DES CORPS

.153. Considérations générales, — Quand deux corps, ( mouvement, réagissent l'un sur l'autre par leurs vitesses» quises, ou se choquent, ils présentent en général plusieu circonstances qui permettent de partager en trois époqu distinctes la durée entière du phénomène : dans la premièi les corps se compriment, se refoulent, ou bien se tirent m tuellement s'ils sont liés entre eux par des traits, des ban non tendues avant le choc; dans la deuxième, leurdéformati est devenue la plus grande possible, et ils ont nécessairemc acquis la même vitesse aux points où s'opère la réaction ré proque; dans la troisième enfin, les corps reviennent vers le forme primitive, et tendent, de plus en plus, à se séparer vertu de l'énergie plus ou moins grande de leurs forces ressort.

Comme les phénomènes du choc des corps se reproduise! d'une manière analogue, dans tous les cas possibles, no nous bornerons à étudier, avec quelques détails, l'un des pi simples d'entre eux, et qui se présente le plus fréquemm^ dans les applications de la Mécanique à l'industrie : c'est ce où un corps libre, en repos, est choqué par un autre coi déjà en mouvement; il sera très-facile ensuite d'étendre raisonnements à des cas plus compliqués ou présentant c circonstances différentes. Du reste, afin de simplifier l'état

APPLICATIONS, ETC. l55

la question, nous supposerons, conformément aux idées ordinaires, que la constitution des corps soit telle, que Taction et le mouvement s'y propagent, pour ainsi dire, instantané^ ment d'une extrémité à l'autre, ou assez rapidement pour qu'on puisse considérer leurs diverses parties comme animées sensiblement de la même vitesse à chaque instant du choc. Quoique cette supposition ne soit pas en elle-même rigoureuse (63 et suivants), elle conduit cependant à des consé- 'quences exactes toutes les fois que les molécules d'un même corps ont repris une vitesse commune ou des distances invariables, à l'instant du choc que l'on considère; car alors les forces ont produit tout leur effet, et le mouvement a été communiqué à toutes les parties.

154. Principe relatif au choc direct des corps, — Il ne peut être ici question encore que du choc direct des corps, c'està-dire de celui oii deux corps (A) et ( A^) [Pi, II,fi^> 35) réagissent continuellement l'un sur l'autre, dans la direction propre feurs mouvements, de telle sorte que la perpendiculaire ou normale AA', qui est commune à leur surface au point de contact T où se fait le choc, soit précisément la direction de la vitesse de chaque corps, et cela pour tous les instants de ce choc. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, dans le cas où deux boules sphériques homogènes marcheraient parallèlement à elles-mêmes avant le choc, et de façon que leurs centres A, A' demeurassent continuellent sur une ligne droite LN. Or on peut établir, pour ce cas, un principe général qui demeure applicable, quels que soient et l'intensité et le sens du Wiouvement de chacun des corps aux divers instants du choc; ''suffit, pour cela, de se rappeler ce qui a été dit au n° 131.

En effet, il naîtra (63 et suivants) de la réaction mutuelle des deux corps, une force de pression mesurable, à chaque 'osiant, par un certain nombre de kilogrammes, et qui agira, dans le sens de la droite AA', pour repousser le corps (A) de * vers L, et une autre force de pression égale et précisément contraire (64), qui agira pour repousser le corps (A') de T ^crs N. Nommant donc F la valeur commune de ces forces à "ïi instant quelconque du choc, v le petit degré de vitesse perdu ou gagné, au même instant, par le corps t A), v' celui

l56 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

que perd ou gagne le corps (A'), enfin P et M, P' et M' n présenlanl respeclivemenl les poids et les masses des dei corps (A) et (A'), on aura, d'après le principe du n^ 131,

c'esl'à-dire que les quantités de mouvement, perdues ou g( gnées par les deux corps, seront égales entre elles pour chaqu instant infiniment petit du choc; el la même égaillé aura lie aussi enlre les quantités de mouvement totales imprimées, chaque corps, entre deux instants quelconques de leur réac lion mutuelle, c'esl-à-dire enlre les quantités de mouvemei totales, soit perdues, soit gagnées par chacun de ces corps.

155. Du choc des corps pendant la compression, — Noi supposerons ici que le corps (A') était au reposa rinstantc Tautre (A) est venu le rencontrer avec une vitesse finie précédemment acquise, que nous nommerons V; ces cor se comprimeront donc réciproquement en vertu de Tineri de (A') qui tend à s*opposer au mouvement de (A), et, d lors, la force de pression variable F agira pour diminuer^ chaque instant , la quantité de mouvement MV du premi corps, de quantités qui seront égales à celle qu'elle feranatt dans Tautre. Les choses continuant ainsi tant que (A) conse vera en quelqu'une de ses parties, et de L vers N, une viles supérieure à (A'), on voit bien qu'il arrivera une certaii époque où, la compression, la déformation des corps étant son maximum, el le mouvement se trouvant communiq' égalemenl à toutes les parties, ces corps auront acquis même vitesse et marcheront, en quelque sorte, de compagni du moins pendant un très-petit instant.

156. Fitesse des corps au moment de leur plus grande co pression. — Nommons U la vitesse commune dont il s'agit, quantité de mouvement gagnée ou acquise par (A') sera, même instant, M'U, et celle qui a été perdue par (A) s^ MV — MU, laquelle, d'après ce qui précède, devra être égi à la première M'U. La quantité de mouvement totale M primitivement possédée par le système des corps, se trouva donc être augmentée, d'une part, el diminuée, de l'autre,

APPLICATIONS, ETC. iS*]

luaniités égales, celle MU-h M'U = (M -h M')U, qui leur reste à Tinstant dont il s*agit, sera aussi égale à celte quantité de mouvement primitive MV; de sorte qu'on aura

(Mh-M')U=MV;

d'où

MV

Ainsi, sans connaître la manière dont les corps se compriment et dont varie Tintensité de F à chaque instant du choc, on n'en peut pas moins calculer exactement la vitesse qui a lieu au moment de la plus grande compression oà la distance des molécules cesse de changer, et oà elles ont acquis un momement commun (153) : cette vitesse est égale à la quantité de mouvement possédée par ( A ) avant le cftoCy divisée par k somme des masses des deux corps.

187. Du choc pendant le retour des corps vers leur forme primitive, — La plupart des corps tendant à revenir (19 et 95), avec une énergie plus ou moins grande, vers leur forme priroilive, quand ils ont été comprimés à un certain degré, on voit que les ressorts moléculaires vont, en se débandant, forcer (A) et (A') à réagir de nouveau Tun sur Taulre, mais pour s'écarier mutuellement, ce qui tend nécessairement à augroenier le mouvement déjà acquis de (A'), et à diminuer, au contraire, de plus en plus, celui de (A); et, comme l'action est toujours égale à la réaction, il est clair, d'après ce qui précède(15i), que les quantités de mouvement gagnées par (A') seront sans cesse égales à celles qui sont perdues par ( A ). Les choses continuant ainsi tant que la force de réaction F n'est pas nulle, on voit bien qu'il pourra arriver un instant où la <]uaniiié de mouvement MV, primitivement possédée par (A), soit entièrement détruite, après quoi la force F, qui continue a repousser ce corps, lui imprimera, on sens contraire, un ^ouvennent de plus en plus rapide, et qui ne cessera d'augmenter que quand la pression F sera nulle; ce qui arrivera nécessairement à l'instant où les deux corps se sépareront, '^n de l'autre, en vertu de leurs vitesses respectivement acquises.

158. Du mouvement des corps après le choc. — Il est clai] d'après ce qui précède, que ce mouvement ne peut, en gc néral, se calculer, puisque nous ne connaissons pas* non plui en général, la loi que suivent les forces de compression pendant la réaction des corps. Cependant le calcul est pos sible dans deux circonstances principales qui servent comin de limites à toutes les autres, et qui répondent. Tune, au es où les corps seraient entièrement privés d'élasticité, l'autn au cas où, au contraire, ils seraient parfaiteipeni élastiques.

Premier cas. — Des corps non élastiques. — Nous avoi vu (17) qu'il n'existe réellement pas de corps qui soient ei tièrement privés d'élasticité, ou qui ne tendent, jusqu'à u certain point, a retourner vers leur forme primitive, quand i ont été comprimés. Toutefois on doit remarquer que, noi seulement les corps mous, les liquides, etc., sont extrêm ment peu élastiques quand Ils ne sont pas maintenus, dai tous les sens, par des enveloppes solides; mais qu'aussi plupart des corps, qu'on regarde comme plus ou moins éia tiques, peuvent perdre entièrement (20) cette élasticité p suite de la grande compression, de la grande déformation qu' éprouvent pendant le choc; or, pourvu qu'ils ne se divisai ne se rompent, ou ne se séparent pas à l'instant de la pi grande compression, ils continueront à cheminer ensemb^ en vertu de leur vitesse acquise, sans réagir désormais Ti sur l'autre; de sorte que cette viiesse sera donnée par la fc mule ci-dessus (156), toutes les fois que l'un des corps trouvera au repos à l'instant où le choc arrive.

Deuxième cas. — Des corps parfaitement élastiques. — Tout les fois que les corps auront sufûsamment de ressort pour r venir exactement à leur forme primitive, après l'instant de plus grande compression, la force de réaction F reprenaf par hypothèse, dans le débandement des corps, les mêm valeurs (95) pour les mêmes positions relatives de ces corf il est clair que les vitesses imprimées ou détruites seront p> cisément égales à celles qui Tont été pendant la compressio si, comme on le suppose ordinairement, les corps se sépara à l'Instant même où ils sont revenus à leur état primitif.

ÀPPLIGATIOMS, ETC. iSq

qui n'arrive pas toujours. Or de là résulte un moyen de calculer, à l'avance, la vitesse des deux corps après le choc.

Pour le cas qui nous occupe, par exemple, la vitesse perdue par le corps (A), à Tinstant de la plus grande compression, élam (156) V — U, il perdra de nouveau (157 ), dans le débandemenl, une vitesse égale à V — U, et par conséquent la vitesse qu'il conservera, après le choc, sera U — (V— U), ou alJ— V, si V — U est moindre que U, ce qui indique que (A) conllnue à marcher dans le même sens après le choc, ou (V~U)— U = V — 2U, si V — U surpasse U, ce qui indique que (A) retourne en arrière après le choc. Quant au corps (A'), la force F lui a d'abord communiqué (156) la vitesse U; elle lui imprimera donc, après l'instant de la plus grande compression, un nouveau degré de vitesse égal à U, c'est-à-dire que sa vitesse, après le choc, sera 2U. Mais nous savons calcaler(156} la vitesse U; donc nous saurons aussi calculer celle des corps parfaitement élastiques au moment où ils se séparent après le choc.

Nommant W et W respectivement, ces vitesses des corps (A) et (A'), on aura, selon les cas spécifiés, v