PF(V — VM^ P-+-P

Or il est facile de s'assurer que, par la suppression de la division des poids P, P', qui donne (126) les masses M, M', on

aurait multiplié réellement deux fois le numérateur de la fraclion par g, et seulement une fois le dénominateur; de sorie que le véritable résultat se trouverait en effet multiplié par g*. Si donc on voulait obtenir ce véritable résultat en se servant

des poids, il faudrait diviser la dernière des fractions ci-dessus

par g ou 9",8o88, ce qui donnerait

PF(V — V r

Ainsi, on pourra, dans la vue de simplifier un peu les calculs, se servir de cette dernière formule au lieu de celle qui conilenl les masses; quant à la précédente, on doit bien voir maintenant qu'elle est absolument fautive. On pourra d'ailleurs appliquer des simplifications analogues aux diverses autres

formules ou résultats de calculs concernant le choc direct des corps.

165. Comparaison des effets des chocs et des pressions simples, — On a quelquefois essayé de mesurer directement les chocs par les pressions ou les poids : ainsi l'on a dit, d'une 'Hanière absolue, q\ïun ceçtain poids^ tombant de telle hau- ^^ursur un corps, équivalait à une pression de tant de kilo- Sfammes, exercée sur ce corps; or, il est bien évident que ces ^cux choses sont tout à fait distinctes, et ne peuvent se rappor- ^^•"àla même unité de mesure, dans le sens absolu dont il ssgit. Mais il en est tout autrement quand on entend parler ^es effets physiques que peuvent produire les chocs et les poids ou pressions simples qui agissent sur les corps sans vi- ^^^e acquise; car un poids posé, par exemple, sur une certaine substance, s'y e/i/bnc<? ou la comprime plus ou moins (63), ^l il développe, dans sa descente, une quantité de travail (89) <ïui est tout à fait comparable à la force vive que perdrait un autre corps (101), pour produire la même compression, le "^^me effet.

^^ans les deux cas, on a à considérer une suite de pressions variables pour chaque instant, et qui se succèdent, sans inter- ^^iption quelconque, tout en produisant le changement de 'Orme du corps. Or celte succession n'est pas une pression ^'n^pleei unique; on ne peut pas non plus la mesurer en kilo-

170 MÉCA.N1QUE INDUSTRIELLE.

grammes par une somme de pressions, puisque cette somn esl infinie, même pour un irès-peiil temps de raclion d( forces et pour un mouvement extrêmement lent; mais, comn il y a à la fois pression ou effort et chemin décrit dans chaqi instant très-petit, il y aura aussi un petit travail dévelop[ dans cet instant; et c'est la somme finie de ces travaux partie qui, dans tous les cas, donne la mesure de l'effet produit.

11 esl bon de remarquer d'ailleurs que les mêmes géomètn qui mesurent les effets du choc par des sommes de pression nomment ces sommes des forces de percussion^ et les cons dèrent comme égales aux quantités de mouvement qui 0; été imprimées ou détruites dans l'acte du choc ; tandis qu d'après l'autre manière de voir, qui est aussi simple et d'ai leurs parfaitement d'accord avec les résultats de l'expérienc nous sommes conduits naturellement à mesurer ces mêm effets du choc par la force vive directement employée à 1 produire.

applications relatives au choc direct.

166. Choc d'un corps qui tombe d'une certaine hauteur i une substance plus ou moins molle. — Supposons qu'on lais tomber d'une certaine hauteur un corps cubique et très-rés tant P {PL II f fig. 38), tel qu'un cube de fer pesant 3oo kil grammes, sur une substance plus ou moins molle, terrain par un plan de niveau AB, et dans laquelle il pénètre par u de ses faces ab, parallèle à ce plan. Soient i'",3o la hauteur d'où le cube est tombé avant d'atteindre AB, et 1 centimèt la quantité totale bc de l'enfoncement observé à l'instant où choc esl complètement terminé; il sera donc descendu réel ment de la hauteur i"*,3o -f-0^^,02^ i"',32, et la quantité de 1 vail développée par la pesanteur, dans cette descente, sera ii surée (121 ) par le produit 3oo''«x i"*,32 = 396 ''«'" ; c'est don aussi la mesure du travail nécessaire pour produire Tenfon ment des 2 centimètres avec des circonstances semblab ou pour produire un effet identiquement égal.

Cette conséquence résulte immédiatement de ce qui a dit précédemment (158 et suivants) sur le choc des corps d qui rencontrent des corps mous ou privés d'élasticité; cai

le corps P atteint le plan AB avec une force vive égale à 2X3oo*«X i">3o=: 780(122); celte force vive peut être considérée comme presque entièrement consommée (162) pour produire le changement de forme de AB; en effet, Taltération du cube est négligeable, et la masse de la substance AB qui reçoit le choc, étant ici censée très-grande par rapport a celle de P, ou étant censée faire partie du sol, soit directement, soilpar l'intermédiaire des corps qui la supportent, la vitesse et par conséquent la force vive conservées après le choc se-

; roni extrêmement petites (160 et suivants), de sorte qu'on pourra les négliger par rapporta celles que possédait P avant le choc. Or cette dernière force vive se convertit, à partir de l'instant où le corps atteint le plan AB, en une quantité de tra-

■ vail égale (136) à la moitié de sa valeur, c'est-à-dire à Sgo kilogrammètres entièrement employés contre les résistances du sol; de plus, la gravité y ajoute, pendant que le corps s'enfonce, une quantité mesurée par le produit du poids 3oo kilogrammes de ce corps et de la hauteur bc de l'enfoncement; <lonc, au total, la résistance qu'éprouve le cube pendant qu'il pénètre dans la substance AB et de la part de cette substance, 'léveloppe bien réellement, contre le mouvement, une quanlité de travail égale à

Sgo^gn» -|. 3oo''« X o™,o2 i= Sgo^»»" -f- 6^8'" = Sgô''*"',

<inelle que soit d'ailleurs la manière dont varie l'intensité propre de cette résistance aux divers instants de renfoncement.

Maintenant, si l'on pose doucement, sur AB, un prisme vertical R de même base que le cube, et dont la hauteur et le poids soient tels, qu'au bout d'un temps plus ou moins long i/ s'enfonce des mêmes i centimètres frc, la quantité d'action que la pesanteur aura développée, sur le prisme, pendant sa rfescenie de cette hauteur, et qu'aura consommée la résistance de AB, sera le produit de i centimètres par le poids R de ce prisme, c'est-à-dire o™, 02 x R. Mais, comme les effets produits parie prisme et par le cube sont identiques dès l'instant où i\ est permis de négliger la vitesse communiquée au sol, les quantités de travail que ces effets supposent, de la part de la résistance de AB, doivent être regardées aussi comme

172 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

égales, et partant on a

d'où

R^M.^igSoo'^».

Tel est donc le poids qui pourrait produire, dans un lenaj plus ou moins long, un effet égal à celui qui résulte, dans u temps généralement très-court, d'un poids 66 fois moindr* lancé avec la vitesse de 5™,o5 due à la hauteur de l'^jSo (118

167. Calcul hypothétique de la durée de renfoncement pn duit parle choc, — La valeur effective du temps que le corps met à s'enfoncer des 2 centimètres ci-dessus ne peut s'obteni qu'autant que Ton connaîtrait, par des expériences spéciales la loi que suit la résistance du sol aux divers instants, ce qui n'est pas. Mais, pour offrir un exemple de calcul, nous supposerons la résistance constante, ou plutôt nous la supposerons remplacée, dans les divers instants, par sa valeur moyenne {^%)\ de sorte qu'elle sera censée (107 et 112) retarder uniformément le mouvement du prisme ou du. cube. • Or nous savons que, pendant la durée du choc, elle développe une quantité de travail égale à 396 kilogrammètres; donc (73)

elle a pour valeur moyenne 1=19800^8; c'est-à-dire qu'elle

est précisément égale au poids du prisme qui produit le même enfoncement ou le même effet; ce à quoi on devait bien s'attendre en la supposant tout à fait constante (*). Cette résistance étant directement opposée à l'action du poids des 3oo kilogrammes du cube, ce dernier sera en réalité sollicité, pendant l'enfoncement, par une force motrice constamment égale i [9800^8 — 3QQkg- i^5oo^8, et agissant, de bas en haut, pour re tarder son mouvement primitivement acquis, ou pour détruir la vitesse de 5'",o5 qu'il possède à l'instant où il atteint AB.

(•) Puisque la résistance est ici égale au poids du prisme, ce dernier s'enfoncerait pas; conséquence qui prouve assez que l'hypothèse d'une ré8 tunce constante n'est point admissible : cette résistance croit nécessairemen partir de l'instant où l'enfoncement commence, et c'est ce qui parait cvidi en soi, vu ia plus grande facilité qu'a alors la matière de se déplacer latéra ment ou sur les côtés du cube et du prisme.

Avec ces données, il ne sera pas difficile de trouver le temps que la résistance mettrait à éteindre complètement la vitesse en question; car puisqu'on la suppose constante, elle imprimerait, au bout de Tunité de temps, une vitesse V„ qui ser^i

donnée par la formule F = MV, ou V,=: ^? du n** 132 : or ici

F = loSoo'^S M = VV = 3o,58;

donc

Mais, puisque la force constante- est capable d'imprimer la vitesse de 637^,67 au bout de i seconde, il est évident (110) qu'elle mettra, à imprimer ou détruire la vitesse de r>'",o5, un temps t qu'on obtiendra au moyen de la proportion

d'où

^— uo^ a == ^''♦ooS^YTT de seconde à peu près. 0J7 ,07

Les Kiêmes résultats s'obtiendraient immédiatement d'aik

•eurs au moyen de la formule F = M - du n° 130, on obser-

[■ vant qu'ici les raisonnements sont applicables à une vitesse ! 61 à un temps quelconques; car elle donne pour le temps/ qui répond à la vitesse de 5'",o5,

Mx5,o5 3o,58x5,o5 „ ^ ^= û = Â — 0,008,

comme ci-dessus.