PEINCIPALBIIENT FONDEE SUR LA CONSIDERATION DBS FORCES VIVES

{a). Notions préliminaires et fondamentales. — On a pu voir, par l'exposé des n*^ 373 et suivants de cet Ouvrage, combien les notions physiques concernant la résistance des fluides laissent encore de vague et d'obscurité, et combien il serait à désirer que ces notions fussent coordonnées entre elles et rattachées aux principes généraux de la Mécanique, par un lien plus solide, et qui, en Tabsence d'une théorie mathématique rigoureuse, permit, au moins, de se rendre un compte clair et satisfaisant des principaux faits ou résultats de l'expérience. Or cela ne nous parait nullement impossible, si, en considérant ces résultats dans leur ensemble, on essaye de les déduire, d'une manière plus explicite qu'on n'a pu le faire dans le n** 381 du texte, de Tapplication du principe des forces vives à ce genre de phénomènes, en suivant à peu près la marche tracée, en premier lieu, par Bernoulli et Borda, dans leurs recherches physico-mathématiciues sur l'écoulement des liquides.

Rappelons-nous, en effet, cette remarque importante due à Tesprit ingénieux de Dubuat, et qui s'est présentée en plusieurs endroits du texte, notamment aux n*** 378 et 379, 392 et 418 : Quand un corps est exposé à l'action directe d'un fluide, les molécules de ce dernier ne sont soumises à la déviation résultant do lobstacle que présente ce corps à leur libre passage, que dans une certaine région de part et d'autre de l'axe du corps, parallèle à la direction du mouvement; elles se meuvent comme dans une espèce de canal prismatique ou cylindrique, dont les parois LM, L'M' {Jî^, 53, 55, 8o, etc., PI. III) seraient parallèles et à peu près équldistantes par rapport à celles du cylindre circonscrit luimôme au corps, suivant la direction du mouvement absolu ou relatif;

724 HÉCANIQUB IHBUSTRIBLLB.

de sorte qu*en amont de ce corps, Fécoulement se ferait oomme dans on vase qui offrirait, sur le pourtour extérieur de sa base, un orifice anDOlairo déterminé par l'intervalle compris entre les extrémités du corps et les parois fictives dont il vient d*ètre parlé, parois qu*i] serait d*ailieiirs peu exact de supposer prolongées, en aval, jusqu'à la région où les tourbillons et mouvements excentriques quelconques viennent à se propager (375) dans les masses latérales du fluide.

Celte manière d'envisager le phénomène de la résistaBce est si ntUirelle, que Dubuat Ta formellement indiquée au n** 437 du tome II de ses Principes d^ Hydraulique^ et que les expériences subséquentes de M. Duchemin, consignées dans ses Mémoires (373) successivement présentés à l'Académie des Sciences, l'ont conduit à comparer, du moins pour le cas où le corps en repos reçoit le choc de l'eau en mouvement, les phénomènes d'accélération et de déviation présentés par les filets liquides, sur le pourtour entier du corps, à une contraction renversée, qui, dan? le cas des prismes, prendrait, jusqu'à un certain point, les caractères du phénomène si connu des ajutages cylimlriqucs ou tuyaux adfiitionnch, adaptés aux orifices d'écoulement de^ vases (413 et Note). Mais, loin de poursuivre cette idée lumineuse dans ses conséquences théoriques, M. Duchemin s'est contenté d'en déduire, par une comparaison un peu forcée, par une sorte d'empirisme, la formule dMnterpolation rapportée dans la Note déjà citée, et qui, malgré tout le mérite qu'elle a de représenter les quatre résultats des expériences de Dubuat (4i3) vérifiées par celles de l'Auteur, nous paraît d'autant moins admissible en elle-même, que l'analogie sur laquelle elle se fonde n'aurait plus lieu pour le cas inverse des corps en mouvement dans un fluide en repos, et qu'il deviendrait alors nccossaire (ili) de changer à la fois de principes et de formules. Or on arrive à des conséquences très-diirérentos, lorsqu'en adoptant sans réserve l'idée inj^énieuse de Dubuat, on lui applique, comme on l'a indiqué ci -dessus, les belles théories de Bernoulli cl de Borda.

(b). Hrpothcsi's admises. — Dans cotte application du théorème de? forces vives, on suppose ordinairement que les pressions et les vitesse? des molécules nuides sont égales, dans certaines réj^ions où le mouvement est parallèle, comme par exemple en amont aux points L, L', des /Ç),^. 53. 55,80, (»tc.,/^/.7//, ce qui est évidemment ici permis, ou vers les points w et //, m' et n' qui appartiennent à la section contractécy pour laquelle la convergence des filets, nu sortir du vase, devient la plus forte et Thvpothèse beaucoup moins évidente, bien que ces filets y soient redevenus sensiblement parallèles ou concentriques. Les expériences de M. Savart (*) sur le choc des veines liquides, soit entre elles, soit contre l'ori-

(•) Annales de Chimie et de Physique, t. LV, i833.

DIS RÉSISTAMCIS. 7^5

ice du iube manoinétrique de Pitot (378), prouvent que le fait est vrai [ans le cas où de telles veines sont produites par l'écoulement permanent l'un liquide au travers d*orifices circulaires, pratiqués dans les parois ninoes de réservoirs très-grands par rapport aux dimensions de ces ori- 3ces; et cela résulte aussi de la vérification à posteriori des formules obtenues dans cette hypothèse, pour la vitesse et la dépense do liquide, Hais, dans le cas qui nous occupe où une masse fluide indéfinie vient "encontrer un corps solide en repos, il ne paraît pas que la même hypoiièse soit permise ; tout porte à croire, au contraire, comme on le verra )lus loin, que la vitesse est sensiblement plus grande, et la pression plus Mtite vers T intérieur de la veine contractée en m et m\ qu*à Textérieur m n et n\ où elles doivent être simplement égales à celles du milieu imbiant. D'un autre côté, en considérant ce qui se passe à une petite iistance, en amont de Torifice d'écoulement, c'est-à-dire dans l'espace que *on assimile à un véritable réservoir, on ne vpit pas que Ton soit plus fondé I y supposer égales les pressions occasionnées par la déviation des filets, 3t dont Texcès sur celles qui ont lieu en aval du corps, détermine certainement l'accélération de vitesse reçue par le fluide en mn et m'n*.

Cependant, nous admettrons, dans l'application du principe des forces mes à ce mode d'écoulement, l'hypothèse ordinaire du parallélisme des tranches, ou des vitesses et des pressions moyennes obtenues en divisant la dépense et la pression totales, par l'aire de ces tranches respectives. non pour découvrir des valeurs absolues et rigoureusement exactes, mais pour avoir des rapports, des relations qui, au moyen de certains coefficients à déterminer par l'expérience, indiquent approximativement les lois du .phénomène, ainsi que cela a lieu, par exemple, dans le cas des déversoirs, où le principe des forces vives conduit à des formules de celte espèce. Seulement il ne faudra pas oublier que, si une pareille hypothèse peut être permise à l'égard des pressions, elle tend, quant aux vitesses, à diminuer l'expression de la somme des forces vives, d'une fraction numérique de sa valeur, qui dépend essentiellement de la loi inconnue suivant laquelle ces vitesses et leurs directions respectives fanent dans chacune des sections ou tranches planes à considérer. ^

Enfin, il est bon de le remarquer, cette manière d'envisager la question de la résistance des fluides ne diffère, au fond, de celle du n^ 381, qu'en ce que nous supposons ici le corps en repos choqué par le fluide en mouvement, au lieu de le considérer en mouvement dans un fluide en repos. Et, si nous nous préoccupons actuellement des pressions et des vitesses individuelles, c'est afin d'arriver à des formules plus explicites et propres à mettre en évidence les diverses peftes de forces vives qui, dans le cas d'un fluide en repos, sont la représentation fidèle du travail moteur nécessaire à appliquer au corps pour Tcntretenir à un même élat de mouvement, travail dont la valeur est alors, en eflet, claireq^ent indiquée par le produit dont les facteurs sont : l'aire de la projection du corps sur un

7*6 XcuiiavK MMmimtx.

fbn f«rp»M&c«IÂra à b Aridioii de w viltas^. Tacm <le 1* pmri» ' aufca** d'aBiol Mimll* d'ani, et U diitaace unifonc^mMit ptreeoM 4lM diaqw âéncM da MmiM ou dms claque seconde. Mais ipmiffm •'apftÇDtve plw MHN b)«g, dans le a» d'un rorps en repM choqo* pv M Iqida a nonMBMl, la reUim entre l» ptrtet de fams vira n !■ Imafl aatcar qai, a iMilà, ut irome sbn représattj par reluj ibt yrwdww rwwéM tpfHqaèt» ann tnmdti» eilrimes de b maaw Iiijui^ fl nVn Ml pm moim évident, à pnori, qu« I'ud de ces cas peut tin nmnié > l'auire |iar Ij roiisitlt^ratiua ita raoutemenU ri>latirs: c'«»t (notqDoi nnusnv iraitMons ici que h quMtliondu Hioc, &aos iioiis priocmper. «n aucune nwni^-n', dans nos raisonneinenU, de celle qui coacene tçtààlenenl ta r^shlanrr.

(c). Plan minre tiiuwis iiu iluir iliivt 'l'un Jliiiiie. — Os prc^imiaùm ilmtl (■lîihVti'. r(,n:.itltT(jii».l'iilKjril un plnii minti- CD tP/. 7/AjΣ. 8oJ> •uriiKe-A, et qui te troaTe plongé, au rapos, dus m II ~ de dmrité /», tniiné de la Tilene nniriMine V, dlredlon. NocaiDOiie :

ATain de h eeetim traureiMb du ecnal ImviA pu les ptniik-

tlvee LH, L'H ; nb OMBBoienVde la fontfaetion efièclive i/pronyi» par ke Hall a

MM, m!m', G'e8l4-dire le rapport de l'aire de lear ■actïM Int-

verMle, à oelto A'— A, de l'oriRce annulaira du réaervov; W la vileese moyenne du fluide dans la section rontractée mn, mtif,

dont l'aim est m ( A' — A j ; nie fàcleur numérique, supérieur à l'unité, par lequel dollétnaal-

tipUikt la vilesse W, pour redonner la somme des forces tîk»

effectives dans ces mêmes sections; P et P' les pressions moyennes, par unité de surface, qui ont lieu n

amont et en aval du plan CD; Q enfin le volume el 1A = p~\a masse du Ouidc qui, dans l'oailéilt

temps, s'écoule unifonnément par chacune des sections Unsversales A' el j» ( A'— A) :

on aura, en appliquant te principe des forces vives à la question, eaaat on lp fait ordinairement dans l'hydraulique, et sans s'inqaiéler ancaKmral ici de la manière dont le£ pressions partielles se trouvent diitribuées dans les tranches extrêmes A' et m (A'— A), en amont ou en ani du corps,

DBS mtSISTARGBS. 727

•d-où Ton tire, en représentant toujours par R la pression effective ou la xliflérence des pressions absolues supportées par le plan CD, sur retondue, A, de ses deux faces,

Hais, à cause de la continuité/ou parce qu'il doit s'écouler dans Tunité de temps, la même masse de fluide par la section contractée m (A'— A), qu'il en afflue uniformément par la section d'amont A', on a aussi, dans l'hypothèse où ce fluide n'éprouverait qu'une variation de volume insensible, en passant de la pression P d'amont, à la pression P' d'aval, dont la première est supérieure et la deuxième inférieure à la pression naturelle OQ statique du milieu,

ce qui donne finalement

^=^^U*(A'-A)'~Vi^' ^*^* = ;,i^(A'..A)'~"'

pour la valeur du coefficient /*(382) de la formule R = ^/?AH.

(d). Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de V expérience. — Si Ton admet le résultat des recherches expérimentales de Duboat, qui donnent ici (406), X*= i,86 pour le coefficient de résistance des plans minces, et A'= 6,46A pour la limite (4i8) au delà de laquelle Je fluide ambiant cesse d'exercer de l'influence, on déduira de l'expression ci -dessus de X-,

A'* .oc f»

OD satisfera à cette condition particulière en prenant, par exemple, le coefficient de contraction m = 0,75, comme le donne l'expérience, dans le cas où la contraction est nulle sur trois faces, et /i = i ,0714, /t'= i ,149 pour les facteurs qui servent à corriger, dans les formules, ce que l'hypothèse d'une vitesse moyenne pourrait avoir ici d'inexact.

La relation A'= 6,46 A, admise par Dubuat, pour le cas des prismes entièrement plongés (Pri/ic///^.f d'Hydraulique, t.II, n°581 ), suppose que le courant latéral se fasse sentir jusqu'à une distance du corps, égale aux 0,77 environ de ses dimensions transversales. Mais, si d'après le résultat des mesures directes de M. Duchemin, on réduisait cette fraction à o,5 (392), ce qui revient à prendre A'= 4A seulement, on trouverait ut = 0,7884 /z et il faudrait alors attribuer à n une valeur plus petite que

'ly.H ntCk^jQrt i^dcstuelle.

: <jr..*.^. e*. f>îtrtant maimif?>i: le. Il neparait donc pas qne l'on yMièf^ «u^j//w;r A d'r h>r-a'KO»jp ;nfrrr!f-ur a 6.^6.\. pour le ca5 des plans mioc^ c :.•>;' j4- ':;r*-cîf-»Ti<îTi: j^r un r'ijide.

fj îin 4 -:r^ <■'!■>. on vo^î. p-jr l>x pression ^én^^raîe ci-de?su? de /. i^> »;. côrn.Tie ifr vou.di: Dubuat MT el 413 . la déviation ^e fait rèelleaieti d*ï plus loin potjr i^ c-rp? en mouvement dans un fiuide en refo«. if rappr,'rt de A à A —A menant à diminuer, iî en sera de même de i ré>iitànr»f : rr qui • dco .r ie d\».-c le rêsulLat des expériences de cet Auttor confirma*.'? o<rpu.<: [mt celle de M. Duchemin.

Par exerrip'e. i. suilird ïe sup{:»o?er A'= 12 A, pour retomber, à Ire^-fif;. pre». «ur la '.aleur X 1= 1.4^3 donnée par les expériences de Dubuat itt» dans le c^s dont il a'd^'iî. On interpréterait plus facilement eiiùjre ce resulUir, en 5U{.-po>in* q':»^ ia cuniraction latérale des filets diminue ikn» omême cas des Sui-Jes en rep«j5. ou que le coefficient /«, qui cnlr».» au arirr dans l'expression de /. y au^inente d'une très^pelite quantité, par exemp^^ devienne 0.4 1 oa 0.82; mais alors, comme on va le voir, on tomber^:: dans d autre? d:tBculté? concernant le cas des surfaces convexes, et \'\ff. ne [fOurrdil expliquer au^si bien la diminution de leur résistance, a m-j.vde prendre le facteur n beaucoup plus près de l'unité; ce qui ferait •:minuer en même temps m f»our le cas des fluides en mouvement: noa» continuerons donc à raisomier dans l'hypolhese avancée par Dubudt. jac* nier toutefois qne le facteur numérique rr ne s'approche un peu plusd^ l'unité que nous ne l'avons supposé précédemment.

La formule ci-dessus montre d'ailleurs avec quelle rapidité la n^issidncr tendrait à croître h. au li^u d'être indétini. le fluide se trouvait iiaupar des [»ar«.»is ^jiiiiis plu? rappruchées du plan CD qu'on ne vient de!supp'j?*'r {Mjiir le? [idro:? LM et L M': elle indique même que Cflter»fr.tari'o d»?\iendrjit inlinif pour -\' — A ; ce qui s'explique en consi'itfdrj qu'di'jrs \d [>!«.'=si'jri coiit.nur. eprnu\ée par le corps, se clunjeraii t-n u'. cli'jc vif pp diiit par la c-'.onne Huide indéfinie, comprise, en amont, enîrle^ parois îOÎides dont il s'ajil.

e . Surfiim nûnt n mmcjcvs ou concives, — Supposons mainlenar.' qu'on r-ubstitue au plan mince ('D une surface convexe {Pl.JII. fis^.^i continue ou jNilyjfinale. mais ass**/. peu allongée dans lo s«»ns du mw.»^ ment. [JOur n'êin* point sensiblement en prise aux etlets du fn-ltercec: la contractiim laiéraU* ?<Ta diminuée et son coefficient /// ani:monlé. «r.* qu'il s/jit nnossairi' d'apiKjrler aucun autre changement à l'expre*?!": de /, dunniV \i:) par le principe des forces vives et dans laquelle .\ deviendra l'aire de la projection de cette surface sur un plan perpi»ndii'ulaJP à la direction du mouv(Mnent, puisque les pressions normales el éléramtaires supportées par le corps, doivent être estimées dans le sen.< racin? de ce mouvement, comme le sont, de leur coté, les pressions mi^yenM* P et P'. En {tarticulier, si cette surface possède la forme la plus avant^

DBS lÈSISTÂllCBS. 729

geuse possible, et qu'on adopte les valeurs /i'= 1^149, A'= 6,46 A, déjà admises ci-dessus, la formule donnera, à cause de m = i^ le coefficient k = 0,61 pour le cas où le fluide seul est en mouvement; résultat qui paraîtra un peu fort si on le compare à celui des expériences sur les sphères, mentionnées au n** 426; mais on doit considérer qu'il s'agissait de sphères mobiles dans un fluide en repos, et pour lesquelles par con- Béquent l'aire A' a du être augmentée, indépendamment de Tinfluonce, assez faible d'ailleurs, qui a pu être exercée par la poupe ou partie postérieure de ces sphères; influence sur laquelle nous reviendrons plus tard.

EnGn, il semblerait résulter de cette même formule, que, dans le cas des surfaces concaves où le coefficient m, de la contraction, descendrait probablement à la valeur 0^6 ou 0,66^ conformément à ce qu'on sait des expériences de Borda et de Venluri sur l'écoulement par les tubes rentrants, le coefficient X de la résistance pourrait aussi s'élever de i,3 à 1,6 fois celui des plans minces; valeurs qui ne sont nullement en contradiction avec les effets observés dans ces circonstances (408 et suiv.).

(/). Prismes droits soumis au cJioc direct d'un fluide, — Passant £U cas des corps prismatiques (P/. Ill^fig, 55) dont la longueur L, étant au moins triple de la plus courte distance de leurs faces latérales aux parois fictives LM, L'M', il devient permis de supposer que les filets soient redevenus parallèles vers les extrémités postérieures de ces prismes, après avoir perdu, parle choc ou les tourbillonnements, l'excès de la vitesse W, qu'ils possédaient en fnn, m'n\ sur celle qu'ils conservent à ces mêmes extrémités ou en quittant le corps, et dont nous représenterons par U la valeur moyenne conclue de la dépense, /l'U étant cette même vitesse augmentée (^) de manière à reproduire la force vive eflective des filets, comme nous l'avons admis précédemment (c) pour /iW et la section contractée. Nommant, de plus, C et G' les contours ou périmètres respectifs des sections transversales A et A', du prisme et du canal dont les parois servent de limites au courant latéral que nous supposerons soumis, sur toutes ses faces, de la part du prisme ou du fluide ambiant, à un frottement représenté approximativement par la formule - 6CIP pour le

premier, et par la formule ^ ^C'(U— V)* pour le deuxième, en posant, d'après la Note de la page 694, h = 0,000, 36^ = o,oo35, ou ^ = o,ooo3a^= o,oo3i, et négligeant le terme relatif à la simple vitesse; admettant d'ailleurs, comme on le fait ordinairement et comme nous le justifierons plus loin, que l'excès de la vitesse /iW sur la vitesse n'U, donne lieu à une perte de force vive mesurée par l'expression M(/sW— a'U)' relative toujours à la masse M de fluide écoulée, pendant l'unité de temps, dans chacune des sections A', A'— A> m (A'— A), on