R = 23, 06 ^ V>= 0,452./? AV

et négligeant, d'ailleurs, tant la considération du choc vif qui s'opère à l'entrée des projectiles dans le bassin, aux instants où le régime, la permanence des filets (379), ne sont point encore établis, que Tinfluence des masses liquides (380 et 382) qui accompagnent le corps dans le surplus de son mouvement (*). D'après cette formule, on aurait donc moyennement, fr = 0,452, nombre qui surpasse de très-peu le résultat cidessus, relatif aux faibles vitesses.

(*) M étant la masse et V, la vitesse initiale du projectile, M' la masse de la prouo et de la poupe fluides qui raccompagnent après les premiers instants du choc, calculée comme on l'a dit au n° 380, U entin la vitesse commune à ces nasses à la fin de ce choc, il semble qu'en faisant d'ailleurs abstraction des elTets de réaction occasionnés par l'inertie et l'élasticité de volume (17 et 18) des masses environnantes, qui, à ces premiers instants, jouent un très-grand rôle, il soit ici permis de supposer que le partage des quantitt'^s de mouvement entre M et M', s'opère comme dans le cas de deux corps libres (155 et 158), privés d'élasticité, et qui acquièrent ainsi, vers la lin du choc, une vitesse commune

en vertu de laquelle le mouvement retardé de la masse totale M H- M' a lieu suivant les lois ordinaires (382), et d'où résulte, d'ailleurs, une perte de force vive initiale mesurt'c (101) par l'expression

Ainsi, par exemple, le volume du liquide entraîné étant (380) les 0,6 environ de celui du projectile, et la densité de ce dernier étant supposée (35) 7,2 fois environ celle de l'eau, on aura M : M':: 7,2:0,6 x i et partant

»''=?:!^' = n«' ^- = Ti^'. = o,o^y,, ^,mv; = -Lvm:.

de sorte que la perte de force vive serait le ^-'â <lc la force vive initiale du projectile, et la vitesse qu'il conserve avec la prouo iluido les \\ de celle qu'il possédait avant le choc. Dans la réalité, la perte de vitesse et de force vive doivent être plus grandes, à cause de la réaction des masses environnantes et du rejaillissement brusque du liquide, qui aurait lieu, en sens contraire du mouvement, dans le cas où le projectile serait introduit dans le milieu, normalement à sa surface libre ou de niveau.

662 MÉCAIIIQUB INDUSTRIELLE.

Ces dernières expériences ont, de plus, donnél verses remarques fort curieuses sur la nature des m excités, soit à la surface, soit à l'intérieur du miliea compressibilité presque parfaite a, ici, occasionna de réaction très-puissants, sur les parois solides et lil sin. En ce qui concerne particulièrement les effel les projectiles, les Auteurs ont trouvé qu a la vites 4oo mètres, par seconde, pour les obus creux de i: de a5o mètres environ pour les obus de 6 pouces presque tous brisés dans leur choc contre le liq ces expériences ont montré clairement rinfluence liquide qui* accompagne les projectiles dans leur n ou plutôt celle du courant postérieur qui constit lage : ce courant les a entraînés bien au delà de qu'ils eussent naturellement atteinte, et, parfois, dévier latéralement et dans une direction presqu culaire à celle de la vitesse initiale, vers la fin de '.

Lois de la résistance de l'air à de grandes vi

428. Recherches* de Robins et de Hutton. — I jusqu'ici exposés pour l'air, ne concernent que d vitesses, comprises depuis i jusqu'à 7 ou 8 mè conde ; mais nous avons averti ( 389 ) que la loi de changeait, d'une manière sensible, pour des vil coup plus grandes, telles que celles tics projeclilej de rartillerie. Robins et, siirloul, son coniinuoli ont entrepris des expérioiices suivies dans la vue « celte loi. D'après ce dernier Auteur, les valeur cienl /»• de la formule

seraient données approximaiivemeni, par C(Hie Ta

2J'" o,()7 3oo'"

o,Gi

DBS RÉSISTANCES. 663

I aussi essayé de représenier le résultat de ses expé- ^ une formule empirique, mais ceue formule, de ^ les nombres ci-dessus, a été obtenue à l'aide de d'interpolation qui laissent beaucoup à désirer, et ^sultals ne s'accordent pas exactement avec les effets surtout lors des faibles et des grandes vitesses. Pour comme Ta remarqué M. Piobert, le coefficient k a ment été déterminé par les plus faibles des résultats ience et non par leur moyenne, de sorte que Texismaximum de k n'est rien moins que démontrée. K petites vitesses, on peut juger, par ce qui précède e les valeurs de A*, indiquées au tableau ci-dessus, riéme qu'elles ont été obtenues au moyen d'une marotation, sont sensiblement trop fortes quand il s'agit ornent reciiligne. Enfin ces données ne mettent point re de tenir compte de l'influence qui» d'après les :es assez peu certaines de Hutton ( 426), pourrait être ^randissement du diamètre des projectiles. es différents points de vue, et pour l'avantage des s qui s'occupent de balistique, nous croyons utile de er les résultats des recherches spéciales entreprises Piobert et Duchemin sur cette matière, résultats qui nt consignés dans les Mémoires qu'ils ont présentés urs de i836, pour le grand Prix de Mathématiques de ie des Sciences.

echerclies de M, Piobert, — La discussion approndie native des résultats fournis directement par les expée Robins et de Hutton, sur les projectiles d'un petit mcés dans l'air à de grandes vitesses, et par celles de Désaguilliers, Borda, sur les sphèjres d'un plus grand mues circulairement à de petites vitesses, cette disconduit M. Piobert à représenter leur ensemble avec oximalion très-suffisante pour les applications prairla formule

o,oo3A -h A(i -+- 0,0017V) V* ^OyOï'zA -h o,ooiîi,

empérature et la pression atmosphérique ordinaires fines, pour lesquelles la densité p de l'air est sup-

662 HÉCAIIIQUE IIIDUSTIIBLLB.

Ces dernières expériences ont, de plus, donné Heu à diverses remarques fort curieuses sur la nature des mouvemeDls excités, soil à la surface, soit à l'intérieur du milieu, dont l'incompressibilité presque parfaite a, ici, occasionné des effets de réaction très-puissants, sur les parois solides et libres du bassin. En ce qui concerne particulièrement les effets subis par les projectiles, les Auteurs ont trouvé qu a la vitesse i 3ooi 4oo mètres, par seconde, pour les obus creux de la, r a celle de a5o mètres environ pour les obus de 6 pouces, iU étaient presque tous brisés dans leur choc contre le liquide:. EnGn ces expériences ont montré clairement l'influeuce de amasse liquide qui- accompagne les projectiles dans leur mouvement, ou plutôt celle du courant postérieur qui constitue leur sillage : ce courant les a entraînés bien au delà de la position qu'ils eussent naturellement atteinte, et, parfois, il Ses Oaiisait dévier latéralement et dans une direction presque perpendiculaire à celle de la vitesse initiale, vers la iln de leur course.

Lois de la résistance de Vair à de grandes vitesses,

428. Recherches* de Robins et de Hutton. — Les résuilab jusqu'ici exposés pour Tair, ne concernent que de médiocres vitesses, comprises depuis i jusqu'à 7 ou 8 mètres, par seconde; mais nous avons averli (389) que la loi de la résislance changeait, d'une manière sensible, pour des vitesses beaucoup plus grandes, telles que celles des projectiles sphériqurs de rarlillerie. llobins cl, surtout, son continuateur, UuUon ont enlre[)ris des expériences suivies dans la vue de découvrir celle loi. D'après ce dernier Auteur, les valeurs du cocflicienl k de la rorniule

^ ig seraient données appro\imalivemeni, par celte Table :

3oo'"

<),Gi

5oo

Goo

DBS RÉSISTANCES. 663

Hutton a aussi essayé de reprcsenier le résultat de ses expériences par une formule empirique, mais celte formule, de même que les nombres ci-dessus, a été obtenue à Taide de méthodes d'interpolation qui laissent beaucoup à désirer, et dont les résultats ne s'accordent pas exactement avec les effets naturels^ surtout lors des faibles et des grandes vitesses. Pour celles :i, comme Ta remarqué M. Piobert, le coefficient k a princi^Mementélé déterminé par les plus faibles des résultats de l'expérience et non par leur moyenne, de sorte que l'existence (M maximum de k n'est rien moins que démontrée. Quant liux petites vitesses, on peut juger, par ce qui précède (426), que les valeurs de A*, indiquées au tableau ci-dessus, par cela laéme qu'elles ont été obtenues au moyen d'une machine de rotation, sont sensiblement trop fortes quand il s'agit du mouvement reciillgne. Ëntin ces données ne mettent point en mesure de tenir compte de l'influence qui, d'après les expériences assez peu certaines de Hutton ( 426), pourrait être due à l'agrandissement du diamètre des projectiles.

Sous ces différents points de vue, et pour l'avantage des personnes qui s'occupent de balistique, nous croyons utile de mentionner les résultats des recherches spéciales entreprises par MH. Piobert et Duchemin sur cette matière, résultats qui se trouvent consignés dans les Mémoires qu'ils ont présentés au concours de i836, pour le grand Prix de Mathématiques de l'Académie des Sciences.

429. Recherches de M. Piobert, — La discussion approndie et comparative des résultats fournis directement par les expériences de Robins et de Hutton, sur les projectiles d*un petit calibre, lancés dans l'air à de grandes vitesses, et par celles de ■ Newton, Désaguillicrs, Borda, sur les sphèjres d'un plus grand diamètre, mues circulairement à de petites vitesses, cette discussion a conduit M. Piobert à représenter leur ensemble avec une approximation très-suffisante pour les applications pratiques, parla formule

R = o,oo3A-|- A(i-t-o,ooi7V)V* v'OjOi'xA-h 0,00121,

sous la température et la pression atmosphérique ordinaires ou moyennes, pour lesquelles la densité p de l'air est sup-

pONi»!» il(» /^^ ^-, I ooo*'*, oïl i^*,:--. ^v i • .. ' • : jiMir*i l.ï xilO'isi» p;u' srronclf, r:i \ .i -.if. • . .: .

iln pr\\ii*rliU\ t'\;ilih»os (Ml miUf^'r^ .:»*rtu.-- •

! o iMvMiiiiM' UMiuo, 11» loriiir; inl :.:»*'Hî..iit • • • iiUU* ri»rin»si.\ pro\iiMi(li';iil «.'SS'-iM - -mh"!:! *L* I sJîuMw. V i\\\ im>hilt: i*l tU' ï-i.: •• «•: * • - •

".•.»'U M .\- !.i :Minrt» »lr 1;) siilislaii'':-! ■-: •' !••-: • ' •

i::.'.:\*. \' •.u* '/.r ^ o,oi » \ -i- o,ocii /i . -^:iî-îii.'i. a!- A' y .:<^:. >v*au ivlalifâ l'afr-roi-s.: ..•-•îî î»' .•. — ..- .*' { • ' . • ' , : ^"\iut* ilo*i surfaces fro'M..' -- i-H ' • V.*' 'N i!t*M*ail, ruiiforrri^rr.'. -'.î i • \\:

•\'x- ^>^ • .oxouir spôi'ialornenl 2 - . »•':':• '-*-;r:

• -^ ^ ... \:.,fo, iMi avanl clii bo'iî -'.. \ '^ ' ^ • .•vUroM'^ qu'une seule r-rr..i- : .'-. mi

• X .\>sUil iMilrer la con-: !r:'.

•• ^ • '». • . • UuiUMu lolalifs à la r».—!-;'-!

• » ^ ■ --i. i'. osi à craindre qi':.

. */ ^îMuili» ol lanlôl lr.«r

■ .\*uo fornuile donfM:- î--; -î.:-

-i : ' In crus calibres •!• ' ;." -*-

N ; .'eu altiMidanl lu îiii ■:— r. ,-

- <. ^l *i/. parla (omn. h - ;••

N '■ '^orvir a\aiila-' .* •:'.

■< h»i> tjii'il > .:- . • :

' 1 :VM . ririlli-:.-

Stances atmospliériques ordinaires (Noie du n" 389). Mais ce

résultat, dans lequel le facteur ( i -+- ^| porte principalement

sur la densité p de l'air, n'aurait lieu que pour les vitesses V inférieures à V'; et, passé ce terme, il conviendrait de remplacer ce facteur variable par le nombre constant 2, attendu que H. Duchemin suppose, avec Robins, £uler, llutton et Lombard, que la densité du fluide cesse elle-même de croître i l'instant dont il s'agit. Les résultats ci-dessus de llutton semblent indiquer, en effet, qu'aux environs de cette même vitesse V'=i4'6"",34, les valeurs du coefficient A* atteignent leur limite supérieure; mais, en admettant l'existence de cette limite, qui n'est nullement démontrée comme on l'a vu, il répugne mathématiquement de supposer que les valeurs de le demeurent ensuite constantes au lieu de décroître pour des vitesses de plus en plus grandes, conformément aux hypothèses de Hutton; il est évident que la continuité ne peut être ainsi rompue, et que, sous ce point de vue tout au moins, l'hypothèse de M. Duchemin demanderait à être soumise à des vérifleations ultérieures, aussi bien que la formule ci-dessus de M. Piobert, où le facteur (i -h 0,0017 V) est censé croître indéflniment avec la vitesse du projectile. Les expériences délicates et précises commencées depuis plusieurs années, à Metz, sous la direction spéciale de ce savant officier et de M. Morin, expériences continuées avec la même persévérance et le même succès par M. Didion, aidé principalement de MM. Ferronnier, Boileau et Virlet, ces expériences viendront bientôt, sans doute, dissiper toutes les incertitudes relatives à la véritable loi de la résistance des projectiles dans les mouvements rapides (*).

(*) M. le Général Didion (Traité Je lialistique; Paiis, iHC^oj, en interpolunt

les résultats obtenus à Metz par la Commission des principes du tir (18.^9 à

l8.{o), a été conduit à la formule suivante, pour des vitesses compiis<.>s entre

3oo et 5oo mètres :

R = Ax 0,037 VVi -h •>.<)oa3 V).

M. ilélic {Traité lie Balistique expviimcntale) propose les doux foime** sui-

Tantes :

R = A X 0 . o.'J9 V ( I -H 0 , <>oooot<o3 V * ) et

666 MÉCANIQUE INDUSTIISLLI.

Questions concernant la résistance et le mouvement uniformes des corps dans Veau et dans l'air,

431. Préparation de la formule , calcul de la densité des gaz. — Les applications les plus ordinaires dçs règles du n*" 382 concernenl Tair et Teau; il est donc nécessaire et déterminer d'abord la valeur de la densité p qui leur correspond. Nous avons vu (34) que, pour Teau, on a sensiblement p = 1 000^* dans les cas ordinaires; quant au poids du mètre cube d'air, il varie (40) avec la température et la pression baromclrique, et il devient nécessaire de le calculer dans chaque cas particulier, comme il suit.

Supposons que la température actuelle de l'air soit de I2d^ grés centigrades, et que la colonne de mercure qui, dans ie baromètre, mesure la tension de cet air, suit de yS centimètres, ce qui est, à peu près, la température et la pression moyennes qui répondent à l'automne et au printemps dans notre climat. Suivant la Table du n*» 40, la densité ou le poids du mètre cube d'air à zéro de température et 76 centimètres de pression est de i^'Ssggi; cherchant donc, d'après la loi de Mariette (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26), quel volume occuperait cette môme quantité d'air à la pression etàU température ci-dessus, nous en conclurons aisément sa densité, son poids sous l'unilé de volume. Supposons daboril que la pression 0'°, 76 reslanl la même, la lenïpéralure s'élève

d'apri'S los n'siillals, de uuuvollcs l'xpôrioncos, laitos par la ('.(.>inini»K>u \U lir (i.S5<l ù i<S.'>-;, à l'aide de rap^tareil electro-balistiquo , on aurait

R = A X 0,0001 '1 it> V*.

Des recherches expérimentales, entreprises de iS.)») à iS()i |>ar la Coniniis^i"" de la Marine, sur des boulets allonj^és, ont conduit à la lonnule R — VK> . A. représentant la section de la |)artie cvlindiique; le coerticienl K \arif ini peu avec la forme du piojeclilc ( r/vi/Ve r/e liniistit/iw de M. Hclie^..

M. Le lionlenijé (/.Vwr/ï'.v de Ji(iii>cii/iie c.tjx'rt'menta/f ; Bruxelles, iS'«S)|iti-

puse la lorniule

R= Axo.oooofi'iGH V».

M. Ma{jnus (Merlin, iS.V.» , M. Rut/.ky v M<*"»«'» ''^'•>;» t't '«■ ïiënéral fikh Majjesski '. Reine tcchnolo^itjue militaire; i8<).')) ont étudié rinlluenc*' ili' ia résistance de l'air sur la déviation des projectiles. (K.'

DES BfiSlSTAKGBS. 667

à 12 degrés, le volume, à zéro, deviendra (26 ], puisqu'ici le gaz est libre de se détendre sous celte pression,

i"«-4- 12 X o%oo375 = i»*=-f- o"'%o45 = i"»So45.

Cherchant, de même, ce que ce dernier volume devient à la pression de o*", 75, on aura, d'après la première des lois citées, h proportion

75* : 76» :: i™«,o45 : x — i'*%o45 x -^ = i^SoSg.

Mais ce volume d'air pèse i''«,299i; donc i mètre cube

d'air pareil pèsera — ^-^â- — 1^8,19.67, et par conséquent,

c'est là aussi la densité de Tair à la température de 12 degrés et sous une pression barométrique de 76 centimètres; celle de l'eau étant 1000 kilogrammes, on voit que la première est environ les ';VeV =0,001227, ou 777 de la seconde, tandis qu'à zéro et sous 76 centimètres de pression elle en est les *{\\\^ =777 à très-peu près, d'après le résultat des pesées rigoureuses de MM. Biot et Arago.

La plupart des Auteurs qui se sont occupés de balistique, ont pris la densité moyenne de Tair égale à 777 de celle de l'eau, comme on peut le voir par l'exemple du n"" i29; ce qui suppose la température un peu plus forte et la tension barométrique un peu moindre que 12 degrés et 76 centimètres.

En général, si nous nommons n le nombre des degrés centigrades qui indiquent, à un certain instant, la température de l'air, et h la hauteur barométrique, en centimèti^s, qui répond à sa tension, on trouvera, eh raisonnant absolument comme on vient de le faire dans un cas particulier, que la densité py OU le poids du mètre cube de cet air, aura pour valeur la quantité

formule qui donnera de suite celte densité sans passer par la série des raisonnements ci-dessus, et qui permettra aussi de calculer la densité d'un autre gaz quelconque, en y rempla-

668 MÉCANIQUE IKDUSTmiBLLB.

çant le poids i^^aygi de Fair à zéro ei 75 centimètres de pression, par celui qui, dans la Table du n^ &0, répond au gaz dont il s*agil. ircsl d'ailleurs entendu, relativement aux vapeurs (3 et 5), que leur quantité est supposée rester la même (16); c'est-à-dire, que cette quantité n'est ni augmentée par la vaporisation d'une nouvelle portion de liquide, ni diminuée park condensation d'une portion même de la vapeur.

D'après ces données, la formule générale du n^ 38â, qui sert à calculer la résistance uniforme des fluides, deviendra pour l'eau ordinaire, V étant toujours la vitesse relative et H h hauteur qui correspond,

R = iooo/rAH=: -^— ^^^-T^i kA\*=5i kA\\

à très-pcu près. Pour l'air considéré dans les circonstances atmosphériques ci-dessus, c'est-à-dire à 12 degrés centigrades de température et 76 centimètres de pression barométrique, on aura

R = 1, 2267 /r AH ^ ' ^"^'^,. kW = Oyo6->.S3kXV; ' 191^17^

ce qui diminuera le nombre des opérations à elTectuer dans chaque cas particulier.

432. Exeîiiples concernant la navigation (tes bateaux sur les canaux et les rivières à grande section. — (À>nsidt'Mnns un des {grands baloaux qui navij^'ucul sur la Moselle, et doiil la forme, assez a\aiilapouse, esl à peu près telle que rimlique la Jig\ 74» J*l' Illt en plan, coupe cl élévation. Supposons que ja j)Ius grande largeur, prise exléiicurenient et au niveau de icau ou de la Jlottaison, soil (îe 3 nièlres; que la profondeur du k»n4 au-dessous de ce niveau, ou le tirant d'eau, soil de o"\7o; l'aire A, de la section plongée dans le lluide, sera un pou moindre (|U(î 3'" X <>'", 7 z=: 2"'t,io; soil i"''i,Go la valeur exadi' de celle ail e, (ju'il sera toujours facile de calculer, dans clia-jU'' ras (lOOj rigoureusemeni. Les bateaux dont il s'ugii onl une longueur (jui surpasse nolablenient six fois leui- plus gr.imi'' laigeur; s'ils étaient sans proue ni poupe, ou cjiie ce fussoi.l de véritables prismes terminés par des plans ])erp(Midirulairt'> à leur axe, la valeur du niulliplicaleur /r serint( Vl.>) au plii>

DES BÉSISTANCE8. 669

lyiOy attendu qu'ici le baleau est censé se mouvoir dans un fluide en repos. Mais, comme il y a une poupe, on doit d'abord i 416) diminuer ce nombre de V « de sa valeur, c'est-àdire de 0,11, ce qui donne /r==o,99. En outre, le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées, par des arcs de cercle, avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d'environ J- d'angle droit, raccordé pareillement avec le fond; on peut donc croire que la résistance ou la valeur de h se trouve réduite (ibid.), au moins à v de 0,9g ou à o,33, nombre qui paraîtra, en effet, bien fort, si on le compare à celui (422) que M. Morin a obtenu pour des bateaux d'une forme analogue. Prenant néanmoins k = o ,33, pour les bateaux dont il s'agit, la résistance aura ici pour valeur particulière

R = 1 000 X 0,35 X i"S6H =528H, ou R = 26,93 V>;

le canal étant censé offrir une largeur et une profondeur telles qu'il devienne inutile (418) de s'ocupcr de rinfluence de la proximité de ses parois par rapport à celles du bateau.

Supposant donc que celui-ci se meuve dans une eau tranquille, avec la vitesse uniforme de i mètre, par seconde, on aura, parle calcul direct, ici très-facile, V'= i™ x i" = !*"*> et R = '26^«,93 : par la Table des hauteurs dues aux vitesses, placée à la fin de ce volume, on trouverait II =io™,o5i, et par conséquent, R= 528x o,o5i = 26*'S93; valeur q.ui coïncide exactement avec la précédente, mais qui aurait pu en différer d'une très-petite fraction, attendu que les coefficients des formules ci-dessus et les nombres de la Table n'offrent que des valeurs purement approximatives.

La quantité de travail que déviaient dépenser directement des hommes employésà haler le bateau avec la vitesse uniforme de I mètre, serait donc de 26^S<)3xi'" — 26^«™,93, qui, d'après le tableau de la page 262, ne r/'clamerait guère moins de quatre hommes si le mouvement devait être continue une journée entière à cette vitesse : à la vitesse de o'",6 seulement qui est celle (205) de l'allure ordinaire des hommes tirant horizontament, la résistance se réduirait à o,36x ?-6^S«)3 — 9^%6<)5, et le travail à o™,6 x 9,695 = 5^«", 82, quantités do.nt la dernière n'est que le 7 de sa correspondante ci-dessus, et pourrait être facilement donnée par un seul homme.

670 MÉCANIQUE 1ND08T1IBLLB*

Ces circonstances auraient lieu, à peu près, dans les cinaai intérieurs de la ville de Metz, où la Moselle n'a qu'une vitesse insensible; maissMl s'agissait de remonterla rivière dans des endroits où la vitesse de Teau atteint f ",2 par exemple, en felsint loujours avancer régulièrement le bateau, de 1 mètre à chaque seconde, par rapport aux rives, ce bateau étant alors choqué (382) avec une vitesse relative V, de i",2 H-i"» = a*,ao, la résistance deviendrait 26,98 x (2,2)'= i3o*«,34, ©* '^ ^^ pense de travail, pendant le même temps, i3o kilogrammètres, en nombre rond, ce qui réclamerait {voyez la Table dun*SOS déjà cité) deux chevaux, au moins, si la marche devait être soutenue de huit à dix heures par jour.

Supposant, au contraire, que le bateau descende le même courant avec la vitesse de i"*,2 propre à ce dernier, il n'j aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative V serait nulle aussi bien que R; mais s*il devait descendre avee une vitesse de 2"^, 2 par seconde, la vitesse relative étant de 2",2 — i"',2 = i", la résistance absolue serait, comme dans le premier cas, égale à 26^>,93, tandis que le travail aurait pour valeur 26^«,93 X 2",2 = 59*'«™, 25, ^^ '® supposant directement effectué des rives où le moteur devait prendre b vitesse absolue de 2% 2.

La différence de ce résultat avec les précédents, montre bien toute rinfluence cxcrcce par la vitesse relative du corps, du fluide el dos rives, sur la dépense du travail moteur, qui. dans les hypothèses du n" 382, est {généralement exprimée par le produil/?A( V±V')'X V; V étant la vitesse absolue du bateau ou du moteur ol V celle du fluide. Ainsi, par exemple, on voit que, même pour une eau stagnante, ou V = o, le travail dont il s'agit, représenté par/?AV% croît oïi dôrroît conim»*le cube de la vitesse, c*esi-à-dire d'une manière bien |)lus rapide encore que la résistance simple.

k*^3. Bemnrques concernant Veffet utile du transport par bateaux, — Cet effet se déduit aisément de la connaissance du tirant d'eau, que nous avons supposé ici de o™,-; ot de celle des dimensions du bateau d'où dépend le volume de Teau déplacée, et, par suite, la charge totale, qui, d'après le principe d'Archimède, doit être égale au poids de ce volume. Suppo-

lanty par exemple, que, pour le bateau ci-dessus, à forme senliblement prismatique ou cylindrique, la longueur réduite le la carène, prise du milieu de la partie plongée, soit de i5 mètres, sa section d'eau A, étant d*ailleurs de i'"*i,6 en* riron, le volume du fluide déplacé sera de 25"* x i"**i,6 = 4^% et son poids 4o ooo kilogrammes ou 4o tonnes ( 31 ). Supposant, d'un autre côté, que, par un calcul analogue cfTectué pour le cas où le bateau est déchargé, on ait trouvé, d'après le tirant l*eau que le poids du volume de liquide déplacé soit de 16000 kilogrammes, il en résultera que la charge utile, le tonnage, sera de 40—16 = 24 tonnes ou 24000 kilogrammes, poids qu'il faudrait d'ailleurs (212) multiplier par la distance [Nircourue pour obtenir l'effet utile ou pratique. Cet effet ne lépend nullement, comme on voit, de la vitesse du transport non plus que de la dépense de travail moteur, qui peut être indéfiniment amoindrie, ainsi qu'on la dit au n^ 93, pourvu |u'on réduise convenablement la vitesse relative du bateau et iu fluide, et cela, quels que soient d'ailleurs la charge, le tirant d'eau et les dimensions du bateau. Ces données n'exercent, en réalité, d'influence que sur le facteur A, de l'expression de la résistance, et le moteur n'ayant, par hypothèse, à vaincre que l'inertie du fluide et du bateau, il peut toujours produire son effet dans un tefnps suffisamment long, quelque faible que soit d'ailleurs l'énergie de son action; mais cela n'aurait plus lieu évidemment si le système se trouvait soumis à des résistances, à des frottements, indépendants de la vitesse du mouvement, comme sembleraient l'indiquer quelques-uns des résultats d'expériences rapportés dans ce Chapitre.

Au surplus, nous avons admis jusqu'à présent que le bateau se mouvait dans un canal à peu près indéfmi, en largeur et en profondeur, par rapport à ses dimensions transversales; il nous reste à montrer, par un exemple emprunté à l'excellent Traité d* Hydraulique de M. d'Aubuisson (p. 820), comment on peut lenîr compte, dans les calculs, de l'influence respective de ces dimensions.

43{h. Exemple concernant la navigation sur les canaux étroits. — MM. d'Aubuisson et Maguès ont fait, sur le canal du Midi ou canal de Languedoc, près de Toulouse, des expé-

riences qui tcndenl à reciifier, en quelques points, l'application des formules de Dubuat exposées dans le n^ 418.

La posiliou du canal dont il s'agit offrait moyennement une section de ^ô^^i^SS; une barque marchande, tratnée par deux chevaux, chargée de 108 tonneaux, et dont la section transvcN sale d'immersion, au repos, avait 6"*^, 84 de surface, a parcouru uniformément, avec une vitesse moyenne de o'",8i7 par seconde, un espace de 367G mètres; on avait donc (-^18]

Cette dernière valeur moindre que 6,46, montre qu'il serait ici nécessaire d'avoir égard à l'influence de la proximité des parois du canal sur l'intensité de la résistance.

Conformément au résultat des expériences de Bossut (M5), M. d'Aubuisson prend /r = 1,00 pour le coefficient de la résistance d'un bateau sans proue, mù dans un fluide indéfini: ce qui donne (428) R = 5i/i AV'=:5i x6«»i, 84(0,81 7)» = a33^ pour la valeur de cette résistance, et, par la première des formules du n"" 418,

R' = ^ ^^'f^ R = 1,44 X 233^» = SSS»^»,

pour la résislanoe qu'éprouverait le même bateau, sans proue, s'il élait mû dans le canal ci-dessns avec les rirconslaiiros indiquées. Enfin, M. d'Aubuisson prend, pour riiiiroduirc dan-î la dernière des formules du n^ 4^18, 7 — 0,4, à cause do la forme obtuse et p(Mi favorable do la proue et de la poupe (lo> bal<Mu\ soumis à Texpérience; cr ()ui lui flonne

!{'':= 335»^pri -o,i8:i(i- 0,4,(3, 83 — 0] --=- 7.2Ç)^^,

L'elVorl moven exercé par les d«Mix chevaux et mesuré direclemenl à l'aide d'un (iNnamomèlre (OO) soumis à d'a^>«7 faibles oscilla lions, cet ell'orl, ramené* à la direction du chemin parcouru par h; bat(*au avanl été de i'.>okiloi;rannnos ou b'so.j.^ seulemenl de celui (ju(* fournil la formule de Dubuat, M. d'Aubuisson en conclut i\{\c celte* formub» n'est |)oini applicaM'* aux grosses l)ar(|ues marrhandes (|ui navi::uenl sur le canal de Languedoc, et ce fait lui |)araît confirnié par l*obser\aiion

DBS HÉ81STAMCBS. 678

1ère de la marche de ces mêmes bateaux : il pense que ration du résultat donné par la formule, doit principaporter sur la valeur du facteur o , i83( i — q) qui y entre, propose de porter, en conséquence, à 0,26 pour les : en question; ce qui revient à remplacer le coefficient que 0,1 83 par o,44 environ.

it à l'explication d*une aussi énorme différence, elle uivant nous, se trouver dans les faits déjà exposés au ou, plus spécialement, dans la différence du mode de dans la difficulté que les bateaux, soumis à l'expérience isut, et qui ont été l'objet des calculs de Dubuat, éprouà céder à Faction des forces qui tendaient à les soule- !. Le même motif donne lieu de croire que les valeurs les, par la formule de Dubuat, à«la résistance R' (H8), paiement exagérées, et peul-être même, si l'on en juge *ésultat (iih22) des expériences de M. Morin, sur des bal'une forme plus ou moins analogue, devrait-on rejeter nie de la différence sur l'exagération de la valeur 0,4, ée, par M. d'Aubuisson, au rapport q. Quelle que soit, ilus, l'opinion qu'on adopte, on voit combien il serait ue de pareilles expériences fussent répétées sur des baie la forme ordinaire, mus alternativement dans un canal )etite ou à très-grande section.

Exemples concernant les volants à ailettes, — Les broches et les horloges qui reçoivent le mouvement descente de contre-poids, sont armés, comme on sait, mts à ailettes planes et minces, fixées à l'extrémité de u de bras montés sur des axes de rotation : ces ailettes, nouvant circulairement dans l'air, éprouvent, de sa part, Isistance qui croît rapidement avec la vitesse que leur ne le poids moteur, par l'intermédiaire de rouages, et èrvent ainsi à régulariser le mouvement ou à empêcher le s'accélère indéfiniment, comme cela aurait lieu (113 ^ants), si aucune résistance ne s'opposait à la descente ntre-poids, ou si celle que lui opposent directement la 3, les rouages, etc., était constamment au-dessous de n qu'il éprouve de la purt de la gravité.

A = o'",o5Xo'",o6=: o"»*i,oo3, l'aire de l'une des pa-

674 MfiCAKIQUB INDUSTRIELLE.

letlcs censées perpendiculaires à ladireciion du chemin qu'elles décriveni circulairement autour de Taxe; on prendra moyennement, d'après les expériences de Borda, de Hutton et de M. Thibault (^00), k = 1,4 pour des vitesses comprises depuis zéro jusqu'à 5 mètres par seconde; mais il faudra augmenter ce nombre (^28) dans le rapport de 0,60 à 0,64 environ, pour des vitesses comprises depuis 5 jusqu'à 10 mètres; de 0,60 à 0,68 pour des vitesses de 25 à 5o mètres, etc. Supposons, pv exemple, le rayon moyen du volant de i pied ou o"*,3a5, ce qui donne o",(>5x 3,i4i6 = 2™,o4 pour la circonférence décrite p:)r le centre de la palette à chacune des révolutions, dont le nombre observé direciemenl sera, en outre, supposé régulièrement de 1 14 à la minute, ou de 1,9 par seconde; onaun ainsi, à très-peu près : ^

V=i,9Xa'",o4 = 3'",88, X=ri,4o

et (431)

R = 0,06^53 X 1,4 X o'"n,oo3x (3,88)' = o^^ooSgS,

pour les circonstances atmosphériques ordinaires, résistance en elle-même assez faible, mais qui deviendrait

-^ x4*Xo^Soo395 = o*^«;o7i6,

18 fois plus grande si la vitesse étail quadruple ou de i5"',5? par seconde, el (|u'il faudrait doubhîr s'il y avait deux aiIeU».'> de même surface, oclupler au moins (4-00) si, on ouin\ les dimensions, les cotés de ces ailelies élaienl eux-niènios doublés, eic. Mullipliani ensuite ces rcsuiiais par les vitesses correspondantes, on obtiendrait les quantités de travail détruites par les résistances dans chaf|uc S(»con(ie.

Ainsi , par exemple , à la vitesse de 3'", 88, 2 tours enxiron par seconde, et |)Our ?. ailettes de <)""•, c)o3 de surface chacune, la résistance élantde o'^SooBijS X 2 :r o"^6,oo79. le travail détruit par la résistance serait de o'^^.oo^ç) x 3'", 88 r= o^^^'^'^oSuto dans le même temps. Adinettant (|ue le contre-poids qui mei en mouv(Mnent la machine, décrive uniformément un chemin de o'",oG par minute ou o'",ooi j)ar seconde, et divisant le> o*'«'",o3oG5, obtenus ci-dessus, par celte dernière vitesse, il

DKS RÉSISTANCES. 676

viendra 3o^*j65 pour la portion du contre-poids (71) qui serait employée à vaincre celte seule résistance, dont la valeur devraîlt en outre, être augmentée d*une quantité proportionnelle due au frottement des rouages intermédiaires, etc.

Ces résultats suggèrent d'ailleurs plusieurs réflexions qui n'échapperont pas aux esprits attentifs, et sur lesquelles il deviendrait peu nécessaire d'insister. D'un autre côté, il est bon de faire observer que, dans presque tous les mécanismes du genre de celui qui nous occupe, et qui servent de régulateur ou de modérateur, on se réserve, par un dispositif très-simple» la faculté de diminuer la résistance, pour ainsi dire à volonté, en donnant aux ailettes, par rapport à la direction du mouvement, diverses inclinaisons dont la Table du n"" kiï^ permettrait de déterminer assez exactement l'influence; mais nous nous dispenserons également d'otîrir un exemple d'un pareil calcul qui n'a rien de difficile.

436. Calcul du travail absorbé par la résistance de l'air sur les roues hydrauliques, — Dans le n* 3G3, nous avons donné une idée de l'influence qui peut être exercée par le seul frottement des tourillons de ces roues ou des volants qui servent à régulariser le mouvement; afln de la comparer à celle qui provient de la résistance de l'air, nous considérerons une roue verticale armée de 5o ailettes planes et rectangulaires ayant 3 mètres de longueur dans le sens parallèle de l'axe, o",4 ^c largeur dans le sens des rayons, et dont le centre est situé à 3 mètres de distance de l'axe; ce qui donne

de circonférence moyenne à la roue, dont le dispositif est censé analogue à celui des roues qu'on rencontre fréquemment dans certaines usines hydrauliques. En supposant que le nombre régulier des révolutions ait été ici trouvé de dix-neuf en trois minutes, la vitesse à la circonférence moyenne dont il s'agît, sera, à très-peu près, de 2 mètres par seconde, et l'on calculera la résistance correspondante de l'air sur la circonférence moyenne décrite par les ailes, au moyen de la deuxième des formules du n** 404, dans laquelle on devra prendre ainsi

V = 2», /i = 5o, a = 3»Xo"',4 = i-«!,a,

676 MÉGANIQUE INDUSTBIBLLB.

ce qui donnera, abstraction faite de la résistance desbras^etc,

R=:o*^«,ioo -4- (0,0068-1- o,ii8x5oX i,a)x4 = a8^S45,

pour la résistance rapportée au centre des ailettes planes, et

pour le travail correspondant par seconde, quantité assez faible si on la compare (363) à celle qui pourrait être détruite parle frottement des tourillons d*une roue d'aussi grande dimension, supposée exécutée en fer ou en fonte, mais qui acquerrait une influence prépondérante si la vitesse venait à être doublée, comme il arrive dans quelques cas. En effet, la formule dont il s'agit donnerait alors, pour la résistance toujours rapportée à la circonférence moyenne ou du centre des ailes, R = ii3^>,5 environ, ce qui entraîne une perte de travail de 1 1 3^«, 5 X 4"* = 454^*" = 6 chevaux-vapeur de 75 kilogrammètres par seconde, perte qui se réduirait à un peu moins de la moitié, comme le montre la formule, si la largeur horizontale des ailes était elle-même réduite à cette proportion, ei au V, à peu de chose près, si le nombre des révolutions restant le même, celui des ailes et le diamètre de la roue étaient également réduits de moitié. Cette application démontre surSsomment l'inconvénienl attache à l'agrandissement de la vitesse et des dimensions des roues à ailes planes, inconvénieni qui, probablement, n'a pas lieu, à beaucoup près, au même degré pour les roues «à aubes cylindriques, emboîtées laléralenienl dans des couronnes parallèles, et raccordées à peu près langentiellement avec la circonférence extérieure de ces roues, de manière à éviier le choc direct ou normal contre la convexité ou la concavité des aubes.

437. Pii'ers exemples relatifs aux mo leurs animés , etc. — La surface (]u'un homme de taille ordinaire présente à raciion du vent, ou l'aire A de sa projection verticale sur un plan pi»rpendiculaire à la direction du mouvement, soit qu'il chemine ou qu'il resle en repos, celle surface peut èlre évalué movennemenl à o,35x i'",7 ^^o""i,Go; mais à cause de l'inclinaison que prend naturellement tout son corps, il conviendrait, sans

DBS HÉSISTANCBS. 677

doute de la supposer un peu moindre lors des courses ou des vents très-rapides; de plus, cette surface et la résistance seraient sensiblement accrues si ses vêtements se trouvaient mal ajustés au corps. Le coefticient k, de cette résistance, pour un prisme droit d'une faible épaisseur, étant d'au moins i,5 dans le cas de l'immobilité (^13) et de 1,2 dans celui du mouvement (^1&), on conclura des expériences de Borda, citées au n® 424-, et qui concernent les surdices c} lindriques à base circulaire ou elliptique, opposées directement à l'action du vent, que la valeur de k doit différer assez peu de o, 5 X i, 5 = 0,73 pour l'homme en repos, choqué en face par l'air en mouvementy ou de o»5x 1,2 = 0,6 pour l'homme en mouvement dans l'air en repos. La pression ou résistance éprouvée par cet homme serait donc : dans le premier cas,

et, dans le deuxième,

R=:=^i^Xo,o28V» = 0,0274 V».

A la vitesse de i"*,5 par seconde, qui est celle d'un bon marcheur (214), on voit que cette résistance s'élèverait à 0,0224(1,5)' = o^«,o5o4, et la dépense de travail moteur, par seconde, à o^«,o5o4 x i"*,5= o^»'",0756, quantité qui n'est pas le "iY de celle qu'un homme de force ordinaire pourrait développer, d'une manière soutenue, en tirant ou poussant horizontalement (205, p. 252), et dont la petitesse justifie ainsi l'observation du n** 90. Mais, si la vitesse était de 6 mètres par seconde, ce qui est à peu près la plus grande de celles que puisse s'imprimer un coureur, d'une manière un peu soutenue, la résistance de l'air s'élèverait à o ,0224 x 6' = o*'»,8o64, el le travail par seconde, à 4*'*™>84 environ; ce qui est déjà une fraction considérable du travail que peut développer continuellement un homme même robuste. Aussi l'exemple des courses les plus célèbres démonlre-t-il qu'une pareille vitesse pourrait difficilement se prolonger au delà de vingt ou trente secondes.

La vitesse des plus forts ouragans dans notre climat ne peut guère être évaluée au-dessous de 40 mètres par seconde.

67B ■ÉCANIQCB IKDITSTBIBLLB.

et il résulte de la première des formules ci-dessus, que b pression supportoe par un homme debout et immobile, qui serait frappe directement par un pareil vent, peut être évaluéeà o,oa8x(4o)'=44*'*>8, effort considérable et auquel cet homme ne résisterait qu'en inclinant fortement son corps en avant, de manière à se dérober en parlie à l'action de l'air, tout en faisant intervenir celle qui est due à son poids. Au surplus, on ne pourra être surpris de voir que de pareils ouragans soient capables de renverser des arbres et des maisons, qui offrest ''"c si grande surface à Taciion du vent; car, pour un mur de 4 mètres de hauteur sur 11 mètres de longueur, choqué di* roctemcnt par l'air, avec la vitesse de 4o mètres dont il s'agit, la pression ne serait pas au-dessous (kfi(^ et 431 ) de

ce mur pouvant être ici considéré, sans trop d'erreur, comme un plan mince entièrement isolé.

Ces différents résultats devant être multipliés par 8i5 environ (431 ) si Tair se trouvait remplacé par l'eau, on voit quelle énorme pression doivent supporter, dans quelques cas, les corps exposés aux torrents de ce liquide. Considérant, par exemple, un bloc cubique de marbre de i mètre de côté, posé sur un sol do niveau où il n'est retenu que par son seul froilemoni, et qui serait rho.qué par un courant d'eau perpendloulairtMueni à Tune de ses faces, la pression qu'il supporte étant donnée U3 et \'M |var la formule

tandis que o!îo d;î frxT'ttemeni peut tire rej résenlée |350:par

V ouî^t W i^: ."!> i.: y^':'.' fin'iirur -^ ** p*rrte qu'il éprouve dans r e-Jk j i 1 . •* = o - : ' r : :• f :*■'. ' ! r . . : ït. : \ . rTi 'j ta d e so n f rot lenienl. :! Ji:-',\:^rj- riîf : l ;■ >-:-i --: :^;'rr ^^r \r ouranl, toutes le?

4rV=^- :.-:>, .-i V>o.:cc4%N-

DES BÊSI8TA1«0BS. 679

Supposant, par exemple (35),

N = 2 6qo^» — I ooo^» = 1 6oo^« ou ^N = 4® 5

on voit que cela aura lieu pour toute vitesse V, supérieure i o,ioo4 X 4o = 4"> 02 par seconde, limite qui, certainement, est souvent atteinte ou surpassée par celle de certains torrents produits par les écluses ou les lames de la mer.

Les chevaux employés à la course ne présentent pas, à Taction directe de l'air, une surface beaucoup plus grande que celle de l'homme, et, comme leur forme est plus allongée, mieux disposée en tous points, la résistance qu'ils éprouvent est, au plus, égale à 0,02V'; mais, à cause de l'écuyer qui les monte, on peut la supposer de o,o3V', tout compris; ce qui, a la vitesse de 16 mèlres par seconde environ, limite de celle qui est atteinte dans les courses de Newmarket, en Angleterre, et du Champ de Mars à Paris, donne lieu à une résistance de 7^S68, et suppose, de la part de l'animal, en chaque seconde, l'énorme dépense de travail de 122''»'", 88, presque double de celle (205) que fournissent les chevaux de roulier ordinaires, lesquels, à la vérité, cheminent pendant huit à dix heures par jour, tandis que c'est à peine si les coursiers les plus fins, les mieux exercés, peuvent soutenir leur allure pendant quatre ou cinq minutes, et renouveler une deuxième fois leur carrière après un certain temps de repos.

Nous avons donc eu raison de dire (90 et 148) que le travail extérieu^dont les animaux sont susceptibles, quand ils s'impriment la plus grande vitesse possible, doit être négligé visà-vis de celui qu'ils développeraient si la vitesse était moindre. Quand on réfléchit, en outre, à l'énorme influence que peuvent ici exercer, sur ces vitesses excessives, la délicatesse, je dirais presque la débilité des formes de l'animal, son ajustement et celui du maigre écuyer ou du léger groom qui le monte, enfin l'adresse de celui-ci à se dérober à l'action de l'air, on demeurera convaincu que ces prix, ces encouragements accordés à un exercice où l'art, objet d'un vain luxe, triomphe bien plus qu'une vigoureuse nature, on demeurera, dis-je, convaincu que de pareilles joutes, de pareils amusements sont bien peu propres à perfectionner la race chevaline dans nos contrées, où le Gouvernement devrait, avant tout,

68o ■ÉGAHIQUB INBUSTftIXLLE.

tenir à se procurer des animaux assez robustes pour soutenir les plus rudes fatigues de la guerre, sous une charge qui dépasse quelquefois 120 kilogrammes.

438. Calcul de la résistance de l'air contre les boulets de canon. — Pour dernier exemple et afin de donner une idée précise de la progression que suit la résistance opposée par lair aux mouvements plus ou moins rapides des corps, nous considérerons un boulet sphérique de 24» en fer fondu, dont le diamètre d est très-approximativement de 0"*^ 148, la surfoce de projection A ou d*un grand cercle,

1 rrf' = 2 >^ 3,i4i59X (o",48)» = o™*i,oi72,

le volume

- Axrf= -r Xo"*ï,oi72Xo",i48 = o"%ooi697,

et le poids de

7065^» Xo"*, 00 1697 = 12^» environ;

la densité de la fonte étant ici, d'après le résultat moyen d'un grand nombre de pesées directes, de 7065 kilogrammes seulement (*). D'après CCS données, la résistance du boulet, dans l'air, à 12 degrés de température et 75 centimètres de pression (V31), a pour valeur générale •

K = o,or)o53x o"'n,oi72X /rV — 0,0010755/1 V-,

où l'on doit attribuer à h les dilTérentes valeurs indiquées pnr Texpérience, et que nous supposerons fournies par la Table du n** ^28, quoiqu'il soit bien démontré que ces valeurs soin un peu trop fortes pour les vitesses au-dessous de 7.0 mètres par seconde, et trop faibles pour celles au-dessous de 5oo mètres.

Supposant, par exemple, la vitesse de i mètre par seromle.

(*) D'après une IN'ote i\\\\ nous a élô transmise par M. Piohcrt, la iloiisUf des boulots an[;lnis serait supérieure, ou de ';2'j8 kilogrammes environ le nii*ir' cubej ce (lui doit tenir, en partie, au mode de coulaje et de labiieation.

DES BÉSISTARCES. 68 1

on aura

/f = o,59 el R = 0,0010755 X 0,59 X i' = o^«, 000635

seulement. Pour V = 3", on aurait

A'=:o,6i, R = 0,0010755 X 0,61 X 9 = o^»,oo59,

soit o^>,oo6 approximalivemeni. Continuant ainsi , en évaluaniy s'il le faut, par les parties proportionnelles , les valeurs de k qui répondent à des vitesses intermédiaires entre celles de la Table du n° 428, on pourra former cette nouvelle Table :

ItMSM.

BésisUnces.

V lieue*.

Réslslance«.

ia5

ia,i8

aoo

3oo

5oo

On voit, par ces résultats, qu'à laS mètres de vitesse, l'effort de l'air contre le boulet de 24 ^^^ ^ P<^u pi'ès <^g^l ^u poids de celui-ci; qu'à 200 mètres, il en est près du triple, qu'à 5oo mètres de vitesse, la résistance surpasse 23 fois ce même poids; el, comme ces résultats devraient être multipliés par 8i5 environ (431), quand il s'agit de l'eau, on peut juger de l'énorme résistance qu'ont dû éprouver les boulets, dans les expériences de MM. Piobert, Morin et Didion, citées au n° 427, indépendamment du choc qui s'est opéré à l'instant de leur entrée dans le bassin d'eau où ils étaient lancés.

Si le diamètre du boulet n'était que le { de o"*,i48 ou 4%9 environ, la surface A qu'il présente à l'action de l'air serait réduite au neuvième de la valeur qu'on lui attribue ci-dessus, et par conséquent, à égalité de vitesse, la résistance serait ellemême réduite au neuvième de la valeur indiquée par la Table. Pour un diamètre de |xo'",i48 ou 2^,96, la résistance n'en serait plus que le jt* ^'^i^ ^^ poids des boulets supposés toujours en fonte, diminuerait dans une progression bien plus rapide : il serait seulement de

682 MÉCANIQUE IKDUSTHtBLLS.

pour le diamètre de 4*>9 el de

pour celui de 2^96; circonstances qui tiennent à ce que les volumes et les poids des sphères homogènes (33) croissent comme les cubes des diamètres, et les surfaces de leurs grands cercles, rcpréseniées par A, simplement comme les carrai de ces mêmes diamètres. Enfm si, au lieu de projectiles en fonte, il s'agissait de boules de bois ou d'autres substances moins denses encore, leurs poids et par conséquent leurs masses diminueraient de quantités proportionnelles, mais la résistance de l'air resterait la même pour un même diamètre, parce qu'elle ne dépend que de la forme et de l'étendue de la surface du corps, ce qui permet, dès à présent, de pressentir le rôle de ces données essentielles sur les circonstances du mouvement dont nous nous occuperons plus spécialement dans le Chapitre suivant.

Toutefois, il est nécessaire de le rappeler avant de passera un autre sujet, les différents exemples de calculs qui viennent d'élre présentés sur la résistance des milieux supposent essentiellement que les corps ne tournent pas, ou présentent toujours la mémo face à l'action de ce milieu, et que leur mouvenionl soil sonsiblomoiii parvemi à runilbrniité; car s'il variait sans coss(S connue dans la chute dos corps, il ronvit*ndrail d'avoir égard à l'infliienc(^ do la prone el de la poupe lluidoscjui les arrompagncnl, conformément aux observolions dos n"' 380 et 382.

EXA>IK> DKS PRINCIPALES CIRCONSTANCKS I)i: MOUVEMENT IIORIZOTAl ET VERTICAL DES CORPS DANS LES FLUIDES ET PLIS SPÉCIALEMIM DANS l'air.

'V39. Consi(/('raiions prcii'minnirrs. — Nous n*îivons jusipiiri donne» quo de simples aporrus (1 13 ol suivants ) sur la mani«''re dont Tair agit roniro los corps, pour modifier, ralentir leur mouvonionl; les données prérédonios jointes aux prinripos fondamentaux exposés au commoncement de cet Ouvr.ig»^

DBS ftÉSISTANGBS. C83

permetlenl de mieux éuidier, de calculer même, les lois e mouvement, pour deux circonstances importantes : Ile où le corps serait lancé, avec une certaine vitesse et tourner, dans la direction d'un plan horizontal solide, où ait soutenu sans frottement, ce qui est aussi, à peu près, s des projectiles de l'artillerie, animés d'une grande vihorizontale, et qui, dans une portion assez considérable tir course rapide, n'ont pas éprouvé, de la part de la graune action assez prolongée pour sortir sensiblement de la lion Initiale de cette vitesse; a** celle où le corps ayant ncé dans une direction verticale, de bas en haut ou de 3n bas, serait ensuite abandonné librement à l'action de dlé et de la résistance de l'air, toujours dans l'hypothèse ne viendrait pas è tourner par suite d'un défaut de syméans sa forme extérieure, etc. Ce que nous dirons, d'ail^ pour l'air en particulier, s'appliquera aisément à toute e de fluide, à l'eau, par exemple, en introduisant dans les Ses delà question les modifications relatives à la densité fluide et au coefficient h de sa résistance.

». Expression de la force dynamique totale des corps u à l'action des fluides, — Pour étudier les lois du mount dans les cas très-simples dont il s'agit ici, il sera né- Ire de rechercher, à chaque fois, la valeur très-différente force F (130), qui accélère ou retarde ce mouvement, et rtre perpétuellement égale et contraire à la force d'inertie

sM-> P étant toujours le poids, M la masse, et v l'ac-

ilion ou la diminution de vitesse pendant le temps infiit petit /. Mais, comme en réalité le corps est toujours ipagné(380) d'un certain volume de fluide ambiant, que Birons appris, par quelques cas, à calculer, il sera né- *e d'avoir égard aux considérations exposées à la fin du » c'est-à-dire qu'il faudra ajouter la masse M., de ce vok celle H du corps, pour obtenir la force d'inertie totale, irésentant toujours, comme aux endroits cités, par Q le e» apparent ou extérieur de ce corps, par /iQ celui du C^ntratné à la densité p^ et désignant, de plus, par II la S moyenne ou réduite que Ton obtiendrait en divisant le

ITii 1 .fijiji<a

£64 ■tcAVOiiB nmnraHUs.

poids P, da corps, psr son volame eilérlMr Q, m

et

pour la force dynamique on d'inertie totale; ce qoi qa'en raison da fluide entraîné, la densité mofnwedai doit simplement être augmentée de la fraction Rp de < ce fluide.

La densité dont il 8*agit éunt» même pour les fn|i creux de rartillerie, au moins 5ooo fois la quantité

jy := 0,6 XiSs!i7 = o^, 736a (SMetUi)

pour le cas de Fair, il est évident que» dans la rechod lois de leur mouvement» il deviendra permis de né^ masse de l*air entraîné : mais il pourrait n'en plus ëà dans d'autres cas, par exemple si le milîeu résistant M ou s'il s'agissait de surfaces minces (380, i05 et Ul],i creux tels que les ballons, etc.; circonstances dans loi l'influence de la proue et de la poupe fluides se soniy ment manifestées lors des expériences. Toutefois,! d'un avertissement conlraire, nous conviendrons, pow plicité, de désigner, en général, par P et H le poldseili réunis du corps et du fluide entraîné , en considérai ce dernier comme formant une partie Intégrante de ce

441 . Marche à suivre dans la recherche des lois (/« i ment. — Ainsi qu'on Ta expliqué aux n** 129 et si réquatîon

F = M^, d'où Ton tire V=g/.

peut servir à faire découvrir loules les circonstances è vemeni, et elle enconiient implicitement la loi; mail thode géométrique indiquée spécialement au n*ili^ comme moyen de démonstration et pour faire coropij liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vitesse^ dynamique F, et l'espace décrit à chaque instant pirk cesse de l'être dans le cas présent où Ton n'est pÉ

connaître les valeurs de celle force à la fin desdifférenls lemps écoulés. Ces valeurs qui dépendenl ici esseniiellement de la résistance du fluide ei de l'action de la gravité, s'il s'agit du mouvement vertical, seront simplement données au moyen des vitesses successivement attribuées au mobile dans les diiïérenls points de sa course, en s'appuyanl, à cet effet, du résultat des expériences et des formules exposées dans le Chapitre précédent.

On pourra donc aussi calculer la valeur de chacun des accroissemenls infiniment petits /, du temps, correspondant à une diminution ou un accroissement donnés i^, de la vitesse, pour l'instant où celle-ci a une valeur assignée V, à l'aide de la formule générale

dans laquelle M et P représentent toujours, si cela est nécessaire, la masse et le poids total du corps et du fluide entraîné.

Or, en raisonnant ici comme on l'a fait aux n"» 72, 181, elc, à l'égard de la détente des gaz et des vapeurs, c'esl-à-dire si Ton construit une courbe O'a'fr' & . . -f'g'h' {PI. Illyfg, 79), dont les abscisses Oa, 06,..., 0/, 0^, O/i, prises par rapport au point 0, comme origine, si le mouvement s'accélère, ou les abscisses AO, ha, hb,..., hfy hgy prises par rapport au point /i, si le mouvement se ralentit, représentent, à une certaine échelle, les valeurs équidistantes successivement aitri* buées à la vitesse V, tandis que les ordonnées 00', aa', bb\..,j JBT* gg' représentent les valeurs correspondantes du quotient de P par g'F, le temps T, écoulé entre deux instants quelconques pour lesquels la vitesse devient 06 et 0/ou hb et A/, par exemple, sera évidemment donné par l'aire bb'f'f^ comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les ordonnées extrêmes bb' QijJ' 9 relatives à ces vitesses. En appliquant donc ici le théorème des quadratures de Simpson (180), il sera possible de calculer le temps T, dont il s'agit, à un degré d*approximation aussi grand qu'on le voudra, en subdivisant l'intervalle 6/, compris entre ces ordonnées extrêmes, en un nombre pair et suffisamment grand de parties égales.

Comme on a, d'ailleurs (48 et 53), en représentant par 6

686 MÉCARIQDK INDUSTBIILLB.

l'élément de chemin correspondanl à / ou à «>

V, MV PV

on voil que la même mélhode pourra servir à trouver la longueur du chemin parcouru dans rintervalle dont il s'agît, par la considération d'une nouvelle courbe Oa^b^c" ., .g'^ construite sur les mêmes abscisses, mesurées» suivant les cas, à partir du point 0, ou du point h, mais ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du quotient de PV parg^F.

Quant à la question où il s'agirait de trouver immédiatement les espaces parcourus au moyen des temps écoulés, il est évident qu'elle ne saurait être résolue par les mêmes procédés, c'est-à-dire par une marche directe, puisque F ne peutse calculer que si Ton connaît V; on sera alors obligé de recourir à une sorte de tâtonnement dont nous aurons soin d'offrir un exemple dans ce qui suit.

Cas du mouvement horizontal.

hWl, Valeur de la force dynamique ou retardatrice; équations fondamentales du mouvement. — Les effets de la pesanteur sur le mobile étant censés négligeables ou détruits par une cause quelconque, cl les forces étrangères à rineriie se réduisant ici uiii(juenieiil à la résistance K du milieu, qui peut èire calculée pour chacune des vitesses V, possédées par le mobile aux divers instants, on aura siinplonient (iiO)

l ou ^ ^-^ - =z\\;

et, par conséquaiit, le corps ayant été lancé horizontalem«Mil avec une certaine vitesse initiale, celle vitesse sera de plus en plus diminuée et le mouvenienl ralenti dans chacun des instants égaux à /, suivant une loi donnée par la l'ormule

exprime véritablement la force dynamique relative à l'ii/tf'/^ masse supposée eniièrement libre (132), ou qui serait cae de lui imprimer, dans le vide absolu, le mouvement :lir du corps. Mais attendu que la résistance K décroît rapidement avec la vitesse V du projectile, le mouvement .era pas uniformément reiardé (107 et 117), comme cela c (365) dans le cas où la résistance se réduit à un simple ement exercé par le mobile, sur un plan solide horizontal; sera de moins en moins pour des intervalles de temps t, ,-% et iniiniment petits, comme le démontre la formule cius, qui donne la diminution de vitesse v pour chacun de Ibstants.

autre côté, cette même formule, dans laquelle Taire A rojection du corps sur un plan perpendiculaire à la direcpDcUligne du mouvement, entre comme facteur de K (381), Ks les résultats les plus concluants et les plus universelle- ■Himissur la résistance des fluides, cette formule, disons- ^ montre que la diminution instantanée v, de la vitesse» liutant moindre, toutes choses égales d'ailleurs, que la ^ié moyenne II du corps {kkO) est plus grande aussi bien ~1b rapport de son volume Q à Taire A, qui se réduit u diamètre pour les sphères, à la hauteur de Tore pour Ddres et les prismes droits mus parallèlement à cet •; de sorte que, pour les corps sphériques en parti cU" exemple pour les projectiles de V artillerie^ le ralen--

«~ t de la vitesse initiale est d'autant plus rapide que fité moyenne ou réduite et leur diamètre sont nioin- Biîl conflrmé par Texpérience, et que démontre plus "^"cment encore la formule

/ p nrf '^ nd

^ jfa mouvement de ces projectiles dans Tair, pour lequel

||,(431), R = o,o6?.53/i AVS en négligeant d'ailleurs le

"^«relatif au fluide entraîné; prenant gr = 9"*,8o88( 117)

lieu où nous sommes; puis remplaçant Q et A par

leurs ^7:d*, J rd', dans lesquelles d est le diamètre

-7. ,i4i6son rapport inverse à la circonférence.

688 MÉGANIQDB INDCSTBIBLLB.

Considérant pour exemple le boulet de 34, dont onars cherché, à l'avance, la résistance dans l'air au n» W8, onaon immédiatement, pour calculer toutes les circonsunces(Jes(« mouvement horizontal ,

F ou — = R = 0,001 0-755 ArV% - =:o,ooo88K»: g t ' /

ce qui montre tout à la fois, d'une part» l'énorme ioflucaee exercée par cette résistance aux premiers instants du bgi. vement où la vitesse V atteint quelquefois 5oo mètres. « où par conséquent sa diminution instantanée v devient iî|) OyOooSSXiyOi x(5oo)' = 222 fois au moins» la durée coim. pondante /, du temps; d'une autre part» l'extrême faîble« de cette même influence, dans les derniers insianis du an^ vement, où la vitesse étant supposée réduite à o",ooi,p exemple, en une seconde, celle de v devient, au plus. 0,00088 X 0,59 X (OyOoi)^ = 0,00000000062 de /, ou / pre deux milliards de fois plus grand que v; ce qui moDireri cessive lenteur avec laquelle le mouvement devrait s'riei dans les hypothèses actuelles sur la loi de la ré^isUDCr.

4W. Le mouvement ne s éteindrait jamais si li .v,v décroissait plus rapidement que la vitesse. — Pour l-n. ce principe d'une manière positive, et qui s'appl. ■]&-:lemeni à tous les cas où la force retardatrice tend 1 îi rapidement et indéfiiiimeni avec la vitesse, sans jd^:..:le sons de son action, nous remarquerons tout l\i::r: ;/ formule générale (H2)

dans laquelle M et P peuvent comprendre la nii>: du fluide entraîne, montre que la valeur du :. par F, ou de P par «^R, croissant indéfiniment î i. vitesse V du corps diminue, il faut bien aussi :. nécessaire pour détruire, dans ce corps, un ^ùz^ lai vitesse f , devienne de plus en plus grand et fitJÎsH une valeur comparativement infinie dans les deriL-

DBS RÉSISTANCES. 68g

du mouvement; de sorte qu'il peut bien arriver que la somme des valeurs de laccroissement t, du temps, devienne ellemême excessivement grande ou infînie, quoique celle des valeurs correspondantes de v ne puisse dépasser la valeur attribuée à la vitesse initiale quelle qu'en soit la petitesse. Mais on peut établir cette proposition d'une manière plus rigoureuse et plus sensible encore, par la considération de la courbe 0'a'b\,.f'g' {PL /I/,/ig. 79), dont on s'est occupé au n® Wl

ci-dessus y et qui a h pour origine des abscisses ou vitesses.

p En efTet, la valeur de la fraction — r-i se trouvant représentée

par la hauteur des ordonnées correspondantes aux diverses valeurs de V, on voit que ces ordonnées doivent croître indéfiniment à mesure qu'elles se rapprochent de Taxe parallèle ^î répond à l'origine A; de sorte que l'espace compris entre cet axe et la courbe est réellement illimité, à peu près comme cela a lieu pour Y hyperbole équilatère de \^ fig- 4'» ^'- ^A considérée aux n"" 181 et 198, ou celle que l'on construirait

en prenant simplement t=:-r^v par exemple. Mais, comme

on suppose ici que F ou R diminue plus rapidement que V, il en résulte que la courbe O'a'b' , ./'g*' se rapproche bien moins rapidement encore de l'axe des ordonnées et beaucoup pluSy au contraire, de celui des abscisses que dans cette dernière hyperbole.

D'un autre côté, on sait par la géométrie des courbes et la théorie des logarithmes (198), que les aires hyperboliques comprises entre une ordonnée fixe quelconque et une autre ordonnée qui s'approche sans cesse de Vaxe correspondant relatif à l'origine A, des abscisses, croissent indéfiniment, de manière à devenir plus grandes que toute quantité assignée; donc il en sera de même, à fortiori y des aires analogues de la courbe 0'a!b'., >f' g', qui donnent les valeurs du temps dans le mouvement retardé dont on s'occupe, et, par conséquent, quelque paradoxal'que cela paraisse au premier aperçu, il peut exister de tels mouvements qui ne s'éteindraient pour ainsi dire jamais^ quoiquà la fin ils fussent extrêmement ralentis: c'est ce qui aurait précisément lieu dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse.

I^H* HCCAKIQUE IRDUSrniELLE.

tir contre, il doii exister aussi des mouvements qais'irv OéUrem indélînimeiu sans jamais atteindre la limite de leur iliaiie. quand la force dynamique F tend à dêcrollrc insj^pidement à mesure que cette vitesse s'approche, ello-niêmr, 4e >■ limite; mais, comme la chute des graves dans l'uiroDut «A4ni bienlûi un exemple de ce phénomène dt* mouvement, nom n'insisterons pas quant à présent.

Kalîn il ne sera pas inutile de faire observer que. puisqu'on * égilement (4^1 et 4^2]

MV PV

dM considérations analogues pourront s'appliquer aui espicM 'pUCOurus par le corps dans le mouvement qui nous a occupé ivéeédemmeut : ces espaces tendront à devenir infinis quotient de MV par F croissait, lui-mdme, plus rapidenical qae la vitesse V ne diminue. C'est, au surplus, ce que tâcherons de rendre plus manifeste encore par )d discussioa du Ms particulier qui suit.

M4. Exemple numénque relatif au moui'ement horizentûl 4et projectiles dans l'air. — Soi! le boulet du n" 438, lancé boritontalenieni, dans l'air, avec une vitesse initiale, tO Ofï'V'[Pl.ni,^g. 75). de 5oo mètres par seconde, je suf^ose, et demandons-nous d'abord au bout do quel temps sa vîtesw AJ ou V sera réduite à 4o" mètres, en admettant toujours que I» loi de la résistance soii celle adoptée dans cet endroit.

En supposant seulement l'inlervalle de Oelou V — V^eoo", divisé en quatre parties égales aus points a, b et c, on poum . former la Table suivante des diverses grandeurs relatives à li question (438 et 442), dans laquelle on a centuplé les valeurs de P, pour éviter l'écriture d'un trop grand nombre de chiffre* décimaux :

DfS RÉSI8TANGSS. 69 1

Par conséquent on aura, en se servant de la méthode du n° 180,

looP Somme des valeurs extrêmes de — w- •••• o,4374-»-o,7i8o = i,i 554

a fois celle des valeurs d'ordre impair a x o, 556i = i , i laa

4 fois celle des valeurs d'ordre pair 4 (0,4^94 + 0^6297] = 4 , 4764

Totol 6,7440

Cette somme divisée par 100 et multipliée par le { de Tin- 4erva1le, aS mètres, entre les vitesses successives, donne

pour la durée du temps pendant lequel la vitesse du boulet est réduite de 5oo à 400 mètres, attendu que /^ = 9'",8og répond (117) à une seconde sexagésimale, qui est ici Tunité de temps.

Les différences consécutives de chacune des valeurs, fournies par la Table ci-dessus, du quotient de P par g^, à la suivante, allant progressivement en croissant, on en conclut, à priori f que la courbe est convexe vers Taxe des abscisses comme l'indique la^!^. 79, et le résultat qui vient d'être obtenu est par conséquent un peu trop fort (180). Mais, comme •ces mêmes différences croissent assez lentement, le résultat, quoiqu'un.peu faible, doit néanmoins s'approcher beaucoup du véritable; et c'est ce dont on peut s'assurer directement en supposant seulement l'intervalle Orf, de 5oo à 4^^ mètres, divisé en deux parties égales, au point b : on trouve, en effet, par la méthode déjà employée,

^ X 5o(o,oi i554 •+- 4 X o,oo556i) = o",5633,

résultat qui ne surpasse le précédent que de 777 de sa valeur. D'après ce grand degré d'approximation de la méthode pour l'intervalle de 5oo à 400 mètres, on pourrait, sans risquer de commettre des erreurs appréciables, se contenter de diviser pareillement en deux parties égales l'intervalle de 4^0 à 3oo mètres, pour en conclure la durée correspondante du temps. Et, comme les valeurs du quotient de P par g'R, relatives aux vitesses de 35o et 3oo mètres, sont respectivemet de 0,01000

6gs atCAmoiii tmotnlKu.

et 0|Oi436» on en conclut, pour la Taleur tfé celle durée,

|x 50(0,00718 + o,oi436 + 4xo>oiooo) = i%oa66;

mais il serait, sans doute, peu exact d'étendre cette règle toi intervalles égaux suivants, de 3oo à aoo mètres et de 100 i 100 mètres, parce qu'on pourrait tomber alors, dans les réglons où la courbure par trop prononcée de la courbe» donnerait Hea à des différences d'ordonnées consécutives très-variables, ei, à plus, forte raison, ne conviendrait-il pas d'étendre cette aithode à de très-grands intervalles de vitesses.

Ainsi, par exemple, si l'on se contentait de partager es quatre parties égales l'intervalle compris depuis 5oo jusqu'à 100 mètres, ou de 100 en 100 mètres, on trouverait, pour le temps nécessaire à un jMreil ralentissement de vitesse, is^33, qui, inévitablement, surpasserait d'une quantité notable h firitable valeur de ce temps. Cependant telle est rexcellence de la méthode pour le cas actuel, que si l'on divise ce méoie intervalle en buît parties égales, on trouve le nombre i',7;, dont la différence avec le précédent n'est pas le r^ de sa ftleur, et qui, par cela même, ne doit surpasser que detrèsfeu la véritable durée du temps.

iiS. Extrême lenteur avec l<iquette le mouvement s^étemt

dans cet exemple, — Afin de mettre la chose dans tout son jour, nous rechercherons le temps nécessaire pour que la vitesse, supposée réduite à 10 mètres, ne soit plus que de 2 mètres par seconde; mais, au lieu des valeurs du coefficient Â. • fournies par la Table du n** 428, nous adopterons, pour ces faibles vitesses, la moyenne /r = 0,62 (W^) qui doit s'écarter assez peu (426) de la véritable, dans le cas du mouvement rectiligne des globes dans l'air. D'après cela, si Ton divise seulement en quatre parties égales l'intervalle de 10 à 2 mètres, on formera le tableau qui suit :

Numéros (l 'ordre.

vîtes»»

('orre»ponUante*.

Valears de

DBS RfiSISTANCBS. 698

t qui donne pour la durée du temps écoulé,

jX2«[2i, 87 -4- 546,81 4- 2X60, 76 H- 4(34, 184-136,70)]

Si Ton se fût borné à diviser l'iniervalle de lo à 2 mèfes en deux parties égales, on eût trouvé 1082", 28, nombre ni diffère beaucoup du précédent, et prouve que la sub- 'vision en quatre parties peut ne pas suffire; en la portant huit, on obtient finalement 880^,2, pour le temps que la lesse du mobile met à passer de 10 à 2 mètres: la diffé- Dce 35", 6, entre ce nombre et le premier des précédents sut assez forte, on voit qu'il y aurait lieu de multiplier dantage encore les subdivisions, si Ton tenait à une très- Bnde exactitude, mais, pour l'objet que nous avons ici en le, il serait inutile de pousser plus loin les calculs. Tel est d'ailleurs l'esprit dans lequel on devra constamment pliquer le théorème (180) des quadratures de Simpson. XjCS résultats obtenus en dernier lieu montrent, conforément à ce qui a été annoncé au numéro précédent, d'après »s considérations générales et purement géométriques, que

"Vitesse diminue ici avec une lenteur extrême, et l'on peut ger que cette lenteur serait infiniment plus grande encore' >tjr les derniers instants du mouvement. Ainsi, par exemple» m voit sans qu'il soit nécessaire de recommencer sur de noU" MQX frais les calculs, que le temps au bout duquel la viies^^ Ijnit réduite de 10 à 2 millimètres par seconde s'élèverai^^ 1» moins, à (1000)'= i million de fois SSo'^, ou bien près 3^^ IIpids, etc.

''4h)ur obtenir les espaces successivement parcourus dans 1^ Mme mouvement, il suffira (W3) de recommencer les calcul^ Ml 7 remplaçant chacune des valeurs de P sur g^R, par son pri>'" lirtt avec la valeur correspondante de V. C'est ainsi qu*on iroUfWin» pour rintervalle de 5oo a 400 mètres de vitesse, l'espac^

■èi,i83-|-a,87a4-2Xa,5o3-+-4(2,3254- 2,676 )]==:25o«,6.

6g4 MÉGÀlfIQIIE INDCSTmiBLLB.

avec un degré d'approximation encore plus grand que dans le précédent exemple.

£n divisant pareillement l'intervalle de 5oo à loo mètres, en huit parties égales, on obtiendrait ^24^ mètres pour l'espace correspondant décrit par le projectile. Enfin, pour l'intervalle pendant lequel la vitesse se réduirait de 10 a 2 mètres, l'espace décrit par le boulet s'éloignerait fort peu de 3523 mètres, et il serait environ 1000 fois plus grand dans l'intervalle de 10 à 1 millimètre, etc.; ce qui sufQtbien pour faire sentir que le chemin entier parcouru par le mobile n'aurait, de même que le temps, aucune limite assignable {*).

Quant à la manière de découvrir le chemin relatif à un temps donné, comme elle peut être avantageusement suppléée, dans

C*) On remarquera que pour cette dernière période du moaTementoù Tod suppose A invariable, les équations du n^ 441 prenant la forme trèt-umplr,

' = Yi •'» * = Y ♦•»

où C représente une constante facile à calculer dans chaque cas, on en tire, parles procédés connus de l'analyse, qui ici, pourraient être facilement sii|>pléés par les considérations directes de la Géométrie,

T = c(i-i;), E = Clo8(^), E = Cloe(iH-^);

E représentant, en outre, l'espace décrit et T le temps écoulé depuis roriijiii'* du mouvement, où la vitesse V, relative à ce temps, était V; enfin le si,^nH abrcviatif /o^, se rapportant aux logarithmes hyperboliques ou ncpériem [^}f^ qui, on se le rappellera, peuvent ùtre également obtenus au moyen des Table* de logarithmes ordinaires, en multipliant ceux-ci par le nombre cousunt 2,3o2585. Ces dernières formules montrent bien d'ailleurs que E et T di^ viennent infinis en même temps que V = o; mais déjà il n'en serait plus ain<i de l'espace E, si la résistance était simplement proportionnelle à la vites««^;car à cause de e = Cr, on aurait E = C(V" — V), et par conséquent, E = CV pour V = 0, quoique T reste infini ou que le mouvement ne s'éteigne jamab. Ainsi l'espace décrit parle corps grandirait constamment sans néanmoins pv^uvoir atteindre la limite E = CV': à fortiori ^ cet espace conserverail-il «nenleur finie dans le cas où la résisUince croîtrait moins rapidement encon* quf

la vitesse, par exemple comme sa racine carrée y'V. On aurait alors, en efli*!.

T = 2C(v/V-v/v), E^::: »C(vVv- Vy^V);

de sorte que le mouvement s'éteindrait complètement au bout du terap* T ^ 2 C v/ V, et de l'espace E = J C \ ' ^ V^.

BU itSISTAUCBS. 69g

Malgré les reproches adressés dans le n^ 429 à la formule dont il vient d'être parlé, et qui portent principalement sur les faibles vitesses et les gros calibres de projectiles, la Table dressée par M. Piobert, pouvant fournir des indications souvent précieuses comme moyens d'approximation, dans les questions qui concernent le mouvement horizontal de ces corps, nous avons cru faire une chose utile, en la rapportant ici d'après l'autorisation qu'a bien voulu nous en donner l'Auteur. L'usage en est d*ailleurs si facile que nous ne croyons pas nécessaire de nous étendre longuement sur son contenu; il nous suffira de remarquer qu'elle ne donne pas seulement les temps écoulés et les espaces parcourus pour la vitesse initiale de 600 mètres par seconde, mais bien pour toutes celles qui se trouvent rapportées dans la ligne horizontale supérieure de la Table, et, par suite, pour les vitesses intermédiaires quelconques, au moyen de l'interpolation, ou du tracé continu des courbes mentionnées ci-dessus; méthode qui, sous le rapport de l'exactitude, aura surtout l'avantage dans l'intervalle correspondant aux vitesses de 100 à aoo mètres, et pour lequel les ordonnées ou valeurs du temps et de l'espace éprouvent des variations très-sensibles.

6g6 MtcimQOB mmtnLLi.

de niveau d'un liquidé Immobile» tel que Teau d'un l soustrait k l'action des courants d'air» viendrait fc y étt^ horizontalement, sans touraer. avec une certaine vlteb é le corps. étant ici soumis uniquement à la résistance c .«ce eau et de Tair, il n'existerait plus aucune force reta '^^àt constante étrangère aux deux fluides» et capable de o des portions de la vitesse initiale qui» étant proportir ^ aux temps écoulés, amèneraient promptement le cor| , «o pos absolu. Une expérience de cette espèce» exécutée :e circonstances les plus favorables et en observant» av* ' fpit l'exactitude qu'il serait facile d'y apporter» la loi di ment aux derniers instants» une telle expérience set être plus propre qu'jiucune autre à faire découvrir I d'une pareille force retardatrice» admise par les r .. repoussée par d'autres (388)» sans que les motifs o . les faiu d'expériences qui servent d'appui à ces opinions contradictoires puissent être considérés comme rigoureusement établis. Mais» à causre de l'influence qui» dans ces demiera instants du mouvement du corps» pourrait être exercée par le sillage ou courant postérieur ( 374 }» et tend i l'entraîner au dettde la position qu'il defvrait naturellement atteindre» il serait peatètre encore plus exact de cherclier à constater l'existence du terme constant, en observant avec soin le mouvement de descente vertical, dans Tair, d'un ballon vide ou rempli d'un gaz assez léger pour que son poids, dans cet air, constaté par une pesée directe, fût réduit à un degré de petitesse comparable au frottement dont il s'agit d'apprécier l'influence, et dont les effets ne sauraient manquer de se manifester» si le globe était abandonné, sans aucune entrave, à l'action de la pesanteur, comme le firent Newton et Désaguilliers (426)» lors de leurs premières expériences dans l'église de Saint-Paul è Londres. Au surplus, quelle que soit l'opinion qui triomphe définitivement, il n'en est pas moins vrai de dire que les obstacles accidentels dont est parsemée la route des corps en moutement dans les fluides, les particules solides qui y nagent et donnent lieu à de véritables frottements, enfln l'influence des tourbillonnements et remous qui s'y produisent» la rotation même que tendent, presque toujours, a prendre les corps non parfaitement symétriques, sont autant de causes qui. parvien-

"(h anéantir leur vitesse» dans des temps infiniment plus'

';ls.que ne l'indique le calcul. Et, comme tous les mouve-

^.îsonty ici-bas, nécessairement soumis à l'influence de

^ t frottements, de forces retardatrices variables ou con-

( on voit qu'ils ne peuvent s'entretenir dans les corps,

Jes plus' subtils, sans une dépense continuelle de travail

^. ^ion, à laquelle les combinaisons matérielles les plus

^^ *"^ «ses ne sauraient suppléer (103); et voilà aussi pour-

^ ' mouvement perpétuel que rêvent des hommes privés

*j *niières notions de la Mécanique, est une véritable chi-

iand on le recherche ailleurs que dans Taclion im>

des forces de la nature, qui font mouvoir les corps

*?ans un espace vide ou privé de toute résistance, et

qm,-. «'^surface de la terre, servent par leur mouvement

périodique, plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos

machines de diverses espècas.

• 447. Résultats des calculs de AS, Piobert, relatifs au mouvement horizontal des projectiles dans l'air, — Dans un Chapitre intéressant du Mémoire (373) qu'il a présenté en commun, avec MM. Morin et OidioUi au concours du prix de Mathématiques pour l'année i836, cet officier supérieur a calculé, avec beaucoup de soin, une Table qui permet au simple coup d'œil de se rendre compte de toutes les circonstances ofFeries par le mouvement des divers projectiles, en usage dans rartillerie française, lancés horizontalement dans l'air en repos et abstraction faite de l'action de la pesanteur (439). Elle a été dressée en prenant pour base des calculs la formule du n? 429, qui sert à représenter le résultat moyen des expériences relatives à la résistance de l'air sur les projectiles. Dans la formation d'une pareille Table, les méthodes directes indiquées aux n<** 440 et 444, présenteraient évidemment les plus grands avantages pour trouver successivement, par des opérations fort simples, les valeurs numériques des temps et des espaces qui correspondent à une série de vitesses. équidistan tes données et suffisamment rapprochées; ce qui permettrait, ensuite, de tracer de nouvelles courbes, au moyen desquelles on obtiendrait facilement toutes les valeurs intermédiaires de ces tempâ et de ces espaces; ce qu'on appelle en général, interpoler^ dans

a^ mGcaniqdk tnDi;STKieLLe.

la langue des gcomèlres. Mais, en réalité, M. Ptoberl esiMiité au\ résultais de sa Table par une voie puremeoi aoalj-iiqiieC) fondée sur la Tormule déjà citée du n" b29, et sans l'étabUsM' ment de laquelle cette recherche eût été impossible, tantit que la méthode précédente reste applicable, au moytad'aDe courbe d'interpolation ou d'une Table analogue â celle dn n" kiS, r)uelle que soit la complication de la lui taie suivie parla résistance.

n pmani, pnup abrcger, dinf U formule da n* t39,

Paur lu» innuvcincnta rapidos de* proj»^tili« lio rarlillertc. «' dri vibuiei aupc'ricumi à 5 maires par u'condc, on pourra négUeat l» da«hr (orma de U rormiile, et l'on calciilera, d'iipri« M. Pioliurl, «n m*trwl tKnéa set ■)[<><■> mail»! l'espacn E ■U'cril cl le tcmpi T Muulé pondant quo la itliUf V du mobile te r«<luit â V, au niojaii de» formnlra

□Il \et liiGiiHlbuies sont lijperioligaei, comme dsns lu Noie du D* 4U. HP ■létiQtie le poids, en kilugminniei, du projeclilc, t la fraction — = i8t;,iJ51

i|ui, ici, comme on voit, joue un trèii-[^nd rdle, et mériterait d'être ieirrmlnéc iTsc le plu* cnind sain, d'apré« la donoéei de l'oipéricncv.

Pour le> mouvcnienla triB-leati, au contraire, ou au-dciauiii de â mil» fo secondii, <iu peut négliger te terme m V de la réaitlance, par rapport loi don

l'nrc du cercle dont le rayon, égal à l'iinil métrique, la valeur numérique du rapport entraîne cello de l'arc an niojen dei Tabler

r lesquelles M. Pioberl a

BU itSISTAlfCBS. 69g

Malgré les reproches adressés dans le n^ k29 à la formule dont il vient d'être parlé, et qui portent principalement sur les faibles vitesses et les gros calibres de projectiles, la Table dressée par M. Piobert, pouvant fournir des indications souvent précieuses comme moyens d'approximation, dans les questions qui concernent le mouvement horizontal de ces corps, nous avons cru faire une chose utile, en la rapportant ici d'après l'autorisation qu'a bien voulu nous en donner l'Auteur. L'usage en est d'ailleurs si facile que nous ne croyons pas nécessaire de nous étendre longuement sur son contenu; il nous suffira de remarquer qu'elle ne donne pas seulement les temps écoulés et les espaces parcourus pour la vitesse initiale de 600 mètres par seconde, mais bien pour toutes celles qui se trouvent rapportées dans la ligne horizontale supérieure de la Table, et, par suite, pour les vitesses intermédiaires quelconques, au moyen de l'interpolation, ou du tracé continu des courbes mentionnées ci-dessus; méthode qui, sous le rapport de l'exactitude, aura surtout l'avantage dans l'intervalle correspondant aux vitesses de 100 à aoo mètres, et pour lequel les ordonnées ou valeurs du temps et de l'espace éprouvent des variations très-sensibles.

MGCAHIQUK INDUStUKLLI.

jjjir=..j. = ..4

lîll 1 î llîïl îlifill llrM 1 lilîl 111 1»

ÎM

mmuBimmMh \ ->

Voulant, par exemple, trouver le temps que la résistance i Tair mettrait à réduire à loo mètres la vitesse initiale de K> mètres supposée au boulet du calibre de 24, question dont )us nous sommes déjà occupés au n*^ kkh, on trouvera, dans s colonnes verticales qui répondent à 5oo et 100 mètres de tesse et à la première des lignes horizontales relatives au Dulei dont il s*agit, o",324 et 11 ",65 respectivement; ce qui 3nne pour le temps cherché 1 1",65 — o",324 = i r'',326, dont différence aux ii'',77 obtenus dans le même numéro, procnt essentiellement de la légère différence entre les lois de sistance admises dans les deux cas. En opérant d'une maère analogue pour les espaces, on trouvera que celui qui est crit par le projectile dans Tintervalle dont il s'agit, est de 21^ — 178"* = 2i43", au lieu des 2242 mètres obtenus dans numéro déjà cité; mais il s*en faut de beaucoup que la difence des résultats demeure toujours circonscrite dans des lites aussi étroites pour d'autres hypothèses. Bnfîn si, au lieu de supposer la vitesse réduite précisément 00 mètres, comme dans la Table, on voulait la prendre égale 20 mètres par exemple, il faudrait alors recourir aux courbes nterpolation déjà mentionnées, et qu'il suffirait de tracer iir les abscisses ou vitesses, de 200, i5o, 100 et 5o mètres, isinesde 120 mètres; on trouverait ainsi 9^,04 et 2047 "hêtres ?peciivemeni, pour les valeurs cherchées et que nous avons ectivemeni obtenues au moyen d'un tableau de semblables urbes tracées, dans toute leur étendue, par M. Piobert, qui >ien voulu nous en donner communication. Les mêmes prodés serviraient évidemment à faire découvrir l'espace relatif jn temps donné, ou réciproquement; c'est pourquoi il deent inutile d'insister.

Cas du mouvement vertical.

i48. F aie ur de la force dynamique, retardatrice ou accéléatrice, dans le mouvement ascendant, — Pour les corps trèslenses, ce mouvement sera évidemment à la fois retardé, et )arla résistance R du milieu,* et par l'action de la pesanteur iur le corps, dont le poids P = QII [khO) devra d'ailleurs

70a ■ÉGAHIQUI mosTinuB.

(U, 113 et saivants) être diminué de tout cdvi do voIhmQ de l'air qu'il déplace» poids que nous nommerons W=zQf^ et qu'il sera facile de calculer au mojen de la denallé / îi fluide (iSl). Nous aurons donc ici (UO)

F:;=R-hP-F OU ^JL±JSlQZ—ti^in^p)Q;

ce qui donne pour le rapport de f^ è i, dans le mooveami ascensionnel du corps, ou pour la force dynsmiqoe idalhe a Tunité de masse.

«rR

(n -hii/>)Q ^ (H + 1^)0 ^ » n -4r V

quelle que soit d'ailleurs la loi suivie par la résistance da milieu.

Pour les projectiles sphériques de l'anillerie lancés iciticalement dans l'air, de bas en haut, on poom négligvle terme np, relatif au fluide entraîné (UO), el, comme kv poids P, même en les supposant creux, est au moins SomMi celui F du fluide déplacé, on pourra aussi ne point teak compte de ce dernier dans les calculs; ce qui, pour leshjpo* thèses des n*" 4*31 el kk% donnera simplement

P) K o,Q!iArV' . o

Ud

formule qui met en évidence Tinfluence respective du diamètre d, de la densité moyenne II du projectile, et de la gravité ou de g, sur le ralentissement plus ou moins rapide da mouvement ascendant.

Plus spécialement encore, on aura pour le boulet de ^,(\\ï\ nous a déjà occupés aux n** hSS, 442 et 444, les formules

F =R-hP =0,0010755 ArV*-M2. j = 0,00088 A^V>+9-,8o9.

dans lesquelles il ne reste plu^ queAr et V d*indéterminés, el qui montrent que le mouvement sera de plus en plus retarde comme pour les projectiles lancés horizontalement, mais d*uiie

DBS RtelSTANClS. 7o3

manière bien autrement rapide, et à peu près comme si ce projectile étant soutenu par un plan horizontal matériel (4Jh6), son frottement venait à se joindre à la résistance de Tair. On voit, en effet, que la force retardatrice F, conservant, à tous les instants, une valeur qui surpasse 12 kilogrammes, il faudra bien que le mouvement finisse par s'éteindre complètement, même en un temps fort court.

Si, au lieu de posséder une densité moyenne II, supérieure à celle/? de Tair, le corps en avait une beaucoup moindre, il ne serait évidemment plus permis d'agir et de raisonner comme on vient de le faire. Dans le cas, par exemple, d'un ballon en tafTetas verni, gonflé par du gaz hydrogène dont la densité est environ le ri de celle de Tair à circonstances atmosphériques égales (40), ou, plus exactement, 0,0688 x i^Saay = o^«,o82 pour I mètre cube, le poids de l'enveloppe réuni à celui du gaz qu'elle renferme, c'est-à-dire P, loin de surpasser celui de Tair entraîné ou déplacé, en serait une fraction assez faible; et alors aussi, non -seulement il ne faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir, mais encore il tendrait, par lui-même, à s'élever avec une force mesurée par F — P, et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré (108), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir.

La même chose pouvant se dire, en général, de tous les corps qui sont spéciflquement plus légers(35) que le fluide qui les contient, on voit que la force dynamique ou accélératrice totale, dont ils sont animés, deviendrait alors

de sorte qu'on aurait généralement aussi

^^/^-n gR .

7 ^'U-hnp {ll-¥np)Q^

formules qui ne diffèrent des précédentes que par l'inversion des signes. Mais, au lieu de raisonner dans ces hypothèses générales, il vaudra mieux revenir à l'exemple particulier des ballons, qui est assez intéressant en lui-même, pour que nous consacrions l'article suivant, tout entier, à l'examen des particularités que son mouvement peut offrir.

7o4 MÉCAHIQUB 1NDU8T11BLLB.

kk9. Exemple relatif à l'ascension verticale des ballons, limite de leur vitesse, — Supposons ( PL III ^ Jig. 'jS ) un ballon sphcrique de lo mètres de diamètre» son volume sera, à trèspeu de chose près, de 523""% 6; par conséquent te poids do volume d'air qu'il déplace dans les circonstances atmosphériques indiquées au n** k^i, aura pour valeur

523™% 6 X I ^S 227 = 642*^», 5 ; celui du gaz hydrogène qu'il contient,

seulement; et enfin le poids absolu du fluide qu*il entratne(U2)«

o,Gx642^S5 = 385^«,5;

poids énorme comme on voit, et qui doit exercer une trèsgrande influence sur les lois du mouvement.

Ordinairement les ballons destinés aux voyages aériens portent, suspendue à un système de cordes, une nacelle ou gondole, en osier, très-légère et dans laquelle se placent lesaéronautes; nous supposerons que le poids de ces objets et de tout le surplus de Téquipage soit de 35o kilogrammes, mesuré dans l'air, ce qui est une charge considérable. Enfin, pour êtreparfailemonl rigoureux, il conviendrait encore d'avoir égard à h résistance de l'air contre la gondole, les cordages, <,»tc., ainsi qu'à la niasse de fluide (|u'ils entraînent; mais, eoniino 't^^ (luanlilés seraient impossibles à évaluer d'une manière précis»', et qu'elles doivent être très-petites vis-à-vis de celles qui ^e ra|)portent au ballon, nous en ferons abstraction, sons penire de vue néanmoins la faible part d'influence qu'elles peiiveiu exercer sur les lois du mouvement. D'après cela, le ballon -ocrait enlevé avec un(* force constante

(jui sera diminuée, à cbacun des instants du mouvement ascensionnel, de toute la résistance opposée par l'air, et que nous continuerons à évaluer au moyen de la formule

Rr.zo,oG253/,AV»

DBS résistàncbs. 7o5

a* 431, laquelle devient ici, à cause de A = 78"*i,54,

R = 4.9IIA•V^

}uant à ta masse totale mise en mouvement par la force mo- ;e ci-dessus, elle se composera à la fois (440) : i*» de celle

fluide entraîné dont le poids absolu a été trouvé égal 85^'y5; 2^ de celle du poids pareil du ballon et de son uipage, c'est-à-dire de 35o kilogrammes, augmenté du poids

volume d'air déplacé, puisque ces 35o kilogrammes ne sont s censés avoir été ramenés au vide ; mais, à cause de la grande nsité de ces objets, dont la résistance n'a point non plus été préciée, nous ne tiendrons pas compté d'une pareille diffénce; 3" enfîn de la masse de l'hydrogène enfermé dans le illon, et qui pesant dans le vide 4^^'>94* ^^^ pareillement

umis à la loi d'inertie. La somme de ces masses sera donc ;ale au quotient du poids

wisé par

^ = 9^«,8o9, ou à 79»^;

par conséquent, on aura ici, pour calculer toutes les cirnsiances du mouvement,

= 049^56-4,91 ifrV% J= -X-z:z3,,447-o,o6i76A-V'.

Le ballon partant de terre avec une vitesse V d'abord nulle, voit que, tant que la résistance 4,9' i A" V' restera au-dessous 249^', 56, cette vitesse augmentera de plus en plus, et de aintités qui, à la vérité, iront sans cesse en diminuant pour s instants égaux /. Mais si cette résistance pouvait devenir lie à 249^', 56, ce qui exigerait que la vitesse atteignit elleime la valeur fournie par la relation

249^S56;=4»9"*"V', ou 3,1447 = o,o6i76frV*,

siquellc on satisfait en prenant à la fois Ar = x>,64, d'après la t>le du n® 428, et V=:8'",9i par seconde, alors la force aclératrice F deviendrait nulle, aussi bien que l'accroissement

féS wÊCàMHunm nmifnuiLLB.

correspoodant (^ de la Tiiesse, et le mouveoieiii rier, il se continuerait uaifonnément en vertu de riiieilk(ii] ou de la vitesse acquise par le ballon» si toutefois les cirMi* stances restaient, dans les régions supérieures de l'ataosphèn^ les mêmes qu'à la surface de la terre.

La discussion de cette particularité reniarquaUe do ment ascensionnel des ballons» étant fort délicate et se dulsant dans d'autres questions qui reviendront plus loia, je n'insisterai pas en ce moment» %t me contenterai de bire observer que» pour un fluide quelconque et un corps spérill^ae ment plus léger, dont la résistance» à Tascension» pounaitêlK exprimée par la formule du û^ 382» la vitesse limite» doatl s'agit, serait généralement fournie par réquation

F=F-P-R=F-P-fr/iA^ = o, ou Y=^^^^^,

Ar et V devant avoir ici des valeurs qui se correspondent la Table du n« 438, ne peuvent ainsi être obtenues que pir h méthode des approximations successives» nommée rè^ 4e faune position. Mais, il est évident que le phénomène doall s'agit est indépendant de la nature particulière de la loi de tésistance, et, dès que cette loi sera donnée, on pourra toujoon trouver la vitesse limite du corps par une équation analogueâ la précédente, que nous avons rapportée simplement poar fixer les idées.

Ce qui diminue d'ailleurs l'intérêt qui pourrait s'attacber à la question dans le cas particulier des ballons» c'est la nécessité où l'on est, comme on la vu, de négliger l'influence, asseï grande, exercée par la résistance des parties accessoires, et de supposer les circonstances atmosphériques constantes a touia les hauteurs; ce qu'il n'est pas permis d'admettre, même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aériens. Li hauteur de ces ascensions surpasse souvent, en effet, 2000 1 3ooo mètres, et l'on a vu, dans un pareil voyage, entrepris uniquement pour le progrès des sciences, deux illustres physiciens français, MM. Biot et Gay-Lussac, s'élever verticalement dans les airs, à une hauteur de près de 4000 mètres; puis ce dernier, dans un second voyage, aueindre seul la hauteur

BB8 ifiSISTAlfClS. 707

énorme de 7015 mètres au-dessus du niveau des mers, la plus iprande de celles auxquelles se soient jamais élevés les hommes, même en gravissant les montagnes (*). Or ces courageuses expériences constatent, ainsi que des observations antérieures ou postérieures, dont les plus importantes sont dues à MM. A. de Humboldt et Boussingault, qu*à de telles hauteurs, la température, la pression et la densité de l'air éprouvent, ainsi que Faction de la gravité, une diminution très-sensible, et dont il serait nécessaire de tenir compte dans des calculs rigoureux ; -ce que les savantes recherches de M. Biot, sur la constitution de l'atmosphère [Connaissance des Temps pour 1841), rendrait possible d'une manière approximative, si la question qui nous occupe en valait la peine.

Quant aux élévations de 4^0 à 5oo mètres, par exemple, il serait peu nécessaire de s'en inquiéter pour les ballons, et en- -core moins s'il s'agissait des projectiles très-denses de l'artillerie, et qui, tels que les bombes, sont élevés dans l'air, parla force de la poudre, à des hauteurs généralement médiocres.

450. Valeur de la force dynamique , accélératrice ou rftardatrice dans le mouvement vertical descendant. — Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement des corps ou devient accélératrice toutes les fois que la densité moyenne n(<^<^0) de ceux-ci surpasse celle du fluide, comme cela a lieu, par exemple, pour les projectiles de l'artillerie : -elle se compose évidemment alors du poids absolu P du mobile dans le vide, poids qui mesure proprement l'action de la

(*} Nous saisissons cette occasion de rappeler que les ballons aérostatiqnes forent découverts en 1782, par le célèbre Montgolfler, d'Annonay,et que Pilastre 1>es Rosiers, physicien distingué, né à Mets, périt en 1 7K5, TÎctimp de son zèle pour les progrès d'un art qui était encore dans son enfance, lorsqu'il tenta de franchir le détroit qui sépare la France de l'Angleterre. Il fut aussi le premier qui, au mois d'octobre 1783, c'est-à-dire quelques mois seulement après l'époque où les frères Montgollier firent leur brillante expérience d'Annonay, eut le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs, à l'aide des ballons. La Tille de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle eut lieu la chute de Des Rosiers, a fait élever, à sa mémoire, un lyonument modeste, naguère en ruine, et que la Société académique de cette même ville vient généreusement de restaurer, en honorant ainsi, une seconde fois, le courage malheureux d'un savant qui lui fut étranger. (Note de l'édition de 1829.)

'J.oS MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

gravité sur ses dilTérentes parties, diminué et du poids du volume de fluide qu'il déplace, et de la résistance R, qu'il éprouve, à chaque instant, de la part de ce fluide. On a donc, dans de telles hypothèses,

ce qui donne (HO)

t, P — F— R n — P gR

et le mouvement de descente s'accélérera continuellement tant que le poids P — P' du corps, dans le fluide, surpassera la résistance R, opposée par ce dernier. Mais, de même que pour le cas ci-dessus des ballons, il s'accélérera de moins eo moins, attendu que R croît très-rapidement avec la vitesse V du corps; il arrivera même bientôt un instant où il ne s'accélérera, pour ainsi dire, plus du tout, quand R approchera d'être égale à P — P', ou que V différera très-peu de la valeur fournie par l'égalité

"^ og ^ pA

si Ton continue à admeilre la loi de rosisUince du n" 382.

Ainsi, (încore, lo rapport de c à /, variant désormais dt' quantités extréinomeiil petites, le mouveinenl tendra a dev»'nir uniforme, el il le deviendrait rigoureusement, si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse liinile dont il s'agit. Mais, comme le rapport inverse du temps / à laccéléralion correspondante e de la vitesse, converge, dès lors, vers rinfmi. on se trouve ici dans des circonstances analogues à cell«»s(]ui nous ont occupé au n" 4V2, circonstances dont nous ren\ errons la discussion approfondie à Tun des articles ci-après.

D'ailleurs ces mêmes circonstances supposent essentiellement i\[ïQ P— V surpasse K, dès l'origine du niouveinent, eu à l'instant de la descente du mobile; s'il en était auiremeni, si la vitesse initiale rendait K plus grande que P — P', P continuant à surpasser P', connne on vient de le supposer, la \itesse, loin de s'accroître, serait évidemment diminuée ou re-

DBS RÉ818TANCBS. 709

lardée par une force

et le serait continuellement jusqu'à l'instant où la résistance R se trouverait assez amoindrie pour n'être plus égale simplement qu'à l'excès du poids absolu P du corps, dans le vide, sur le poids P' du volume de fluide qu'il déplace; ce qui arriverait précisément pour la vitesse fournie par l'une ou l'autre des équations de condition déjà posées ci-dessus.

Cette vitesse étant la même que celle du cas précédent, quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes, on voit que, en général, quelle que soit V énergie avec laquelle un corps se^ rait lancé verticalement, de haut en bas, dans un Jluide indé- Jini et homogène d'une densité moindre que la sienne propre, la vitesse de ce corps convergerait , tendrait sans cesse vers une même limite, qu*il est possible de calculer à l'avance, mais qu* il n* atteindrait pour ainsi dire jamais.

Enfin si le poids spécifique du mobile était inférieur à celui du fluide ou que P' surpassât P, la vitesse serait de plus en plus retardée, tant par l'action de P' que par celle de la résistance R; de sorte qu'on aurait alors, pour la force retardatrice effective,

quelle que fut la valeur de celte résistance ou de la vitesse, La somme R -4- P' surpassant donc constamment P, il est clair que le mouvement finira par s'éteindre complètement; et, comme on aura à cet instant

Vr=0, R^O, F=:P-P,

force toujours dirigée de bas en haut, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin, ou à remonter en vertu de cette autre force, désormais accélératrice,

F = P'-(Ph.R):

il suivra donc dès lors absolument les mêmes lois que celles qui se rapportent à l'ascension des ballons (4W et W9); ce qui nous dispense de poursuivre davantage l'examen de son mou-

7IO ■tCÂHlQI» mOBTBIlLU.

vement. Ce même cas est d'ailleurs anaiogne à celoi qoe prê* senle un corps dense lancé, de bas en haut, avec une certaine vitesse, et qui, parvenu à sa plus grande élévation, .redesceai ensuite par Taciion prépondérante de son poids sur celle d€» pressions extérieures, ou du poids du volume d'air déplacé.

451. Exemples particulien et faite généraux relatifi à k pluM grande vitesse de chute des corps dans les Jluiim. — Dans le cas particulier du lioulet de a4 du nr 438, dont le poid^ dans Tair, P -^ F = i a^i. le mouvement, s'il était suffisamnwai prolongé, deviendrait uniforme à Tintant où Ton aurait

la^ = o,ooio755iir y.

Or on voit de suite, d après la Table du numéro dqa ctl^ que cette condition est satisfiJte par une vitesse d'enviroa laS mètres par seconde, à. laquelle correspond (4K) uneialeur du coefficient A* de la résistance» qui doit peu dliénr de 0,7 1 + T X 0,06 =0,725. Telle est donc aussi la plus grMde viiqsse qu'un boulet, de ce poids et de cette dimension, paiae acquérir en tombant verticalement dans Tair; et c'est aori vers cette limite inférieure que tendrait la vitesse d'un boulet quelle que fût la rapidité de son mouvement initial de descente.

Cette même vitesse limite diminuerait évidemment avec le poids spécifique du projectile par rapport au milieu. Pkr exemple, on la trouverait respectivement de 207, ifi et 43 mètres par seconde environ, pour des Iwules de même grosseur, en platine, en glace ou eau congelée et en bois d'orme, doM les poids seraient à très-peu près, de 36 kilogrammes, 7^,1 et 1^,36. Elle diminuerait pareillement avec la grosseur 00 le diamètre, quoique dans une moindre proportion : ainsi, |KHir des globes de même densité, mais dont le diamètre usA seulement de ^xo».i48 ou 5**,9, elle se trouTen/l ;éduite à I envini^n des Taleurs ci-dessus, et plus particafiére^ ment,à ^X •!<>* = 9*. a pour une bille de glace dont bgrosseor serait à un peu près celle des grêlons ordinaires, lesqoeb, a ■ ^ réalités doÎTent aciqu«»ffir des vitesses de cbuie beaucoup noû- k^ dres« a cause de rercédant de résistance occasjoonëpir leor \^\ angwlettsie et b rotation qui peut en résoller. jv^ ^

DB8 RÉ8I8TAlfCB8. 7II

Au surplus, rinfluence du diamètre el de la densité devient tout à fait explicite et manifeste quand, dans la relation générale

P-P' = R = A^pA— , ou AV'=ag^^ /S

on remplace, comme on l'a fait au n** H2, pour une autre circonstance, P, F et A, par leurs valeurs analytiques dans l'hypothèse où le mobile serait sphérique. Elle devient, en effet, si Ton conserve aux lettres la même dénomination et qu'on suppose toujours, pour le lieu où nous sommes, ^ = 9™>8og,

ce qui montre que, dans les exemples ci-dessus, où le rapport de n à p n'est pas descendu au-dessous de '600, les vitesses limites V sont^ à très-peu près, proportionnelles à la racine carrée du diamètre du mobile et du rapport de sa densité à celle du milieu.

Ceci explique pourquoi (7) les poussières extrêmement ténues tombent dans l'air, et à plus forte raison dans l'eau, avec une si grande lenteur, quoique leur densité surpasse notablement celle du fluide qui les renferme; et des considérations analogues, fondées sur les formules générales des n"* 442 et 448, relatives au mouvement horizontal ou vertical, servimient également à expliquer comment il arrive (7) que les courants d'air ou d'eau entraînent les débris des corps solides, d'autant plus loin qu'ils sont plus ténus, moins denses, tandis que ces mêmes parties sont, à Tinverse, celles qui parcourent le moins d'espace quand on les lance, dans un air en repos, avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle. Mais la diversité de la forme des corps n'influe pas moins, comme on va le voir, sur la limite de leur vitesse, que leur densité spécifique et leurs dimensions absolues.

452. Calcul de la plus grande vitesse de descente des para-chutes dans l'air. — On sait que les parachutes à l'aide desquels les aéronauies peuvent abandonner leurs ballons et descendre sans danger, des régions supérieures de l'atmosphère.

■Jlf. HiCANlQUE INDIlSTIIIELLS.

iiont ;i p<>u près disposés comme les parapluies ordinaires (/*/. III, Jig, 76), si ce n'est qu'Us reçoîveni des dimensions beaui^oup plus grande!*, et qu'ils porient, à l'extrémité infrrieure de leur lige «erticule, une petite gondole en nsi^r. propre à recevoir le vojngeur. H devient inléressani de se demander quelle sera la limite de vitesse qu'un pareil svslèinc poucra alteindru sous des dimensions doiinéps, dans sa desceiil* verticale, ou quelles devraient être ces dimensions pounjue la vitesse effective demeurill inférieure à une limite égalemem assignée, et qui serait reconnue n'ofTrir aucun péril pour le ■voyageur; question analogue à celle que Oubuai avait déji traitée dans le tome II de ses Princi/jes li'IIrdraulirjue ln"â^ et 557 ), iorTgiemps avant que Gamerin ait eu la hardiesse At teiuer, pour la première fois, sa dangereuse expérience.

Considérant, à cet efTet, un plan mince circulaire ethorizonlal, pour lequel il suppose (405) A =i,43, il trouve que, sous un diamètre de 18 pieds, la limite de la vitesse sérail d'environ 19 pieds ou 6 mètres par seconde, qui répond *ensiblemenl à la hauteur de 6 pieds ou 2 mètres, de laquelle ua homme exercé pourrait se laisser choir sans trop de dangfr: mais il sera plus prudent de réduire cette même vitesse > 4 mélres, ce qui exigera simplement d'agrandir un peu la surface du parachute.

On peut juger, d'après le résultat des expériences de M. Thtbaull, rapportées aux n" 409 et 410, que, pour une flèche comprise entre le j et le y de l'envergure ou diamètre mojen du parachute, la résistance serait, tout au plus, i,i5 fois celle d'un plan mince qui aurait pour aire la projection A, de sa surface, sur un plan perpendiculaire à son axe vertical. D'un autre côté, nous avons vu (407) que la valeur la plus probable de t, pour ces derniers plans, était de i,3; on aurait donc, dans le cas actuel,

A- = i,3xi.ii5=^i.5,

en nombre rond; de sorte qu'en supposant au parachute un diamètre moyen de 8 mètres, ce qui donne

on pourrait calculer sa résistance, dans les circonstances or-

DBS RftSISTAIlCBS. 7l3

dinaires, par la formule

R = o,o6253xi,5AV» = o,o938AV» = 4,7i5V\

SI l'on s*en référaity au contraire, au résultai des expériences spéciales de M. DidicMi, qui se trouvent consignées au n** ïll, on obtiendrait, en supposant sensiblement p = p\ et négligeanty à cause de leur faible influence, le terme constant et celui qui provient de la masse. d'air entraîné, puisque le mouvement est censé parvenu à sa limite ou à l'uniformité (448), on obtiendrait, dis-je,

R = o,i63AV» = 8,i9V%

résultat presque double du précédent auquel il nous semble convenable d'accorder la préférence dans une question de celle espèce.

D'après cela, supposant que le poids P — P' du voyageur et de tout le surplus de l'équipage, mesuré dans l'air, soit de 85 kilogrammes, la plus grande vitesse que puisse acquérir le parachute dans sa descente, sera donnée par la condition

4,7i5V»==85, ou V = v^i8,o297 x4>25

par seconde. Une telle vitesse, en supposant même qu'elle pût être atteinte, serait assez faible pour prévenir tout accident à l'instant où la gondole toucherait terre : un procédé inverse el tout aussi simple d'ailleurs, servirait à trouver la valeur de l'aire A, propre à satisfaire à toute autre condition.

Nous venons d'ajouter : en supposant qii * elle pût être atteinte; car nous n'avons pas tenu compte de la résistance de la gondole, des tiges du parachute, etc., et les calculs ne se rapportenl qu'à la plus grande vitesse que puisse acquérir le système, à celle qui répond à l'instant où le mouvement serait devenu entièrement uniforme (H9 et suivants). Or il est aisé de se convaincre que, dans la réalité, les corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air, ne peuvent, comme on la déjà Insinué au n® 450, jamais parvenir rigoureusement à cet étal de mouvement, quoiqu'ils en approchent sans cesse, et que, dans certains cas où la masse du corps et du fluide entraîné est

^■4 IRCAKIQUB inltCSTKltlLS.

très-pelite, ils puissenl en approcher de forl prés, mèmett bout d'un inlervalle de lemps médiocre, comme le prouve ti relation (45o)quî donne le rapport de cà /.

V53. Démonstration géométrique de l'impossibilité que It mouvement continu atteigne rigoureiuemenl sa limite uniforme. — D'après les discussions des n"' 442 el V43, ce fai'l peut 4tre considéré comme une conséquence évidenle de b rapidité avec laquelle le rapport de c à / ( V50), lend, dans \t cas actuel, à décroître, et le rapport inverse de / à t- à troUre avec la vitesse V, possédée aux divers instants par le mobile: mais il ne sera pas superflu de le démontrer directemeni, sans calculs et par les seules considérations de la géométrie, d'autant plus que le principe est important, ei s'applique indistinctement à tous les cas où le mouvement tend, sans ces^. à se régulariser par l'action d'une Torce dynamique décroissante Cl dont l'inlensîté, uniquement variable avec la viies^, suit une loi exactement continue et mathématique.

Traçons {Pl.ni,fig. 77 et 78) une courbe ABC dont IfS abscisses OC, Ot', Ot" représentent (50) les temps succès

sivement écoulés depuis l'origine du mouvement, qui. ici, répond au point 0, et dont les ordonnées /'u', t'v'. Ci'",. .. correspondantes, représentent, au bout de ces lemps respccliTs, les vitesses acquises par le point du corps où est censée appliquée la force accélératrice ou retardatrice ; il est clair que, quand sous l'influence de cette même force, la vitesse augmentera (/»/. ///./g-. 77),oudiminuera{/'/.///,^g.78), constamment, par succession insensible ou suivant une loi rigoureusement continue, la courbe s'éloignera ou s'approchera aussi continuellement de l'axe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, à la fin, constante ou uniforme, la courbe devra également, dès lors, se confondre avec une parallèle à ce même axe; mais, comme une courbe continue diffère essentiellement, dans sa nature, d'une simple ligne droite, comme son tracé géométrique, sa loi mathématique sont essentiellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci, elle ne saurait, rigoureusement parlant, jamais dégénérer en une telle ligne, bien qu'elle puisse en approcher de plus en plus et indéfiniment, de sorte, par exemple, qu'au bout d'un temps

DBg RtSIgTAMCIS. 7l5

excessivement long, ou à une distance excessivement grande de Torigine 0, les vitesses ou ordonnées diffèrent aussi extrêmement peu de celles qui appartiennent à une droite DE, parallèle à Taxe OT, des temps ou des abscisses. Or cette droite est ce qu'on nomme une asymptote dans la géométrie des courbes» et c'est la valeur constante OE, TD, de ses ordonnées, que nous avons, tout à l'heure, déterminée pour le cas du mouvement vertical des corps dans l'air.

Telle est l'interprétation géométrique fort simple du fait qui nous a d'abord été révélé par le calcul et le raisonnement, fait qui se reproduit dans une infinité de circonstances, parce qu'il existe aussi une infinité de lois, une infinité de courbes qui donnent lieu à des asymptotes, dont le caractère général est, comme on voit, de s'approcher continuellement et indéfi^ niment d'une certaine branche de ces courbes, sans néanmoins pouvoir jamais l'atteindre , droites que l'on considère aussi quelquefois, comme de véritables tangentes au point situé à l'infini sur une telle branche (*).

Les hyperboles, entre autres, dont nous avons rencontré des exemples dans divers numéros de cet Ouvrage, possèdent deux asymptotes pareilles, quand on les trace dans toutes leurs parties, car elles ont aussi deux branches infinies; mais toutes les courbes qui ont de telles branches n'ont pas pour cela des asymptotes : la parabole entre autres est dans ce cas. En général, on doit voir, par là, combien l'étude des courbes géométriques est utile pour la mécanique, puisque chacune de leurs propriétés répond essentiellement à quelqu'une des propriétés relatives aux lois du mouvement des corps ou de l'action des forces qui les sollicitent.

4&4« Réflexions sur la manière dont les moteurs communia quent le mouvement aux machines. — Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quel-

(*) On peut ici justifier directement cette notion en se rappelant (53) que le rapport de ^ à /, qui représente, en général, Tinclinaison des tangentes de la courbe sur Taxe des abscisses ou des temps, devient nul avec la force dynamique, ou pour Tordonnéc qui répond à la vitesse limite, caractère qui appartient à vne parallèle à l'axe dont il s'agit.

^|6 HfiCUriQVK mnUDTKRLLe.

con()iic, il commence par la mpurc en mouvemeiil, av« un effort qui d'abord est trèii-grand (l!i8). il détruit à l« roi«,iu point où il opère immédiaiemeni. ei la réaction prorenam it l'inertie des pièces de la ninrliin« et relie des diverses résistances nuisibles ou utiles; la riircr; djmomique F. qui acc^lèrr le mouvement, fisldonc alors égale; à l'pxpês de l'effort total *i moteur sur l'elTort que lui opposent direciemftnl relies des rfïsistances dont il s'agit, qui sont indépendantes de l'ïiieriie. Or, comme ces résistances, ou restent sensiblement les in^iifi à chaque insuiiu, ou augmonlenl de plusi en plus avec la «ite«r. et que l'effort du moteur décroît au contraire ( 148) constuament, il en résulte que le mouvement s'accélère de moins pr moins, fi peu près comme dans les cas qui précèdeoi, dp sorte qu'il tend sans cessi; a se régulariser ou à devenir uniforint: mais ce n'est qu'au bout d'un temps, souvent fort long, fjue b vitesse atteint sensiblement la limite de sa valeur, à laqudlf elle ne parvient même jamais, mathématiquement parlant, àasi , beaucoup de circonstances.

Toutefois les moteurs animés différant essentiel lemem dn autres en ce qu'ils ont la faculté de maintenir, pendant un cet- Tain temps, l'intensité entière de leur effort primtlir. malgré l'augmentation de la vitesse, puis de le diminuer tout à coup, et de le réduire à celui qui est strictemeol nécessaire pour vaincre les résistances étrangères â l'inertie, ou pour enlretrnir la vitesse du mouvement au poimoù elle est p.irvcnuea n" certain instant, on voit que la proposition ci-desstis n'est plus exactement applicable, et que la machine peut aiteindre, au bout de très-peu de temps, l'état moyen du mouvement qu'elle doit conserver. Or, la même chose aura lieu (24! ) toutes les fois que la force motrice ou les résistances suivront une loi discontinue, arbitraire, et qui ne dépendra pas uniquement 6e la vitesse.

455. Question particulière relative à la chute des corps dont l'air. — [^es méthodes de calculs dont nous avons offert ud exemple dans le n" 444, pouvant tout aussi bien s'appliquera la recherche des lois du mouvement vertical, ascendant ou descendant des corps, qu'à leur mouvement horizontal, puisqu'il ne s'agirait que de modifier, d'après ce qui a été dit aux

DBS RtSISTANCBS. 717

n^ 448 et 450, les valeurs de la force dynamique, il serait peu nécessaire de revenir ici sur de semblables calculs; mais, at* tendu que, jusqu'à présent, nous n'avons point offert d'exemple de la manière dont on doit s'y prendre pour trouver l'espace décrit par le mobile, quand le temps est donné ou réciproquement, nous terminerons ce Chapitre par la question suivante, en elle-même assez digne d'intérêt.

Ayant observé expérimentalement , à l'aide d'une montre ou chronomètre, le temps qu'un corps a mis à tomber verti^ calemenif d'une certaine hauteur, dans l'air, trouver cette hauteur.

Pour faire une telle expérience dans la vue, par exemple, d'obtenir la hauteur d'un édifice ou la profondeur d'un puits, il conviendrait, si l'on avait en sa possession un moyen trèsprécis de mesurer le temps, de choisir un corps sphérique exactement calibré, très-dense et d'un assez fort diamètre, afin de diminuer l'inlluence de la résistance de l'air et les incertitudes relatives à sa mesure. Dans le cas où, au contraire, il deviendrait, par exemple, impossible d'apprécier le temps à un dixième de seconde près, on se servirait d'une boule assez légère afin d'augmenter la durée de sa chute, et c'est aussi ce que nous supposerons pour mettre le rôle de la résistance de l'air en complète évidence. Nous supposerons qu'ayant laissé tomber d'une certaine hauteur, une boule en bois d'orme de o^joS de diamètre, et dont le poids P, mesuré directement dans l'air, aurait été trouvé exactement de o^»,ooii3, l'observation directe du temps ait donné i",5 pour la durée effective de sa chute, et nous prendrons A* = 0,62 pour la valeur moyenne ou constante, la plus probable (425 et suivants), du coefficient de la résistance qu'éprouve une pareille boule, sous des vitesses qui, dans le cas actuel, ne sauraient dépasser celle de 22 à 23 mètres par seconde, comme on va s'en assurer, à posteriori, au moyen de calculs analogues à ceux du n** 451 {*).

{*) Dans cette hypothèse particulière de â constant, qui est toujours permise pour une faible étendue des variations de la vitesse V du corps (428), c'est-àdire quand on suppose la résistance exactement proportionnelle au carre de cette vitesse, on peut immédiatement calculer les lois du mouvement vertical et parallèle du corps par les formules ci-dessous, généralement connues et

•jtS MBciNIQUR iuduhtbiells.

Dans ces hypothèses el en supposanl, de plus, les circonsuncw

atmosphériques semblables a celles qui ont servi de bwei

l'établissement de la formule R = o,o6a53ArAV' du n" Ml, on

aura

R = OjOCMioiagSV'', h cause de

ce qui donnera ( ^Vl el VSO], pour calculer les lois du mouve-

«ju'll lenit fiollp tio jii»liaBr encore ii l'uiJo de conaid^ratiam pureamal eMaé- Pour 1d DiDU*ement vortical nlirdé, qui peut tire bumI bien ilHuniIfll

reUIiim ilnnc laquello <i pt A ont Ip6 Talnirs numérique* qui h- iléduJHal da coniIdi'rBtionB da n"* 4tS «1 450, ut l'on pourra catruler dircctemenl U 1IMV V et rsi|)iire E, rttlMlirs a au nombm quelcouque T de lecnode* MouMn. ■* tDoyon dH formulea

oA les Io{^rilhoi« sonl louJDurs |,44li, nolit) cvntéi hyperboliqu». UndïtqvBi détlgne la racine Pnrréc du nppoH numérique de a k t, rt r cellr dt hif pn>dnil ^ai. Si l'on veal raleuler dirocloment Is tempt et l'aapue q«i t*-

Quand, au contraire, il ('«Bira de trouver la rileue V et le tempe T qai oorrMpondent à une hauteur donoée E, an recherchera dani les Table* hyperbolique*, le nombre X. dont le logarithme a pour lalnir le produit aE, qainl auui un nombre, et l'on calculera la râleur de V, au moyen de la Tormulr

d'où l'on déduira finalement celle de T par t'iTanl-demlére de* runoole* qa précèdent.

~ n aicendanl, la premier

- =* — aV"; « et ( prenant de aouTelle* Tileur* numérique* également facile* à calculer, d

DBS BÉSISTANGIg. 71g

ment, puisqu'il devient ici permis de négliger la considération du poids de l'air entraîné par la boule»

F = o^«,oi i3 — o, 00002298 V%

P o,ioiq47 ,,

^F i-o,oo2o336V« '

en prenant ^ = 9"'»8o9 et divisant, haut et bas, la valeur de /, par celle de P.

Ton aura, en supposant la Titesse initiale Y' nulle, comme cela arrive ordinairement,

>arT = log ^— j^» aflE = logj— ^^, V=y-^y^,

a, I, r, X ayant les mômes significations que ci-dessus, et Y désignant, de plus, le nombre qui, dans les Tables hyperboliques, a pour logarithme le produit

rT ou ^a&T, quand on se donne T à priori.

Nous aTons réuni ici ces différentes formules pour la facilité des applications ; mais il ne faut pas oublier que les logarithmes étant hyperboliques, X et Y ne

sont autre chose que les nombres ou exponentielles e , e^ , dans lesquelles la lettre e représente la base 2,718281 de ces logarithmes; de sorte que, si l'on fait usage de Tables ordinaires dont les logarithmes doiyent être multipliés par 2,3o3585 pour reproduire les précédents, les valeurs X et Y, X' et Y' seront données par les nombres qui y ont pour logarithmes respectifs les produits

de aE, yfâbT, 941E, Q^ô^T, multipliés par le logarithme ordinaire de 1,718380, ou par 0,4343945*

Pour la question particulière traitée dans le texte,

^ = ^ = 9*",8o88, a = o,ooao33fi^ = 0,01995, 1 = i/| =o,o45i,

r = v^ = 0,44333, T = 3", 5, rT = i , io583, log Y = o, 4343945. rT ;

ce qui donne Y = 3,01173, et, par la cinquième et la sixième des formules cidessus, relatives au mouvement accéléré,

aE= i,3oi585 x log 1,676335 = o,5i66i, E = 26™ ,899, V = 17»", 796.

Dans le texte, nous avons trouvé, par une méthode de calcul qui n*est guère plus pénible et demeure applicable à une loi de résistance quelconque, E = 35"*, 976, V = 17^,75 ; résultats dont la différence avec les précédents est à peine de quelques millièmes de leurs valeurs, ctquMl eût été facile d'obtenir à un plus grand degré d'approximation encore, sans compliquer beaucoup plus les calculs.

La limite àe. la vilessu que pourrait acquérir ta bonlo dans sa chute indéOnic, de\anl satisfaire à la condition F=o, un obtiendra pour sa valeur

vitesse en dessous de laquelle devra se trouver sensiblement celle de la boule à l'instant où elle touche terre. D'un autre côté, si la chute se faisail dans le vide, la vitesse acquise M bout des a', 5, serait (118)

quantité supérieure â la prccédente, et qui, par ce motif, ae saurait être prise ici pour limite encore plus rapprochée de la vitesse effective ou de celles qui doivent entrer dans les calculs {kïi), quoiqu'il puisse en être autrement dans le casd» fories densités ou des petites chutes. Enlin la hauteur de chute dans le vide absolu ayant pour valeur

Er^-g'T'=-VT=ia'",26xa",5 = 3&-.i8,

on est assuré, à l'avance, que la véritable lui demeurera inférieure d'une certaine quanlilé.

Cela posé, on commencera par rechercher, à l'aide d'uu tâtonnement plus lonj; qu'il n'est diflicile, la vitesse liiiale qui. dans l'air, répond effectivement à la durée de a', 5; car on eo déduira ensuite sans hésitation (441) celle de E. A cet effet, on supposera arbitrairement cette vitesse finale de 16 mètres par seconde, c'est-à-dire plutôt trop faible que trop forte, et partageant ensuite l'intervalle de o à 16 mètres, en quatre pa^ ties égales, d'après la marche déjà employée au n" W»4, on dressera la Table suivante des valeurs du quotient de P par^F, facteur de fdans t :

.,10195 j,io5Î7 i,)i7ao >,i44i6 ),aia65

DB8 RfiSISTANCIS. 721

ce qui donnera pour le temps que le mobile met à acquérir la vitesse de i6 mètres dont il s'agit,

ï ^ 4'*[^>*°^^ 4-0,2127-4-2x0, Il 72

valeur un peu forte, mais qui probablement est exacte à o'^yOi prèsy puisque la division en deux parties égales seulement, donnerait 2^,0898 pour première approximation.

La durée des 2*^,0633 étant surpassée par les 2",5o données, d'une quantité moindre que le ~ de sa valeur, ei les dilTérences consécutives des quotients fournis par la Table ci-dessus, ne pouvant (H4), à cause de leur marche croissante, appartenir qu'à une courbe qui s'écarte rapidement de l'axe des abscisses auquel elle tourne sa convexité, il en résulte que la vitesse cherchée sera de beaucoup inférieure à 16" 4- 7 X 16 ou ao mètres, et qu'il deviendra nécessaire de resserrer davantage les intervalles d'abscisses. On formera donc celte nouvelle Table :

VltMM. Valeir* de -^ •

OÙ rintervalle de 16 à 20 mètres se trouve divisé en quatre parties égales; ce qui donne i^, 2966 pour le temps écoulé dans cet Intervalle, ou i^,3o3o, si l'on se borne à la division en deux parties égales; résultat qui montre que la première valeur doit être exacte jusque dans la troisième décimale au moins.

Cette même valeur, ajoutée à celle 2",o633, déjà trouvée, donnant, en somme, 3^,36oo, on voit qu'en elTei elle est beaucoup trop forte; et, comme elle correspond à une vitesse de -20 mètres, fort voisine de la vitesse limite 22", 18, on doit en conclure que, bien que celle-ci ne puisse jamais être atteinte par le mobile, cependant il faut à ce dernier assez peu de temps pour en acquérir une qui en diffère peu. D*un autre côté, si l'on considère l'intervalle de 16 à 18 mètres, on trouve

i X i"(o, 21265 -4-0,29887 -+- 4 X 0,24726) = o^5oo2;

-22 MBCANIOIIB inDCSTIIELLE.

re (|ui donne a", 5635 pour le lemps que la boule mei * atteindre la vitesse de i8 mètres. Ainsi cette vitesse, encore imp forifi, doit différer très-peu de la véritable, qu'on découvrit! en observant que, si rinlervalle de a mètres entre les i6 et i8 mètres de vitesse, donne un arcroissement de temps de o",5oo2, l'intervalle qui repond à la différence o',o635 entre les temps 2'',5635 et 3'',Sooo, doit différer Tort peu de

o,5ouo ^ H

que nous réduirons à o"',35puisqu'eii substituant ici la corde i Tare (447). nous devons trouver une valeur un peu trop tant. Finalement donc, la vitesse correspondunte aux a',5 données, est. à une pelite frartion près,

i8'"-o",a5 = iT",75.

Maintenant que celle vitesse est eoniiue, on trouvera l'espace qui lui correspond, en multipliant, comme on l'a Taiiiu n" 445, les valeur?! déjà trouvées du quotient de P sur^C. par les valeurs respectives de V, alln d'obtenir celles des facteun de V dans l'expression de e {441 ), etc. En procédant à ces nouveaux calculs, dans l'ordre qui a été précédemment «uivi, on trouvera : i" iS^fSupour la hauteur de chute relative sut i(> premiers mètres de vitesse acquise; a" 8", 532 pour celle qui répond à l'intervalle compris entre la vitesse de lèà i8 mètres; 3" j Xo,a5 x8'",532= i°',o67 pour celle que décrit le mobile pendant qu'il passe de la vitesse de 1 7"", ^5 à celle de 18 mètres; ce qui donne, pour la hauteur de chute efTeclive,

valeur qui ne doit supasser la véritable que de quelques centimètres. On trouverait, par une marche exactement inverse, la durée relative à une hauteur de chute donnée, et il va sans dire que des calculs absolument semblables serviraient à faire découvrir toutes les particularités du mouvement ascensionnel des corps dans l'air ou dans des fluides quelconques.

DBS mftSISTAHCIS. 7^3