont une autre cause de sa dissipation, de sa dissémination dans les solides. Pour bien concevoir comment la formation des tourbillons devient, dans les fluides, une source de perte de force vive qui, dans les circonstances ordinaires, cesse de pouvoir être utilisée comme force motrice, on doit considérer, d'une part, qu'une fois produits, ils se propagent, s'étendent, de plus en plus, en vertu de leur réaciion ou frottement réciproque et de celui qu'ils exercent sur les masses environnantes, auxquelles ils communiquent, ainsi qu'on le verra bientôt, une portion plus ou moins grande de leur mouvement giratoire; d'une autre part, que, si le milieu est animé d'un mouvement de transport général, les tourbillons sont comme autant de corps étrangers qui, tout en participant à ce mouvement, tourneraient cependant sur eux-mêmes avec une vitesse indépendante de celle du courant, et incapable d'en augmenter l'intensité d'action sur les corps étrangers. Car, si une certaine portion de la masse d'un tourbillon se meut dans le sens du mouvement général, une autre portion de cette masse, symétrique à la première, se meut précisément en sens contraire, et doit être considérée comme détruisant ou balançant ses
(*) D'après les obserrations de I^onard de Vinci et les considérations théoriques de Newton, la vitesse des différentes couches des tourbillons croit , k mesure qu'on se rapproche du centre, inTcrsement h la longueur du rayon correspondant : dans une roue, au contraire, les vitesses croissent proportionnellement à la distance au centre.
57^ BtcAKioin unratnmxi.
effets (*)• Si donc il s'agissait d'évalaer» comme on Ta bit,|v exemple, au n*lfc9, la puissance motrice dont serait animé « courant d'eau ainsi constitué, il convfendnil de Adre abanae» tion de tous ces mouvements giratoires, et de ne tenir oomple que de la vitesse de transport général qui leur est coom avec la masse entière du courant.
Ces mêmes phénomènes offrent d'ailleurs une Image de ce qui se passe dans nos rivières et nos fleuves, qui portent' avec eux, jusque dans la mer, les tourbillons et vements désordonnés quelconques, prodoits par les dMéieMi obstacles dont leurs cours sont tous plus ou moins hérisaék En particulier, ils sont un des moyens que la nature emploie pour modérer la vitesse générale des courants au {Mssage te chutes d'eau naturelles ou artificielles, comme celles des cataractes et des écluses de navigation. Enfin l'observation aue»' tive des faits autorise suffisamment à croire qu'indépendai^ ment de ces mouvements giratoires communs à toute «m portion de la masse fluide, il s'en produit aussi de secondaire! ou de moins apparents, qui embrassent un groupe plus m moins grand de molécules, et qui se distribuent dans les iDte^ valles des précédents, suivant la loi dliarmonie indiquée. Ibis on peut aller au delà et admettre sans trop s'aventurer, que de pareils mouvements de rotation ou d'oscillation imprimés eoi molécules individuelles ou aux derniers groupes de molécules sont, après radhércnce et la cohésion sur lesquelles nous reviendrons bientôt, Tune des causes les plus puissantes de li déperdition du mouvement dans les fluides (**), et notâm-
es) Voyez à la fin de ce vulume, V Addition relative à une théorie de il résistance des fluides, fondée sur le principe des forces Tivcs.
{**) Pour se former une idée de la vivacité et de la complication extrèae des mouvements dont les molécules des fluides peuvent être le siège, il D*yi qu'à interposer entre l'œil armé d'une loupe et la flamme d'une bougie ou d'vB quinquot, une plaque de verre transparente et bien nettoyée, sur laquelle *t trouve étendue une couche mince de sirop d'or(;eut délayé, à la manière ordi* naire, dans une eau bien pure, on sera surpris de la bizarrerie des mouvemcfitt présentés par les particules étrangères, mouvements qui se rapportent, H surplus, à la classe nombreuse de ceux que les naturalistes désignent sous k nom de browniens, et qu'ils attribuent à une sorte de vitalité des deniiêm particules organiques.
DBS RÉSISTAKCBS. 678
ment de la résistance que leurs filets éprouvent à glisser les uns sur les autres ou sur la surface des corps solides.
376. De la communication latérale du mouvement dans les fluides, — Ce phénomène dont nous venons de dire un mot à l'occasion de la dissémination et de l'extinction des mouvements giratoires, a été l'objet d'une étude spéciale de la part de VenlurI, célèbre physicien italien (*), et de M. A. Lcchevaller(**). Il se produit, en général, lorsqu'une portion plus ou moins grande d'une masse fluide se trouve animée d'un mouvement commun, parallèle, rectiligne ou circulaire, difVérent de celui du milieu ambiant. L'expérience démontre, par exemple, que, pour le cas d'un plan mince dirigé dans le sens de son propre mouvement, au milieu d'une masse tluide indéflnie et en repos, ou d'une veine isolée se mouvant par Olets parallèles dans une pareille masse constituée ou non des mêmes molécules, l'entraînement latéral a lieu (Mémoire cité de M. Lechevalier ) suivant des routes convergeant vers la surfiice du plan ou de la veine, ainsi que l'indique la Jig. 56, PL III, tandis que, dans le cas où cette môme veine se trouve resserrée entre les parois d'un canal ou tuyau solide, les filets dont elle se compose cheminent à peu près parallèlement entre eux, en s'înfluençant réciproquement, de manière que la vitesse décroît progressivement en allant du centre à la surface des parois.
L'action latérale, en vertu de laquelle cet entraînement s'opère, de proche en proche, de couches en couches ou de fliets en filets, ne suppose pas essentiellement Tinlervcntion de forces analogues à celle que les physiciens nomment la viscosité des fluides, et dont ils attribuent l'existence (Note de la page 272) à une sorte de polarité conservée par les molécules; car cet entraînement a lieu, avec la même énergie, pour les gaz, où rien n'autorise à admettre l'influence de telles forces. Pour s'en rendre compte, sans recourir d'ailleurs à l'hypothèse du contact immédiat des molécules, il suffit de supposer au milieu une constitution élastique, une stabilité
( • ) Becherckes expérimentales sur le principe de la communication latérale Jm mouvement dans les fluides; Paris, 1707.
(••) Mémoire sur le mouvement des fluides; MeU, i8a8.
574 MÉCANIQUE INBUSTRIBLLB.
d*équilibrc dans Tétat naturel ou de repos» telles (232) qu'âne molécule ne puisse s'approcher ou s'écarter de ses voisines, sans qu'il naisse aussitôt entre elles l'équivalent d'une ré^ pulsion ou augmentation de pression dans le premier cas, et d*une uuraction ou diminution de pression dans le second; circonstance qui a lieu en effet, même pour les gaz permanents, en vertu de la chaleur et des pressions extérieures qui, transmises du dehors au dedans, s'opposent à leur écarlemeni mutuel, et jouent ainsi le rôle d'une véritable force attractive, dont les effets s'ajoutent, dans tous les cas, à celui de l'attraction proprement dite des molécules.
11 paraît évident, en effet, d'après ces hypothèses, que si (a), par exemple, est l'une quelconque des molécules d'une certaine couche fluide, (6) et (c) deux molécules voisines de b couche suivante, situées l'une en arrière, l'autre en avant de la molécule (a), celle-ci ne peut se déplacer, d'un mouvement relatif, dans le sens de la couche dont elle fait partie, sans tendre à se rapprocher de {b) et à s'écarter de (c), c'est-à-dire sans repousser (6) et attirer (c), actions qui, toutes deux, conspirent également à entraîner ces dernières molécules dans la direction du mouvement de (a), et dont les effets, sous ce rapport, peuvent être d'ailleurs en partie neutralisés parla liberté que conservent les molécules (6)et(c), mais surtout celle des deux qui est en avant, de pivoter légèrement autour de («/.et de dévier aussi latéralement de la route parallèle qu'elle seijil, sans cela, forcée de suivre.
On voit aussi, parla, (jue la communication latérale du mouvement ne peut avoir lieu dans leslluides, sans qu'il résuli»^ du déplacement relatif des molécules, un changement de densité, une inégalité quelconque dans la distribution des pressions autour de chacjue point. Celte inégalité, qui n'a pas lieu dans l'état de repos et de mouvement parallèle et uniforme des lluides, est due essentiellement à l'inertie opposée par leurs molécules à tout changement de mouvement, comme on l'a fait remarquer en plusieurs endroits de cet Ouvrai;(\ et elle se trouve confirmée par les expériences déjà citées df M. Lechevalier et l'analvse des géomètres (*).
(*) royez iiotanimcnt le Mémoire inséré, par M. Poisson, dans lo ?o* Cahi«*r
DBS BÉSISTAIHGES. 575
377. Du rôle particulier qui peut être attribué à la viscosité et à la cohésion dans ces phénomènes, — L'influence de la cohésion dans le cas des liquides tels que Teau et Thuilc, ne saurait être mise en doule d'après l'ensemble des faits déjà connus, et il semble naturel d'admettre qu'ici, comme pour les solides, son rôle consiste essentiellement à diminuer la mobilité des molécules par l'obstacle qu'elle apporte à leur rotation, à leurs déplacements ou à leurs séparations réciproques, obstacle d'où résulte inévitablement une perte de travail ou de force vive, qui paraît être sans compensation nécessaire, soit parce que la cohésion, après avoir été délruite ainsi dans les molécules, ne peut renaître qu'au moyen de l'application de nouvelles forces (223); soit parce que les quantités de travail développées par cette cohésion, dans le déplacement relatif des molécules, sont purement employées, comme dans le cas du frottement des solides, à exciter des mouvements vibratoires particuliers ou relatifs dont la force vive se trouve dissimulée par rapport au mouvement d'entraînement général du système. Ainsi, par exemple, on peut trèsbien comparer l'action d'une molécule en mouvement relatif par rapport à une autre, retenue en venu de sa liaison avec les voisines, à l'action qui aurait lieu pour deux aimants dont l'un serait suspendu verticalement à un point fixe au moyen d'un fil, tandis que l'autre recevrait un mouvement reciiligne quelconque; la force vive de celui-ci subirait une diminution nécessaire par suite du partage qui s'en opérerait entre les deux corps.
Entin, il est digne de remarque que la mobilité des fluides et les forces d'attraction qui animent leurs molécules, paraissent dépendre fort peu, du moins entre certaines limites, de leur état de compression naturel, c'est-à-dire des pressions qui auraient lieu en chacun de leurs points, dans l'état d'équilibre ou de repos (38), et qui constituent ce qu'on nomme ordinairement la pression statique ou hydrostatique du milieu en ces
du Journal de l'École Polj-techniquCf ou les n®* 57G et G<15 du tome! Il de son Traité de Mécanique, a* édition. M. Cauchy a été conduit, depuis, aui mémos conucquences (Comptes rendus des séances de VAcadémie des Sciences, t. IX, p. 588, a* lemMtre de 1839).
576 ■ÉCÀHIQUB omumiBLUL
points. Cette circonstance peut évidemment s'ez|iliqQerpir h faible variation qu'éprouve la distance des molécsles dam h cas des liquides proprement dita (13)» et par rinfloenee InseBsible qu'exercent dans les gaz permanents, tels que l'air, tas forces d'attraction des molécules» même sous des compnssions assez fortes. On ne saurait donc être surpris non ploi de la faible influence exercée par cette pression statique, dasi toutes les expériences qui ont concerné Tintensilé de l'adioi di^s fluides sur les corps, ou leur résistance.
378. Répartition des vitesses et des pressions autour des cofft soumis à l'action d*un fluide. ^Wolcl, principalement d'apvèi les expériences de Dubuat (*), les notions générales qa'oa peut se former à ce sujet.
La pression exercée perpendiculairement sur cliaeun do points d'un corps {PL III, fig. 5a, 53, 54 et 55), exposé A l'ae- Ûon directe d'un fluide, varie avec la position de ce poial, avec la vitesse et la direction des fileta avoisinants : elle est h plus forte pour les pointa a, de la face antérieure, de h ^fsse où la déviation des fileta et la diminution de leur vitesse lebtive dans le sens AB, du mouvement général, sont eiles-méaws les plus grandes; elle est» au contraire, la plus fidble dans tons les pointa où, par leur divergence, les fileta ont une ten<hne^ naturelle à quitter le corps, et à y former un vide, comme celi arrive particulièrement en h, vers l'arrière, la pou/ie et latcnlement, en m et m\ où le corps atteint sa plus grande largeur transversale. Ainsi elle va continuellement en diminuant depuis le milieu a de la face antérieure du corps, jusqu'à ses extrémités; mais, remarquons-le bien, cette diminution plus ou moins rapide de la pression antérieure, se trouve accompagnée d'un accroissement pareil de la vitesse absolue des filets, qui atteint son maximum vers les points m et m\ e( cette accélération tient essentiellement à l'obstacle apporté par l'inertie de la masse ambiante, à la déviation, à l'échappemenl latéral des molécules, lesquelles resserrées entre cette masse et le corps, se meuvent comme dans une sorte de tuvau
( *) Principes d* hydraulique , t. II, 3* Partie, art. 487 et suivants.
DES KfiSISTAMGES. 677
OU de canal qui sérail limité à des parois solides telles que LM, LM', et dont la section vive, prise sur tout le pourtour de ce corps, est, ainsi que le constate rexpéricncc, nécessairement moindre que la section transversale des filets qui, en amont, sont soumis directement aux eifets do la déviation.
A regard de ce qui se passe le long des faces latérales et de la face postérieure, c'est-à-dire à compter des points m et m', qui correspondent à la plus grande section transversale du corps, l'expérience n*a point encore prononcé d*une manière assez positive pour qu*on soit en état de se former des idées nettes sur la manière dont les pressons et les vitesses s'y trouvent réparties, même dans le cas des prismes droits exposés directement au choc d'un liquide; seulement on sait, à l'égard de ceux-ci, que la pression, après avoir atteint sa plus petite valeur en m et m\ augmente rapidement ensuite pour décroître de nouveau, et redevenir bientôt inférieure à la pression statique (377), vers l'arrière du corps où le vide tend continuellement à se former, et où les pressions sont trèsdifficiles à mesurer, à cause des alternatives oflertes par les remous et tourbillons dont il a été parlé. Suivant Dubuat, la pression le long des faces latérales des mêmes prismes serait notablement moindre que la pression siati(iue et suivant M. Duchemin, elle lui serait, au contraire, égale; ce qui pourtant ne doit s'entendre que des points situés au delà des remous m et m' {Pi. Illjjig. 54 et 55), où le régime, le mouvement du fluide redevient uniforme.
Il existe d'ailleurs plusieurs autres dissidences (ropiiiion entres ces expérimentateurs, que nous ferons connaître en leur lieu, et qui, toutes, proviennent de la manière d'interpréter les indications fournies par le tube de Pi tôt, sorte de manomètre (39) formé d'un tuyau vertical recourbé horizontalement, ouvert par les deux bouts, et dont l'orifice inférieur est présenté à l'action directe ou oblique du courant. Mais il nous est impossible d'entrer ici plus avant dans celte discussion, ei il nous sufHra de remarquer que les incertitudes relatives à la mesure des vitesses ellectives en chaque point des filcis liquides, ne sont guère moindres que celles qui conrernonlh's pressions elles-mêmes, et qu'elles réclament la découverte de moyens d'expérimentation plus directs, plus délicats.
379. Premom amiériemre et foUêwiemn^JSàt mé «f ftmfmîm detfilH». — D'après la manière dont nous ^naons ifrnTfiyi le phénomène de la résistance des fluides» on voit qne, pir exemple, pour les prismes droits {PL Ill^Jig^ 5f et 55) dôai l'axe est parallèle h la direction do aHNiveaaaitt cette ré» tance doit principalement se composer de la pression vouât, de la somme des pressions souffertes par la i^e anlériave, diminuée de celle dés pressions contraires souffertes pir b 6ce postérieure; ou, si l'on reot, en négligeant, avec IhibaM, la considération des pressions statiques qui auraient lieu m ces deux bces, dans l'état de refios, et qui, étant égales. M- Tcnt s'entre^étruire, la résistance dont il s'ai^ est égale i h pression antérieure, augmentée de la non-^fVMmi poitfw rieure. bailleurs, pour les corps sjmétriques» tels que lu prismes, les sphères, etc., dont les pressions latérales se éé^ truisent réciproquement, et pour une même pronet hi pMsioii antérieure est indépendante de la longueur du eorpi « de la forme de la poupe; mais, au eontnire, la non-pieHia postérieure est susceptible de diminuer a mestire que le caqi s'allonge, bien que la forme de cette poupe et de la preneae change pas; ce que Dubuat attribue i la diminution wèm éprouvée par la vitesse et la divergence des filets fluides qii circulent autour du corps et latéralement à sa surface.
A l'égard de la forme affectée, en général, par ces Blets, d de rintensité absolue de la vitesse en chacun de leurs polats» Dubuat et les Auteurs des théories citées au commencemeMde ce Chapitre admettent , d'après quelques-unes des indicatkNK de l'expérience : i* que cette forme reste invariable pour a corps donné, quand bien même la vitesse relative, uoifomei de ce corps et du fluide vient à changer; a* que la vitesse da molécules fluides, ou chacun des points des fliets, consenr toujours un même rapport avec celle dont il vient d'être pnié; 3* enfin que, pour «les corps semblables dans toutes les pr ties, et dirigés semblablement, les dimensions absolues iies filets sont seules modifiées, mais non leurs rapports de giwdeur et de positions relatives. ■ r
Ces hypothèses, que les récentes eipérîences de M. Ie«h ^ ,>^ lonel Duchemin paraissent confirmer, servent à expliquer pff' sieurs faits généraux de la résistance des fluides, sur lesfuek
DES EÊ8ISTANCBS. 679
oous reviendrons bieniôt. 11 nous a paru utile de les indiquer Ici brièvement, quoiqu'elles appartiennent au point de vue "Compliqué de la question, et que nous soyons bien loin encore de l'époque où il sera permis d*analyser, de démêler ainsi, <)ans chaque cas, les effets qui peuvent être dus séparément à riiifluence de la forme et de la position des différentes parties du corps.
380. Massés qui accompagnent constamment les corps soujÊiis à l'action des fluides, — Il importe à noire objet que nous ne passions pas sous silence un autre fait très-important, observé, en premier lieu, par Dubuat (*), et qui concerne la proue et la poupe fluides dont les corps sont toujours accompagnés, soit qu'ils se meuvent dans un milieu en repos, soit qu'étant, au contraire, immobiles dans ce milieu, ils en revivent l'action directe. Ce phénomène est essentiellement produit par la déviation qu'éprouvent les molécules fluides en circulant dans les canaux ou filets, de forme invariable, qui accompagnent, comme on l'a vu, constamment le corps; ou, ce qui revient absolument au même, il consiste en ce que les molécules du milieu, qui sont contraintes de cheminer dans le sens perpendiculaire à l'axe du mouvement, aussi bien que celles qui tourbillonnent latéralement ou à l'arrière du corps, etc., sont comme en repos par rapport à ce corps, et forment, en quelque'sorte, partie de sa propre masse.
Les expériences de Dubuat sur les oscillations des pendules 4hns l'air et dans l'eau prouvent que le volume de ces proues et poupes fluides, ou, ce qui revient au même, le volume des filets déviés et entratifés uniformément dans chaque unité de temps, peut être fort considérable et s'élever au delà de vingt fois le volume du corps, quand celui-ci est un plan mince, frappé perpendiculairement à sa surface. Mais le rapport de C€s mêmes volumes, qui est indépendant de la nature et de la densité du fluide ou du corps, est susceptible de varier avec la forme de ce dernier* suivant des lois qui ont été spé- 4!ialement étudiées par Dubuat, pour le cas des prismes et des 4*ylindres droits mus, parallèlement à leur axe, dans des fluides
^*) Principes d' hydraulique ^ t. Il, sect. 1, chap. 7, et sect. 2, chap. 1.
SiSa xËCAMQue industsiblle.
en fi>po<i. Pour de luis corps, le fa|iportR,(lu vuluiiic itu {iiiiiti I entraîné, à celui du corps, esi reprosenié, lrès-appto\iamivement, par la formule
L êlaiil lu liinjiiiour m 'JÀ Li riuiiic nirr(''i.' do l'alrp ili ■ lions transversales du prisme; ce qui donne p<Hir If volume absolu (lu fluide eniralnc,
;iA.L = o.7o5AV^-t-o,i3V.l,.
puisque AL est celui du prisme.
Ainsi, pour 1. nul ou très-pclii, c'est-ù dire pour les plant minces, le volume doul il s'iigit se trouve mesuré par )r qu«h tité o,7o5Av^A. inilé pendante de leur épaisseur ou de la longueur des prismes; et, pour T., au contraire très-grand, ou A QsMez petit pour qu'on puisse négliger la valeur du premier lermt" dfi la formule vis-ù-vis du second, le volume du fliude entraîné devient sensiblement proportîonnet à coUr longueur. A restant le même; ce que Dubuat attribue, soit à l'accroissement de la poupe Huide, ù la diminulion progresslvede \i convergence des filets à l'arrière du corps, soii aut ettfis it l'adhérence et du frellemenl d«i (luide te long de ses face? latérales, effets que nous exaniiiterotis plus lard.
Les sphères ont été plus spf'cialement l'objet des e\pé- I riences répétées de Dubùat, cl il a trouve, soit pour l'air, soil 1 pour l'eau, que le volome du fluide eiiiralnc s'écartait alors | fort peu des o,585 ou 0,6 environ de celui de ces sphères. Ce résultat s'accorde, a quelques différences près ressortant de la nature et des dimensions des appareils, avec ceux i|ul ont été obldius tuul réreoiiiienl dnii^ <U's .■X|)i-riiMid-s, bur Ifs oscillations du pendule, entreprises par MM. Jtessel, Sabine elBaillj'; ce même résultat a éié également vérifié par M. Poisson, au moyen d'une savante analyse, qui a été publiée dans le lome XI des Mémoires de l'Jcadémie des Sciences de l'Institut. Mais il nous sufTil ici d'avoir appelé l'atlention du lecteur sur un phénomène en lui-même Irès-digne d'intérêt, ci qui doit exercer une influence nécessaire toutes les fois que
la vitesse du corps change, et que, par conséquent, Tinertie «le la masse fluide entraînée doit jouer un rôle appréciable.
Au surplus, les résultats qui viennent d'être rapportés, sont uniquement relatifs aux oscillations du pendule, et Ton sent fort bien que les circonstances d'un pareil mouvement sont irès-distinctes de celles qui se rapportent au mouvement rectiiigne et parallèle des corps; mais, comme Dubuat a eu l'attention de donner aux tiges de ses pendules de très-grandes longueurs, et de ne leur laisser faire qu'une simple oscillation, on doit provisoirement les considérer comme applicabjes à ce dernier mouvement, avec d'autant plus de motifs que, dans de récentes e5cpériences sur la descente verticale des plans minces et des parachutes dans l'air, dont les résultats seront rapportés plus loin (VOS}, M. le capitaine d'artillerie Didion, observateur très-consciencieux, est arrivé à des conséquences analogues à celles de Dubuat, dont même il paraissait ignorer entièrement l'existence.
381. Lois de la résistance directe des fluides dans le mou- 4^ement uniforme. — L'ensemble des expériences connues apprend que, pour des corps semblables et semblablement dirigés par rapport au sens du mouvement supposé toujours parallèle, la résistance dont il s'agit demeure sensiblement proportionnelle au carré de la vitesse relative, à la densité du milieu et à l'aire de la projection transversale du corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement; cet ensemble démontre, en outre, que la résistance reste indépendante de la nature du corps et de la pression statique ou naturelle du milieu, qui, en effet, redisons-le (377), ne saurait, entre certaines limites, modifier par elle-même, d'une manière sensible, la mobilité de ses différentes parties, non plus que le mode de leur action sur le corps. Le petit nombre des restrictions souffertes par ce principe, ressort de la nature même du phénomène et de la manière dont les choses se passent, dans chaque cas, autour du corps; nous aurons soin de les laire connaître dans le Chapitre suivant, mais, pour le moment, il nous suffira de faire saisir par le raisonnement, et, en quelque sorte, de justifier par la considération des forces vives, la loi générale de la résistance telle qu'elle vient d'être énoncée.
58a ■tcANiooi iimiiTBiajui.
Nous avons vu ci-dessus (379) que le corps(A) [PL lil^Jtg» 5» et 53], soii qu'il demeure en repos dans un llulde en monveroeni, soit qu'il se meuve lui-même dans on fluide iaHnobile« considéré comme à peu près indéfini, conlraint les melécolcs de ce milieu k dévier de part et d'autre de sa aarfece amé* Heure et k affluer vers sa partie postérieure mwec des Tiiesses qui dépendent essentiellement de la vitesse même du mùfÊvement relatif, et doivent, à chaque instant, lui demeurer proportionnelles. Considérant ici spécialement le cas où le milieu résistant est en repos, et où le corps chemine parallè-^ lement et uniformément en décrivant des espaces re^lignes e = V /, dans chacun des instants infiniment petits t du tempi» il parait évident qu'a circonstances égales d'ailleurs, la somne des molécules déviées ou entraînées sera d'autant plus giande que le corps occupera lui-même un plus grand espace daas le sens perpendiculaire au mouvement; c'estpè-dire que si l'os projette, par exemple, ce corps sur un plan CD perpendict* îaire à AB, ce qui revient à lui circonscrire un cylindre pinilèle à la direction du mouvement, et à couper ce cylindre pir le plan CD, la quantité totale des molécules déplacées oe repousséés, pour des surfaces ou corps semblables dans toutes leurs parties, et qui seraient Tnus de la même manière dtos le fluide, croîtra précisément en raison de l'étendue ou de Taire de la projcclion dont il s*agil.
Mais elle croîtra aussi comme l'espace ou le chemin e, décrit dans chacun des instants égaux à /; nommant donc Q le volume total, en mètres cubes, de ces molécules entraînées par le corps (A), et A Taire ou la surface, en mètres carrés, de sa projection sur CD, on conclura, par un raisonnement analogue à celui qui a été mis en usage dans les n**» 71 et 78, que Q croîtra comme Ae, c'est-à-dire deviendra double, triple, etc., quand \e sera double, triple, etc., pour le même corps ou pour des corps difTcrcnts dont la surface serait semblable et semblablement dirigée par rapport au mouvement.
Plus généralement et plus simplement encore, on démontre par les principes de la Géométrie (* ), que le volume de l'espace
(*) Ce principe ett pour ainsi dire évident en lui-m^me et par U comid»'
envahi, déplacé en avant du corps, pcndani quMl décrit le chemin Cj et par conséquent celui de Tespace qu*il abandonne en arrière, sont, tous deux, équivalents au volume de l'espace cylindrique qui serait décrit par Taire A, dont il s*agil, si cette aire faisait réellement partie du corps et se transportait parallèlement à elle-même avec lui; ce qui démontre que le nombre, le volume Q, des molécules fluides déplacées en avant du corps ou replacées, entraînées en arrière, est bien proportionnel au produit Ke.
D'un autre côté, le corps (A), en cheminant dans le fluide, imprime aux molécules de Q une vitesse d'autant plus grande que la sienne l'est elle-même davantage : il est clair, par exemple, que, si le corps décrit, dans le même temps élémentaire /, un chemin double ou triple, il faut bien aussi, toutes choses égales d'ailleurs, que les molécules de Q décrivent des chemins doubles ou triples, dans ce temps, pour lui faire place ou pour remplir l'espace en arrière. Conséquemment la vitesse de chacune de ces molécules croît comme V, et leur force vive comme V'; nommant donc p la densité (33), le poids, en kilogrammes, d*un mètre cube du fluide, observant (35) que le poids total du volume Q de ce fluide est mesuré par /iQ, la force vive qui lui a été imprimée par le corps sera
proportionnelle (122) à ^ X V* ou à ^ — X V% puisque Q
est lui-même proportionnel au produit Ae.
Le corps ayant donc communiqué une telle force vive au fluide qu'il chasse devant lui, il faut bien aussi (135 et suiv.) que l'inertie des molécules de ce fluide ait opposé au mouvement uniforme du corps et dans le sens de AB une résistance totale R, qui restant la même pour la longueur infiniment petite e du chemin décrit par ce corps, aura détruit (71)
ration des portions de volumes qui restent communes aux deux positions succetaiTes occupées par le corps ou par le cylindre circonscrit; maison le démontre directement aussi en observant que les trois volumes élémentaires à considérer, et qui ont pour mesure le produit A^, peuvent être censés composés d'une infinité de petits prismes, de même base et de même hauteur, dont les arêtes parallèles à la direction du mouvement sont dans le prolongement les unes des antret. •
96^ . mEc*n[qiiii industhiellc.
uqe qiWAliîé de truvuil He iiroporlioimclli- à -^—^\':i<:
sorte qa^ ftHltWenmcorpqiie le nombre' des kilogr conteons danè cetle roAme rf-siiitance, soit prpporttimncl *
— *-■-■ V*. di?tsée par e, c'esl-à-dire à p\ — -, o\i siniplera^l * g "^ '^ ag • t pA.V, pafsquea^a la inème vatfîur{ll7) pour tous les fK. BMc eDfln : ~
£a réiiitance que l'Inertie des fluide», en repot, oppoteaa mouvement' direct et uniforme des corpt deflgures semblaUtt, ^ngéi delà même manière, crotl comme la i/ensilé p de en Buidet, comme te carré de la vilr-sse V de ces corpi ri comme faire A de la pivjerlion dr en m^me» corps sur «» ^OM perpendiculaire à la direelion du mouvenirnf.
SBS< Hègiet ost formules pour calculer la réaistance direcU detfimidoe. ~- Oo su rapijellera {118 ei 119) que la qutntili
— est préclséipi^iit la liauleur duc à la vîles>>e V du rorps;
\ûa flçrte que Iç produii de celle i|iiaiuil(> par l'aire A rcpré-
. sente le volume d'un pri^mp oh cylindre f|ttt ii — pourluu-
teur, et Apour base : -î— - V= ou pA — est donc (351 le noiit»
.d'un tel volume du fluide; re iiui faitdirp ordii
La résistance des fluides est proportionnelle ait poids d'an prisme de ces fluides, qui « pour base la projection Irant'rrsale du corps sur un plan perpendiculaire à la direrliçn itu mouvement, et, pour liauleur, la hauteur due à la vitessie-
Cas du mouvemfnl absolu et uniforme des corps. — Soil
. V' H = — celle dernière liauteur, icllc que la donnomil 1»
Table placée à la tin de ce volume, It la résistance mesurtV en kilogrammes: d'après ce qui précède, le rapport de H i
pfM^pK — sera à très-peu près consiani pour un mèrat
corps ou des corps srmblables mus, dans un même Oiiide ou dans des fluides différonls en repos, avec des vitesses V, rigoureusement uniformes, quoique disiincies.Nonininni donc 1
ce rapport consiant, qui, dans chaque cas, devra èire fourni par les données immédiates de l'expérience, et dépendra essentiellement de la forme du corps, ainsi que de quelques autres circonstances que nous ferons bientôt connaître, on aura pour calculer la résistance R, quand le multiplicateur ou coefficient k sera connu,
K = kpK — = kpK— ou R = frDAH;
d'où il sera ensuite facile de déduire, comme on Ta indiqué (350) pour le frottement ordinaire et comme on le verra dans les applications, la valeur du travail absolu ou relatif détruit par la résistance et que devrait développer, en sens contraire, la force motrice pour entretenir l'uniformité du mouvement du corps dans le fluide. Pour le cas, par exemple, d'un corps mobile dans un fluide en repos, le travail dont il s'agit rapporté à l'unité de temps, croîtrait comme le cube de la vitesse, c'est-à-dire d'une manière extrêmement rapide par -rapport à celui que réclamerait le simple frottement (350), ou même l'inertie relative au premier ébranlement du corps (1*6).
Cas du mouvement relatif uniforme, — Les raisonnements qui nous ont fait parvenir (380) à la formule précédente, se rapportent essentiellement au cas d'un corps mû parai lèlement à lui-même dans un fluide en repos; lorsque le fluide, animé d'un mouvement parallèle dans toutes ses parties, vient à l'Inverse choquer un corps en repos, ou lorsque l'un et l'autre sont animés de mouvements rectiligncs parallèles, les raisonnements dont il s'agit cessent d'avoir lieu, à moins qu'on n'admette, à priorij avec tous les Auteurs, en principe que les actions et réactions des corps ne dépendent (85 et 1G3 j que des chemins relatifs et nullement des vitesses absolues de ces corps. Raisonnant ici, en elTet, à peu près comme on Ta fait (163) dans le cas général du choc direct des solides : V et V étant les vitesses constantes et absolues du corps et du fluide par rapport aux objets fixes, aux rives, par exemple, s'il s'agit d'un courant d'eau, il sufflra de remplacer la vitesse V, de la formule ci-dessus, par la vitesse relative du corps et du fluide, c'est-à-dire par la difTérence V — V ou V — V de leurs
586 MË<:tXIQUE IKDUSTHIELLS.
vitesses absolues quand ils marcheiil dans le même sens, uu par la somme V + V de ces mêmes vitesses quand ils nurchcnl en sens contraire.
Mais, d'après le résultat de quelques-unes des experii-iicw dn Uubuat, qui seront rapportées plus loin, il ne paraît pa: qu'il soit permis de raisonner pour le cas des fluides ou d'un assemblage de molécules très-mobiles, comme cela parait incontestablement permis pour les solides, où la propagation dn mouvement s'opère (57, 65, 153 et 313), dans un temps souvent inappréciable, et l'on doit provisoirenieni admettrf que le coefficient k peut prendre des valeurs très-différentps, scIob qu'il s'agît d'un corps mobile dans un lluide en repos, ou 'in versa; la différence ne pouvant porter que sur l'intensité elTeo live dé la résistance, et non sur su loi en raison Uu carré de» vitesses absolues ou relatives.
Cas du motivemeni varié. — On se rappellera quft ces formules sont uniquement relatives au cas où le mouvement ai parvenu à une rigoureuse uniformité, et que lorsqu'il varies chaque instant, comme cela a lieu, par exemple, dans le cts des projectiles, il devient nécessaire d'avoir égard (380) à 11 masse du fluide qui accompagne le corps et en augmeoiA l'inertie de manière à accroître ta résistance quand le mouvement s'accélère, et à la diminuer quand il vieni, au contraire,! se ralentir. Le volume de cette masse ayant, dans chaque c»s, avec celui du mobile, un rapport déterminé, indépendiini île sa densité et de sa vitesse, il ne s'agira que d'ajouter la ï«leur M' de cette même masse à celle M du corps, diiiis II relation qui exprime la loi du moitvenicnt; ou, ce qui reviwl au même, il ne s'agira que d'augmenter, dans le cas de l'arcf" iération, et de diminuer dans cehii du raleiilissemenl , la valeur
R = /i/»AH = /i/^A — de la résistance uniforme, de la qmn-
tîlé M' - qui représente (130) la force d'inertie de M', et dan*
laquelle c exprime l'accroissement ou la diminution subis, pendant l'instant intiniment petit l, par ta vitesse V. qui. de son côté, désigne ici, soit la vitesse absolue du fluide on da corps, soit leur vitesse relative dans le mouvement parallèle.
DBS RÉSISTANCES. 687
CAUSES ET GIBCONSTANCES PARTICULIÈRES QUI MODIFIENT L 1NTE>SITÊ ET LA LOI DE LA RÉSISTANCE DES FLUIDES.
383. Des effets de la cohésion des fluides. — Toutes les expériences connues s'accordent à prouver que, pour des mouvements très-lents, la résistance des fluides décroît moins rapidement que le carré de la vitesse, et que cette déviation de la loi ordinaire devient surtout sensible pour les corps qui présentent une certaine étendue dans le sens du mouvement, réunie à de faibles dimensions transversales. Ces circonstances sont généralement attribuées à l'adhésion des molécules, soit entre elles, soit avec la surface du corps, ou plus spécialement, a la difCculté qu'elles éprouvent à se séparer, les unes des autres, dans leurs mouvements relatifs, et à prendre de nouvelles positions de stabilité (.HT). Si l'on suppose, en elfet, que» pour les liquides tels que l'eau, par exemple, ces forces dépendent très-peu ou point du tout de la vitesse avec laquelle la séparation des molécules s'opère (*), il en ser» de même du travail résistant qu'elles font naître pour chaque élément de chemin parcouru; de sorte que ta part de résistance qui leur est due, pourra conserver une valeur très-appréciable encore» dans les mouvements lents, quand celle qui provient des forces \iyes directement impriméesaux molécules liquides Sera devenue insensible. Mais peut-être est-il aussi exact de dire que, dans ces mouvements, les forces de cohésion des molécules ont plus de temps pour propager la vitesse de proche en proche, dans l'intérieur du liquide, et pour augmenter ainsi le nombre, la masse totale des molécules entraînées; ce qui tend également à faire croître la somme des forces vives ou la dépense de travail moteur, un peu plus rapidement que ne l'indique la loi du carré de la vitesse.
Quoi qu'il en soit, pour se former des idées un peu nettes
f*\ L'inflnenCG de cette vUcshc pourrait ccrtuincmunt devenir sensible pour les gsE, dans le cas de chungeniuuts brusques (224); muis, d'après les ingénkuieft expériences de MM. Colludon et Sturm, il ne parait pas qu'il soit néccttaire d'y avoir é(jard pour l'eau et la plupart des liquides.
sur le rôle joué par les forces de cohésion doni îls*agit, ilesl nécessaire de distinguer, d'une manière plus précise que nous ne Tavons fait jusqu*à présent, l'action directe et normale do corps sur le milieu, de son action langentlelle ou latérale» qu'on nomme proprement \e frottement des fluides.
384. Influence de la cohésion dans V action directe ou normale, — Cette action des solides sur les fluides se distingue essentiellement, comme on l'a vu (37b et suivants], de leur action latérale ou tangentielle, en ce que, dans la première, il y a déviation générale, et, dans la seconde, séparation et glissement réciproque des filets. Néanmoins cette déviation ne pouvant avoir lieu sans que les molécules des filets voisins se rapprochent ou s'écartent entre elles, il en résulte que les forces de cohésion se trouvent également mises en jeu dans les deux cas; mais les faits déjà connus tendent à prou* ver que la part de résistance due à cette cause est très-faible dans le premier, et peut, en général, être négligée. Toutefois, en raisonnant comme on l'a fait au n*>381, et considérant que, pour l'étendue du chemin élémentaire e, décrit par le corps, le nombre des molécules directement ébranlées ou déviées est proportionnel au volume Me de sa course cylindrique dans le milieu, on sera conduit à représenter cette môme portion de la résistance, par un terme de la forme /tAT, a étant un coofficionl numérique à déterminer par expérience, et Ton a'ï un(î quanlilé relative à ladépense de travail que supposeni la séparalion, le déplacement mutuel des molécules >oisines des filets, et qui pourra être constante si les forces qui unissent ces molécules sont, en elTei, indépendantes d<* lour-s vitesses de séparalion.
Ainsi la résislance totale, duc à l'action directe et normale du corps on à la déviation antérieure des filets, pourrait èire r(*présonlée par une expression de la forme
aXT -h 6/;A V'rz. \{aT -f- bp\');
dans laquelle 0 est un nouveau coefficient numérique, analogue au coefficient /r (382), et qui dépend essentidlemonl des forces vives directement communiquées aux molécules du
DES BÊSISTANCES. 589
milieu, ou du rapport de leurs vitesses effectives à la vitesse V du corps supposé seul en mouvement.
385. Influence de la cohésion dans l'action iangeniielleou le frottement des fluides. — Cette action peut être attribuée à différentes causes, soit qu'on la considère comme le résultat de la rencontre directe et successive des molécules fluides avec les aspérités qui tapissent la surface des corps solides même les mieux polis, soit qu'on suppose ces molécules simplement sollicitées par celles d'entre elles qui remplissent mécaniquement les pores de ces surfaces, ou qui s*y trouvent reicnuesy extérieurement, en vertu de cette force particulière nommée adhérence^ et dont l'action ne saurait d'ailleurs se faire sentir qu'à une très-petite distance du corps, comme le démontrent beaucoup de phénomènes. De toutes manières, le nombre des molécules ainsi ébranlées doit, sous une vitesse relative V donnée, demeurer proportionnel à l'étendue S de la surface sur laquelle le glissement s'opère; et, comme pour un corps de forme également donnée, ou pour des corps de forme semblable, les vitesses V et les chemins élémentaires «*=¥'/, dépendant de ce glissement, doivent aussi ;379) demeurer proportionnels à la vitesse V, et au chemin élémentaire e, du mouvement absolu ou relatif du fluide et du corps, on voit que le nombre des molécules direcioment ébranlées, par l'action latérale, dans chacun des éléments / du temps, ou pour chacun des chemins ^, deviendra, à son tour, proportionnel au produit Se, qui représente un volume aussi bien que le produit ke relatif à l'action normale.
Ainsi, en partageant, comme on l'a fait (384^) pour celte dernière action, le travail relatif à l'action latérale, en deux autres dont l'un, représenté parle produit a' SeT, serait dû aux forces de cohésion qui naissent du déplacement relatif, de la séparation continuelle des molécules, et dont l'autre, représenté par le produit analogue fc'Se/?V', concernerait les forces vives imprimées, détruites ou dissimulées (376 et 377}, soit directement dans la région voisine du corps, soit de proche en proche en vertu delà communication latérale du mouvement, en faisant, dis-je, ce partage et raisonnant toujours comme au n* 38iy on sera conduit à représenter la résistance latérale par
Sgo hêgàkique industiiblu.
une expression de la forme a'ST -*- b'Sp\*= S(a'T -*- VpV); a\ b' et T a.vant une signification semblable (384) à celle des coefficients ^ et fr et de la quantité T» sans rien préjuger di reste sur leurs valeurs absolues, qui peuvent changer avecb nature du milieu et la forme du corps, quoiqu'elles soient censées indépendantes (379) de la vitesse uniforme» des dimensions absolues de ce dernier, ainsi que de rintensité de la pression statique du milieu (377).
386. Expression générale de la résistance des miiieus. - Pour analyser complètement les diverses causes de résistances qui s'opposent au mouvement des corps dans l'intérieur d'un fluide, il conviendrait encore de prendre en considération le frottement latéral éprouvé, parla masse qui circule autourde ces corps, de la part du fluide ambiant, non soumis directement aux effets de la déviation (378); il faudrait également établir dos distinctions entre les frottements relatifs aux faces latérales de ces corps, et ceux qui concernent leurs faces antérieure et postérieure, lesquels dépendent de niouvenienis bien plus compliqués. Mais, au point de vue physique ou nous sommes placés, ces différentes circonstances ne peuvent exercer d'influence que sur l'appréciation de la quantités, qu'il fiiudrait, tout au moins, prendre égale à la somme des surfaces antérieure et latérale du corps, etc.
En résumé, la résistance lolale provenant tant de raclioii dircîric d'un corps sur un lluide, que du froUeineni tangenliel, s(M'aii, dans nos hypothèses, représentée par la somme
A{a T -f hp\^) 4- S{a' T -h b'/A') = [a\ 4- a' S)T ~\-p{b A 4- b'S)\',
donl la promièro partie dépend essentiellement de la loi que suit riniensiii» dos forces de cohésion, et la seconde du rapport d<^s viicssos ou des forces vives communiquées aux molécules Il u ides.
Ces considérations à prioriy auxquelles nous sommes loin d'allachcr aucune importance théorique, ont au moins Tavanta^'c de faire sentir la nature ilcs diflicullés qui se sont oirerie> aux (expérimentateurs pour démêler, dans chaque cas, le rùh' des deux espèces de résistances qui viennent de nous occuper, et donl celle qui est relative au frotlement a été l'objet de
DBS BiSISTANfîBS. 691
quelques recherches spéciales que nous croyons utile de faire connaître dès à présent, afin de n'avoir plus à y revenir par la suite, puisqu'elle ne peut exercer d'influence appréciable que dans des circonstances tout à fait particulières (^)83).
387. Données expérimentales relatives à la loi du frottement des fluides. — On admet ordinairement, d'après les ingénieuses expériences de Coulomb.(*), que ce froltement est entièrement Indépendant de la nature particulière de la surface solide, de son degré de poli, de la nature de l'enduit qui la recouvre et de la pression naturelle ou statique du milieu : circonstances d'abord remarquées par Dubuat [Principes d' hjrdrauliquey 1. 1, art. 34 et suivants], lors de ses belles et nombreuses expériences sur les lois de Técoulement des liquides dans les tuyaux et les canaux de conduite. Quant à l'intensité même de cette résistance, on la suppose, toujours d'après le résultat particulier des expériences de Coulomb, représentée, ])our le cas des surfaces planes, par une expression de la forme
dans laquelle p désigne, comme précédemment, la densité du milieu, S l'étendue de la surface en contact avec lui, V la vitesse du mouvement relatif dans le sens de cette surface, a et b enfin deux coefficients numériques, dont le premier dépend essentiellement des forces d'adhésion des molécules fluides entre elles, et dont le second en serait tout à fait indépendant Jusqu'à ce point de conserver la même valeur pour l'eau et Thuile, par exemple, tandis que le coefficient a prendrait au contraire, suivant ces mêmes expériences de Coulomb, des valeurs qui varieraient dans le rapport de i à 17.
On explique généralement la présence du terme en V%dans l'expression de la résistance, par la considération de l'inertie des molécules fluides entraînées; mais il n'est pas aussi facile de se rendre compte de celle du terme en V, qui provient des forces de cohésion du milieu, à moins d'admettre, avec
(*) Mémoire sur ta cohcrcncr des liquides, t. Ml (1801) <lt?s Mémoires tîe l*in» stitnt national, p. aCii.
%5 lécoulemoni (les liquides i irès-peiit diamèlre, jôlé, à représenlcr la relui terme proportionnel à pu carré de cette vitesse Lvemenis que l'on peut pirconstance est d'autant B déjà clléc de M. Na- MieHementà l'adhérence Buence, pour des tuyaux 1 devenue prépondérante fhésion mêmes des mo)é-
ifférences spécifiques qui
Ibents .excités dans chaque
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ihésion est bien loin d'être
l même sous le point de vue
e doit pas se le dissimuler,
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i terme de la résistance qui
r constant comme on l'avait
<t proportionnel à la première
fe on l'admet généralement d'a-
Fde Coulomb, et d'après celles du
B des circonstances do mouvement
I Mais, attendu que la difitcutté (te
Et du diaiuélrc (Heelitr-r-hes fi/Krimenlalrl lui A-i lurai'X. par H. Oarcy; Tarit , 1857), itMiUmjiB El Tambnux, sur le mouyeaiirnt iica )i lieu a UDG Note de Poncelel (Kale lar Us amftel rendus de l'Académie dri Sdena-s, Bt«ur iSUIjUt lu Turmulv du debil pi poic .les alemvnt ites gsi nu Iraieis lies orillccs cl ilps 'rimmlitlei iitr l'ccnnlrmeiu des vapeurt ; ^u- Inot les rcsullDlB d'nipêrieiiKS exécuté** vicv. >1U une formule pour l'ôcoulemenl des npuui t 'oij' U svcDiide Noie di> lu pnge ^^T-) (K.)
591 aECANIQUE INDUSTBIKLLB.
M. NavierC), queces forces sont proporlionnelles à laviinj du déplacemeni relatif des molécules, donl l'intensité do croître ici, en effet, proportionnellement à la vitesse V, s«]« les hypothèses et données e:cpi>rimenlales du n* 379. Quini l'explicalion mise en avant par Coulomb lui-même, dins [ Mémoire déjà cité (art. 11, p. 261 de ce Mémoire), et qu consiste à dire, suivant les raisonnements empruntés à I'idcienne théorie, que la résistance occasionnée par la cohércon des molécules doit, si cette cohérence est constante, cirt directement proportionnelle au nombre de celles qui ses«parentdans un temps donne ou à la vitesse m(>me du carfi, il parait peu nécessaire de la discuter ici; car autun prinript de Mécanique n'autorise, ce nous semble, une pareillemséqucnce, qui pourrait tout aussi bien s'appliquer au glia^ mciil réciproque do solides, pour iiiqucl Coulomb idnaj cependant i3i8 et~3i9) que la résistance due à la cofiénij demeure consianic. |
Enfin l'indépendance du frottement des fluides de la(ire»m | du milieu, de la nature des surfaces et du degré de leurpofc se justifie par des considérations physiques a n3lo;;ues à cdin que nous avons cvposées aux n" 377 et 385. Dans le froll^ uienl des corps solides, comme on l'a vu [349], larorcfdt coliésiim joue un tout aulre rôle, a cause que le dt>plarem(i> relatif des molécules est insensible, mèmejiour des mulérute situées à de très- petites distance^' des surfaces de coniact dus l'iiilérieurde chaque corps; de sorte que les forces d'élasiidié ropidcmerii variables avec l'état de compres.'iion et le clati^ ment de forme sont seules mises en jeu, et ne peuvent «wsionuer que de simples vibrations indépendantes de la Tiltnt même du mouvement.
A la véi'ilé, il résulte des considérations exposées au qu'une partie de la force vive développée dans le« fluides,]
DES ll£SISTA>'CES. 5q3
suite de la communication latérale du mouvement, pourrait être également dissimulée, en raison des oscillations particulières imprimées aux molécules; mais ces oscillations, cette perle de force vive, ne sauraient être considérées comme indépendantes de la vitesse générale, qu'autant qu'elles résulteraient des pertes mêmes de travail, dues à la séparation des molécules, pertes qui deviendraient ainsi, contrairement aux indications fournies par les expériences de Coulomb, la source d'une résistance constante, analogue à celle du frottement des solides, quoique sans rapport nécessaire avec l'intensité de la pression.
38S. Incertitudes relatives à la véritable loi du frottement des fluides, — Les récentes expériences de MM. Piobert, Morin'et Didion (*), les ont généralement conduits à rejeter, de la foripule qui exprime la loi de la résistance des fluides, le terme proportionnel à la simple vitesse, pour le remplacer par un autre qui en est absolument indépendant, même dans le cas de l'air atmosphérique, où, néanmoins, il paraît difficile d'admettre l'influence des forces de cohésion ou de toute polirllé des molécules (377). Quant aux liquides proprement dits, on serait d'autant moins fondé à repousser ce dernier résultat, à priori, que les expériences de Coulomb se rapportent au mouvement circulaire, alternatif et par conséquent variable, de disques et surfaces cylindriques autour de leurs axes naturels; circonstances qui peuvent, comme on le fera bientôt sentir (391 ), apporter des diffL^rences notables dans la nature des mouvements excités à l'iniéricur des milieux, et, par suite, dans les lois de la résistance.
Mais il ne faut. pas oublier, d'une autre part, une considération très-grave, qui milite en faveur de la loi expérimentale de Coulomb : c'est l'application heureuse qui en a été faite par V. de Prony d'abord, puis ensuite par M. Eytelwein, à rétablissement d'utiles formules qui représentent, avec un degré tl'exactitude on ne peut plus satisfaisant, les données de l'expérience, relatives au mouvement des fluides dans les canaux
(*) Mémoire, présenté au concours pour 1c grand prix de mathématiques de l'Initital, sur la résistance des fluules.
et tuyaux de conduite, dont les parois occasionnent une résiî lance, un ralentissement de vitesse, dus aux causes même qui viennent de nous accuper, pour le cas d'un corps isolé t mobile dans un fluide en repos (*). Ajoutons que, dans de
("^ Diaprés le nsiilut particulier des recherche» de M. de Prooy, onpoorrii
prendre indiflcremment, (>oiir calculer la rêfislance de l'eau dani les Iitmi
comme dans les canaux de conduite, à section oniforme, sans coadei m-
sibles,
R =^5(0.00001731' -ho,ooo3J8U"],
/> étant le poids du m«'trc cube du liquide, S sa surface en contact aterin parois et 1' une vitesse morcnne qui, étant multipliée par Taire A de Iisertioa, Joil reproduire le volume uniformément écoulé par seconde, au travers de tMe section ; de sorte que cette valeur de L' diffère ici de la plus (grande et de b plus petite de celles qui répondent aux filets les plus éloijnés ou les pins tm. sins des parois solides.
D'après les re«.horc*i'?s p«kslérieures de V. EUelwcin, on aurait specialewt!
four les tuyaiix de conduili*. et
R=/iS .oxk:.3Î3L--r-o.oo»36^L-^
piHir les cjuiux rv<:iiïijn*rs «Irourrrls: mais, dans I<* cas de vitesMs nfn
fvM^es, jia-.le**'..* !-" : mrlr»* |«ar ■exemple, on pourra, sins erreur wMbk,
iHendrv jj-; r^.-i'jujiiirnrviil f»^jr l-»s rjoaux et les tuyaux de condoiU>,
R= r-jiSI'.
•• ■ •* 7';:. :-s -. : !» ■: h-*.I-ri •■•j l'a'Jhorfnr»? in^failK
"■..-.--:.--•: '. ■ r*- - 1-- !-r!r- •!-- la rr>i*tanre, et jiMii**
•■- - '■ * ■.j'. :-'► -.'.-> -ij-r:i' fi- ►-* dr- MM. d'Aul«i;i?H'Dii
'— > • ~: ' ^ r'ii-i*^!il ^^lpI■li^^'lfr. jw
....__-. . - "^:j^ ir. i»-f'.r.i ri.iiljr»! I»- I-pj
r '-r--*. !■*.!- iir:* ••■' !^uid«?: rjr |.i bjistr
•. t - i riv;- - -•» :.•'.-. . r ir^ irs »ilr»>*r* --u o 'Jt'*
■•."'- : . *-.;-. ^::.l aii'—i i.»i-;-.li»;ift*tï
• -:•:"...• z ■. 7 !u- •}il»\ .1 ..'I- !•■ n J*
■■- -•»'-•-■.•- . ■ 1.1: rifi-îjnt «"Ti !•' rr.7'»'
• . ■ ■-:.': r'-^.^tjkn» ►: f«ii*^.' »-ln.' nf**-
-•-.•• ■; • - - L" •-•r«» !• » . i!;.T; ;>: ^ l-^nl il «Vil-
— 7'- . " ■"- -- -"îT •-:;■■& ■■»■••> l'Ut ilf (jiW.
DES RÉSISTANCES. 5ç)5
expériences parliculières, relatives à l^écoulemcnt des liquides au travers de tuyaux capillaires ou d*uii irès-pclit dianiolre, 11. Girard a été conduit, d*un autre côté, à rcprésenier la résistance des parois au moven d'un seul terme proportionnel à la vitesse simple, tout terme relatif au carré de celte vitesse ayant disparu, même pour des mouvements que Ton peut considérer comme rapides. Or, celte circonstance est d'autant plus remarquable que, suivant l'analyse déjà cilée de M. Navier(387), il faudrait Taltribuer essentiellement à l'adhérence du liquide avec les parois, dont rinlluence, pour des tuyaux d'un aussi peiit diamètre, serait ainsi devenue prcpondéninte par rapport à celle des forces de cohésion mêmes des molécules de ce liquide.
Ces considérations jointes aux différences spécifiques qui rassortent de la nature des mouvements^exrités dans chaque cas, suffisent pour montrer que la question du frottement dans les fluides et de l'influence de la cohésion est bien loin d'être arrivée à une solution satisfaisante, même sous le poinl de vue purement expérimental; car, on ne doit pas se le dissimuler, aucun des résultats des nombreuses expériences entreprises depuis Ne^vton et Désaguliers, ne peul servir à décider, d'une manière certaine, si, pour le mouvement reriiligne des corps dans l'intérieur des milieux, le terme de la résistance (jui provient de cette cause est, ou constant comme on l'avait d'abord supposé, ou simplement proportionnel à la première puissance de la vitesse, comme on l'admet généralement d'après les expériences citées de Coulomb, et d'après cell(»s du pendule, qui se rapportent à des circonstances de mouvement tout à fait exceptionnelles. Mais, attendu que la difficulté de
l'influence de l'étal drs surfaces et «lii diamètre [^Mt'r/ifn/irs eu/n-n'tneNtalrx reiatives au mouvement de l'etiu dans M tnyetiijr, par II. Darcv; Paris, i8.');). Les travaux de MM. Pccqueur, Buntemps et Zaïnhaux, sur In moiiv<>m<>iil des Ipa dans les conduites, ont donne lieu à une ^ote de Poncelel \\nir sur les expériences de M. Pecqueur; ('omptes rendus de V Académie des Sciences^ 21 juillet i8/|5), dans laquelle TAuteur étaldit la l'ormule du débit et pose dos conclusions inip«»rtantcs sur récoulement des (;az au travers des orifiees et des tuyaux. M. Resal {Recherches expérimentales sur l'écoulement des impeurs ; .4ntuûes des Mines, i86j), en interpolant les résultats d'expériene<>s exécutifs avec la eoUaboration de M. Minary, établit une formule pour récoulement des vapeu: s saturées à travers les ajuta(;c8. {f'oir la seeoude Note de la paço ng^O (K.)
découvrir la loi de cette partie de la résistance, pour des fluides tels que l'air et l'eau, tient précisément à sa faible influence. cela diminue beaucoup les regrets que pourrait faire naître Tabsenco de toute formule rigoureuse.
Quant aux milieux cohérents, aux fluides imparfaits tels que les pâtes, les terres, les bois de diverses espèces, l'expérience, comme nous le verrons en son lieu, a prononcé, d'une manière décisive, en faveur de riivpothèse qui suppose la part de ré-
sistance due à la coliésion des molécules, absolument indépendante de la vitesse du mouvement.
389. Influence de la compressibilité du milieu el de la variation de sa densité. — Pour les liquides proprement dits, qui sont très-peu réductibles de volume sous rinfluence delà pression, les changements de densité au voisinage du corps demeurent insensibles; mais il en est autrement des milieu\ gazeux tels que Tair, par exemple: la densité est plus forte en avant el plus faible en arrière que celle qui corresponde réiat d'équilibre du fluide; circonstances qui, on le sent bien, tiennent à Taugmentation ou à la diminution mêmes de la pression en ces points. Dans Topinion commune, cefailexpli- <|uerait comment, pour de très-grandes vitesses des projecn'les de rarlilleric, la résistance croit d'une manière un peu plus rapide que le carré de la vitesse, ou que ne l'indique la for-
nulle H - lipXU -■ lip\ — («^82), dont le deuxième nieinbn-
(levruil être alors aiij^nionlé d'une (luaniilé sensihlemeni pro- |)Oil'h>iin('II(» au rube de la \ilesse, ce (ju'on peut é^alenKiii expli(iu('r en sui)posanl (jue le coefficirni /i, ou la densilt//" du lluidi», doit se trouver auj^mienlé d'untî fracUon de l'un 01: de Tanins proportionnelle elle-même à la viu^sse V.Toul'•foi^ le motif fondé sur h* clian^enienl de la deiisilé ne jiislili»' qu'iniï)ar(ail(Mnenl cet arcroissenient relatif de la résisliuire. |)uis(ju'ilsu[)i)OseinipHcil«Mnent qu'à vitesses éj^ales, lenombiv des nioléruleséhraulées ou déplacées 1(* long de la rouie suixir par le corps est plus ^M*and pour les gaz que pour les liqui<h'v (M» (ju'il est bien diflioile d'admetlre. l*eul-éire serait-il plu> eonlornie aux données de la plivsique, d'avoir ici égard uu rôle joué par la rlialeur(22'») dans la compression et la détenir
rapides qui s'opèrent au voisinage du corps, ainsi qu'aux eiTets qui peuvent résulter ( 380 ) de la variation même du mouvement des projectiles.
C'est d'ailleurs le lieu de mentionner un phénomène qui, dans l'opinion de beaucoup d'Auteurs, peut se présenter lors de ces mouvements très-rapides : la production d'un vide plus ou moins parfait en arrière du corps; vide qui se trouverait complètement formé dès l'instant où la vitesse du projcciilc atteindrait ou dépasserait celle avec laquelle le iluidc ambiant tendrait à s'y précipiter et s'^ précipiterait (*), en effet, sous la seule influence de la pression statique (377), si les filets déviés en avant du corps, et qui ont acquis une vitesse comparable et contraire à la sienne propre, ne venaient combler, en partie, ce vide, au fur et à mesure de sa formation. Cette considération et l'ignorance où nous somnies des véritables lois de l'écoulement des fluides élastiques sous de fortes pressions {**), font sentir combien il serait difficile d'expliquer.
(*] On prend ordinairement, d'apK*» une Ibrmiilc coulcstuble, en principe,
4|aand il s'agit de pressions aussi fortes, pour la vitesse de rentrée de Tair
iJaOtle vide, une vitesse de .{i6 mètres environ, par seconde; mais, d'après les
^QritiOMC» ex| ériences de MM. Barré de Saint-Venant et AVantzc], ingénieurs
^|0S Ponts et Chaussées, expériences dont les résultats se trouvent consignés
^gttû un Mémoire imprimé au Q7* cahier du Journal Je rEcole Pofytech'
jgà^utn la vitesse dont il s'agit serait bien loin d'atteindre une valeur aussi
X^gféè^ et serait an plus de 19a mètres par seconde, pour des orifices dont la
^fesse laisserait, ii la vérité, soupçonner une très-grande intluencc exercée
le frottement des parois. Enfin M. >avier, dans la note -^db), p. 346 du
Tolume de Y Architecture hydraulique de liélidor^ trouve que la vitesse
[r I«qaelle l'air tend à se détacher de la face postérieure d'un plan mince,
«la q65 mètres par seconde, en se fondant sur le résultat un peu incertain
expériences de Dubuat, relatives à la non-pression (378}, expériences d'a-
Je0quelIe« cette 'vitesse changerait avec la forme du corps, et serait, pour
^ sphère, par exemple, notablement plus grande que pour les plans minces,
j#^ métrés environ, suivant les calculs mêmes exposés par Duhuat, dans le
9 307 dlu tome II de ses Principes d'Hydraulique. On voit donc «[u'il s'en faut
m^ |i^0«iicoup que la question se trouve aussi bien éclaircie qu'on le suppose
/ •* ^ jpepuis cette époque, les lofs du mouvement et de l'écoulement des gaz
«jn vapeurs ont été étudiées par divers auteurs, conformément aux prin-
r^^^ ^o 1a théorie mécanique de la chaleur. Consulter à ce sujet les ouvrages
.^«^ 4l«iii* la Hol^ de la page <j>>, ainsi que les Mémoires de M. Grashof, Sur le
*iti permanent des gaz dans les coniluites et dans 1rs canaux. (K.)
598 MfiCANIQUB INDUSTRIELLE.
encore moins de prévoir à lavance» tous les autres phénomènes qui peuvent accompagner des mouvements aussi rapides.
390. Influence de la forme des corps sur l'iniensiié absolue de la résistance. — Les règles ou formules exposées dans les n** 381 et 382 ne s'appliquent 'qu'à la résistance exercée par les fluides contre un même corps ou des corps semblables; mais quand les corps diiTèrent totalement, soit par la fonne, soit par la manière dont ils reçoivent Taction de ces fluides, les résistances qu'ils éprouvent, dans des circonstances égales sous tout autre rapport, ne peuvent nullement se comparer. Ainsi, bien que pour de tels corps la densité p du fluide, leur section ou projeciion transversale A, et leurs vitesses rebtives V, par rapport au milieu, soient les mêmes depariej d'autre, la résistance n'en est pas moins très-distincte, et, jusqu'à présent, l'expérience peut seule faire connaître, a?cc une sufOsante exactitude, les modifîcations de valeurs qu'elle éprouve pour chaque forme particulière du corps.
Néanmoins, à Tégard des plans et surfaces minces non fer* mées, telles que celles des voiles de navires, des pin- , chutes, etc., la forme du contour ou périmètre parait exercer peu d'influence, à circonslances égales d'ailleurs. Ainsi, pir exemple, une palette mince de i mètre carré, qui serait mue, dans l'air ou dans Feau, avec une vitesse donnée, éprouvenil sensiblement la même résistance si son contour a\ail la forme d'un trianfile, d'un cercle ou d'un carré. Pareille chose aurrà lien, à très-peu près encore, d'après Dubuat, pour des prismes ou cylindres droits mus dans le sens de leurs axes, et qui. sous des lonjj;ueurs proportionnelles à la racine carrée des aires A, de leurs sections transversales, olTriraient néanmoins des formes, des contours dilîérents dans le sens de ces seclions.
On ju^'c aistMnenl aussi d'après les notions générales exposées aux n''* 374 et suivants, que la (orme de la partie antérieure du corps ou de sa proue, doit exercer une influence très-grande selon qu'elle est plus ou moins aigué, plus ou moins bien raccordée avec les laces latérales; car, est-il bien nécessairede le (lire, l'acuité de celte proue favorise, en elle-niême,récûulemeiu du fluide le long de sa suiface; elle diminue les effets
DUS RÉSISTANCES. Sl)^
d'une dévialion (rop brusque, tandis que les arrondissemenis qui l'unissent aux faces latérales permettent à ce lUiide de reprendre progrcssiveinenl, le long de ces mêmes faces, une direction parallèle à celle de son mouvement primitif, et une vitesse à peu près égale, ce qui tend à détruire les tourbillons et les pertes de force vive. Toutefois, on ne doit pas l'oublier, et l'expérience ayssi bien que le raisonnement le démontrent, l'acuité de la proue, son allongement, ont une limite nécessaire» notamment dans le cas où elle se compose de faces planes; car le frottement latéral sur ces faces vient jouer un rôle d'autant plus considérable, que leur étendue dans le sens du^mouvement l'est elle-même davantage.
La longueur relative du corps, dans ce même sens, paraU aussi exercer une influence très-appréciable sur la diminution de la résistance totale, et nous avons vu (378) comment cette Influence se trouve expliquée d'après le résultat des ingénieuses expériences de Dubuatsur la diminution progressive de la non-pression en arrière du corps, influence en partie contre-balancée encore par celle du frottement. Il n'est donc pas permis de confondre, comme on l'avait généralement fait avant ce célèbre ingénieur, la résistance d'un plan mince avec celle d'un prisme ou d'un cube de même base, bien qu'ils soient placés dans des circonstances semblables sous tout autre rapport.
Enfin l'influence de la forme de l'arrière ou de la poupe^ quoique moins sensible que pour la proue, n'en existe pas moins» puisqu'elle peut favoriser le dégagement du fluide à l'Instant où il quitte le corps, soit en diminuant la vitesse de son aflluence dans l'espace continuellement abandonné en arrière» soit plus spécialement en s'opposant à la formation des tourbillons et des remous. Mais ici encore, l'allongement produit par la saillie de la poupe paraît être la condition principale» sinon unique, de la diminution de la résistance, et cettt* diminution serait peu sensible» par exemple, pour des corps prismatiques offrant déjà, par eux-mêmes, um^ certaine longueur.
391. Influence due à la nature particulière du mouvement CHtviligne, — Jusqu'à Dubual» on avait généralement admis
6oO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
que la résistance éprouvée par les corps doués d'un inou\enient circulaire, ou de rotation autour d*un axe fixe» devaiua circonstances semblables d'ailleurs, être la même que pour les corps animés d'un mouvement rectiligne parallèle; mais les motifs exposés par cet Auteur (*) et les expériences spéciales de M. Thibault (**), que nous ferons bientôt connaître, nepe^ mettent plus de l'admettre. Ces expériences démontrent, es effet, que dans le mouvement circulaire, la résistance pour un même corps, demeure à la vérité proportionnelle au carré df la vitesse, mais que, pour des corps différents, semblables d'ailleurs et scmblablement dirigés, cette résistance, sous use vitesse donnée, crott un peu plus que proportionnellemeati l'étendue A, de la projection de ces corps sur un plan perpendiculaire, à chaque instant, à la direction du mouvement projection qui se confond ici avec la section transversale m méridienne de la surface annulaire circonscrite à celle du corps et qui est Yem'eloppe de ses diverses positions. L'accroiss^ ment de résistance dont il s'agit parait être d'autant plus rapide d'ailleurs, que le corps se trouve placé à une plus petite distance de l'ave de rotation, et que ses dimensions, daosk sens de cette distance ou des rayons des circonférences décrites, sont, au contraire, plus grandes relativement aux dimensions tiansversales ou parallèles à Taxe en question.
Ce n*esl point ici le lieu d'entrer dans des détails siirlrt causes qui produisent cet accroissement relatif à la résisUoc^ dont l'exposition complète appartient à une partie plusavancct de la Mécanique. Il nous suftli de remarquer que, dans le mouvement dont il s*agit, les dilTérents points du corps nesomps tous animés de la même vitesse circulaire, et doivent doon^ lieu aussi à des mouvements et à des résistances partiellesqai croissent rapidement avec leurs distances à Taxe de roUiion; ce qui ne permet pas de prendre, comme on le fait ordinairement, pour \itesse moyenne, dans le calcul des résisiancw totales, celle du centre de s\mélrie de Taire A, lequel *Jii être romplaoô p;u' un point situé un peu au delà parrappcrt
y^ • Princîpfs %i' Ih Jrauii'iue, t. 11, art. Soi el '>i7. oa' ol il* oiperience.
DES RË9ISTAKCES. 6oi
à Taxe. Néanmoins cette circonstance ne parait pas suffire pour rendre compte des accroissements de résistance observés dans chaque cas, et, selon M. Duchemin (373), il faudrait avoir égard particulièrement à riiifluence d'une cause beaucoup plus puissante, nommée force centrifuge^ et inhérente à la tendance qu*ont, en vertu de l'inertie (55), tous les corps soumis à un mouvement circulaire, de s'écarter du centre avec d'autant plus d'énergie, qu'ils s'en trouvent situés à une plus petite dislance. L'efTet de cette force consiste ainsi, dans le cas présent, à ralentir le mouvement des molécules iluides qui circulent le long du corps, suivant des canaux ou filets dirigés vers Tintérieur ou Taxe de rotation; à accélérer, au contraire, celui des molécules qui marchent dans le sens opposé ou extérieur; enfin «i déplacer, à déformer, en général, l'ensemble des filets auxquels Dubuat applique ( 380) la dénomination de proue ei poupe fluides; modifications qui doivent en entraîner, quant à Tintensitc de la résistance, d'autres d'antani plus appréciables que le mouvement du corps ditTère davantage du mouvement rectiligne, et qu'il s'acccomplit ainsi dans un plus petit cercle par rapport aux dimensions transversales de ce corps. Mais il nous suffit ici d'admettre l'existence de la force centrifuge comme une donnée de l'expérience, et que l'on sente à peu près la nature de son rôle et de ses effets.
Quant à la résistance des corps soumis à un mouvement oscillatoire analogue à celui d'un pendule, on sent parfaitement qu'elle ne peut nullement se comparer à celle du même corps qui serait animé d'un mouvement continu, soit rectiligne et parallèle, soit simplement circulaire; car, indépendamment de l'influence qui peut être due à la variabilité de la vitesse, il arrive Ici, de plus, que les mouvements excités dans le milieu, pendant la durée de l'une quelconque des oscillations, peuvent modifier beaucoup la résistance qui aurait lieu dans l'oscillation contraire, si le corps ne rencontrait qu'une masse fluide naturellement en repos, et ceci justifie ce que nous avons dit au n^ 388, touchant les incertitudes que laissent encore les expériences de Coulomb, sur la résistance latérale des fluides.
